第三章二次根式（舉一反三講義）全章題型歸納 【湘教版2024】TOC\o"13"\h\u【培優(yōu)篇】 4【題型1二次根式的概念及其有意義的條件】 4【題型2利用二次根式的性質(zhì)化簡】 4【題型3最簡二次根式】 4【題型4求二次根式中的參數(shù)值】 5【題型5二次根式的運(yùn)算或化簡求值】 5【拔尖篇】 5【題型6復(fù)合二次根式的化簡】 5【題型7利用分母有理化求值】 6【題型8二次根式的規(guī)律探究】 7【題型9二次根式的新定義】 8【題型10二次根式的實(shí)際應(yīng)用】 9知識點(diǎn)1二次根式的概念1.定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根號，a叫做被開方數(shù)．2.拓展：二次根式必須同時滿足兩個條件：（1）含二次根號“”；（2）被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)（被開方數(shù)可以是數(shù)字也可以是含有字母的式子）．知識點(diǎn)2二次根式有無意義的條件當(dāng)例如：因?yàn)閤2+2x+1=知識點(diǎn)3二次根式的性質(zhì)1.二次根式a具有雙重非負(fù)性：被開方數(shù)2.(a)2=a3.a2=a如(±拓展：(a)2運(yùn)算結(jié)果(aa的取值a≥0任意實(shí)數(shù)作用①用來去根號，化簡二次根式；②可用a=①用來去根號，化簡二次根式；②將根號外的非負(fù)因式平方后移到根號內(nèi).例如：若a≥0,則2a=知識點(diǎn)4二次根式的乘法1.二次根式的乘法法則兩個算術(shù)平方根的積，等于它們被開方數(shù)的積的算術(shù)平方根，即a?例如：2?2.二次根式的乘法法則的拓展（1）二次根式的乘法公式可推廣到多個二次根式相乘的運(yùn)算，即a?（2）當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時，類比單項(xiàng)式乘法，將根號前的系數(shù)相乘，作為積的系數(shù)，即ma知識點(diǎn)5積的算術(shù)平方根1.積的算術(shù)平方根等于積中各個因式算術(shù)平方根的積，即ab=運(yùn)用此公式時，被開方數(shù)必須能寫成乘積的形式．2.該法則可以推廣到多個非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根的運(yùn)算，即abc=3.應(yīng)用：化簡二次根式，先將被開方數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解或因式分解，再利用ab=a?b(a知識點(diǎn)6二次根式的除法1.二次根式的除法法則兩個算術(shù)平方根的商，等于它們被開方數(shù)的商的算術(shù)平方根，即ab2.二次根式的除法公式可以推廣到多個二次根式相除的運(yùn)算，即a÷3.二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則，把系數(shù)和被開方數(shù)分別相除作為積的因式，即ma知識點(diǎn)7商的算術(shù)平方根商的算術(shù)平方根等于商中各個因式算術(shù)平方根的商，即ab知識點(diǎn)8最簡二次根式1.被開方數(shù)不含分母，并且被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)（或因式），分母中不含根號，這樣的二次根式稱為最簡二次根式．2.化為最簡二次根式的步驟（1）把根號下的帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，把絕對值小于1的小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，被開方數(shù)是多項(xiàng)式時，先因式分解；（2）將被開方數(shù)中能開盡的因數(shù)(或因式）進(jìn)行開方；（3）利用ab（4）分母有理化，化去分母中的根號；（5）約分化簡，整理成最簡二次根式．知識點(diǎn)9二次根式的加減運(yùn)算二次根式的加減法的實(shí)質(zhì)是合并同類二次根式，一般按如下步驟進(jìn)行：知識點(diǎn)10二次根式的混合運(yùn)算1.運(yùn)算法則與整式的混合運(yùn)算順序一樣，先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的．2.實(shí)數(shù)運(yùn)算中的運(yùn)算律及公式同樣適用于二次根式的運(yùn)算．3.二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)寫成最簡二次根式或整式的形式．【培優(yōu)篇】【題型1二次根式的概念及其有意義的條件】【例1】（2425八年級下·山東德州·階段練習(xí)）已知3x?6+6?3x+y=2025，則2025xy的值為（）A．20253 B．20252 C．2024【變式11】（2425八年級下·廣東東莞·階段練習(xí)）下列各式中，一定是二次根式的是（）A．?2 B．33 C．5 D．【變式12】（2425八年級下·湖南岳陽·開學(xué)考試）已知：y=x?4+4?x3【變式13】（2425八年級下·湖南岳陽·開學(xué)考試）若x、y為實(shí)數(shù)，且滿足24?x+y=x?4，則【題型2利用二次根式的性質(zhì)化簡】【例2】（2425八年級下·福建龍巖·階段練習(xí)）把分式a?1a，根號外的字母aA．a(chǎn) B．?a C．?a D．【變式21】（2425九年級上·四川樂山·階段練習(xí)）若xy>0，則?x2yA．x?y B．?xy C．?xy 【變式22】若m<0，則把式子mxA．?m2x B．?m2x【變式23】若1575n是整數(shù)，寫出一個正整數(shù)n的可能值．【題型3最簡二次根式】【例3】（2425八年級上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知x2+1是最簡二次根式，且與5可以合并，則x的值為（A．2 B．?4 C．4 D．±2【變式31】（2425八年級上·上海黃浦·期末）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A．18 B．63aC．a(chǎn)2?2a+4 【變式32】將式子35?a（a為正整數(shù)）化為最簡二次根式后，可以與8合并．寫出一個符合條件a的值．【變式33】已知A=22x+1，B=3x+3，C=10x+3y，其中A，B為最簡二次根式，且A+B=C，則2y?x【題型4求二次根式中的參數(shù)值】【例4】若2?72=a?b7，其中a，【變式41】二次根式2b+1與a?1的和為0，則a+b的值為．【變式42】（2025九年級下·河北·專題練習(xí)）若m2=22，則整數(shù)m【變式43】已知10?n是整數(shù)，則正整數(shù)n所有可能值共有個，它們的和為．【題型5二次根式的運(yùn)算或化簡求值】【例5】已知x=2+1，(1)x2(2)xy【變式51】計(jì)算：(1)3+3(2)45÷(3)18÷(4)3+3【變式52】（2425八年級上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）已知x=2?3，求代數(shù)式7+【變式53】已知x+y=?5，xy=4，求xy【拔尖篇】【題型6復(fù)合二次根式的化簡】【例6】觀察下列各式：5+268+27=(1+7)+21×7=【變式61】（2425九年級下·山東濱州·開學(xué)考試）2?3+4?2A．23?3 B．23?1【變式62】設(shè)a為?13+5?3?A．75 B．22 C．2?1【變式63】（2425八年級上·浙江溫州·期末）化簡23?610+43?22A．3+2 B．3?22 C．3+22【題型7利用分母有理化求值】【例7】（2425八年級上·四川成都·期中）閱讀下面計(jì)算過程：121315試求：(1)17+6(2)求11+(3)若a=15?2【變式71】通過適當(dāng)運(yùn)算，將分母中的二次根式化為有理式的過程，稱為分母有理化．如12(1)將下列二次根式分母理化：2?312=(2)甲、乙兩人化簡x?yx甲：x?y乙：x?y請你仔細(xì)閱讀甲、乙兩人的解題過程，對甲、乙兩人的解答作出評判（）A．甲對乙錯

B．甲錯乙對

C．甲、乙全對

D．甲、乙全錯(3)已知有理數(shù)a、b滿足a2+1+b2【變式72】（2425八年級上·河北保定·期中）【閱讀材料】在進(jìn)行二次根式化簡時，我們有時會碰上如35，23，23+1這樣一類的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：35【解決問題】(1)仿照上面的解題過程，化簡：17(2)計(jì)算：12(3)已知a=13+2，【變式73】（2425八年級上·重慶·期中）例如：2+1①若a是3的小數(shù)部分，則3a的值為3②比較大?。?024?③變形：13④計(jì)算23+⑤已知a=m+1?mm+1+m，b=m+1以上結(jié)論正確的是（

）A．①③④⑤ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤【題型8二次根式的規(guī)律探究】【例8】化簡：18+11+1A．1 B．223 C．22【變式81】（2425九年級下·山東煙臺·期末）觀察下列等式：①3+22=2+12；②5+2【變式82】通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律：特例1：1+13=3+13=4×13A．2024 B．20252 C．2023 D．【變式83】（2425八年級下·山東德州·期中）先觀察下列等式，再回答問題：①1+1②1+1③1+1…請你利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：1+11【題型9二次根式的新定義】【例9】（2425八年級下·浙江嘉興·階段練習(xí)）定義：我們將a+b與a+ba?b因?yàn)?8?x?11?x×18?x+11?x=（1）已知：20?x+4?x=8，則x（2）計(jì)算：13【變式91】（2425八年級下·山東德州·期中）對于任意不相等的兩個實(shí)數(shù)a,b，定義運(yùn)算※如下：當(dāng)a<b時，a※b=2a+b，當(dāng)a≥b時，a※b=2a?b，例如A．43?52 B．?52 C．【變式92】（2425八年級下·四川綿陽·階段練習(xí)）定義：因?yàn)閍+ba?b=a2?b2【變式93】對于任意實(shí)數(shù)m，n，若定義新運(yùn)算m?n=m①18?2=22②11?2③a?b?以上說法中正確的個數(shù)是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【題型10二次根式的實(shí)際應(yīng)用】【例10】如圖，將一根鐵絲首尾相接可以圍成一個長為8π，寬為2πA．12π B．18π C．24π【變式101】如圖，在大正方形紙片中放置兩個小正方形，已知兩個小正方形的面積分別為S1=18，S2【變式102】（2425八年級上·山西晉中·期中）發(fā)生交通事故后，交道警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計(jì)車輛行駛的速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是v=16df，其中v表示車速（單位：kmh），d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：m），f表示摩擦因數(shù)．在某次交通事故調(diào)查中，測得d=2