2025年大學《統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——統(tǒng)計學中的隨機變量分析方法考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.設隨機變量X的分布律為P(X=k)=C*k^2/(n(n+1))，k=1,2,...,n，則常數(shù)C等于（）。A.n/(n+1)B.2n/(n+1)C.n^2/(n+1)D.2n^2/(n+1)2.已知隨機變量X～N(μ,σ^2)，則隨機變量Y=(X-μ)/σ服從的分布是（）。A.N(0,σ^2)B.N(0,1)C.N(μ,1)D.N(μ,σ)3.設隨機變量X和Y相互獨立，且X～U[0,1]，Y～E(2)，則隨機變量Z=2X+Y的期望E(Z)和方差Var(Z)分別為（）。A.2,5B.2,9C.3,5D.3,94.設二維離散隨機變量（X,Y）的分布律如下表所示（部分）：X\Y|0|1---|---|---0|0.1|a1|b|0.3若X和Y相互獨立，則a和b的值分別為（）。A.0.2,0.4B.0.3,0.2C.0.4,0.3D.0.5,0.25.下列關于大數(shù)定律的敘述中，正確的是（）。A.無論隨機變量序列是否同分布，只要其方差存在，則根據(jù)切比雪夫大數(shù)定律，其算術平均值依概率收斂于期望。B.貝努利大數(shù)定律表明，當試驗次數(shù)n足夠大時，事件A發(fā)生的頻率依概率收斂于其概率p。C.辛欽大數(shù)定律要求隨機變量序列必須相互獨立，但不需要同分布。D.中心極限定理是辛欽大數(shù)定律的特例。二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分。請將答案填寫在答題紙上指定位置。）6.設隨機變量X～N(0,4)，則P(|X|>2)=_______。7.若隨機變量X和Y的期望分別為E(X)=2，E(Y)=-1，方差分別為Var(X)=1，Var(Y)=4，且Cov(X,Y)=-1，則E(3X-2Y)=_______，Var(X+2Y)=_______。8.設隨機變量X和Y相互獨立，且都服從參數(shù)為λ的泊松分布，則隨機變量Z=X+Y的分布律為_______。9.設隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x,y)={c*x*y,0≤y≤x≤1;0,其他}，則常數(shù)c=_______。10.根據(jù)中心極限定理，當n足夠大時，樣本均值X?的分布可以近似為_______分布，其期望為_______，方差為_______。三、計算題（本大題共4小題，共50分。請寫出詳細的計算過程。）11.（10分）設隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={k*e^(-2x),x>0;0,x≤0}。(1)確定常數(shù)k的值；(2)求隨機變量X的分布函數(shù)F(x)；(3)計算P(X<1)和P(X>2|X>1)。12.（12分）設二維離散隨機變量（X,Y）的分布律如下：X\Y|-1|0|1---|---|---|---0|0.1|0.2|0.11|0.1|0.1|0.3(1)求隨機變量X和Y的邊緣分布律；(2)判斷隨機變量X和Y是否相互獨立；(3)求E(X)，E(Y)，Var(X)，Var(Y)，以及Cov(X,Y)。13.（12分）設隨機變量X和Y相互獨立，且X～N(3,4)，Y～N(0,9)。(1)求隨機變量Z=2X-Y的期望E(Z)和方差Var(Z)；(2)若W=X+Y，求P(W<6)的近似值。（可以使用標準正態(tài)分布表）14.（16分）設總體X的概率分布為：X|-1|0|1P|0.2|0.5|0.3現(xiàn)從該總體中隨機抽取容量為n=36的樣本。(1)根據(jù)中心極限定理，求樣本均值X?的期望和方差；(2)利用中心極限定理，求樣本均值X?落在區(qū)間[-0.2,0.2]內(nèi)的概率的近似值。試卷答案一、選擇題1.B2.B3.A4.A5.B二、填空題6.0.3174(或用標準正態(tài)分布表計算P(Z>1)+P(Z<-1)=2*P(Z>1)=2*(1-Φ(1))≈2*(1-0.8413)=0.3174)7.8,138.P(Z=k)=(n+k-1)!/(k!*(n-1)!)*(λ^k*e^-λ),k=0,1,2,...9.210.正態(tài),μ,σ^2/n三、計算題11.(1)由∫[0,+∞]k*e^(-2x)dx=1，得k*[-0.5*e^(-2x)]|_[0,+∞]=1，解得k=0.5。(2)F(x)={0,x≤0;1-0.5*e^(-2x),x>0}。(3)P(X<1)=F(1)=1-0.5*e^(-2)≈1-0.5*0.1353=0.8647。P(X>2|X>1)=P(X>2)/P(X>1)=[1-F(2)]/[1-F(1)]=[1-(1-0.5*e^(-4))]/[1-(1-0.5*e^(-2))]=(0.5*e^(-4))/(0.5*e^(-2))=e^(-2)≈0.1353。12.(1)P(X=0)=0.1+0.2+0.1=0.4,P(X=1)=0.1+0.1+0.3=0.5。P(Y=-1)=0.1+0.1=0.2,P(Y=0)=0.2+0.1=0.3,P(Y=1)=0.1+0.3=0.4。邊緣分布律分別為X~{0:0.4,1:0.5},Y~{-1:0.2,0:0.3,1:0.4}。(2)若獨立，則P(X=0,Y=-1)=P(X=0)P(Y=-1)=0.4*0.2=0.08，但實際P(X=0,Y=-1)=0.1，故X,Y不獨立。(3)E(X)=0*0.4+1*0.5=0.5。E(Y)=(-1)*0.2+0*0.3+1*0.4=0.2。E(XY)=0*(-1)*0.1+0*0+0*1*0.1+1*(-1)*0.1+1*0*0.1+1*1*0.3=0.2。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.2-0.5*0.2=0.1。Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=0^2*0.4+1^2*0.5-0.5^2=0.25。Var(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2=(-1)^2*0.2+0^2*0.3+1^2*0.4-0.2^2=0.4-0.04=0.36。(注：計算Cov(X,Y)也可利用邊緣分布獨立性結(jié)論，但此處按聯(lián)合分布計算)。13.(1)E(Z)=E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=2*3-0=6。Var(Z)=Var(2X-Y)=4Var(X)+Var(Y)(因獨立)=4*4+9=25。E(W)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3+0=3。Var(W)=Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)(因獨立)=4+9=13。(2)P(W<6)≈P((W-E(W))/sqrt(Var(W))<(6-3)/sqrt(13))=P((W-3)/sqrt(13)<3/sqrt(13))=P(Z<3/sqrt(13))。3/sqrt(13)≈3/3.6056≈0.831。查表得Φ(0.831)≈0.7970。P(W<6)≈0.7970。14.(1)E(X)=(-1)*0.2+0*0.5+1*0.3=0。Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=[(-1)^2*0.2+0^2*0.5+1^2*0.3]-0^2=0.2+0.3=0.5。E(X?)=E(X)=0。Var(X?)=Var(X)/n=0.5/36=0.5/36=1/72。(2)P(-0.2<X?<0.2)≈P((-0.2-0)/sqrt(1/72)<(X?-0)/sqrt(1/72)<(0.