2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫——穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)推斷與異常值檢測技術(shù)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi)）1.在數(shù)據(jù)集中存在異常值的情況下，下列統(tǒng)計(jì)量中相對最穩(wěn)健的是（）。A.樣本均值B.樣本中位數(shù)C.樣本方差D.樣本極差2.統(tǒng)計(jì)量M-estimator的主要特點(diǎn)是（）。A.對異常值不敏感B.總是給出最小方差無偏估計(jì)C.通過一個特定參數(shù)控制對異常值的容忍程度D.總是給出最大似然估計(jì)3.一個統(tǒng)計(jì)量的breakdownpoint越高，意味著（）。A.該統(tǒng)計(jì)量對樣本量要求越高B.該統(tǒng)計(jì)量越容易受到異常值的影響而產(chǎn)生極端偏差C.該統(tǒng)計(jì)量越不容易受到異常值的影響而保持穩(wěn)定D.該統(tǒng)計(jì)量的方差越大4.在使用箱線圖進(jìn)行異常值檢測時，通常認(rèn)為落在上下邊緣（Q1-1.5*IQR和Q3+1.5*IQR）之外的點(diǎn)為（）。A.離群點(diǎn)B.高杠桿點(diǎn)C.影響點(diǎn)D.普通數(shù)據(jù)點(diǎn)5.Z-score檢測異常值的基本原理是（）。A.基于數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置排序B.基于數(shù)據(jù)點(diǎn)與均值的距離，并考慮標(biāo)準(zhǔn)差C.基于數(shù)據(jù)點(diǎn)與回歸線的殘差大小D.基于數(shù)據(jù)點(diǎn)與聚類中心的距離6.當(dāng)數(shù)據(jù)大致呈正態(tài)分布時，用于檢測單個異常值的Grubbs檢驗(yàn)通常比Dixon檢驗(yàn)更常用，原因是（）。A.Grubbs檢驗(yàn)的計(jì)算更簡單B.Grubbs檢驗(yàn)在正態(tài)分布假設(shè)下功效更高C.Grubbs檢驗(yàn)適用于檢測多個異常值D.Grubbs檢驗(yàn)不需要知道樣本量7.在回歸分析中，一個觀測點(diǎn)如果具有很大的杠桿值，但殘差很小，那么它（）。A.一定是異常值B.可能是異常值，需要進(jìn)一步診斷C.一定不是異常值D.對回歸方程的系數(shù)沒有影響8.下列哪項(xiàng)措施通常用于處理檢測到的異常值？（）A.將異常值替換為其相鄰點(diǎn)的值B.將異常值保留在數(shù)據(jù)集中，并在分析中特別注明C.基于異常值重新估計(jì)模型參數(shù)D.忽略異常值，僅分析剩余數(shù)據(jù)9.基于距離的異常值檢測方法（如IQR,Z-score）的主要假設(shè)是（）。A.數(shù)據(jù)服從多元正態(tài)分布B.數(shù)據(jù)具有單一的集中趨勢C.數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的距離服從某種分布D.數(shù)據(jù)中只有少數(shù)異常值10.當(dāng)數(shù)據(jù)分布嚴(yán)重偏離正態(tài)時，使用基于正態(tài)假設(shè)的異常值檢測方法（如Grubbs檢驗(yàn)）可能會（）。A.產(chǎn)生過多的假陽性B.產(chǎn)生過多的假陰性C.仍然保持很高的檢測功效D.完全無法檢測到異常值二、填空題（每小題2分，共20分。請將答案填在題后的橫線上）1.穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)推斷的核心目標(biāo)是降低由__________或模型錯誤等因素引起的統(tǒng)計(jì)推斷偏差。2.樣本中位數(shù)作為位置估計(jì)量的breakdownpoint是__________。3.在使用IQR檢測異常值時，異常值通常定義為落在Q1-__________*IQR或Q3+__________*IQR之外的數(shù)據(jù)點(diǎn)。4.影響函數(shù)是衡量一個觀測點(diǎn)對統(tǒng)計(jì)量影響程度的工具，具有較大絕對值的影響函數(shù)意味著該觀測點(diǎn)可能是__________。5.在簡單線性回歸中，StudentizedResiduals用于檢測__________，其值較大的點(diǎn)可能是異常值。6.異常值可以分為__________（遠(yuǎn)離均值但杠桿值不大）和__________（杠桿值很大，無論殘差大?。?.當(dāng)使用穩(wěn)健估計(jì)量（如M-estimator）時，可以通過調(diào)整__________來控制其對異常值的容忍程度。8.箱線圖中的“胡須”（whiskers）通常延伸到Q1-__________*IQR和Q3+__________*IQR的位置，除非存在異常值。9.對于服從正態(tài)分布的樣本，假設(shè)檢驗(yàn)可以用來判斷是否存在__________（即是否存在異常值）。10.穩(wěn)健回歸分析旨在得到對__________不敏感的回歸方程。三、簡答題（每小題5分，共25分）1.簡述穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)推斷與參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷的主要區(qū)別。2.解釋什么是離群點(diǎn)，并列舉兩種不同的離群點(diǎn)檢測方法。3.描述使用Z-score檢測異常值的基本步驟。4.解釋影響函數(shù)的概念及其在穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)中的作用。5.在實(shí)際數(shù)據(jù)分析中，何時需要優(yōu)先考慮使用穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法？四、計(jì)算題（每小題10分，共20分）1.現(xiàn)有樣本數(shù)據(jù)：[10,12,13,15,16,18,19,20,22,100]。計(jì)算該樣本的均值、中位數(shù)（不使用排序）、以及使用0.25的截尾率（trimmingrate）計(jì)算的trimmedmean。簡要分析這三個估計(jì)量，并說明它們對數(shù)據(jù)中的極端值（100）的敏感性。2.假設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布，觀測值為：[13,14,15,16,17,18,19,20,22,25]。計(jì)算每個觀測值的Z-score，并使用Z-score檢測標(biāo)準(zhǔn)為|Z|>3的異常值。如果有異常值，請指出是哪個（或哪些）觀測值。五、應(yīng)用分析題（共15分）假設(shè)你正在分析某城市不同區(qū)域的房屋價格數(shù)據(jù)。經(jīng)過初步探索性分析，你懷疑數(shù)據(jù)中可能存在異常值，這些異常值可能是由錄入錯誤、特殊交易或極少數(shù)豪華房產(chǎn)引起的。數(shù)據(jù)集中包含了房屋面積（平方米）、房屋總價（萬元）以及每個房屋的價格與面積比（萬元/平方米）等變量。請基于上述情境，回答以下問題：1.你會考慮使用哪些方法來初步檢測數(shù)據(jù)中的異常值？簡要說明選擇這些方法的原因。2.假設(shè)你使用箱線圖檢測房屋總價變量，發(fā)現(xiàn)有一個總價極高的房屋（例如，總價為1000萬元，對應(yīng)面積約為200平方米，價格/面積比約為5萬元/平方米），而其他房屋總價大多在100-500萬元之間，價格/面積比在1-3萬元/平方米。請分析這個總價極高的房屋可能屬于哪一類異常值（離群點(diǎn)或高杠桿點(diǎn)）？并解釋你的判斷依據(jù)。3.如果確定該房屋確實(shí)是一個需要關(guān)注的異常值，你會在后續(xù)的分析中如何處理？請討論至少兩種可能的處理方式，并簡述各自的優(yōu)缺點(diǎn)。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.C4.A5.B6.B7.B8.B9.D10.A二、填空題1.異常值2.0.53.1.5,1.54.影響點(diǎn)5.異常值6.離群點(diǎn),高杠桿點(diǎn)7.估計(jì)參數(shù)（或鏈接函數(shù)、調(diào)整常數(shù)）8.1.5,1.59.異常值10.異常值（或極端值）三、簡答題1.解析思路：參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷依賴于數(shù)據(jù)服從特定的理論分布（如正態(tài)分布），并使用基于最大似然或最小二乘等原則構(gòu)建的統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)理論分布假設(shè)不滿足時，參數(shù)估計(jì)量和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)可能嚴(yán)重偏離理想狀態(tài)，導(dǎo)致推斷結(jié)果不可靠。穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)推斷則旨在構(gòu)造對模型假設(shè)（特別是分布假設(shè)）的違反不敏感的統(tǒng)計(jì)量和方法，即使數(shù)據(jù)存在異常值或分布形態(tài)未知，也能提供相對可靠和準(zhǔn)確的推斷結(jié)論。核心區(qū)別在于對模型假設(shè)的依賴程度和抗干擾能力。2.解析思路：離群點(diǎn)是指那些在分布上顯著偏離其他數(shù)據(jù)點(diǎn)的觀測值。檢測方法需考慮數(shù)據(jù)特征和假設(shè)?；诰嚯x的方法如IQR（四分位數(shù)間距）、Z-score（標(biāo)準(zhǔn)化分?jǐn)?shù)）或馬氏距離，適用于檢測遠(yuǎn)離均值的點(diǎn)?；诜植嫉姆椒ㄈ鏕rubbs檢驗(yàn)或Dixon檢驗(yàn)，適用于檢測單個或少數(shù)幾個疑似異常值，前提是數(shù)據(jù)大致服從正態(tài)分布?；诟軛U值的方法（如Cook's距離、StudentizedResiduals）則在回歸分析中用于識別對模型具有強(qiáng)影響的數(shù)據(jù)點(diǎn)，這些點(diǎn)可能是離群點(diǎn)或高杠桿點(diǎn)。3.解析思路：Z-score檢測異常值的基本步驟如下：1）計(jì)算樣本的均值（μ）和標(biāo)準(zhǔn)差（σ）；2）對每個數(shù)據(jù)點(diǎn)x，計(jì)算其Z-score值：Z=(x-μ)/σ；3）設(shè)定一個閾值（常用|Z|>2或|Z|>3）；4）比較每個計(jì)算出的Z-score的絕對值，如果|Z|超過閾值，則認(rèn)為該數(shù)據(jù)點(diǎn)為異常值。4.解析思路：影響函數(shù)是衡量一個觀測值對某個統(tǒng)計(jì)量影響程度的一個函數(shù)，通常表示為統(tǒng)計(jì)量關(guān)于數(shù)據(jù)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或類似表達(dá)式。穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)中的許多方法（如M-estimator）就是通過選擇一個特定的影響函數(shù)來構(gòu)建的，該函數(shù)在正常數(shù)據(jù)點(diǎn)附近較小，在遠(yuǎn)離正常范圍的異常值處較大。影響函數(shù)的絕對值越大，表示該觀測點(diǎn)對統(tǒng)計(jì)量的值具有越強(qiáng)的影響力。因此，影響函數(shù)有助于識別可能對統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果產(chǎn)生不成比例影響的觀測點(diǎn)，是穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)之一。5.解析思路：在實(shí)際數(shù)據(jù)分析中，當(dāng)存在理由懷疑數(shù)據(jù)可能包含異常值，或者懷疑所使用的統(tǒng)計(jì)模型假設(shè)（如正態(tài)性、同方差性）可能不滿足時，應(yīng)優(yōu)先考慮使用穩(wěn)健統(tǒng)計(jì)方法。具體場景包括：1）數(shù)據(jù)探索階段，初步懷疑存在離群點(diǎn)；2）樣本量較小，難以保證中心極限定理有效；3）數(shù)據(jù)來源多樣，可能混合了不同分布的子群；4）研究者不希望異常值對最終結(jié)果產(chǎn)生過大的扭曲；5）分析目標(biāo)是理解數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)而非精確擬合特定模型。四、計(jì)算題1.解析思路：首先計(jì)算均值：mean=(10+12+...+100)/10=187/10=18.7。中位數(shù)是排序后中間兩個數(shù)的平均：(15+16)/2=31/2=15.5。trimmedmean需剔除10%的數(shù)據(jù)，即首尾各1個：(12+13+...+20)/8=152/8=19。分析：均值18.7受到最大值100的顯著影響而偏大；中位數(shù)15.5對極端值不敏感，反映了數(shù)據(jù)的中心位置；trimmedmean19也比均值小，但比中位數(shù)大，是介于兩者之間的穩(wěn)健估計(jì)。這顯示了不同估計(jì)量對極端值（100）的敏感性差異。2.解析思路：首先計(jì)算均值μ=187/10=18.7。然后計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差σ=sqrt(Σ(x-μ)2/n)=sqrt(((10-18.7)2+...+(25-18.7)2)/10)=sqrt(187.1/10)≈sqrt(18.71)≈4.33。接著計(jì)算每個Z-score：Z(10)=(10-18.7)/4.33≈-2.19Z(12)=(12-18.7)/4.33≈-2.01Z(13)=(13-18.7)/4.33≈-1.82Z(15)=(15-18.7)/4.33≈-1.30Z(16)=(16-18.7)/4.33≈-1.11Z(17)=(17-18.7)/4.33≈-0.91Z(18)=(18-18.7)/4.33≈-0.52Z(19)=(19-18.7)/4.33≈0.09Z(20)=(20-18.7)/4.33≈0.38Z(22)=(22-18.7)/4.33≈0.98Z(25)=(25-18.7)/4.33≈1.65設(shè)定閾值為|Z|>3。比較所有Z-score的絕對值，只有Z(25)≈1.65的絕對值小于3。因此，沒有觀測值的Z-score超過3的閾值。結(jié)論：根據(jù)此標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)據(jù)集中不存在異常值。五、應(yīng)用分析題1.解析思路：初步檢測異常值的方法可以包括：*箱線圖（Boxplot）:這是最直觀的方法，可以快速可視化數(shù)據(jù)的分布，識別出潛在的離群點(diǎn)（落在箱體上下邊緣之外的點(diǎn)）。*基于距離的方法:如計(jì)算四分位數(shù)間距（IQR）并識別IQR*1.5或IQR*3范圍之外的點(diǎn)；或者計(jì)算Z-score，并使用|Z|>2或|Z|>3作為標(biāo)準(zhǔn)。這些方法適用于檢測與多數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)距離較遠(yuǎn)的點(diǎn)。*基于杠桿值的方法:在回歸分析中，可以使用Cook's距離或觀察StudentizedResiduals，來識別對模型參數(shù)估計(jì)有強(qiáng)影響的數(shù)據(jù)點(diǎn)，這些點(diǎn)可能是離群點(diǎn)或高杠桿點(diǎn)。選擇這些方法的原因是它們提供了不同的視角和檢測機(jī)制：箱線圖提供可視化概覽；基于距離的方法關(guān)注絕對偏離程度；基于杠桿值的方法關(guān)注觀測點(diǎn)對模型的影響程度?？梢越Y(jié)合使用以獲得更全面的異常值信息。2.解析思路：判斷依據(jù)是房屋總價（Y）與其面積（X）通常存在正相關(guān)關(guān)系。分析數(shù)據(jù)點(diǎn)（X=200平，Y=1000萬，價/面積比=5萬/平）：*總價（Y）:1000萬元遠(yuǎn)高于其他房屋（100-500萬），表現(xiàn)出較大的絕對偏離。*價格/面積比（Z）:5萬/平也顯著高于其他房屋（1-3萬/平），表現(xiàn)出較大的相對偏離。*杠桿值（Leverage）:在回歸分析中，該房屋的X值（200）遠(yuǎn)大于其他房屋的X值（假設(shè)平均面積小于200），因此其杠桿值很可能很高。高杠桿點(diǎn)是指其自變量值遠(yuǎn)離其他觀測值。綜合來看，該房屋在總價和價格/面積比上都顯著偏離其他數(shù)據(jù)點(diǎn)，并且其面積也很大，很