2025年大學(xué)《統(tǒng)計學(xué)》專業(yè)題庫——統(tǒng)計學(xué)中的效能評估方法考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請將正確選項的代表字母填在括號內(nèi)）1.在比較三個不同廣告方案對銷售量的影響時，最適合采用的方差分析類型是？A.單因素方差分析B.雙因素方差分析C.三因素方差分析D.重復(fù)測量方差分析2.某研究欲考察性別（男/女）與專業(yè)選擇（文科/理科）之間是否存在關(guān)聯(lián)，應(yīng)采用哪種統(tǒng)計檢驗方法？A.t檢驗B.Z檢驗C.F檢驗D.卡方檢驗3.在回歸分析中，判定系數(shù)（R-squared）的取值范圍是？A.[0,1]B.(-1,1)C.[0,+∞)D.(-∞,+∞)4.若一個回歸模型的F檢驗結(jié)果顯著（p<0.05），則意味著？A.模型中所有自變量的系數(shù)均顯著不為零B.模型整體對因變量的解釋能力具有統(tǒng)計學(xué)意義C.因變量與自變量之間存在完美的線性關(guān)系D.模型的預(yù)測誤差為零5.效應(yīng)量（EffectSize）主要用于衡量？A.假設(shè)被拒絕的可能性大小B.樣本量的大小C.研究結(jié)果的實際意義或效果強(qiáng)度D.測量工具的可靠性二、填空題（每空2分，共10分。請將答案填在橫線上）6.在方差分析中，檢驗組間差異是否顯著的統(tǒng)計量通常記作________。7.簡單線性回歸方程y=β?+β?x+ε中，β?的解釋是________。8.當(dāng)Pearson相關(guān)系數(shù)r=-0.8時，表示兩個變量之間存在________的線性關(guān)系。9.進(jìn)行卡方檢驗時，要求觀測頻數(shù)一般不宜小于________。10.評估一個診斷測試準(zhǔn)確性的常用指標(biāo)是ROC曲線下面積（AUC），其值越接近________，表示測試的效能越好。三、簡答題（每題5分，共15分）11.請簡述單因素方差分析的基本原理及其應(yīng)滿足的主要假設(shè)條件。12.在比較兩種不同教學(xué)方法的效果時，為何有時需要采用配對樣本t檢驗而不是獨立樣本t檢驗？請說明其適用場景。13.簡述回歸分析中R-squared和AdjustedR-squared的區(qū)別，以及AdjustedR-squared的作用。四、計算題（每題10分，共20分）14.某公司想要比較三種不同的促銷策略（A,B,C）對產(chǎn)品銷售額的影響。隨機(jī)選取了5家分店，每家分店在一個月內(nèi)分別采用一種策略。一個月后的銷售額數(shù)據(jù)（單位：萬元）如下：策略A：25,30,28,26,29策略B：32,33,31,34,30策略C：22,24,21,23,25請使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計方法檢驗三種促銷策略的平均銷售額是否存在顯著差異。請寫出檢驗的步驟，包括計算檢驗統(tǒng)計量及其觀測值、確定p值（或臨界值），并給出結(jié)論。15.某研究者想探究自變量X（學(xué)習(xí)時間，單位：小時）與因變量Y（考試成績，單位：分）之間的關(guān)系。收集了15對觀測數(shù)據(jù)，得到線性回歸方程的輸出部分結(jié)果如下（部分系數(shù)和統(tǒng)計量省略）：回歸系數(shù)：β?=5.2,標(biāo)準(zhǔn)誤差SE(β?)=0.8檢驗統(tǒng)計量t=6.5模型整體檢驗F=40.5,對應(yīng)p值<0.01R-squared=0.85請計算自變量X的系數(shù)β?的顯著性水平（p值），并解釋該p值的含義。此外，解釋R-squared=0.85的意義。五、綜合應(yīng)用題（15分）16.某醫(yī)生想要評估一種新的診斷方法（方法A）與現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)方法（方法B）在檢測某種疾病的準(zhǔn)確性上是否存在差異。他隨機(jī)抽取了200名疑似患者，其中120名實際患有該疾病，80名實際未患該疾病。兩種方法的檢測結(jié)果如下表所示（“+”表示陽性，“-”表示陰性）：||患病(Actual+)|未患病(Actual-)||-------------------|--------------|--------------||方法A結(jié)果陽性(+)||||方法A結(jié)果陰性(-)||||方法B結(jié)果陽性(+)||||方法B結(jié)果陰性(-)|||（注意：上表為格式占位，實際試卷中應(yīng)有具體數(shù)據(jù)）請說明該問題適合采用哪種統(tǒng)計方法來評估兩種方法的效能差異，并簡述評估的思路。假設(shè)根據(jù)實際數(shù)據(jù)計算出方法A的靈敏度（TruePositiveRate）為0.90，特異度（TrueNegativeRate）為0.75，方法B的靈敏度為0.80，特異度為0.80。請根據(jù)這些信息，比較兩種方法的效能，并解釋哪個方法更優(yōu)，理由是什么。試卷答案一、選擇題1.A2.D3.A4.B5.C二、填空題6.F7.自變量X每變化一個單位，因變量Y平均變化的單位數(shù)8.強(qiáng)負(fù)相關(guān)9.510.1三、簡答題11.基本原理：單因素方差分析用于檢驗一個分類自變量（因素）的不同水平對一個數(shù)值型因變量是否存在顯著影響。其基本原理是將因變量的總變異分解為組間變異（由因素水平不同引起）和組內(nèi)變異（由隨機(jī)誤差引起），然后比較組間變異與組內(nèi)變異的比值，即F統(tǒng)計量。如果F統(tǒng)計量顯著大于其理論分布的臨界值，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為至少有兩個組均值存在顯著差異。主要假設(shè)條件：1.服從正態(tài)性：每個組內(nèi)的數(shù)據(jù)均來自正態(tài)分布的總體。2.等方差性：所有組的總體方差相等（或各組樣本方差無顯著差異）。3.獨立性：各樣本之間相互獨立，且每組樣本的觀測值相互獨立。12.適用場景：配對樣本t檢驗適用于比較同一個體或匹配個體在兩種不同情況下（或接受兩種不同處理）的均值差異。其前提是樣本來自兩個相關(guān)的總體，即每個觀測值在兩個條件下都有對應(yīng)值。例如，比較同一組學(xué)生在使用某種教學(xué)方法前后的成績變化，或比較配對（如按年齡、性別等匹配）的兩組受試者的某項指標(biāo)。使用獨立樣本t檢驗則要求樣本來自兩個獨立的總體，且兩個總體的方差相等（或假定相等）。其前提是兩個樣本的觀測值之間相互獨立。13.區(qū)別與作用：*區(qū)別：R-squared（決定系數(shù)）衡量的是回歸模型中自變量對因變量總變異的解釋比例，其值隨自變量個數(shù)的增加而增大，即使增加的自變量對模型的貢獻(xiàn)很小甚至沒有。AdjustedR-squared（調(diào)整后的決定系數(shù)）則考慮了模型中自變量的個數(shù)，僅當(dāng)增加的自變量能顯著提高模型對因變量變異的解釋能力時，AdjustedR-squared才會增大，甚至可能減小。因此，AdjustedR-squared在一定程度上能防止過度擬合，對模型選擇更具參考價值。*作用：AdjustedR-squared的作用在于提供一個更客觀的模型擬合優(yōu)度度量，幫助研究者比較包含不同數(shù)量自變量的模型。在比較多個備選模型時，AdjustedR-squared更高的模型通常被認(rèn)為是相對更優(yōu)的，因為它在解釋因變量變異的同時，還考慮了模型的復(fù)雜度（自變量數(shù)量）。四、計算題14.檢驗步驟：1.提出假設(shè)：H?：三種策略的平均銷售額無顯著差異(μ_A=μ_B=μ_C)H?：至少有兩種策略的平均銷售額存在顯著差異(至少有一個μ_i≠μ_j)2.選擇方法：由于自變量為分類變量（三種策略），因變量為數(shù)值變量，且樣本來自獨立隨機(jī)抽取的組，采用單因素方差分析（One-wayANOVA）。3.計算統(tǒng)計量：（此處省略具體計算過程，需計算各組樣本均值、總體均值、SS總、SS組間、SS組內(nèi)、df總、df組間、df組內(nèi)、MS組間、MS組內(nèi)、F統(tǒng)計量）假設(shè)計算結(jié)果為：F=15.2，自由度df?=2,df?=12。4.確定p值：查F分布表或使用軟件，找到F(2,12)=15.2對應(yīng)的p值。假設(shè)p<0.01。5.做出決策：由于p<0.05（或p<α，通常α=0.05），拒絕原假設(shè)H?。6.結(jié)論：有統(tǒng)計證據(jù)表明，三種促銷策略的平均銷售額之間存在顯著差異。15.計算與解釋：1.計算p值：自變量系數(shù)的顯著性水平（p值）通常由t檢驗的結(jié)果給出。p值=2*P(T≤t)或P(T≥|t|)，其中t=6.5。假設(shè)查表或軟件得到單尾p值<0.01，則雙尾p值<0.02。2.p值含義：該p值表示，在自變量X與因變量Y的實際相關(guān)系數(shù)（或回歸系數(shù)β?）為0（即兩者無線性關(guān)系）的前提下，觀察到當(dāng)前樣本中自變量系數(shù)β?為5.2或更大（或更小，即絕對值大于6.5）的概率小于0.02。這表明，自變量X對因變量Y的線性影響具有統(tǒng)計學(xué)意義。3.R-squared意義：R-squared=0.85的意義是，該線性回歸模型能夠解釋因變量Y總變異中的85%。換句話說，自變量X的變化能夠解釋因變量Y變化的85%，模型具有很高的擬合優(yōu)度，說明自變量X與因變量Y之間存在較強(qiáng)的線性關(guān)系。五、綜合應(yīng)用題16.方法選擇與思路：*方法選擇：適合采用卡方檢驗（Chi-squareTestforIndependence）來評估兩種診斷方法（行變量）在檢測結(jié)果（列變量）上是否存在顯著差異，即評估兩種方法是否具有不同的效能（準(zhǔn)確性表現(xiàn)）。*評估思路：首先，根據(jù)表格中的實際觀測頻數(shù)數(shù)據(jù)，計算每個單元格的期望頻數(shù)（在假設(shè)兩種方法效能無差異的情況下）。然后，計算卡方統(tǒng)計量χ2，其計算公式為χ2=Σ((O-E)2/E)，其中O為觀測頻數(shù)，E為期望頻數(shù)。χ2統(tǒng)計量衡量了觀測頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異程度。最后，將計算得到的χ2統(tǒng)計量與自由度（df=(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)=1*2=2）對應(yīng)的卡方分布臨界值進(jìn)行比較，或查找其對應(yīng)的p值。如果χ2≥臨界值（或p≤α，通常α=0.05），則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩種方法的效能存在顯著差異。*具體步驟：建立假設(shè)（H?：兩種方法效能無差異vsH?：兩種方法效能有差異），計算χ2統(tǒng)計量及p值，根據(jù)p值做出統(tǒng)計決策，并結(jié)合實際情境解釋結(jié)果。效能比較：*靈敏度（TruePositiveRate,TPR）：表示患病者被正確診斷出的比例。方法A靈敏度為0.90，方法B靈敏度為0.80。這意味著方法A能發(fā)現(xiàn)90%的真正患者，方法B能發(fā)現(xiàn)80%的真正患者。從靈敏度角度看，方法A優(yōu)于方法B。*特異度（TrueNegativeRate,TNR）：表示未患病者被正確排除的比例（