重難點(diǎn)培優(yōu)03數(shù)列的絕對(duì)值、奇偶項(xiàng)、插項(xiàng)類、公共項(xiàng)、取整數(shù)、存在項(xiàng)問題目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"12"\h\u01知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基 102題型精研?技巧通法提能力 6題型一絕對(duì)值數(shù)列（★★★★） 6題型二奇偶類數(shù)列（★★★★★） 10題型三插項(xiàng)類數(shù)列（★★★★） 17題型四公共項(xiàng)數(shù)列（★★★★） 25題型五取整類數(shù)列（★★★） 30題型六存在項(xiàng)數(shù)列（★★★） 3703實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?分層突破驗(yàn)成效 43檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固 43檢測(cè)Ⅱ組創(chuàng)新能力提升 61知識(shí)點(diǎn)01等差數(shù)列一、等差數(shù)列的有關(guān)公式1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式2、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式二、等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．三、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系【常用結(jié)論】知識(shí)點(diǎn)02等比數(shù)列一、等比數(shù)列的有關(guān)公式1、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式注：①在求等比數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要分與兩種情況討論求解．二、等比數(shù)列的性質(zhì)1、等比中項(xiàng)的推廣．2、等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)與公比決定）．3、其他衍生等比數(shù)列．若已知等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，則：①等間距抽?、诘乳L(zhǎng)度截取【常用結(jié)論】等比數(shù)列，公比為．知識(shí)點(diǎn)03數(shù)列求和一、公式法3、一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：二、幾種數(shù)列求和的常用方法1、分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．2、并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．3、裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．（1）基本步驟（2）裂項(xiàng)原則一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（3）消項(xiàng)規(guī)律消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．4、錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．（1）適用條件（2）基本步驟（3）注意事項(xiàng)5、倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．將一個(gè)數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時(shí)可用倒序相加法（等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)即用此方法）．【常用結(jié)論】裂項(xiàng)技巧①等差型②根式型③指數(shù)型④三角型⑤階乘題型一絕對(duì)值數(shù)列【技巧通法·提分快招】A．630 B．648 C．660 D．675【答案】C【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，去絕對(duì)值后利用分組求和的方法即可求出結(jié)果.故選：CA．9 B．12 C．18 D．27【答案】C故選：C.A．有3個(gè) B．有2個(gè) C．有1個(gè) D．不存在【答案】A故選：A.【答案】112【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得到關(guān)于、的方程組，求出、，即可求出通項(xiàng)公式，再利用分組求和法計(jì)算可得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，故答案為：【答案】【分析】作差判斷數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性代入去絕對(duì)值化簡(jiǎn)計(jì)算可得結(jié)果.故答案為：(1)求的通項(xiàng)公式；【分析】（1）利用和與項(xiàng)的遞推關(guān)系求出，注意驗(yàn)證首項(xiàng)是否滿足.（2）結(jié)合數(shù)列項(xiàng)的正負(fù)特點(diǎn)對(duì)的范圍進(jìn)行分類討論，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.題型二奇偶類數(shù)列【技巧通法·提分快招】1、等差數(shù)列中3、項(xiàng)數(shù)問題①數(shù)列項(xiàng)數(shù)是2n項(xiàng)，那么奇數(shù)和偶數(shù)分別是n項(xiàng)；②數(shù)列項(xiàng)數(shù)是2n+1項(xiàng)，那么奇數(shù)為n+1項(xiàng)，偶數(shù)為n項(xiàng)；③當(dāng)項(xiàng)數(shù)是n項(xiàng)時(shí)，要分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)；4、常見類型5、其他類型1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前6項(xiàng)和為63，其中偶數(shù)項(xiàng)和是奇數(shù)項(xiàng)和的兩倍，則．【答案】1故答案為：1【答案】故答案為：.3．（2025·河北秦皇島·二模）已知等比數(shù)列的前6項(xiàng)和為126，其中偶數(shù)項(xiàng)和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，則．【答案】2故答案為：2(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）采用分組求和法，分別對(duì)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求和，結(jié)合等差數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）法一：由（1）可得的通項(xiàng)公式，采用分組求和的方法，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及裂項(xiàng)相消求和；.法二：分奇偶項(xiàng)，由等比數(shù)列求和公式及裂項(xiàng)相消法求和.（2）方法一：方法二：所以是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明見解析（3）對(duì)分奇偶，即可利用平方差公式，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可求解.(1)求的通項(xiàng)公式；【分析】（1）由已知及等比數(shù)列的性質(zhì)求公比和首項(xiàng)，進(jìn)而寫出等比數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）討論n的奇偶性，結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)公式及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求；題型三插項(xiàng)類數(shù)列【技巧通法·提分快招】1、插入數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列2、插入數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列3、插入數(shù)混合型混合型插入數(shù)列，其突破口在于：在插入這些數(shù)中，數(shù)列提供了多少項(xiàng)，其余都是插入進(jìn)來的。【答案】B等差數(shù)列每?jī)身?xiàng)之間插入k項(xiàng)，構(gòu)成新的等差數(shù)列，故選：B.A．510 B．514 C．1022 D．1026【答案】B故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式求行列間的公差、公比，確定行列通項(xiàng)公式為關(guān)鍵.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入1個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；…；在和之間插入個(gè)數(shù)，，…，，使，，，，成等差數(shù)列．（ⅰ）求；【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列前項(xiàng)和與數(shù)列通項(xiàng)公式的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）（ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（ⅱ）利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.因?yàn)?，，，…，成等差?shù)列，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的通項(xiàng)公式；(3)12182（3）根據(jù)新數(shù)列的形成規(guī)則，判斷其前100項(xiàng)中數(shù)列，分別有多少項(xiàng)，再分組求和可求.（3）設(shè)在的前100項(xiàng)中，來自的有項(xiàng).(1)求，，，及的通項(xiàng)公式；①求，的值；【分析】（1）根據(jù)數(shù)列中的每一項(xiàng)都能被2整除，可推出所求數(shù)列即為，進(jìn)而寫出前三項(xiàng)和通項(xiàng)公式；所以數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，又?jǐn)?shù)列，都是遞增數(shù)列，所以由，的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成的數(shù)列為，②不存在，理由如下：(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算確定其首項(xiàng)與公差，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；先根據(jù)等比中項(xiàng)的概念判斷數(shù)列為等比數(shù)列，再求首項(xiàng)與公比，可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分別求前項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，再相加即可.其中奇數(shù)項(xiàng)的和的求法為裂項(xiàng)相加求和法；可得數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和中，奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．題型四公共項(xiàng)數(shù)列【技巧通法·提分快招】在兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)問題中，可以有兩種方法：1、不定方程法：列出兩個(gè)項(xiàng)相等的不定方程，利用數(shù)論中的整除知識(shí)，求出符合條件的項(xiàng)，并解出相應(yīng)的通項(xiàng)公式；2、周期法：即尋找下一項(xiàng)；通過觀察找到首項(xiàng)后，從首項(xiàng)開始向后，逐項(xiàng)判斷變化較大（如公差的絕對(duì)值大）的數(shù)列中的項(xiàng)是否為另一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，并找到規(guī)律（周期），分析相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而得到通項(xiàng)公式．A． B． C． D．【答案】D故選：DA． B． C． D．【答案】A故選：A.【答案】剩余的項(xiàng)從小到大排序?yàn)?，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…，且每?jī)蓚€(gè)相鄰的公共項(xiàng)之間有5項(xiàng)，分別求和，可以看到這5項(xiàng)的和為一項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列是首項(xiàng)為70，公差為60的等差數(shù)列．故答案為：14，49600【答案】故答案為：.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，若與的公共項(xiàng)為，的值由小到大構(gòu)成數(shù)列，求的前項(xiàng)和．【分析】（1）根據(jù)直線的方向向量求出直線方程，進(jìn)而得到數(shù)列的遞推關(guān)系，確定其為等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式；（2）因?yàn)閿?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，6．（2025·山東濟(jì)寧·二模）將所有正整數(shù)按照如下規(guī)律形成數(shù)陣：第1行

1

2

3

……

7

8

9第2行……第3行

100

101

102

……

997

998

999第4行

1000

1001

1002

……

9997

9998

9999…………(2)將數(shù)陣中所有相鄰兩位數(shù)字（從左到右）出現(xiàn)12的所有正整數(shù)去掉并保持順序不變，得到一個(gè)新數(shù)陣，記新數(shù)陣第行中正整數(shù)的個(gè)數(shù)為.（i）求，，；（ii）求.【答案】(1)是數(shù)陣第4行，第3097個(gè)數(shù)．所以，當(dāng)且僅當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可以取得正整數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列有公共項(xiàng)，所以，是數(shù)陣第4行，第3097個(gè)數(shù)．百位和十位分別為12，此時(shí)有10個(gè)；十位和個(gè)位分別為12，此時(shí)有9個(gè)．①個(gè)位數(shù)字不等于2時(shí)，個(gè)位數(shù)字有9種取法，前面位數(shù)有種取法，這時(shí)位正整數(shù)中有個(gè)；②個(gè)位數(shù)字等于2時(shí)，前面位數(shù)有種取法，但這個(gè)位正整數(shù)中十位數(shù)字等于1的個(gè)正整數(shù)要去掉．故個(gè)位數(shù)字等于2且十位數(shù)字不等于1的位正整數(shù)有－個(gè)．題型五取整類數(shù)列【答案】(1)證明見解析(2)11．【分析】（1）應(yīng)用遞推公式結(jié)合等比數(shù)列定義證明即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式應(yīng)用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.【答案】(1)證明見解析(2)2022數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以滿足條件的最大整數(shù)為2022.(1)求及；【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解，(1)求：；【答案】(1)3；【分析】（1）用表示，利用分離常數(shù)法，借助整除思想求解.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】(1)證明見解析(2)0【分析】（1）利用數(shù)列作差得到遞推關(guān)系，再利用等比數(shù)列定義證明；所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.【答案】(1)證明見解析(3)6當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù).題型六存在項(xiàng)數(shù)列(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；【答案】(1)證明見解析【分析】（1）由等差數(shù)列的定義即可證明；（2）由錯(cuò)位相減法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；(2)存在.(1)證明：為等比數(shù)列；【答案】(1)證明見解析(3)不存在，理由見解析【分析】（1）由與的關(guān)系證明即可；所以是公比為的等比數(shù)列.(1)若是等差數(shù)列，求k的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)k，使數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)，，按某順序排列后成等差數(shù)列？若存在，求出所有k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)存在，.綜上，存在實(shí)數(shù)k滿足題意，．(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)的定義即可求解；檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固1．（2425高三上·重慶·月考）已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列所有項(xiàng)之和為所有奇數(shù)項(xiàng)之和的3倍，前2項(xiàng)之積為8，則（

）A．2 B．2 C．1 D．2或2【答案】D故選：DA．2 B．3 C． D．【答案】B故選：BA． B． C． D．【答案】A故選：A.A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)n分奇數(shù)與偶數(shù)討論，求出數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求和.故選：C．A．99 B．100 C．199 D．200【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用構(gòu)造法求出數(shù)列，進(jìn)而求出的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法求和并解不等式即得.故選：C【答案】BCD【分析】求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的求和公式可判斷AB選項(xiàng)；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷CD選項(xiàng).對(duì)于B選項(xiàng)，數(shù)列的各項(xiàng)分別為：、、、、、、、、、、，數(shù)列的各項(xiàng)分別為：、、、、、、、、、、、，故選：BCD.【答案】755【分析】根據(jù)分組求和，結(jié)合等差求和公式求解.故答案為：755【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列的項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)之和為140，偶數(shù)項(xiàng)之和為120，故答案為：【答案】【分析】將賦值可求得，即可求得；根據(jù)，及是等比數(shù)列可求得公比，求出，進(jìn)而解不等式即可求解.故答案為：；.【答案】644【分析】首先得出數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，進(jìn)一步可根據(jù)數(shù)列任意連續(xù)三項(xiàng)的和均為7，即可求解第一問，至于第二問分三種情況討論即可求解.故答案為：6，44.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)答案見解析.【分析】（1）設(shè)首項(xiàng)為，公差為，然后由題意及等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式可得答案.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，【答案】(1)證明見解析(2)所以滿足條件的最大整數(shù)為為5.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（1）利用等差數(shù)列的求和公式與已知條件求出通項(xiàng)公式，再通過裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和.（2）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出等式，然后求解的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合等比數(shù)列的知識(shí)求得正確答案.（2）先求得，然后利用分組求和法、數(shù)列的單調(diào)性來求得正確答案.所以滿足條件的最大整數(shù)為.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)5【分析】（1）根據(jù)遞推公式得出等差數(shù)列再應(yīng)用基本量運(yùn)算得出通項(xiàng)公式；設(shè)的公差為，所以的最大值為5.【答案】(1)證明見解析（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用等比數(shù)列的求和公式先求得，再根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算即可判定.【詳解】（1）由題意可知，要使得為整數(shù)，故不存在正整數(shù)，使得為整數(shù).(1)求和的通項(xiàng)公式；（2）分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，化簡(jiǎn)的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法結(jié)合分組求和法可求得.(3)在（2）的條件下，中是否存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求滿足條件的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(3)不存在，理由