專題14.2全等三角形的判定（一）（舉一反三講義） 【滬科版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1“邊角邊”（SAS）證明三角形全等】 2【題型2“角邊角”（ASA）證明三角形全等】 6【題型3“角角邊”（AAS）證明三角形全等】 8【題型4“邊邊邊”（SSS）證明三角形全等】 11【題型5三角形的穩(wěn)定性】 14【題型6斜邊、直角邊定理（HL）證明三角形全等】 15【題型7靈活選用方法證明三角形全等】 18【題型8二次證明三角形全等】 24知識點1基本事實“邊角邊”（SAS）1.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等．簡寫成“邊角邊”或“SAS”．2.數(shù)學(xué)語言表達(dá)：如下圖，在△ABC與△DEF中，∴△ABC知識點2基本事實“角邊角”（ASA）1.兩邊及其夾邊分別相等的兩個三角形全等．簡寫成“角邊角”或“ASA”．2.數(shù)學(xué)語言表達(dá)：如下圖，在△ABC與△DEF中，∴△ABC知識點3“角邊角”的推論“角角邊”（AAS）1.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等．簡寫成“角角邊”或“AAS”．2.數(shù)學(xué)語言表達(dá)：如下圖，在△ABC與△DEF中，∴△ABC知識點4基本事實“邊邊邊”（SSS）1.三邊分別相等的兩個三角形全等．簡寫成“邊邊邊”或“SSS”．2.數(shù)學(xué)語言表達(dá)：如下圖，在△ABC與△DEF中，∴△ABC知識點5三角形的穩(wěn)定性生活經(jīng)驗告訴我們，如果一個三角形三邊的長度確定，那么這個三角形的形狀和大小就完全確定，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．三角形的穩(wěn)定性在生活和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用．例如：房屋的人字形支架、電線桿支架、斜拉橋架等，利用三角形的穩(wěn)定性，使生活中的建筑經(jīng)久耐用．知識點6斜邊、直角邊定理（HL）1.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2.數(shù)學(xué)語言表達(dá):如圖，在Rt△ABC與Rt△A′B′C′∴Rt【題型1“邊角邊”（SAS）證明三角形全等】【例1】（2425八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖．△ABC中．AB=AC，AD平分∠BAC．點E為AD上一點．則圖中全等三角形有對．【答案】3【分析】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是關(guān)鍵．首先利用角平分線定義可得∠BAD=∠CAD，然后利用SAS可判定△ABD≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD=CD，∠ADB=∠ADC，再判定△BDE≌【詳解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CAD∴△ABD≌∴BD=CD，∠ADB=∠ADC，在△BED和△CED中，BD=CD∠ADB=∠ADC∴△BDE≌在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAE=∠CAE∴△ABE≌∴共3對全等三角形，故答案為3．【變式11】（2425八年級上·福建泉州·期末）數(shù)學(xué)課上老師布置了“測量錐形瓶底面的內(nèi)徑”的探究任務(wù)，善思小組想到了以下方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒AD，BC的中點O固定，只要測得C，D之間的距離，就可知道內(nèi)徑AB的長度，此方案依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【答案】A【分析】本題考查的是全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”解答即可．【詳解】解：在△AOB和DOC中，OA=OD∠AOB=∠DOC∴△AOB≌△DOCSAS∴AB=CD，∴此方案依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實是“SAS”，故選：A．【變式12】（2025九年級下·云南·學(xué)業(yè)考試）如圖，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠ABC=∠DEF（點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上）．求證：△ABC≌△DEF．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)“SAS”判定即可．【詳解】證明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠ABC=∠DEF∴△ABC≌△DEFSAS【變式13】（2025·安徽·一模）在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠ADB，AB=3【答案】9【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；此題利用了全等三角形中常用輔助線－截長補短法構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形解題，這是解決線段和差問題最常用的方法，注意掌握．在AC上截取AE=AB，連接DE，證明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，再證明ED=EC，進(jìn)而代入數(shù)值解答即可．【詳解】解：在AC上截取AE=AB=3，連接DE，如圖：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△AED中，AE=AB∠BAD=∠EAD∴△ABD≌△AED(SAS)∴∠B=∠AED，從而∠BDE=2∠ADB，又∠B=2∠ADB，∴∠AED=∠BDE，從而∠CED=∠CDE，∴CE=CD=6，∴AC=AE+CE=3+6=9，故答案為：9．【題型2“角邊角”（ASA）證明三角形全等】【例2】如圖，已知∠3=∠4，要說明△ABC≌△DCB，若以“ASA【答案】∠ABC=∠BCD【分析】根據(jù)ASA證明△ABC≌△DCB，即可．【詳解】解：添加∠ABC=∠BCD，理由如下：∵∠3=∠4，BC=CB∴△ABC≌△DCB．故答案為：∠ABC=∠BCD【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據(jù)所學(xué)的知識很快就畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么小明畫圖的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【答案】D【分析】本題考查三角形全等的判定；根據(jù)ASA即可解答．【詳解】解：有圖形可以看到這個三角形還能明顯看到的條件為兩個角和一條邊，且是兩角及其夾邊，因此符合ASA．故選D．【變式22】（2425八年級上·云南臨滄·期末）如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，AB=AD，∠B=∠D．求證：△ABC≌△ADE．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定；先求出∠BAC=∠DAE，再根據(jù)ASA即可證得結(jié)論．【詳解】證明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAEAB=AD∴△ABC≌△ADEASA【變式23】如圖，要測量池塘兩岸M、N兩點間的距離，可以在直線MN上取A，B兩點，再在池塘外取AB的垂線BF上的兩點C，D，使BC=CD，過點D再畫出BF的垂線DE，使點E與A，C在一條直線上，若此時測得DE=16m，AM=0.5m，BN=1.5m，則池塘兩岸M，N【答案】14【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，利用全等三角形的判定定理ASA證出△ABC≌△EDC是解題的關(guān)鍵．由垂線的定義可得出∠B=∠EDC=90°，結(jié)合BC=DC，∠ACB=∠ECD，即可證出【詳解】解：∵AB⊥BF,DE⊥BF，∴∠B=∠EDC=90在△ABC和△EDC中，∠B=∠EDC∴△ABC≌△EDCASA∴AB=ED=16m∵AM=0.5m∴MN=16?0.5?1.5=14m故答案為：14．【題型3“角角邊”（AAS）證明三角形全等】【例3】（2425八年級上·四川眉山·期末）如圖，∠ACB=90°，CA=CB，分別過點A，B作過點C的直線的垂線AM，BN．若AM=3cm，BN=5cm，則A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一般三角形全等的判定方法有SAS、ASA、AAS，SSS，直角三角形的判定方法還有HL，全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由AM⊥MN，BN⊥MN可得∠M=∠N=90°，進(jìn)而可得∠A+∠ACM=90°．又由∠ACB=90°可得∠ACM+∠BCN=90°，進(jìn)而可得∠A=∠BCN．再根據(jù)AAS可得△ACM≌△CBN，則可得AM=CN=3cm，BN=CM=5cm，進(jìn)而可求得【詳解】解：∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠M=∠N=90°，∴∠A+∠ACM=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACM+∠BCN=90°，∴∠A=∠BCN．在△ACM和△BCN中，∠M=∠N∠A=∠BCN∴△ACM≌△CBN(AAS∴AM=CN=3cm，BN=CM=5∴MN=CM+CN=5+3=8cm故選：B．【變式31】（2425八年級上·重慶萬州·期中）如圖，AE∥FD,CE∥FB，要使△EAC≌△FDB，需要添加的條件可以是下列選項中的（

）A．AB=BC B．∠E=∠F C．∠A=∠D D．AE=DF【答案】D【分析】此題考查了全等三角形的判定，根據(jù)已知得到∠A=∠D，∠ACE=∠DBF，再根據(jù)選項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵AE∥FD,CE∥FB，∴∠A=∠D，∠ACE=∠DBF，選項中只有當(dāng)AE=DF時，△EAC≌△FDBAAS，添加其它選項都不能證明△EAC≌△FDB故選：D．【變式32】（2425七年級下·上海松江·階段練習(xí)）如圖．已知AD是△ABC邊BC的中線．CE∥BF，CE、BF與直線AD的交點分別為點E、F，請說明△CDE與△BDF全等的理由．【答案】理由見解析【分析】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵：中線得到CD=BD，平行得到∠F=∠CED,∠DCE=∠DBF，利用AAS，即可得證．【詳解】解：△CDE與△BDF全等的理由如下：∵AD是△ABC邊BC的中線，∴CD=BD，∵CE∥BF，∴∠F=∠CED,∠DCE=∠DBF，∴△CDE≌△BDFAAS【變式33】如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．下面四個結(jié)論：①∠ABE=∠BAD；②△CBE≌△ACD；③AB=CE；④

【答案】①②④【分析】由BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，得BE∥AD，則∠ABE=∠BAD，可判斷①正確；根據(jù)“同角的余角相等”推導(dǎo)出∠BCE=∠CAD，即可證明△CBE≌△ACD，可判斷②正確；由垂線段最短可證明AB>BC，BC>CE，則AB>CE，可判斷③錯誤；由CE=AD，BE=CD，且CE?CD=DE，得AD?BE=DE，可判斷【詳解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴AD∥BE，∴∠ABE=∠BAD，故①正確；∵∠E=∠ADC=∠ACB=90°，∴∠BCE=∠CAD=90°?∠ACD，在△CBE和△ACD中，∠E=∠ADC∠BCE=∠CAD∴△CBE≌△ACDAAS，故②∵BC⊥AC，CE⊥BE，∴AB>BC，BC>CE，∴AB>CE，故③錯誤；∵△CBE≌△ACD，∴CE=AD，BE=CD，∵CE?CD=DE，∴AD?BE=DE，故④正確；故答案為：①②④．【點睛】此題考查了同角的余角相等、垂線段最短、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明∠BCE=∠CAD及△CBE≌△ACD是解題的關(guān)鍵．【題型4“邊邊邊”（SSS）證明三角形全等】【例4】如圖，AD＝CB，E，F(xiàn)是AC上兩動點，且有DE＝BF(1)若E，F(xiàn)運動如圖①所示的位置，且有AF＝CE，求證：△ADE≌△CBF；(2)若E，F(xiàn)運動如圖②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF還成立嗎？為什么？(3)若E，F(xiàn)不重合，AD和CB平行嗎？說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）成立，證明詳見解析；（3）AD與CB不一定平行，理由詳見解析.【分析】（1）根據(jù)AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可證明△ADE≌△CBF；（2）根據(jù)AF=CE可得AFEF=CEEF，即AE=CF，利用SSS即可證明△ADE≌△CBF；（3）根據(jù)已知兩個條件，不能判定△ADE≌△CBF，不能確定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.【詳解】（1）∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中AD=CBDE=BF∴△ADE≌△CBF.（2）成立.理由如下：∵AF=CE，∴AFEF=CEEF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中AD=CBDE=BF∴△ADE≌△CBF.（3）AD與CB不一定平行，理由如下：∵只給了兩組對應(yīng)相等的邊，∴不能判定△ADE≌△CBF，∴不能判定∠A與∠C的大小關(guān)系，∴AD與CB不一定平行，【點睛】本題考查全等三角形的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.【變式41】（2425八年級上·四川瀘州·期末）分水油紙傘是瀘州市江陽區(qū)分水嶺鎮(zhèn)特產(chǎn)，中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．油紙傘制作非常巧妙，其中蘊含著許多數(shù)學(xué)知識．如圖是油紙傘的張開示意圖，AE=AF，GE=GF，則△AEG≌△AFG的判定依據(jù)是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【答案】D【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，靈活運用全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可解答．【詳解】解：在△AEG和△AFG中，AE=AFAG=AG∴△AEG≌△AFGSSS故選：D．【變式42】（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，D是BC上一點，AB=AD，BC=DE，AC=AE．求證：△ABC≌△ADE．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用全等三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．由SSS即可證明即可．【詳解】證明：在△ABC和△ADE中，AB=AD∴△ABC≌△DEFSSS【變式43】（2425八年級下·黑龍江綏化·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，DE⊥AC于E，求∠EDC的度數(shù)．【答案】20°【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)．證明△ADB≌△ADC，可得∠CAD=∠BAD=20°,∠ADB=∠ADC=90°，由DE⊥AC和三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADE=70°，即可求解．【詳解】解：∵AB=AC,BD=CD,AD=AD，∴△ADB≌△ADC(SSS∴∠CAD=∠BAD=20°,∠ADB=∠ADC=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°?∠CAD=70°，∴∠EDC=∠ADC?∠ADE=90°?70°=20°．【題型5三角形的穩(wěn)定性】【例5】（2425七年級下·山西太原·階段練習(xí)）如圖，我們可以看到跪姿射擊的動作，由左手、左肘、左肩構(gòu)成的托槍姿勢可以使射擊者在射擊過程中保持槍的穩(wěn)定，這里蘊含的數(shù)學(xué)道理是（

）A．兩點之間，線段最短B．三角形的任意兩邊之和大于第三邊C．兩點確定一條直線D．三角形的穩(wěn)定性【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性即可得到答案．【詳解】解：由題意得這三個三角形可以使射擊者在射擊過程中保持穩(wěn)定，其中，蘊含的數(shù)學(xué)道理是三角形的穩(wěn)定性；故選：D．【變式51】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖，小明將一根吸管折疊后，伸入一個空玻璃瓶中，使吸管一端頂住瓶壁，再輕輕一提，瓶子就被提起來了．這其中用到的數(shù)學(xué)原理是（

）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間，線段最短C．垂線段最短 D．三角形具有穩(wěn)定性【答案】D【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性．根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性作答即可．【詳解】解：吸管一端頂住瓶壁，可以構(gòu)造一個三角形，∴這其中用到的數(shù)學(xué)原理是三角形具有穩(wěn)定性．故選：D．【變式52】如圖，小明做了一個長方形框架，發(fā)現(xiàn)很容易變形，請你幫他選擇一個最好的加固方案是．【答案】③【詳解】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性可知最好的加固方案是③．【變式53】（2025·廣東江門·一模）三角形具有穩(wěn)定性，所以要使如圖所示的五邊形木架不變形，至少要釘上根木條．【答案】2【分析】本題考查三角形具有穩(wěn)定性，多邊形的對角線．要使五邊形木架不變形需把它分成三角形，即過五邊形的一個頂點作對角線，有幾條對角線，就至少要釘上幾根木條．【詳解】解：∵過五邊形的一個頂點作對角線，有2條對角線，∴至少要釘上2根木條，故答案為：2．【題型6斜邊、直角邊定理（HL）證明三角形全等】【例6】（2425八年級上·上海長寧·期末）小明同學(xué)提出：用一把直尺就可以畫出一個角的平分線．具體操作如下：首先把直尺的一邊與∠AOB的一邊OB貼合，沿著直尺的另一邊畫直線l（如圖1）；隨后移動該直尺，把直尺的一邊與∠AOB的一邊OA貼合，沿著直尺的另一邊畫直線m（如圖2），直線l與直線m交于點P，則射線OP就是∠AOB的平分線．請指出這種畫法的依據(jù)是（請寫本學(xué)期所學(xué)的數(shù)學(xué)知識）：．

【答案】HL【分析】本題考查角平分線的判定以及全等三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是利用直尺寬度相等構(gòu)造全等直角三角形，進(jìn)而得出角平分線．過點P作PM⊥OA于點M,PN⊥OB于點N．因為直尺的寬度相等，所以PM=PN，同時OP=OP（公共邊），∠PMO=∠PNO=90°，證明Rt△OPM≌可得∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB，因此這種畫法的依據(jù)是HL．【詳解】解：如圖2中，過點P作PM⊥OA于點M，PN⊥OB于點N．

∵尺的寬度相等，∴PM=PN，∵PM⊥OA.PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，在Rt△OPM和RtOP=OPPM=PN∴Rt△OPM≌∴∠POM=∠PON，∴OP平分∠AOB，畫法的依據(jù)是：HL．故答案為：HL．【變式61】如圖，DC⊥AE，垂足為C，且AC=CD，點B在CD上，若用“HL”證明△ABC≌△DEC，則需添加的條件是（

）A．CE=BC B．AB=DEC．∠A=∠D D．∠ABC=∠E【答案】B【分析】本題考查運用“HL”證明三角形全等，根據(jù)“HL”證明三角形全等的條件即可解答．【詳解】解：∵DC⊥AE，∴∠ACB=∠DCE=90°，當(dāng)AB=DE時，在Rt△ABC和RtAB=DEAC=DC∴Rt△ABC≌故選：B【變式62】（2425八年級下·河南周口·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=∠BAC，F(xiàn)為邊AB延長線上的一點，點E在BC上，且AE=CF．求證：Rt△ABE≌【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到∠CBF=∠ABC=90°，AB=BC，即可證明Rt△ABE≌【詳解】證明：∵∠ABC=90°，F(xiàn)為邊AB延長線上的一點，∴∠CBF=∠ABC=90°，∵∠BCA=∠BAC，∴AB=BC．在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌【變式63】（2425八年級下·廣東梅州·階段練習(xí)）如圖，點C，D均在線段AB上，且AD=BC，分別過點C，D在AB的異側(cè)作FC⊥AB，ED⊥AB，連接EF交AB于點G，(1)求證：DE=CF．(2)求證：G是線段AB的中點．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）由FC⊥AB，ED⊥AB得∠FCB=90°，∠EDA=90°，證明（2）證明△FCG≌△EDGAAS，得到CG=DG【詳解】（1）∵FC⊥AB，∴∠FCB=90°，∵AD=BC，AE=BF，∴△FCB≌△EDAHL∴DE=CF；（2）∵DE=CF，∠FCG=∠EDG=90°，∠FGC=∠EGD，∴△FCG≌△EDGAAS∴CG=DG，即G是線段AB的中點．【題型7靈活選用方法證明三角形全等】【例7】（2425八年級上·河南信陽·期末）【問題提出】我們知道：三角形全等的判定方法有：“SSS，SAS，ASA，AAS”，面對于“SSA”，課本第38頁提供了如下材料：思考：如圖1，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出△ABC．固定住長木棍，轉(zhuǎn)動短木棍，得到△ABD，這個實驗說明了什么？這個實驗說明：有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等，即“SSA”不一定成立．那么，什么情況下，“SSA”成立呢？數(shù)學(xué)興趣小組對兩個三角形按角進(jìn)行分類，展開了以下探究．【初步思考】我們不妨設(shè)這個對應(yīng)角為∠B，然后對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．【深入探究】(1)第一種情況：當(dāng)∠B是直角時，△ABC≌△DEF．如圖2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)，可以知道Rt△ABC≌(2)第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．如圖3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，李明由（1）受到了啟發(fā)，很快證出了△ABC≌△DEF．請聰明的你完成李明的推理過程；(3)第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．①如圖4，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，則△ABC≌△DEF的結(jié)論是否仍然成立；請說明成立的理由；②如圖4，△ABC和△DEF是不全等的，∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結(jié)論：．【答案】(1)HL(2)見解析(3)①見解析；②∠B≥∠A或∠B+∠C=90°【分析】（1）直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）首先得出△CBG≌△FEH，則CG=FH，進(jìn)而得出Rt△ACG≌Rt△DFH，再求出（3）①利用已知圖形再做一個鈍角三角形即可得出答案；②利用①中方法可得出當(dāng)∠B≥∠A或∠B+∠C=90°【詳解】（1）解：∵∠B=∠E=90°，∴△ABC和△DEF是直角三角形，在Rt△ABC和RtAC=DF∴Rt△ABC≌Rt故答案為：HL；（2）證明：在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E，且∠B,∠E都是鈍角，如圖，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，∵∠ABC=∠DEF,且∠ABC,∠DEF都是鈍角，∴180°?∠ABC=180°?∠DEF,∴∠CBG=∠FEH,在△CBG和△FEH∠CBG=∠FEH∴△CBG≌△FEH∴CG=FH,在Rt△ACG和Rt△DFHAC=DF∴Rt△ACG≌Rt∴∠A=∠D,在△ABC和△DEF中∠A=∠D∴△ABC≌△DEF；（3）解：①在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E，且∠B,∠E都是銳角，如圖，△DEF和△ABC不全等；②由①圖可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD，∴∠A>∠B∴當(dāng)∠B≥∠A時，△ABC就唯一確定了，則△ABC≌△DEF．當(dāng)∠B+∠C=90°，即∠A=∠D=90°，在Rt△ABC和RtAC=DF∴Rt△ABC≌Rt故答案為：∠B≥∠A或∠B+∠C=90°．【點睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計作圖，熟練掌握三角形全等的判定方式解題的關(guān)鍵．【變式71】（2425八年級上·山西晉城·期末）如圖，已知△ABC各內(nèi)角的度數(shù)和各邊的長度．下面是同學(xué)們用不同的方法畫出的三角形，并將所畫三角形的三個元素標(biāo)出，則所畫三角形不一定與△ABC全等的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題考查全等三角形的判定定理，理解全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定條件進(jìn)行逐項分析即可．【詳解】解：A、根據(jù)“ASA”可證明與原三角形全等，不符合題意；B、根據(jù)“SAS”可證明與原三角形全等，不符合題意；C、根據(jù)“SSS”可證明與原三角形全等，不符合題意；D、與原三角形形成三個內(nèi)角分別相等，兩個三角形不一定全等，符合題意；故選：D．【變式72】（2425七年級下·北京·期中）下列條件中能確定△ABC的形狀與大小的有．①AB=3，BC=7，CA=11，②∠A=30°，∠B=70°，AC=3；③∠A=30°，AB=7，BC=11；④∠A=30°，AB=14，BC=9．【答案】②【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．根據(jù)三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行判定即可求解．【詳解】解：①AB=3，BC=7，CA=11，3+7<11，不能畫出三角形；②∠A=30°，∠B=70°，AC=3，根據(jù)“AAS”能畫出唯一的△ABC；③∠A=30°，AB=7，BC=11，“SSA”不能確定三角形的性質(zhì)，即不能畫出唯一的△ABC；④∠A=30°，AB=14，BC=9，“SSA”不能確定三角形的性質(zhì)，即不能畫出唯一的△ABC；綜上所述，能畫出唯一的△ABC的有②，故答案為：②．【變式73】（2425九年級上·貴州遵義·期中）如圖，點A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AD=FC，∠A=∠EDF，請從以下三個選項中①AB=DE，②∠ACB=∠DFE，③∠B=∠E，選擇一個選項作為已知條件，使得△ABC≌△DEF．(1)你選擇添加的選項是______（填序號）；(2)添加條件后，請證明△ABC≌△DEF．【答案】(1)①或②或③(2)見詳解【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，（1）添加①或②或③均可證明全等；（2）由平行線的性質(zhì)可得∠D=∠A，如果選擇①利用邊角邊證明三角形全等，如果選擇②用角邊角證明三角形全等，如果選擇③角角邊證明三角形全等．【詳解】（1）解：選擇①或②或③（2）選擇①，證明如下：∵AD=FC，∴AD+DC=DC+CF即AC=DF，在△ABC和△DEF中AC=DF∠A=∠EDF∴△ABC≌△DEFSAS選擇②，證明如下：∵AD=FC，∴AD+DC=DC+CF即AC=DF，在△ABC和△DEF中∠A=∠EDF∠ACB=∠DFE∴△ABC≌△DEFASA選擇③，證明如下：∵AD=FC，∴AD+DC=DC+CF即AC=DF，在△ABC和△DEF中∠A=∠EDF∠B=∠E∴△ABC≌△DEFAAS【題型8二次證明三角形全等】【例8】（2425八年級上·河南漯河·期末）如圖，在四邊形ACBD中，E是對角線AB上一點，AC=AD，BC=BD，求證：△AEC≌△AED．【答案】證明見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．先證明△ABC≌△ABDSSS得出∠CAB=∠DAB，再證明△AEC≌△AED【詳解】證明：在△ABC和△ABD中，AC=ADBC=BD∴△ABC≌△ABDSSS∴∠CAB=∠DAB，在△AEC和△AED中，AC=AD∠CAE=∠DAE∴△AEC≌△AEDSAS【變式81】（2425七年級下·全國·隨堂練習(xí)）如圖，△ABC和△DCB的頂點A和D在BC的同側(cè)，AB=DC，AC=DB，AC交DB于點O，試說明：△ABO≌△DCO．下面是小明的解答過程：解：在△ABC和△DCB中，因為AB=DC，AC=DB，BC=CB，所以△ABC≌△DCB，所以△ABC?△OBC≌△DCB?△OBC，所以△ABO≌△DCO．請問小明的解法正確嗎？如果不正確，請改正過來．