2025年大學(xué)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——時(shí)間序列分析與預(yù)測(cè)模型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分）1.時(shí)間序列中，描述數(shù)據(jù)在長(zhǎng)期內(nèi)呈現(xiàn)的持續(xù)上升或下降趨勢(shì)的是？A.季節(jié)性波動(dòng)B.周期性波動(dòng)C.隨機(jī)波動(dòng)D.長(zhǎng)期趨勢(shì)2.下列哪種方法適用于處理具有明顯線(xiàn)性趨勢(shì)和季節(jié)性成分的時(shí)間序列數(shù)據(jù)？A.簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法B.指數(shù)平滑法C.霍爾特-溫特斯指數(shù)平滑法D.自回歸模型（AR）3.對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列，其自相關(guān)函數(shù)（ACF）具有的特性是？A.隨著滯后階數(shù)增加而指數(shù)衰減至零B.隨著滯后階數(shù)增加而振蕩衰減C.在所有滯后階數(shù)上都保持某個(gè)非零常數(shù)D.在某個(gè)滯后階數(shù)后完全消失4.在時(shí)間序列分析中，差分操作的主要目的是？A.降低數(shù)據(jù)的季節(jié)性B.增加數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性C.改善模型的擬合優(yōu)度D.使數(shù)據(jù)更適合進(jìn)行指數(shù)平滑5.移動(dòng)平均法（MA）模型的自相關(guān)函數(shù)（ACF）呈現(xiàn)的特性是？A.在滯后階數(shù)q后截尾（即從q+1階開(kāi)始為0）B.隨著滯后階數(shù)增加而指數(shù)衰減C.在所有滯后階數(shù)上都保持非零常數(shù)D.隨著滯后階數(shù)增加而振蕩變化6.評(píng)價(jià)時(shí)間序列模型擬合好壞的常用信息準(zhǔn)則包括？A.自相關(guān)系數(shù)（ACF）B.偏自相關(guān)系數(shù)（PACF）C.AIC（赤池信息準(zhǔn)則）和BIC（貝葉斯信息準(zhǔn)則）D.移動(dòng)平均系數(shù)（MA系數(shù)）7.如果一個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)（ACF）呈現(xiàn)正弦波形狀衰減，這可能暗示著？A.數(shù)據(jù)存在季節(jié)性成分B.數(shù)據(jù)存在周期性成分C.數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的D.模型存在多重共線(xiàn)性8.構(gòu)建自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）的首要步驟通常是？A.進(jìn)行季節(jié)差分B.估計(jì)模型參數(shù)C.繪制自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖進(jìn)行模型識(shí)別D.檢驗(yàn)殘差是否為白噪聲9.對(duì)于季節(jié)性時(shí)間序列數(shù)據(jù)，如果其一階差分和季節(jié)差分后都變得平穩(wěn)，則可能適合使用的模型是？A.AR(1)B.MA(1)C.ARIMA(p,1,1)(P,D,Q)sD.指數(shù)平滑模型10.在進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)時(shí)，點(diǎn)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間可能存在的偏差稱(chēng)為？A.模型參數(shù)B.預(yù)測(cè)誤差C.自相關(guān)系數(shù)D.趨勢(shì)系數(shù)二、填空題（每空2分，共20分）1.時(shí)間序列的四個(gè)基本構(gòu)成要素通常包括長(zhǎng)期趨勢(shì)、______、______和隨機(jī)性。2.當(dāng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)不滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件時(shí)，通常需要通過(guò)______或______的方法使其平穩(wěn)。3.指數(shù)平滑法中，平滑系數(shù)α的取值范圍通常在______與______之間。4.自回歸模型（AR）的數(shù)學(xué)表達(dá)式通常記為Yt=______+φ1Yt-1+...+φpYt-p+εt，其中p是模型的階數(shù)。5.移動(dòng)平均模型（MA）的隨機(jī)誤差項(xiàng)εt通常假設(shè)服從______分布，且具有零均值和常數(shù)方差。6.在ARIMA模型表示法中，ARIMA(1,1,1)表示模型包含______階自回歸項(xiàng)、______階差分和______階移動(dòng)平均項(xiàng)。7.季節(jié)性ARIMA模型通常表示為ARIMA(p,D,q)(P,D,Q)s，其中s代表______。8.模型診斷的主要目的是檢驗(yàn)所擬合模型的殘差序列是否滿(mǎn)足______的條件。9.時(shí)間序列的區(qū)間預(yù)測(cè)通常提供一個(gè)置信區(qū)間，表示未來(lái)觀(guān)測(cè)值可能落入的______范圍。10.狀態(tài)空間模型是另一種處理時(shí)間序列的框架，ARIMA模型可以看作是狀態(tài)空間模型的______表示。三、判斷題（每題2分，共20分，請(qǐng)判斷正誤并在括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)）1.所有時(shí)間序列數(shù)據(jù)都必然包含季節(jié)性成分。（）2.簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法適用于預(yù)測(cè)具有明顯趨勢(shì)的時(shí)間序列。（）3.如果一個(gè)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）都隨滯后階數(shù)增加而指數(shù)衰減，則該序列可能適合擬合AR(1)模型。（）4.MA(1)模型的自相關(guān)函數(shù)（ACF）在滯后1階時(shí)非零，在滯后2階及以后為零。（）5.AIC準(zhǔn)則在選擇ARMA模型時(shí)，傾向于選擇參數(shù)個(gè)數(shù)較多的模型。（）6.差分操作可以消除時(shí)間序列中的所有趨勢(shì)和季節(jié)性。（）7.ARIMA模型中的參數(shù)（φ、θ）必須估計(jì)，而季節(jié)性參數(shù)不需要。（）8.時(shí)間序列預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性總隨著預(yù)測(cè)期的延長(zhǎng)而下降。（）9.指數(shù)平滑法是遞歸的，即當(dāng)前期的平滑值只依賴(lài)于前期的平滑值和本期數(shù)據(jù)。（）10.平穩(wěn)時(shí)間序列的均值和方差都是常數(shù)，且不隨時(shí)間變化。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共25分）1.簡(jiǎn)述移動(dòng)平均法（MA）模型與自回歸法（AR）模型的主要區(qū)別。2.解釋什么是時(shí)間序列的平穩(wěn)性？為什么大多數(shù)時(shí)間序列模型要求數(shù)據(jù)滿(mǎn)足平穩(wěn)性假設(shè)？3.比較簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法與霍爾特指數(shù)平滑法在處理具有趨勢(shì)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)方面的不同。4.簡(jiǎn)要說(shuō)明在構(gòu)建ARIMA模型時(shí)，如何利用自相關(guān)函數(shù)（ACF）圖和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）圖來(lái)確定模型的階數(shù)（p和q）？5.什么是季節(jié)性？在時(shí)間序列分析中，如何識(shí)別和處理季節(jié)性成分？五、計(jì)算題（每題10分，共30分）1.某時(shí)間序列數(shù)據(jù)如下：5,8,7,12,10,15,14,18。請(qǐng)計(jì)算其3期簡(jiǎn)單移動(dòng)平均值和3期加權(quán)移動(dòng)平均值（權(quán)重分別為1,2,3）。2.已知一個(gè)MA(2)模型：Yt=2εt-1+0.5εt-2+εt，其中εt是白噪聲。請(qǐng)計(jì)算Yt的自相關(guān)函數(shù)（ACF）在滯后1階和滯后2階的值。3.收集到某產(chǎn)品月銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)，初步判斷數(shù)據(jù)具有明顯的線(xiàn)性趨勢(shì)和季節(jié)性（季節(jié)長(zhǎng)度s=4）。經(jīng)分析，差分后的數(shù)據(jù)（Yt'=Yt-Yt-4）近似平穩(wěn)，且滿(mǎn)足ARIMA(1,1,1)(0,1,0)4模型。請(qǐng)寫(xiě)出該模型的具體形式，并解釋其中各項(xiàng)的含義。六、綜合應(yīng)用題（15分）假設(shè)你是一名數(shù)據(jù)分析員，收集到了某商店過(guò)去10周周末的銷(xiāo)售額數(shù)據(jù)（單位：萬(wàn)元）：20,22,21,25,24,28,27,30,31,35。請(qǐng)基于這些數(shù)據(jù)：（1）繪制時(shí)間序列圖（此處要求文字描述圖形特征，如趨勢(shì)、是否有明顯突變或周期性），并簡(jiǎn)要描述數(shù)據(jù)特征。（2）假設(shè)數(shù)據(jù)近似滿(mǎn)足指數(shù)平滑模型，請(qǐng)選擇一個(gè)合適的平滑系數(shù)α（說(shuō)明選擇理由），使用簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)下一周（第11周）的銷(xiāo)售額。（3）計(jì)算預(yù)測(cè)值與實(shí)際值（第11周實(shí)際銷(xiāo)售額為33萬(wàn)元）的預(yù)測(cè)誤差。（4）簡(jiǎn)要討論在（2）中使用的預(yù)測(cè)方法的局限性，并提出可能的改進(jìn)方法。試卷答案一、選擇題1.D2.C3.A4.B5.A6.C7.A8.C9.C10.B二、填空題1.季節(jié)性波動(dòng)周期性波動(dòng)2.差分差分3.014.εt5.正態(tài)6.一一一7.季節(jié)長(zhǎng)度（周期）8.白噪聲9.可能值10.卡爾曼濾波三、判斷題1.×2.×3.×4.√5.×6.×7.×8.×9.√10.√四、簡(jiǎn)答題1.MA模型使用過(guò)去的隨機(jī)誤差項(xiàng)來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)值，其當(dāng)前值僅依賴(lài)于過(guò)去的誤差項(xiàng)，不依賴(lài)于過(guò)去的觀(guān)測(cè)值；AR模型使用過(guò)去的觀(guān)測(cè)值來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)值，其當(dāng)前值依賴(lài)于過(guò)去的一個(gè)或多個(gè)觀(guān)測(cè)值，不依賴(lài)于過(guò)去的誤差項(xiàng)。MA模型的自相關(guān)函數(shù)（ACF）隨滯后階數(shù)增加而指數(shù)衰減，PACF在滯后階數(shù)q后截尾；AR模型的ACF隨滯后階數(shù)增加而指數(shù)衰減或振蕩衰減，PACF在滯后階數(shù)p后截尾。2.平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特性（如均值、方差）不隨時(shí)間變化。大多數(shù)時(shí)間序列模型（特別是ARIMA模型）的參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)有效性都基于數(shù)據(jù)滿(mǎn)足平穩(wěn)性假設(shè)。非平穩(wěn)數(shù)據(jù)通常需要通過(guò)差分等方法轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)數(shù)據(jù)后再進(jìn)行建模分析。3.簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法適用于沒(méi)有明顯趨勢(shì)和季節(jié)性的序列，預(yù)測(cè)值是本期實(shí)際值的加權(quán)平均（權(quán)重為α）；霍爾特指數(shù)平滑法引入了一個(gè)趨勢(shì)項(xiàng)，適用于具有線(xiàn)性趨勢(shì)的序列，預(yù)測(cè)值同時(shí)考慮了本期實(shí)際值、本期平滑值和趨勢(shì)估計(jì)值，能更好地捕捉趨勢(shì)變化。4.觀(guān)察ACF圖，如果ACF在滯后p階后截尾（突然變?yōu)?），則初步判斷AR(p)模型可能合適；觀(guān)察PACF圖，如果PACF在滯后q階后截尾（突然變?yōu)?），則初步判斷MA(q)模型可能合適。對(duì)于更復(fù)雜的模型，可能需要結(jié)合ACF和PACF的拖尾和衰減模式，或使用信息準(zhǔn)則（如AIC）進(jìn)行模型選擇。5.季節(jié)性是指時(shí)間序列數(shù)據(jù)在固定周期（如季度、月度、周）內(nèi)出現(xiàn)的規(guī)律性波動(dòng)。識(shí)別季節(jié)性可以通過(guò)繪制時(shí)間序列圖觀(guān)察是否有重復(fù)的模式，計(jì)算季節(jié)指數(shù)，或通過(guò)季節(jié)差分后數(shù)據(jù)變得平穩(wěn)來(lái)判斷。處理季節(jié)性可以使用季節(jié)性分解模型（如STL、X-11-ARIMA），或在ARIMA模型中引入季節(jié)性自回歸項(xiàng)、移動(dòng)平均項(xiàng)或差分項(xiàng)（SARIMA模型）。五、計(jì)算題1.3期簡(jiǎn)單移動(dòng)平均值：M3(2)=(5+8+7)/3=20/3≈6.67M3(3)=(8+7+12)/3=27/3=9M3(4)=(7+12+10)/3=29/3≈9.67M3(5)=(12+10+15)/3=37/3≈12.33M3(6)=(10+15+14)/3=39/3=13M3(7)=(15+14+18)/3=47/3≈15.67M3(8)=(14+18+?)/3（題目未給完整，無(wú)法計(jì)算最后一項(xiàng)）3期加權(quán)移動(dòng)平均值（權(quán)重1,2,3）：WMA3(2)=(5*1+8*2+7*3)/(1+2+3)=(5+16+21)/6=42/6=7WMA3(3)=(8*1+7*2+12*3)/6=(8+14+36)/6=58/6≈9.67WMA3(4)=(7*1+12*2+10*3)/6=(7+24+30)/6=61/6≈10.17WMA3(5)=(12*1+10*2+15*3)/6=(12+20+45)/6=77/6≈12.83WMA3(6)=(10*1+15*2+14*3)/6=(10+30+42)/6=82/6≈13.67WMA3(7)=(15*1+14*2+18*3)/6=(15+28+54)/6=97/6≈16.17WMA3(8)=(14*1+18*2+?*3)/6（題目未給完整，無(wú)法計(jì)算最后一項(xiàng)）2.MA(2)模型：Yt=2εt-1+0.5εt-2+εt計(jì)算ACF(1)：ρ1=Cov(Yt,Yt-1)/Var(Yt)Yt-1=2εt-2+0.5εt-3+εt-1Cov(Yt,Yt-1)=Cov(2εt-1+0.5εt-2+εt,2εt-2+0.5εt-3+εt-1)=2*Cov(εt-1,2εt-2)+2*Cov(εt-1,0.5εt-3)+2*Cov(εt-1,εt-1)+0.5*Cov(εt-2,2εt-2)+0.5*Cov(εt-2,0.5εt-3)+0.5*Cov(εt-2,εt-1)+Cov(εt,2εt-2)+0.5*Cov(εt,0.5εt-3)+Cov(εt,εt-1)由于εt是白噪聲，Cov(εi,εj)=0(i≠j),Cov(εi,εi)=Var(εi)=σ2=2*0+2*0+2*σ2+0.5*0+0.5*0+0.5*0+0+0.5*0+0=2σ2Var(Yt)=Var(2εt-1+0.5εt-2+εt)=4*Var(εt-1)+0.25*Var(εt-2)+Var(εt)=4σ2+0.25σ2+σ2=5.25σ2ρ1=2σ2/5.25σ2=2/5.25=8/21計(jì)算ACF(2)：ρ2=Cov(Yt,Yt-2)/Var(Yt)Yt-2=2εt-3+0.5εt-4+εt-2Cov(Yt,Yt-2)=Cov(2εt-1+0.5εt-2+εt,2εt-3+0.5εt-4+εt-2)=2*Cov(εt-1,2εt-3)+2*Cov(εt-1,0.5εt-4)+2*Cov(εt-1,εt-2)+0.5*Cov(εt-2,2εt-3)+0.5*Cov(εt-2,0.5εt-4)+0.5*Cov(εt-2,εt-2)+Cov(εt,2εt-3)+0.5*Cov(εt,0.5εt-4)+Cov(εt,εt-2)=2*0+2*0+2*0+0.5*0+0.5*0+0.5*σ2+0+0.5*0+0=0.5σ2ρ2=0.5σ2/5.25σ2=0.5/5.25=1/10.5=2/21所以，ACF(1)=8/21,ACF(2)=2/21。理論上，ACF(k)=0對(duì)于k>2。3.ARIMA(1,1,1)(0,1,0)4模型的具體形式為：ΔYt=φ1ΔYt-1+θ1εt-1+εt其中，ΔYt=Yt-Yt-1，ΔYt-1=Yt-1-Yt-2。將差分展開(kāi)：Yt-Yt-1=φ1(Yt-1-Yt-2)+θ1εt-1+εtYt=Yt-1+φ1(Yt-1-Yt-2)+θ1εt-1+εtYt=(1+φ1)Yt-1-φ1Yt-2+θ1εt-1+εt該模型包含一個(gè)一階自回歸項(xiàng)（來(lái)自Yt-1和Yt-2）、一個(gè)一階移動(dòng)平均項(xiàng)（來(lái)自εt-1）、一個(gè)一階差分（Δ），并且是季節(jié)性的，差分發(fā)生在t和t-4時(shí)刻（D=1,s=4），但沒(méi)有季節(jié)性自回歸項(xiàng)（P=0）和季節(jié)性移動(dòng)平均項(xiàng)（Q=0）。六、綜合應(yīng)用題（1）時(shí)間序列圖（文字描述）：銷(xiāo)售額數(shù)據(jù)為：20,22,21,25,24,28,27,30,31,35。繪制圖形不可見(jiàn)，但根據(jù)數(shù)據(jù)觀(guān)察：數(shù)據(jù)呈現(xiàn)上升趨勢(shì)（從20到35），沒(méi)有出現(xiàn)明顯的突變點(diǎn)。數(shù)據(jù)點(diǎn)圍繞趨勢(shì)線(xiàn)有一定波動(dòng)，觀(guān)察不到固定長(zhǎng)度的重復(fù)模式，但波動(dòng)幅度似乎有輕微的周期性變化，例如在初期波動(dòng)較小，中期波動(dòng)增大后略有減小。初步判斷數(shù)據(jù)存在線(xiàn)性上升趨勢(shì)，可能有輕微的或不明顯的季節(jié)性。（2）簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)：選擇平滑系數(shù)α。沒(méi)有明確數(shù)據(jù)，可嘗