2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——偏微分方程的變分原理解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述泛函與普通函數(shù)的區(qū)別。舉例說明什么是變分。二、推導(dǎo)以下泛函的歐拉-拉格朗日方程：∫[a,b](y'2+y3)dx三、已知一維弦振動的小振幅波動方程為?2u/?t2-c2?2u/?x2=0(0<x<L,t>0)，u(0,t)=u(L,t)=0(t≥0)，u(x,0)=f(x),?u/?t(x,0)=g(x)(0<x<L)。試寫出該問題對應(yīng)的最小勢能原理的泛函，并簡述其物理意義。四、考慮泛函J[y]=∫[0,1](y'2-y?)dx，其中y(0)=0,y(1)=1。求該泛函的極值曲線，并判斷此極值是否為極小值。五、什么是歐拉-拉格朗日方程的自然邊界條件？請結(jié)合物理意義進行解釋。在求解弦振動問題時，如何確定自然邊界條件？六、對于泛函J[y]=∫[a,b](y'2+px2)dx，其中p(x)是已知函數(shù)。求其歐拉-拉格朗日方程，并討論當(dāng)p(x)>0和p(x)<0時，解的幾何性質(zhì)有何不同。七、設(shè)y=y(x)是下列方程的解：(1)y''+y=0(2)-y''+y=x2試構(gòu)造相應(yīng)的泛函，使得這兩個方程分別是該泛函的歐拉-拉格朗日方程。八、解釋二階變分的意義。對于泛函J[y]=∫[a,b]F(x,y,y')dx，若y=y(x)是其極值曲線，F(xiàn)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，請寫出判別y=y(x)為極小值曲線的充分條件（即二階變分非負(fù)的條件）。九、將下列積分方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問題，并寫出其歐拉-拉格朗日方程：∫[0,1][u'(x)+x2u(x)]2dx=1,u(0)=0十、論述加權(quán)余量法與變分法在求解微分方程數(shù)值解中的聯(lián)系與區(qū)別。試卷答案一、解：泛函是定義在函數(shù)空間上的函數(shù)，其自變量是函數(shù)，值域是實數(shù)；普通函數(shù)是定義在數(shù)集上的函數(shù)，其自變量是數(shù)，值域是數(shù)。變分是指函數(shù)的連續(xù)變化量，或者說，是函數(shù)圖像上某點切線繞該點旋轉(zhuǎn)一個無窮小角度所掃過的面積。例如，函數(shù)y=f(x)在點x?處的變分可表示為δy≈f'(x?)δx。二、解：設(shè)y=y(x)，泛函為J[y]=∫[a,b](y'2+y3)dx。計算δJ：δJ=∫[a,b][d/dx(F(y,y',x))*δy+F(y,y',x)*d/dx(δy)]dx其中F=y'2+y3。d/dx(F)=d/dx(y'2)+d/dx(y3)=2y'y''+3y2y''d/dx(δy)=δy''代入得：δJ=∫[a,b][(2y'y''+3y2y'')*δy+(y'2+y3)*δy'']dx=∫[a,b](2y'y''+3y2y'')δydx+∫[a,b](y'2+y3)δy''dx分部積分兩次（對第一項），對第二項：∫(2y'y''δy)dx=[y'y''δy]_[a,b]-∫(y''δy')dx=[y'y''δy]_[a,b]-∫y''δy'dx=[y'y''δy]_[a,b]-[y'δy'']_[a,b]+∫y''δy''dx∫(y'2+y3)δy''dx=∫(y'2)δy''dx+∫(y3)δy''dx代入原式：δJ=[y'y''δy]_[a,b]-[y'δy'']_[a,b]+∫y''δy''dx+∫(2y'y''+3y2y'')δydx=[y'y''δy]_[a,b]-[y'δy'']_[a,b]+∫(2y'y''+3y2y''+y'2+y3)δydx由于δy在端點a,b處為0，故邊界項為0。δJ=∫[a,b](2y'y''+3y2y''+y'2+y3)δydx=∫[a,b][y''(2y'+3y2)+y'2+y3]δydx由δJ=0對任意δy恒成立，得：y''(2y'+3y2)+y'2+y3=0三、解：泛函J[u]=∫[0,L](1/2)[c2(?u/?x)2-(?u/?t)2]dx其中F(x,t,u,?u/?x,?u/?t)=(1/2)[c2(?u/?x)2-(?u/?t)2]。最小勢能原理認(rèn)為，在滿足邊界條件t≥0,0<x<L的所有滿足初始條件的解u(x,t)中，實際存在的解u(x,t)使泛函J[u]取極小值。對于弦振動問題，這個泛函可以理解為弦的“勢能”或“形變能”，其極小值對應(yīng)于弦在給定邊界和初始條件下實際達到的振動狀態(tài)。四、解：計算歐拉方程：y''-0*y'=0，即y''=0。通解為y=C?x+C?。利用邊界條件y(0)=0，得C?=0。利用邊界條件y(1)=1，得C?=1。所以極值曲線為y=x。判斷極值性質(zhì)：計算二階變分。F=y'2-y?,F_y'=2y',F_y''=0,F_YY'=0,F_YY''=-12y3。在y=x處，F(xiàn)_YY''=-12x3。二階變分δ2J=∫[0,1][F_YY''(x)δy(x)]2dx=∫[0,1][-12x3(δy(x))2]dx。由于x3≥0,(δy(x))2≥0，且在(0,1)內(nèi)x3不恒為0，故δ2J在δy≠0時為負(fù)值。因此，y=x是泛函J[y]的極大值曲線，而非極小值。五、解：歐拉-拉格朗日方程的自然邊界條件是指由泛函本身或邊界條件推導(dǎo)出的、在邊界點處解必須滿足的額外條件。對于固定邊界點x=a或x=b，解u(a)=α或u(b)=β通常自動滿足相應(yīng)的歐拉方程（自然邊界條件）。然而，自然邊界條件更一般地指在邊界點處解的導(dǎo)數(shù)或更高階導(dǎo)數(shù)受到的限制，這些限制并非直接由邊界函數(shù)給出，而是由泛函的極值性質(zhì)推導(dǎo)而來。例如，對于泛函∫[a,b]F(x,u,u')dx，若解u(x)在x=b處的導(dǎo)數(shù)u'(b)不是由邊界條件預(yù)先給定，而是由u(b)和泛函的極值性質(zhì)確定，那么u'(b)所滿足的條件即為自然邊界條件。物理上，這可以理解為在邊界點處能量守恒或某種平衡狀態(tài)的要求，例如在無限遠(yuǎn)處或自由端，場的某種導(dǎo)數(shù)（如速度、應(yīng)力）必須有限或為零。六、解：歐拉方程為：y''-p(x)=0。通解為y=C?x+C?。利用邊界條件y(a)=0，得C?a+C?=0。利用邊界條件y(b)=1，得C?b+C?=1。解得C?=(1-C?)/b,C?=-C?a。代入y=C?x+C?，得y=[(1-C?)/b]x+C?。將C?=-C?a代入，得y=[(1+C?a)/b]x-C?a。令C?=A，得y=[(1+Aa)/b]x-Aa。幾何性質(zhì)：y=Ax+B是直線。若p(x)>0，則歐拉方程y''-p(x)=0的解y=C?x+C?是直線。此時泛函對應(yīng)直線解。若p(x)<0，則歐拉方程y''-p(x)=0的解y=C?x+C?也是直線。但物理上p(x)<0通常對應(yīng)有吸引力的中心，此時直線解可能不代表物理上穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。七、解：(1)方程y''=-y。令F=y',y''=F'。歐拉方程為F'+(-y)=0，即F'+y=0。積分得F=-y+C?。即y'=-y+C?。泛函為J[y]=∫[a,b](y'+y)2dx=∫[a,b][(-y+C?)+y]2dx=∫[a,b]C?2dx=C?2(b-a)。令C?=0，則泛函J[y]=0，對應(yīng)于y''+y=0的通解y=C?x+C?=C?。所以泛函J[y]=∫[a,b]y2dx。歐拉方程為y''+y=0，與原方程一致。注意：這里推導(dǎo)的泛函J[y]=∫[a,b]y2dx，其歐拉方程確實是y''+y=0。但J[y]=∫[a,b](y'-y)2dx=∫[a,b](y'2-2yy'+y2)dx，其歐拉方程為y''-y=0。因此，對應(yīng)y''+y=0的泛函不唯一。選擇J[y]=∫[a,b]y2dx更為直接。(2)方程-y''+y=x2。令F=y',y''=F'。歐拉方程為F'-y=x2，即F'-y=x2。積分得F=y+x3/3+C?。即y'=y+x3/3+C?。泛函為J[y]=∫[a,b](-y''+y)2dx=∫[a,b](-(y+x3/3+C?)+y)2dx=∫[a,b](-x3/3-C?)2dx。令C?=-x3/3，則泛函J[y]=∫[a,b]x?dx=x?/7|[a,b]=b?/7-a?/7。但這推導(dǎo)有問題，因為C?應(yīng)為常數(shù)。更正思路：泛函應(yīng)直接對應(yīng)方程形式?？紤]J[y]=∫[a,b](y-x2/3)2dx。F=y-x2/3,F_y=1,F_y'=0,F_YY'=0,F_YY''=0。歐拉方程為y''-0=0，即y''=0。這與原方程-y''+y=x2即y''-y=-x2不符。正確的泛函形式應(yīng)為J[y]=∫[a,b](y-x2/3)2dx+∫[a,b]λ(x)(y+x2)dx(λ(x)為拉格朗日乘子，用于處理等式約束)。或者直接構(gòu)造：設(shè)u(x)=y(x)-x2/3，則原方程變?yōu)閡''+u=0。對應(yīng)泛函J[u]=∫[a,b]u2dx。其歐拉方程為u''+u=0，即y''+y=0。所以泛函J[y]=∫[a,b](y-x2/3)2dx對應(yīng)的方程是y''+y=0。八、解：二階變分是衡量泛函J[y]在極值曲線y=y(x)附近微小擾動δy(x)下變化量的二次項近似。它提供了關(guān)于極值點穩(wěn)定性的信息。對于泛函J[y]=∫[a,b]F(x,y,y')dx，設(shè)y=y(x)是其極值曲線，即δJ=0。對δJ再次進行變分（或?qū)進行二次變分），得到δ2J。在y=y(x)處，F(xiàn)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，δ2J可以表示為：δ2J=∫[a,b][d2/ddx2(F(x,y,y'))*(δy)2+2*d/dx(F(x,y,y'))*δy*δy'+F(x,y,y')*δy''2]dx由于δy(0)=δy(b)=0，邊界項消失。計算內(nèi)部項：d2/ddx2(F)=d/dx(d/dx(F))=d/dx(F_y'y''+F_yy')=(F_y'y''+F_yy')'=F_y''y''+2F_y'y''+F_y'y''+F_yy'=F_y''y''+3F_y'y''+F_y'y''+F_yy'=(F_y''+3F_y'y''+F_y'y''+F_y)δy+...（注意此處應(yīng)為δy''的系數(shù)）更正計算二階變分的標(biāo)準(zhǔn)形式（使用Euler-Lagrange方程）：δ2J=∫[a,b]{[F_YY''+2F_YY'+F_YY']δy2+2(F_YY'+F_YY'')δyδy'}dx其中F_YY''=?2F/?y2,F_YY'=?2F/?y?y',F_YY''=?2F/?y'2。由歐拉方程F_y-y'F_y'=0，即y'F_y'=F_y。對x求導(dǎo)得y''F_y'+y'(F_y')'=F_y'。代入δ2J公式：δ2J=∫[a,b]{F_YY''δy2+2[F_YY'+y''F_y'']δyδy'}dx=∫[a,b]{F_YY''δy2+2F_YY'δyδy'+2y''F_y''δyδy'}dx=∫[a,b]{F_YY''δy2+2F_YY'δyδy'+2y''F_y''δyδy'}dx判別極小值：y=y(x)為極小值曲線的充分條件是δ2J≥0對任意滿足邊界條件的δy恒成立。即需要{F_YY''+2y''F_y''}δy2+2F_YY'δyδy'≥0。通常考慮δy和δy'線性無關(guān)的情況，引入算子△=F_YY''+2y''F_y''-y'F_y''(使用歐拉方程)。更標(biāo)準(zhǔn)的形式是考察Hesse矩陣在極值點的正定性。令P=F_YY'',Q=y'F_y'',R=F_YY''。判別式D=PR-Q2=F_YY''2-(y'F_y'')2。當(dāng)D≥0且P=F_YY''≥0時，δ2J≥0，y=y(x)為極小值曲線?；蛘咧苯邮褂脴?biāo)準(zhǔn)結(jié)果：若F具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，y=y(x)是J[y]的極值曲線，則δ2J=∫[a,b][(1/2)△F-(y')2F_y'']δy2dx，其中△F=F_YY''+2y''F_y''+y'F_y''。判別極小值：若△F≥0且(1/2)△F-(y')2F_y''≥0在(a