八年級教學?上新課標［北師］

第五章二元一次方程組

本/章/整/體/說/課

教學目標

「知識寫技能寸

1.了解二元一次方程（組）的有關概念,會解簡單的二元一次方程組（數字系數）；能根據具體問題中的數

量關系,列出二元一次方程組解決簡單的實際問題,并能檢驗解的合理性.

2.體會一次函數與二元一次方程、二元一次方程組的關系,會利用待定系數法確定一次函數的表達式.

F過程伺洌

經歷從實際問題中抽象出：元一次方程（組）的過程，體會方程的模型思想,發(fā)展靈活運用有關知識解決

實際問題的能力,培養(yǎng)良好的數學應用意識.

「情感態(tài)度與僑宿殖

了解解二元一次方程組和三元一次方程組的“消元思想”，從后初步理解化未知為已知和化復雜問題為

簡單問題的化歸思想.

?教材分析

一、《標準》要求

1.探索具體問題中的數量關系和變化規(guī)律,掌握用方程、函數進行表述的方法,體會模型的思想,建立符

號怠識.

2.初步學會在具體的情境中能從數學的角度發(fā)現問題和提出問題，并綜合運用數學知識和方法等解決

簡單的實際問題,增強應用意識,提高實踐能力.

3.能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型.

4.掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組.

5.能解簡單的三元一次方程組.

6.體會一次函數與二元一次方程的關系.

7.會利用待定系數法確定一次函數的表達式.

二，教材分析

具體地，第1節(jié)通過豐富的實例，建立二元?次方程和二元一次方程組，讓學生觀察歸納出二元?次方

程和二元一次方程組的有關概念，并從中體會方程的模型思想.第2節(jié),順理成章地給出現實問題的解答,進

而通過具體方程總結出求解二元一次方程組的兩種基本方法——代入消元法、加減消元法.第3萬節(jié)再次通

過幾個問題情境,進行列二元一次方程組解決實際問題的訓練.這樣,一方面,在列方程組的建模過程中，強

化了方程的模型思想，培養(yǎng)了學生列方程解決現實問題的意識和能力；另一方面,將解方程組的技能訓練，

實際問題的解決融為一體,在實際問題的解決過程中提高學生的解題技能.第6節(jié)通過對二元一次方程、二

元一次方程組與一次函數關系的討論，建立方程與函數的聯(lián)系，引導學生從“形”的角度看待二元一次方程

和二元一次方程組.第7節(jié)通過待定系數法,利用二元一次方程組確定一次函數的表達式.第8節(jié)作為選學內

容介紹三元一次方程組的基本解法.

教學重難點

【重點】

1.二元一次方程組的解法.

2.二元一次方程組在生活中的應用.

【難點】一次函數與二元一次方程、二元一次方程組的關系.

教學建議

1.教學要注意與一元一次方程的類比，讓學牛.體會學習二元一次方程組的必要性,結合自己已有的解一

元一次方程的經驗,探索二元一次方程組的解法,體會消元、轉化的數學思想方法.

2.教學內容的選取和呈現要關注現實意義和學生的興趣，充分利用學生已有經驗,盡量創(chuàng)設有利于學生

自主探究的課堂氛圍,鼓勵學生合作探究,提倡用學生的智慈解決學生的問題.

3.關注學生對知識與技能的理解和應用.對知識與技能的評價,應重視學生的理解和在新情境中的應用,

如考查學生能否根據實際問題正確地建立模型,能否選擇恰當的方法解：元一次方程組,解方程組正確與否,

能否檢驗求得結果的合理性.

4.關注學生列方程解決實際問題的意識、水平及在學習過程中的表現，注重培養(yǎng)學生的應用意識.例如，

讓學生以小組合作學習的形式分析一下開放性的問題，并說出心得體會,在學生的交流中對其進行評價;讓

學生自主地觀察生活實際,并據此編制有關應用問題,從學生所編制的應用問題中評判其應用意識和應用水

平.

D課時劃分

1認識二元一次方程組1課時

2求解二元一次方程組2課時

3應用二元一次方程組一一雞兔同籠1課時

4應用一元一次方程組一增收節(jié)支1課時

5應用二元一次方程組一一里程碑上

1課時

的數

6二元一次方程與一次函數1課時

7用二元一次方程組確定一次函數表

1課時

達式

’8三元一次方程組1課時

回顧與思考1課時

課/時/教/學/詳/案

1認識二元一次方程組

E整體設計

教學目標

廣知i具與技能1

通過實例了解二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念,并會判斷一組數是不是某個二元一次方程

組的解.

發(fā)展學生的歸納、觀察和概括的能力，同時培養(yǎng)學生運用數學知識解決實際問題的能力.

「情感態(tài)度與僑宿殖

激發(fā)學生的求知欲望，培養(yǎng)他們勇于探索的精神.

一教學重難點

【重點】對二元一次方程、二元一次方程組及其解等有關概念的理解,并會判斷二元一次方程組的解.

【難點】對二元一次方程及二元一次方程組的解的個數的判斷.

??教學準備

【教師準備】預設學生學習過程中可能出現的問題.

【學生準備】復習一元一次方程的有關概念.

區(qū)1教學過程

就新課導入

導入一：

每塊餅干的質量是1克,每顆糖果的質量是y克,小明拿了一個等曾天平,在左邊秤盤放兩塊餅干?右邊

秤盤放三顆糖果,結果天平兩臂平衡，當在左邊秤盤里乂放了三塊餅干,右邊秤盤里乂放了四顆糖果時:天平

并沒有平衡，只好在右邊秤盤且又加了1克的硅碼才使得天平平衡.上面的例子中，可以得到兩個方程拈

2產3y和5戶7yH,怎樣看待這兩個方程呢?它們的解有什么實際意義？

導入二：

我們已經學習了一元一次方程，你能舉一個一元一次方程的例子嗎？

生：（輕松回答）3戶4=5*,0.5尸3.

師:很好!那么什么是一元一次方程？

生:含有一個未知數,并且所含未知數的次數為1的整式方程因一元一次方程.

師：非常準確!從這節(jié)課開始我們將進一步來學習有關方程的問題.我們都知道牛和馬是人類最忠誠的

幫手,在那個非機械化的年代,是它們?yōu)槲覀凂W運貨物,幫助農民耕地……活干多了，牢騷也來了.請同學們

看下面的故事,同時請兩個同學來為它們配音.（多媒體出示）

（顯示對話,老牛與小馬,學生配音）

老牛喘著氣吃力地說：“累死我了小馬說：“你還累，這么大的個，才比我多馱了2個老牛氣喘吁

吁地說：“哼，我從你背上拿來1個,我的包裹數就是你的2倍！”小馬不相信地說：“真的？！”

生：（笑）……

師:兩位同學表演得很不鐺，請同學們想一想它們在爭論什么呢？

生:它們在爭論誰的包更多.

師:對，那么你能用數學知識幫助它們解決這個問題嗎？

讓每個學習小組討論（討論2分鐘，然后發(fā)言）.教師注意引導學生設兩個未知數,從而得出兩個二元一

次方程.

師:題目中等量關系行兒人?你是如何得到的？

生：2個等量關系.

依據老牛的包裹數比小馬多2個得到:老牛馱的包裹數-小馬馱的包裹數=2個.依據老牛從小馬背上拿

來1個包裹，這時老牛馱的包菸數是小馬馱的2倍得到:老牛馱的包裹數+1=（小馬馱的包裹數T）X2.

師:你能設出適當的未知數列出相應的方程嗎?請大家寫下來.

生：（板演）設老牛馱了大人包裹，小馬馱了y個包裹.根據題意得A-尸2,A-i1=2（z1）.

［設計意圖］以動漫的形式引出方程問題，調動學生的積極性,讓學生再次經歷建模的同時，以相對輕松

的狀態(tài)進入后面的學習.通過向主探究來認識體會二元一次方程建模思想的過程,也是學生完成從一元到多

元的認識轉化過程.

Q\新知構建

［過渡語］我們以前學過的方程都是含有一個未知數的,如果方程中含有兩個未知數,這樣的方程是怎

樣的呢？

一、認識二元一次方程

思路一

出示教材第103頁上半頁情境圖，師生交流.

①怎樣列一元一次方程解決這個問題呢？

生1：設老牛馱了A?個包裹，則有2（*-3）=戶L

生2:設小馬馱了x個包裹,則有2（xT）=戶3.

②如果設兩個未知數,怎樣解決這個問題呢？

設老牛馱了x個包裹，小馬馱了y個包裹.老牛馱的包裹數比小馬馱的多了2個，由此你能得到怎樣的方

程？

生：*-2='

若老牛從小馬背上拿來1個包裹，這時老牛的包裹數是小馬的2倍，由此你又能得到怎樣的方程？

生：內1=2（尸1）.

③怎樣列出教材第104頁引例中的方程？

生：產片8,5戶3片34.

小結:含有兩個未知數,并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程.

思路二

大家觀察下面的5個方程,是我們學過的一元一次方程嗎？

360戶720片17280;*-尸2;廿1=2（y-1）;戶片8;5,計8片34.

生:不是.

師:與一元一次方程的特征相比較我們可以給它們取一個什么名稱呢？

生:二元一次方程！

師:很好，請同學們找出二元一次方程有.什么特征？

生1：含有兩個未知數.

生2:未知數的次數是1.

生3:方程兩邊都是整式.

（多媒體同一頁顯示,便于學生逐條比較）

師:對于方程^8=5x,大家認為是二元一次方程嗎？（學牛.認識不統(tǒng)一,有說是,有說不是）不，（多媒體用

紅色圈出）這個項的次數是幾？（學生有的說是2,有的說是1.此時老師加以糾正,單項式的次數是單項式中

所有字母的指數和,因此項打次數為2,原方程不是二元一次方程）

師:我們應將“未知數的次數是1”更正為什么？

生:含未知數的項的次數是1.

師:很好,現在大家知道什么叫二元一次方程了嗎？

生:含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程.

（多媒體顯示二元一次方程的概念，并讓學生加以鞏固）

［設計意圖］為了讓學生盡快理解新知識,教學通過類比的方法，引導學生與一元一次方程相比較,逐步

理解二元一次方程的概念，同時培養(yǎng)學生歸納概括能力.

師:兩人一組,分別寫出幾個方程,讓另一位同學判斷是不是二元一次方程.

（學生迅速出題,然后互相判斷,很多小組出現爭執(zhí),場面非常活躍,教師巡視,對出現的爭執(zhí)及時紿予評

判）

［知識拓展］1.二元?次方程還可以定義為:在方程中有兩個未知數，未知數與未知數之間沒有乘法、除

法運算，并且木知數的次數都是1,像這樣的方程叫做一元一次方程.

2.本節(jié)課常出現的錯誤是對二元一次方程的概念理解不準確，其表現形式有兩種:一種是把“含未知數

的項的次數都是1”理解為“每個未知數的次數都是1"，誤認為x戶2=0也是二元一次方程，另一種是遇到

含有字母系數的方程時,容易忽略“未知數的系數不等于零”這個隱含條件,如二元?次方程a廣片6中aW

0這個條件.

（含有兩個未知數，

3.二元一次方程滿足的條件（含未知數的項的次數為1,

（整式方程.

二，認識二元一次方程組

問題1

在前面的實際問題中，這兩個方程中"的含義相同嗎?分別是什么含義?J，呢？

問題2

若x、y同時滿足這兩個方程，用什么方式把這兩個方程聯(lián)立起來，即寫成什么形式呢？

問題3

如果兩個方程中相同字母所代表的含義相同,把它們聯(lián)立起來,就組成了二元一次方程組，你能歸訥出

二元一次方程組的概念嗎？

問題4

根據二元一次方程組的概念回答問題：

①二元?次方程組中每個方程都必須是二元?次方程嗎？

②一次方程指的是“含未知數的項的次數是1”還是“各個未知數的次數是1”?

③二元一次方程組中一定只能含有兩個一次方程嗎？

［處理方式〕學生獨立思考后小組討論交流，小組代表發(fā)言.教師適時點撥,逐步總結出二元一次方程

組的定義(含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程叫做二元一次方程組).強調定義中的兩個未

知數是指兩個方程共含兩個未知數，一次方程可以是一元?次方程,也可以是二元?次方程.點撥性語言例

如:成為二元一次方程組應滿足幾個條件？

(2)

根據上面的定義分別判斷這樣的兩個方程組：(1)仁,；4；'=3-{-2+n=；'是不是二元一次方程組？

讓學生對二元一次方程組的定義進行再認識.

［設計意圖］將方程返回實際問題中理解研究，體現數學與生活實際的聯(lián)系.通過一個個問題的設計,將

二元?次方程組的概念進行解剖，幫助學生理解概念.

［知識拓展］1.二元一次方程組的概念也不犯嚴格的定義.例卬:①圖:二2,②&③

:，:這三個方程組都是二元一次方程組,其中方程組②中的第一個方程只有一個未知數;方程組③中的

兩個方程也都分別只有一個未知數，但它們仍然都是二元一次方程組.為了更好地識別一個方程組是不是二

元一次方程組,我們可以這樣敘述:在一個方程組中,共有2個未知數,并且每個方程都是一次方程,這樣的

方程組就是二元一次方程組.

2.事實上,共含有兩個未知數的幾個二元一次方程組成的方程組都是二元一次方程組,而我們最常見的

是兩個二元一次方程組成的方程組.

三、二元一次方程和二元一次方程組的解

思路一

適合一個二元一次方程的一組未知數的值,叫做這個二元一次方程的一個解.如尸6,產2是方程戶片8

的一個解,記作仔:加樣Z也是方程什8的一個解.

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解.

例如:憂強是二元一次方程組解布?34的解?

思路二

(1)產6,產2適合方程戶戶8嗎？戶5,y=3呢？產4,尸1呢？你還能找出適合方程戶產8的*,p的值嗎？

(2)A=5,7=3適合5,什3尸34嗎？尸2,尸8呢？

⑶你能找到一組My的值，同時適合方程廣產8和5戶3片34嗎？

生1:尸6,片2適合二元一次方程戶片8;尸5,產3;尸4,產4都適合，還有x=0,片8;產-1,產9.......

生2:尸5,片3適合二元一次方程5戶3產34：x=2,%8也適合.

(多媒體出示)適合一個二元一次方程的一組未知數的值,叫做這個二元一次方程的一個解.

師:產6,產2是二元一次方程廣尸8的一個解，記作號:同時{；:泄是二元一次方程產片8的一個

解.大家說二元?次方程有多少個解呢？

生1:很多個.

生2:無數個！

(師強調:二元一次方程的一個解不是一個值，而是一對值:一般地,二元一次方程有無數個解)

師:剛才我們找出二元一次方程的解,那么有沒有一組夕的值同時適合這兩個方程呢？

生同時適合這兩人方程.

(多媒體出示概念)二元?次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元?次方程組的解.(給兩分鐘時

間鞏固理解概念)

［知識拓展］L二元一次方程組的解處一對數,要將這對數代入方程組中的每一個方程進行檢驗,這對

數只有滿足方程組中的每一個方程，這對數才能是這個方程組的解.

2.一般情況下,二元一次方程的解有無數個,而二元一次方程組的解是唯一的.但當對二元一次方程的

解加以限制時也可能變?yōu)橛邢迋€了，如外片2的正整數解只有1二\

F課堂小結

注意：

認

等號兩邊的代數式是整式；

識(1)

二(2)含有兩個未知數；

元(3)所含未知數的項的次數是1

一

次(1)一般地，一個二元一次方

方程有無數個解；

程

組(2)二元一次方程組的解一定

是方程組中的任何一個方程

的解；反之不成立

4檢測反饋

1.下列選項中，是二元一次方程的是()

A.7盧3產2B.犯=9

C.戶2丁=11D.^=2

解析：本題考存二元一次萬程的定義,B選項的次數為2,C選項的最高次數為2,D選項不是整式方程，故

選項B,C,D都不是二元一次方程.故選A.

2.下列方程組中，屬于二元一次方程組的是()

(m+3n=1,c2x-3y=10,

C.sni2n1D.<1

U+T=11r5，=6

解析：本題主要考查二元一次方程組的定義,A選項共含有三個未知數;B選項是二元二次方程組;D選項

中I七尸6不是整式方程，不是二元一?次方程組.故選C.

3.下面各組數中，是二元一次方程組I：：'：?】'的解的是?）

"Ty-o

X=4,(x=1,

y=2ly=6

答案:D

4.已知佯二1'走二元一次方程組偌;露=”的解,則的值是.

解析:把［:2!代入方程組僚;=\7犯解得｛:「;則勿》1-（-3）=1+3=4.故填4.

板書設計

1認識二元?次方程組

1.認識二元一次方程

2.認識二元一次方程組

3.二元一次方程和二元一次方程組的解

布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第106頁習題5.1第1,2題.

【選做題】

教材第106頁習題5.1第5題.

二、課后作業(yè)

【基礎鞏固】

1.下列方程組是二元一次方程組的是（）

%+y=5,

y=3+x+z

產+y-xy=4,

{4x-2y=3Ty-zx=5x-7

J

2.對于二元一次方程4x-3尸7,下列說法正確的是（）

A.只有一個解

B.只有兩個解

C.有無數個解

D.任何一對有理數都是它的解

3.二元一次方程組的解是（）

叱:：D.0

4.對于二元一次方程組甲與二元一次方程乙：9『13片135的關系，下面說法正確的是

()

A.方程組甲的解必是方程乙的解

B.方程乙的解必是方程組甲的解

C.方程組甲的解不一定是方程乙的解

D.方程組甲的解與方程乙的解完全相同

5.為了研究吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地抽查了1)000人，并進行統(tǒng)計分析,結果顯示:在吸

煙者中患肺癌的比例是2.5%,在不吸煙者中患肺癌的比例是0.5%,吸煙者患肺癌的人數比不吸煙者患肺癌

的人數多22人，如果設這100C0中，吸煙者患肺癌的人數為X、不吸煙者患肺癌的人數為乂根據題意，下面列

出的方程組正確的是()

A0少=22，

｛2.5%x+0.5%y=10000

(x-y=22,

B--+-^-=10000

12.5%0.5%

ix+y=10000,

C(2.5%x-0.5%y=22

(x+y=10000,

.j----=22

(2.5%0.5%

【能力提升】

6.若｛；［2：是二元一次方程a戶〃尸一2的一個解,則代數式2a-bi7=.

7.若厘=0是二元一次方程，則nF,爐.

8.請寫出一個二元一次方程組:，使它的解為｛；:\

9.已知二元一次方程2肝3尹5=0.

(D將已知方程寫成用含有y的代數式表示x的形式;

(2)寫出方程的三個解.

10.根據題意列出方程組.

(D明明到郵局買0.8元與2元的郵票共13枚,共花去20元錢,那么明明兩種郵票各買了多少枚？

(2)將若干只雞放入若干個籠巳若每個籠中放4只，則有一雞無籠可放:若每個籠里放5只，則有一籠無雞可

放.那么有多少只雞，多少個籠？

11.已知方程紈［安?「上的解為七二?'求(加向的值.

(X十ny—D—卻

【拓展探究】

12.已知方程("-4)*+(代2)戶(4F)片介8,則：

(1)當〃為何值時，方程為關于，的一元一次方程？

(2)當k為何值時，方程為關于x,y的二元一次方程？

【答案與解析】

LD(解析:A選項含有三個未知數,B選項的未知數＞,y出現在分母上,不是整式方程,C選項的燈項為二次

項.)

2.C(解析:二元,次方程的解應該有無數個，但若加以限制可能只有有限個f.)

3.B（解析:根據二元一次方程組的解的定義,將四組值依次代入原方程組檢驗即可,而檢驗只有選項B中x,y

的值能使二元一次方程組中的每個方程左右兩邊都相等.故選B.）

4.A（解析:方程組的解是組成這個方程組的各個方程的公共解.）

5.B

6.5（解析：將1:2：代入aaby=2得2a如7=-2+7=5.）

7.41（解析：根據二元一次方程的定義可知2加-7=1,3/7-2=1,故ZZF4,n=l.）

8,｛瑟°,（答案不唯一）

9.解：（1）由2戶3戶5=0,得2j=-5-3y,所以產3yq.（2）答案不唯一，如:卜=或卜=一萬，或［:一2

22ly=0（y=2I"-?

10.解：（1）設0.8元的郵票買了x枚,2元的郵票買了y枚，根據題意得仁7n（2）設有>只雞,y

（,U.OX十Ly-ZU.

個籠，根據題意得｛就I;二;‘

11.解:將3：：‘代入原方程組得｛￡；：二;'解得｛，二；'所以（fn-nr=Q.

々2-4=0,fc2-4=0,

12.解：（1）依題意,得k+2=0,即k=-2時，原方程為關于y的一元一次方程.（2）依題意,得k+2:0,即

k-6豐0,U-6工0,

k=2時，原方程為關于x,y的二元一次方程.

■教學反思

一）成功之處

在學習一元一次方程的基礎上,延伸到二元一次方程組的學習,通過知識的類比和遷移,學生可以比較

順利地了解二元一次方程組的相關概念.通過具體的生活情境,幫助學生從生活的角度感知數學知識的存

在.

（，）不足之處

忽略強調二元?次方程的解有無數個（?股情況下），忽略二元?次方程組可能存在無解現象.不強調這

一點,會加大今后理解一次函數與二元一次方程組關系的難度.

再教設計

根據知識之間的內在聯(lián)系，可以引導學生從一元一次方程相關概念出發(fā)，引導學生探索發(fā)現二元一次方

程組的概念,類比方程的解的概念，自己總結出方程組的解的概念.

■教材習題解答

隨堂練習（教材第105頁）

L解：設小明買了面值為50分的郵票x枚,買了面值為80分的郵票y枚,依題意得之八a

（U.5X十U.oy=0.5.

2.解：（2）&二:'和（4）［二?是二元一次方程2戶尸10的解.

3.(3)

習題5.1(教材第106頁)

1.(1)4戶7片76(2)4(3)5

2.解：(2)是該方程組的解.

3.解：⑴設該班有男生x人、女生y人,則可列方程組3t(2)設有*個同學,y本筆記本,則可列方

(,X-

4.解：(1)答案不唯一,如和《言.

x=1,

(2)答案不唯一，如:M⑶總

=1,

=-1.

5.解:他們所列的方程組都可以看成是正確的，產生分歧的原因是:小明設蘋果每千克x元,梨每千克J,元,

而小麗設梨每千克*元,蘋果每千克y元.

E備課資源

教學建議

教學時應注意讓學生理解以下幾點：(1)運用類比的方法比較二元一次方程與一元一次方程的有關概念

的異同，加深對概念的理解；⑵方程思想是一種重要的數學思想,注意結合實際,從而理解方程是刻畫現實

世界的有效數學模型；(3)正確理解二元一次方程及二元一次方程組的解的含義,與?元一次方程的解散好

區(qū)分，找出異同；⑷學習中加強方程中“元”和“次”的認識,為以后學習中遇到的“消元”和“降次”做

好基礎鋪墊.

Qi經典例題

國已知下列四對數值:①號：:;②1;③{j二:理二\

(1)哪幾對是方程2*-尸5的解？

(2)哪幾對是方程G3片6的解？

⑶哪兒對是方程組匕?的解？

(X十jy=o

(解析)根據二元一次方程的解的定義和二元一次方程組的解的定義進行驗算.

解：⑴①和②走方程2x-k5的解.

(2)①和③是方程肝3尸6的解.

［注意事項］二元一次方程組的解是方程組中各個方程的公共解，因此在檢驗方程組的解時,應對每個

方程進行檢驗,而初學者往往只會對其中的一個方程進行檢驗,而忽略對方程組中其他方程的檢驗.

2求解二元一次方程組

.教學目標

F知識寫技能力

會用代入消元法和加減消元法解:元一次方程組.

F過程播制

了解二元?次方程組的“消元”思想，初步體會化未知為已知的化歸思想.

F情感態(tài)度與價面的

培養(yǎng)學生探索嘗試的創(chuàng)新精神.

q教學重難點

【雨點】解二元一次方程組的兩種基本方法.

【難點】二元一次方程組轉化為一元一次方程.

第［1【課時

■整體設計

，教學目標

F知識寫技能」

會用代入消元法解二元一次方程組.

幅程筋制

培養(yǎng)學生獨立思考問題的能力，同時能對復雜的問題有計劃、有步驟地處理.

fw穗與網1研

在探索新知的過程中，體會數學的趣味性,進而養(yǎng)成善于思考、勤于鉆研的好習慣.

一教學重難點

【重點】用代入消元法解二元一次方程組的基本步驟.

【難點】在解題過程中體會“消元”思想和“化未知為已知”的化歸思想.

??教學準備

r教師準備1預想學生學習中可能遇到的問題.

【學生準備】復習二元一次方程組的相關概念.

區(qū)1教學過程

91

導入一：

上節(jié)課我們討論了老牛和小馬馱的包裹誰的多的問題,經過大家的共同努力，得出了二元一次方程組

E到底誰的包裹多呢?這就需要解這個二元一次方程組?一元一次方程我們會解，二元一次方

程組如何解呢？（課件展示問題）

［處理方式］小組展開討論，完成自主學習.

［設計意圖］通過提出這個實際問題,得出解方程組的必要性.充分調動學生的積極性,發(fā)揮團結合作，

激發(fā)學生學習興趣.

導入二：

大家都喜歡吃水果，老師這里也買了一些蘋果和梨，請大家?guī)屠蠋熕闼闼馁|量（課件展示）：

市場上I斤蘋果售價3元,I斤梨售價2元,老師買了蘋果x斤,梨y斤,共用了18元錢,則蘋果和梨之

間的等量關系是什么？

［處理方式］學生暢所欲言,在表達H己的想法的過程中發(fā)現無法得出確切的水果質量.

生I:蘋果的總價+梨的總價=18元.

生2:我可以列方程為3戶2片18.

師:那老師增加一個條件,如果買了蘋果4斤，你又能列出什么樣的關系式？

生:可以列方程組為葭Ay=18.

師:你能求出具體的質量了嗎？

生:可以,把產4代入到第二個方程中，即可求出未知數y的值,也就可以得出蘋果及梨的具體質量.

［設計意圖］通過解決相關題目使學牛.感受要想求出兩個未知數的值,必須先知道其中一個未知數的值.

這樣設計為下面用代入消元法解二元一次方程組打下基礎:即消去一個未知數，轉化為一元一次方程去解.

同時情境的創(chuàng)設貼合實際,可以激發(fā)學生的求知欲.

至新知構建

［過渡語］我們怎樣解二元?次方程組呢？

一、解二元一次方程組

思路一

問題1

在老牛和小馬的問題中，二元一次方程組是怎樣變成一元一次方程的？

問題2

在這個變化的過程中未知數的個數發(fā)生了怎樣的變化？

問題3

求出一個未知數的值后,笫二個未知數的值可如何求出？

【學生活動】學生獨立完成.小組交流上面三個問題.二元一次方程組有兩個未知數,如果消去其中的

一個未知數,就可以將二元一次方程組轉化為我們熟悉的一元一次方程,就可以求解了，那么我們究竟怎么

轉化呢?我們發(fā)現由方程六產2可以得到片廠2,把它代入到方程戶l=2（j，T）中，將方程^1=2（7-1）中的y

換為x-2,這個方程就化為一元一次方程了.這樣便將我們不會解的方程組轉化為我們會解的方程了.

［設計意圖］通過自學老牛和小馬的問題，鍛煉學生的自學能力，讓學生經妨利用代入消元法將方程組

轉化為方程的過程.

展示交流解題方法：

解=2,①（為了書寫方便,先標上序號）

G+1=2（yT）.②

由①得片廣2.③（變形，用含*的代數式表示。

將③代入②得戶1=2（廠2-1）,（將二元一次方程轉化為一元一次方程）

解得尸7.（解一元-?次方程,求出x的值）

把x=7代入③,得片5.（再代入求y的值）

所以原方程組的解為3二￡（總結,寫出方程組的解）

所以老牛馱了7個包裹「、馬馱了5個包裹.

［設計意圖］運用數學中“化未知為已知”的化歸思想，使問題得到解決,培養(yǎng)學生的自主探索意識、合

作交流的精神,啟發(fā)學生并跟學生一起探討“化未知為已知”的方法,這樣進行教學既能及時發(fā)現學生的閃

光點，又能培養(yǎng)學生良好的合作關系,提高學生的學習興趣.

師:在解上面的二元一次方程組時,我們是將其中的一個方程變形,即用其中一個未知數的代數式式示

另一個未知數,然后代入第二人未變形的方程中，從而由“二元”轉化為“一元”而達到消元的目的.我們將

這種方法叫代入消元法.這種解二元一次方程組的思想為消元思想.

思路二

代入法的基本思路是:通過“代入”達到“消元”（即消去一個未知數）的目的，從而將解二元一次方程

組轉化為解一元一次方程.

代入法的?般步驟：

下面以方程組=5’①為例,具體說明如下：

（3x+4y=2②

第一步：山方程①得到

第二步:耨片2廠5代入②中，得到3戶4（2,廠5）=2;

第三步：由3戶4（2*~5）=2,解得尸2;

第四步:將產2代入片2*5求得片T,得到原方程組的解為［:\

由上例可總結出代入法的一般步驟為：

（1）選擇較簡單的方程,用其中一個未知數表示另一個未知數,寫成產……或產……的形式.

（2）代入:將（1）中產……或產……代入另一個方程中，消去一個未知數.

（3）求其中一個未知數的值:解（2）中的一元一次方程，求出一個未知數的值.

（4）求另一個未知數的值:將求出的一個未知數的值代入方程組中的任一方程,可求出另一個未知數的

值，也可代入（1）中得到的尸……或片……中.

（5）寫出方程組的解.

這種解方程組的方法稱為代入消元法,簡稱代入法.

［設計意圖］通過探究，使學生初步感知用代入法解二元?次方程組的基本思路,為下面例題的解答奠

定良好的基礎.

二、例題講解

解方程組［3"+2y=14,①

例1

b=y+3.(2)

解:將②代人①，得3(產3)+2尸14,

3戶9+2產14,5*5,片1.

將產1代入②得尸4.

所以原方程組的解是

【思考】(1)揩y=x-3代入①可以嗎？

(2)還有其他的代入方法嗎？

(3)在代入的過程中要注意什么？

解方程組產+3y=i呼

例2

(x+4y=13.②

解：山②得產13Yy,③

將③代入①,得2(13Wy)-3片16,

26~8尸3產16,-5片TO,片2.

將片2代入③得產5.

所以原方程組的解是好緩

【教師總結】上面解方程組的基本思路是“消元”一一把“二元”變?yōu)椤耙辉?主要步驟是:①將

其中一個方程中的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來;②將這個代數式代入另一個方程中，

從而消去一個未知數，化一元一次方程組為一元一次方程;③解這個一元一次方程;④把求得的一次方程的

解代入方程組中的任一方程,求得另一個未知數的值,組成方程組的解,這種解方程組的方法稱為代入消元

法,簡稱代入法.

［知識拓展］當二元一次方程組中的系數或未知數的關系較為復雜時，可先將方程組整理成二元一次方

程組的標準形式｛:"￡：熱里…,%Q是整數”是未知數，例如:解方程組

一°’時，應先經過去分母、移項、合并同類項等步驟,將方程組變?yōu)镮：；81：：1；"

3.2二＞十“(.zx十y—1

、36

81課堂小結

1.解方程組的代入消元法是指把一個二元一次方程中的用含有的代數式表示出來,

并另一個方程中，從而消去一個未知數，化為.

答案:某個未知數另一人未知數代入一元一次方程

2.用代入法解方程組+4y12,①使得代入后消元較容易變形的姑()

(2x-y=5,②

A.由①得尸華B.由①得號

34

C.由②得產亨D.由②得y=2x-5

答案:D

3.用代人消元法解方程組1+y=12,①

(2x+3y=34.②

解：由①得下12-乂③

把③代入②得2(12-舊+3尸34,解得產10,

把片10代入①得戶2,所以1：jo

但板書設計

第1課時

例1

例2

代入消元法

布置作業(yè)

一、教材作業(yè)

【必做題】

教材第109頁隨堂練習.

【選做題】

教材第110頁習題5.2第2題.

二、課后作業(yè)

【基礎鞏固】

L方程組憶3二的解是()

2.已知戶3yW=0,用含*的代數式表示y為.用含尸的代數式表示*為.

3.解方程組.八

W+y=2.②

【能力提升】

4.四名同學解二元一次方程組F*4y=sf)提出四種不同的解法，其中解法不正確的是()

(x-2y=3,②

A.由①得齊畢,代入②

B.由①得片竽，代入②

C.由②得產羊，代入①

D.由②得片3+2匕代入①

5.用代入法解方程組『+2'=??由②得尸______，③把③代人①，得，

(4x-y=

解得產,再把求得的*值代入②,得y=.原方程組的解為.

【拓展探窕】

6.已知關于x,y的方程組落:'.1和悌:&的解相同,求&卜的值.

【答案與解析】

LD(解析：由①得產1J,③把③代入②得2x-(l-x)=5,解得產2.把尸2代入①得尸T.所以原方程組的解

＜：4?

2.尸號A-=6-3y

3.解：山①得產尹1,③把③弋入②,得2(戶1)+支2,解得產0.把片0代入③,得看1.所以原方程組的解是

(x=1,

(y=o.

4.C(解析：由②得片考.)

5.4x-lA+2(4X-1)=7133；

6.解：由題意可得方程組f*3y=3,①由①得片竽,③將③代入②得產3.將『3代入①得尸1.將

l3x+2y=ll,②3

片Z不代入|萼廣之得歸TtT-Q解這個方程組,得［=?，因此-b的值分別是-2,5.

(y=1(2QX+3by—3(6Q+3h=3,5=5.

區(qū)1_教學反.

成功之處

本節(jié)課的重點是用消元的思想方法去解二元一次方程組.理解方程組的解的含義和理解方程組內兩個

方程之間的關系,是把學生引入“代入法”解二元一次方程組的關甕.在教學的過程中，不是直接告訴學生方

法，而是通過探索領悟“代入法”的實質.

一不足之處

在處理例題思考的時候,課堂上存在靖蜓點水的傾向,應該當做課堂教學的一個重要環(huán)節(jié)來處理,這樣

史能強化學生對知識的理解.

再教設計

通過不同的代入方法的比較，幫助學生認識到要選擇簡便的方法進行代入.增設例題，強化對代入法這

種數學思想方法的理解.

■教材習題解答

隨堂練習（教材第109頁）

解:⑴6蟄⑵仁"⑶仁⑷仁,（過程略）

習題5.2（教材第110頁）

1.解:⑴憂；⑵憂］⑶憂￡⑷{:「"過程略;

2.解f+>=&①一由①得尸8-乂③把③代人②得5（85+3片34,解得片3,把產3代入③得行5,

所以號=。'是原方程組的解?上一節(jié)課的方法是試驗求值,而本節(jié)課的方法是代入求值，比上一節(jié)課的方法

更簡單、直觀.

國備課資源

拓展閱讀

解二元一次方程組的關鍵是要化“二元”為“一元”，即把陌生的“二元一次方程組”轉化為熟悉的“一

元一次方程”，求解的關鍵是“消元”，當方程組中某個未知數的系數為土1或常數項為。時,用代入法解方

程組比較簡單.

第2課時

國整體設計

■?教學目標

F知識寫技能」

會用加減消元法解二元一次方程組.

F過程筋制

培養(yǎng)學生歸納總結問題的能力，同時使學生會使用較嚴密的數學語言概括出問題的主要方面.

F情感態(tài)度與俗宿殖

在解決實際問題的過程中，大照嘗試不同解法，并在體臉成功的快樂的同時，激發(fā)學生濃厚的學習興趣.

一教學重難點

【重點】用加減消元法解二元一次方程組的基本步驟.

【難點】形成加減消元的基本思路,并能靈活選擇代入法、加減法解二元一次方程組.

C)教學準備

【教師準備】預想學生學習本課時會遇到的問題.

【學生準備】復習、體會解二元一次方程組的消元思想.

年教學過程

91新課導入

導入一:

同學們，上節(jié)課我們學習了用代入消元法解二元一次方程組,嘟位同學能說一說解方程組的基本思路是

什么？代入法解方程組的主要步驟有哪些？

(學生活動】先獨立思考,再小組交流.

生1：解方程組的基本思路是“消元”一一把“一元”變?yōu)椤耙辉?

生2:代入法解方程組的主要步驟有：

(1)變形一一用含一個未知數的代數式表示另一個未知數(選系數較簡單的)；

(2)代入一一消去一個未知數；

(3)求解一一分別求出兩人未知數的值；

(4)寫解一一寫出方程組的解.

師：回答得很好.本節(jié)課我們繼續(xù)學習求解二元一次方程組.

［設計意圖］通過對解方程組的基本思路、代入法解方程組的主要步驟的復習回顧,進一步加深學生對

解方程組的主要步驟的理解，為本課時的教學做準備.

導入二：

用代入法解下面的二元一次方程組：

(3x+5y=21,①

LxBy=-11.②

【學生活動】學生獨