【考點(diǎn)4:利用導(dǎo)數(shù)研究恒、能成立問題】 【考點(diǎn)5:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根】 【考點(diǎn)1:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】②單調(diào)遞減：在某個(gè)區(qū)間(a,b)上，如果f(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.2.利用導(dǎo)數(shù)判斷不含參函數(shù)單調(diào)性的步驟3.構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性①f(x)+f(x)≥0:構(gòu)造[e'f(x)]'③xf(x)+nf(x)≥0:構(gòu)造[x“f(x)]’=x"f(x)+nx”-1f(x)=x”-I[xf(x)+nf(x)].4.含參函數(shù)的分類討論利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性主要是利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得出相應(yīng)結(jié)論，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)決定了函數(shù)的單調(diào)性，而導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)恰好是其分界點(diǎn)，故f(x)=0是否有根及根的位置是分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，一般可以按方程在定義域內(nèi)有根、無根以及根的大小等方面來分類討論.5.單調(diào)性的逆向求參問題(2)函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減，則f(x)≤0且f(x)在(a,b)的任意子區(qū)間上不恒為0.6.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：上，f(x)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則會(huì)漏解.(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.1.(24-25高二下·重慶·期中)函數(shù)f(x)=x-xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(-∞,1)B.(0,1)c.(0,e)【答案】B【分析】求導(dǎo)函數(shù)，然后解不等式f'(x)>0,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)閒(x)=x-xlnx,令f'(x)>0得lnx<0,解得0所以函數(shù)f(x)=x-xlnx的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).故選：B2.(24-25高二下·北京·期中)已知函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()【答案】C【分析】問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上恒大于等于0,即恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(1,+∞0)上單調(diào)遞增，所以其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒大于等于0,令,則設(shè)g(x)=f'(x)=e?-ax,x∈(0,+∞),則g'(x)=e?-a,x∈(0,+∞).當(dāng)a>1時(shí)，由g'(x)>0得x>Ina,由g'(x)<0得0<x<lna,2f'(x).=f'(Ina)=e?-aln4.(山東省德州市優(yōu)高聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的A.f(1)<f(2)<f(e)B.f(e)<f(2)<f(1)【答案】B【分析】根據(jù)條件得到,再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)單調(diào)遞減，即可求解.令g(x)=ef(x)-x,則g'(x)=ef(x)+ef'(x)-1=0,所以g(x)=ef(x)-x=C(C為常數(shù)),又f(O)=1,則1=C,所以在區(qū)間(0,+∞0)上單調(diào)遞減，又1<2<e,所以f(e)<f(2)<f(1),,則不等式的解集是()A.(0,2)B.(0,e2)【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=e*f(x),利用導(dǎo)數(shù)得g(x)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】令g(x)=ef(x),則有g(shù)'(x)=e(f'(x)+f(x)<0,所以g(x)在R上單調(diào)遞減，所,g(Inx)=e'"×f(Inx)=xf(Inx),所以由有x>0,且xf(lnx)>2,即g(Inx)>g(2),(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率，寫出直線的點(diǎn)斜式方程，再整理成一般式方程即可；(2)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后，解不等式f'(x)>0,即可求解.【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=x3-3x2-9x+2,所以f'(x)=3x2-6x-9,所以函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線因?yàn)閒(O)=2,所以切線方程為y-2=-9(x-0),即9x+y-2=0.(2)由已知可得f'(x)=3x2-6x-9.令f'(x)>0,解得x<-1或x>3,(2)若關(guān)于x的方程f(x)+2=0有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍.【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，分a≤0和a>0分類討論計(jì)算函數(shù)的單調(diào)性；(2)把方程f(x)+2=0有兩個(gè)不等實(shí)根轉(zhuǎn)化為y=a與有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性及最值，計(jì)算求出參數(shù)范圍.【詳解】(1)x∈R,f'(x)=e*-a,若a>0,f'(x)=0,得x=lna,綜上可知，a≤0時(shí)，f(x)的增區(qū)間是(-∞,+),(2)方程f(x)+2=e?-ax=0,與有2個(gè)交點(diǎn)，y=a!有2個(gè)交點(diǎn)，則a>e.【分析】(1)求出f'(x),分a≤0、a>0討論可得答案；(2)轉(zhuǎn)化為證明,求出f(x).,構(gòu)造函【詳解】(1)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0},(2)由(1)a>0時(shí)，f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,a)上單調(diào)遞減，【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值或最值】【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值或最值】1.函數(shù)的極值極值的相關(guān)概念如圖，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值fa)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)=0,而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f(x)<0,右側(cè)f(x)>0,則把點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.如圖，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值fb)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b)=0,而且在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f(x)>0,右側(cè)f(x)<0,則把點(diǎn)b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值.(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.2.求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟(2)求導(dǎo)函數(shù)f(x);(3)在原函數(shù)的定義域內(nèi)，求方程f(x)=0的所有實(shí)數(shù)根；(4)對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個(gè)根的左右兩側(cè)，導(dǎo)數(shù)f(x)的符號(hào)變化情況.3.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：(1)已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2)導(dǎo)數(shù)值為0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn).4.函數(shù)的最大值與最小值(1)一般地，如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.當(dāng)f(x)的圖象連續(xù)不斷且在[a,b]上單調(diào)時(shí)，其最大值和最小值分別在兩個(gè)端點(diǎn)處取得.(2)函數(shù)的極值與最值的區(qū)別①極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言的，最值是對(duì)函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間而言的.②在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)(或者沒有),但最大(小)值最多有一個(gè).③函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn).5.函數(shù)最值的求解思路求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),fb)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.6.求含有參數(shù)的函數(shù)的最值的解題策略求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，通過對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值可知其二階導(dǎo)函數(shù)在x=1處的取值為負(fù)，解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),則f'(x)=2xlnx+x-2ax+2a-1,若f(x)在x=1處取得極大值，可知在x=1左側(cè)f'(x)>0,在x=1右側(cè)f'(x)<0;因此可知f'(x)在x=1附近自左向右從正變?yōu)樨?fù)，因此f'(x)在x=1處單調(diào)遞減，令f'(x)=g(x)=2xlnx+x-2ax+2a-1,可得g'(x)=2lnx+3-2a,所以g'(1)=21n1+3-2a<0,正確的是()A.既沒有極大值點(diǎn)也沒有極小值點(diǎn)B.既有極C.有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)D.有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)【答案】D【分析】先應(yīng)用二倍角公式化簡(jiǎn)，再求出導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性再結(jié)合極值定義判斷即可.【詳解】因所以f'(x)=sinx+xcosx,設(shè)t(x)=sinx+xcOSx,t'(x)=-xsinx+當(dāng)x∈(x,π),t(x)=f'(x)<0,f(x)在上單調(diào)遞減，所以x?是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn).所示，已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0,1),則()A.函數(shù)y=f(x)·e的最大值為1B.函數(shù)y=f(x)·e的最小值為1C.函數(shù)的最大值為1D.函數(shù)的最小值為1則另外一個(gè)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為y=f'(x),實(shí)線部分為y=f(x),故y=f'(x)·e?+f(x)e?=[f'(x)+f(x)]·e?>0恒成立，對(duì)于C,D,【答案】1+1n2【分析】令f(x)=e“+e(2-×),g(x)=-x2+2x+b,由題可得f(x)與g(x)圖象均關(guān)于直線x=1對(duì)稱，由基本不等式得f(x)≥2e“,g(x)≤1+b,要使得上述方程有解，則2e“≤1+b,令h(x)=2e-x,求導(dǎo)求出最小值得解.【詳解】令f(x)=e“+e2-×),g(x)=-x2+2x+b,因?yàn)閒(2-x)=e12-)+e“=f(x),所以f(x)與g(x)圖象均關(guān)于直線x=1對(duì)稱，要使得上述方程有解，則2e“≤1+b,即所以b-a+1≥2e“-a,令h(x)=2e*-x,則h'(x)=2e-1,所以h(x)≥h(-1n2)=1+ln2,故b-a+1≥1+1n2,當(dāng)且僅當(dāng)a=-1n2,b=0時(shí)取等號(hào).故答案為：1+1n2.垂直.【分析】(1)求導(dǎo)，由題意得到f'(1)=1,即可求解；(2)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】(1)直線x+y+1=0的斜率為-1,依題意f'(1)=2+a=1,所以a=-1;由f(x)=0.得到：x=√2x+0單調(diào)遞增單調(diào)遞減【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求得f'(1)=-3,f(1)=-2,可求得切線方程；(3)利用(2)分類討論，可求f(x)的最小值.【詳解】(1)f(x)=x3-3x2,f'(x)=3x2-6x所以f'(1)=-3,f(1)=-2,所以切線方程為：y+2=-3(x-1),(2)f'(x)=3x2-3ax=3x(x-a).令f'(x)=0,x?=0x0a+0一0+大小Bf(x)的增區(qū)間為(-∞,O),(a,+00);綜上所述：當(dāng)0<a<1時(shí)，7.(24-25高二下·浙江·期中)已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-x+1,a∈R,且滿足在x=1處取得極值，(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.(2)最大值為3,最小值為0【分析】(1)求出f'(x)的表達(dá)式，結(jié)合f'(1)=0可求得a的值；(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出其極大值、極小值，并求出、f(2)的值，比較大小可得出結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=x3-ax2-x+1,所以f'(x)=3x2-2ax-1,令f'(1)=3-2a-1=0,解得a=1,經(jīng)檢驗(yàn)合乎題意.綜上所述，a=1.令f'(x)=0,即(3x+1)(x-1)=0,解得或x=1,x12+0一0+增減0增3所以f(x)有極大值f(x)有極小值f(1)=0,所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上的最大值為3,最小值為0.(2)記f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，試討論f'(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【分析】(1)求出f(0)、f'(0)的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；(2)求得,設(shè)g(x)=f'(x),可得出,令h(x)=x3+3x2-3ax-a,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)h(x)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論.【詳解】(1)當(dāng)a=1時(shí)，,則故當(dāng)a=1時(shí)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y-1=x,即x-y+1=0.(2)因?yàn)閷?shí)數(shù)a>0,函數(shù)該函數(shù)的定義域?yàn)镽,令h(x)=x3+3x2-3ax-a,則h'(x)=3x2+6x-3a=3(x2+2x-a),對(duì)于方程x2+2x-a=0,△=4+4a>0,設(shè)函數(shù)h'(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x?、x?,且x?<x?,由韋達(dá)定理可得x?+x?=-2,xx?=-a<0,必有x?<-1,x?>0,所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(∞0,x)、(x?,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為(x?,x?),所以函數(shù)h(x)在(x,x?)內(nèi)有且只有一個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(-∞0,x)、(x?,+oo)上各有一個(gè)異綜上所述，函數(shù)f'(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.【考點(diǎn)3:利用導(dǎo)數(shù)證明或求解不等式】【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)證明或求解不等式】【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)證明或求解不等式】1.導(dǎo)數(shù)中的不等式證明(1)一般地，要證fx)>g(x)在區(qū)間(a,b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=fx)-g(x),通過分析F(x)在端點(diǎn)處的函數(shù)值來證明不等式.若F(a)=0,只需證明F(x)在(a,b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)=0,只需證明F(x)在(a,b)上單調(diào)遞減即可.(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化A.B.a?<a?C.So<13【分析】利用遞推公式結(jié)合放縮法可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)證明出當(dāng)時(shí)，0<e?-x-1<x,可判斷公式以及放縮法可判斷C選項(xiàng)；利用C中的結(jié)論結(jié)合放縮法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樨悓?duì)于B選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=e-2x-1,其中,則f'(x)=e-2<0,所以，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，則f(x)=e-2x-1<0,令g(x)=e-x-1,其中,則g'對(duì)于C選項(xiàng)，,其中可知，當(dāng)n≥2時(shí)，對(duì)于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，【分析】(1)由函數(shù)f(x)的解析式求f(1),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線斜(2)設(shè)g(x)=f(x)-3x+4,x∈(2,+∞),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g(x)的范圍，由此證明結(jié)論.【詳解】(1)由已知函數(shù)f(x)=x2-2lnx的定義域?yàn)?0,+),f(1)=12-2ln1=1,函數(shù)f(x)=x2-2lnx的導(dǎo)函數(shù)所以f'(1)=0,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為0,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))則g(x)=x2-2Inx-3x+4,x∈(2,+00),【分析】(1)利用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)f'(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得結(jié)(2)g(x)=(x-4)e?-f(x),其中x>0,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性，證得g(x)m:n>0即可證得結(jié)論成立.【詳解】(1)因?yàn)?則f'(x)=x2-2x-a,因?yàn)?<a<3,則f'(1)=-a-1<0,f'(3)=3-a>0,則f'(1)·f'(3)<0,故函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.則g'(x)=(x-3)e?=(x2-2x-3)=(x-3)(e*-x-1),令p(x)=e-x-1,其中x>0,則p'(x)=e-1>0,【分析】(1)求出f'(x),分a≤0、a>0討論可得答案；(2)轉(zhuǎn)化為證明f(x)m,求出f(x)mn,構(gòu)造函【詳解】(1)f(x)的定義域?yàn)閧x|x>0},即證所以當(dāng)0<a<1時(shí)g'(a)<0,g(a)單調(diào)遞減，當(dāng)a>1時(shí)g'(a)>0,g(a)單調(diào)遞增，(2)當(dāng)k=1時(shí)，若g(x)=f(x+1【分析】(1)求導(dǎo)后分k≤0和k>0討論可得；(2)求導(dǎo)后分析單調(diào)性和最值，再結(jié)合零點(diǎn)可得；(3)當(dāng)a=1時(shí)，令.,結(jié)合(2)的結(jié)論和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及等差數(shù)列的求和公式得到再兩邊同時(shí)取指數(shù)運(yùn)算可得.【詳解】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+),令g'(x)=0→x=0,所以g(x).n=g(0)=1-a,因?yàn)間(x)存在零點(diǎn)，所以1-a≤0,(3)由(2)可得，當(dāng)a=1時(shí)，g(x)=x+1-1n(x+1)-1=x-1n(x+1)≥0,則則又上式中n>0,所!【分析】(1)由題意得e?-ax2-x-1≥0,令g(x)=e?-ax2-x-1,求導(dǎo)后令h(x)=e-2ax-1,x≥0,再(2)由(1)得,x≥0恒成立，取.,再相加即可得證.【詳解】(1)不等式f(x)-1≥ax2?e-ax2-x-1≥0,令g(x)=e?-ax2-x-1,求導(dǎo)得g'(x)=e-2ax-1,(2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，2,x≥0,【考點(diǎn)4:利用導(dǎo)數(shù)研究恒、能成立問題】【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究恒、能成立問題】【知識(shí)點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究恒、能成立問題】1.導(dǎo)數(shù)中的恒(能)成立問題解決不等式恒(能)成立問題有兩種思路：(1)分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題.(2)分類討論法解決恒(能)成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進(jìn)行求解即可.【答案】C【分析】由題意將不等式變形并利用函數(shù)同構(gòu)可構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+Inx,再結(jié)合單調(diào)性可得,并求出的最大值即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意易知a>0,依題意將不等式ae?-lnx+Ina≥0變形為ae?+x+lna=ae?+Ine?+Ina=ae?+Inae*≥x+lnx;令g'(x)=0可得x=1,所以g(x)在x=1處取得極大值，也是最大值，即,所以令f(x)=2lnx-x2,x>0,令f'(x)=0,解得x=1或x=-1(舍去),且f(x)mx=f(1)=21n1-1=-1,所以m≤-1.【答案】(-1-e?,1+e?1)而,所以令h(x)=x2+ax-2-e?1,x∈[-1,1]所以0>a>-1-e?1,所以0<a<1+e-1,【詳解】(1)f'(x)=ae-1,令當(dāng)x<3時(shí)，g'(x)>0,當(dāng)x>所以,所以a-1≥e3,即a≥e?3+1.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,3)范圍.【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=x3-3x2-9x+1(x∈R),則f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,3);(2)由(1)可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,-1]上單調(diào)遞增，在[-1,3]上單調(diào)遞減，在[3,4]上單調(diào)遞增，又f(-2)=-8-12+18+1=-1,f(3)=27-27-27+1=-26,因?yàn)?a-1≤f(x)對(duì)Vx∈[-2,4]恒成立，則2a-1≤f(x)m.n=-26,,解得因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍(2)若f(x)≤x2在x∈[0,+∞]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)f(x)在(一∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+)上單調(diào)遞增，極小值0,無極大值；【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后由極值的定義求解即可；時(shí)，不等式變形為在x∈(0,+oo)上有解，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性，求解g(x)的最小值，即可得到答案.【詳解】(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=e-x-1,所以f'(x)=e-1,所以當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)f(x)有極小值f(0)=0,無極大值；即在(0,+)上有解，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e-2,+o).(2)若任意x∈[0,+∞],不等式g(x)≤0恒成立②【分析】(1)先求出導(dǎo)函數(shù)，得出函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)即可得出極值點(diǎn)；(2)先求出導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)h(x)=sinx-3ax分3a≤-1和3a≥1及-1<3a<1分類討論得出單調(diào)性即可求參.【詳解】(1)令p(x)=f'(x),則,則,p'(x)恒小于0,p(x)單調(diào)遞減，且f'(t)=0,x∈(0,t),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，故函數(shù)存在極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn).(2)g(x)=sinx-xcosx-ax3,則g'(x)=x(sinx-3ax).又令h(x)=sinx-3ax,h(x)=cosx-3a,∴g(x)≥g(0)=0(不合題意);∴g(x)≤8(0)=0(符合題意);③當(dāng)-1<3a<1,即時(shí)，由h'(0)=1-3a>0,h(π)=-1-3a<0,(3)由題意得出g(x1)m≥f(x?)m,利用導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=e-x-1,定義域?yàn)镽,f'(x)=e*-1,(2)h(x)=f(x)-8(x)=e-x-1-alnx+x=e*-alnx-1,設(shè)H(x)=xe,x∈[1,2],H'(x)=e+xe?=(x+1)e?>0,(3)當(dāng)a<0時(shí)，若使得g(x)≥f(x?),則g(x?)m≥f(x2)mx,由(1)可知，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，1.導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x),研究y=a與y=g(x)圖象的交點(diǎn)問題.2.與函數(shù)零點(diǎn)(方程根)有關(guān)的參數(shù)范圍問題的解題策略與函數(shù)零點(diǎn)(方程根)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.也點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()【答案】C【分析】根據(jù)題意，先畫x≤0的圖像，求導(dǎo)得到其單調(diào)性以及極值，然后再畫x>0的圖像，結(jié)合函數(shù)的圖像，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=e*(x+1)由f'(x)>0得-2<x≤0,所以f(x)在(-2,0)上單調(diào)遞增.如圖.工-2-1/o1y=bx由圖可知，或b>1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與直線y=b有兩個(gè)交點(diǎn)， 【答案】【分析】求定義域，求導(dǎo)，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得到△=4-12ac>0,解得,設(shè)f(x)的三個(gè)相異的零點(diǎn)為x?,x?,x?,x?<x?<x?,故2x?=x?+x?,ax3+x2+cx?+1=0,ax2+x2+cx?+1=0,ax3+x2+cx簡(jiǎn)得到a(x+x3)+ax?+1=0,因?yàn)?x?=x?+x?,所以2ax?+ax?+1=0,解得,將其代入ax3+x2+cx?+1=0得，,解得【詳解】f(x)=ax3+x2+cx+1(a>0)定義域?yàn)镽,故△=4-12ac>0,解得因?yàn)閤<x?,所以ax2+ax?x?+ax2+x+x?+c=0④,式子③-②得a(3-x2)+(x2-x)+c(x?-x?)=0,即a(x?-x?)(x2+x?x?+x2)+(x?+x?)(x?-x?)+c(x?-x?)故(x?-x?)(ax2+ax?x?+a2+x?+x?+c)=0,因?yàn)閤?<x?,所以ax2+ax?x?+ax2+x?+x?+c=0⑤,式子④-⑤得a(x2-x2)+ax?(x-x;)+x?-x?=0,因?yàn)閤<x,所以a(x?+x)+ax?+1=0,因?yàn)?x?=x?+x?,所以2ax?+ax?+1=0,解得將其代入②得，又又a>0,解得【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)的最小值，由零點(diǎn)情況求出最小值點(diǎn)的范圍，進(jìn)而求出k的范圍.又當(dāng)x從大于0的方向趨近于0時(shí)，f'(x)趨近于負(fù)無窮大，當(dāng)x趨近于正無窮大時(shí)，f'(x)趨近于正無窮大，則存在正數(shù)x?,使得f'(x?)=0,函數(shù)f(x)在(0,x?)上遞減，在(x?,+∞)當(dāng)x從大于0的方向趨近于0時(shí)，f(x)趨近于正無窮大，當(dāng)x趨近于正無窮大時(shí)，f(x)趨近于正無窮大，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是k>1.①若k=0,f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)k.,使得f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是【答案】①②③【分析】把求零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，求出導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性并求出極值，畫出圖像利用數(shù)形結(jié)合判斷①②③④【詳解】在所以y=-2x|lnx|+x在在在又f(1)=1,由圖可知當(dāng)k=0時(shí)，f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，故①正確；存在負(fù)數(shù)k,當(dāng)k<-2e2時(shí)，使得f(x)恰有1個(gè)零點(diǎn)；故②對(duì)；存在負(fù)數(shù)k,時(shí)，使得f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)；故③對(duì)；當(dāng)k>0時(shí)，使得f(x)恰有2或1或0個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)；故答案為：①②③(2)若函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【分析】(1)應(yīng)用分類討論及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；(2)結(jié)合(1)的單調(diào)性，應(yīng)用零點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍即可.【詳解】(1)由題設(shè)f'(x)=-e??+m,當(dāng)m>0時(shí)，若x>-lnm,則f'(x)>0,x<-lnm所以f(x)在(-∞,-1nm)上單調(diào)遞減(2)若函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合(1)知，必有m>0,所以，只需1-lnm<0,可得m>e.(2)若函數(shù)y=f(x)-a有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【分析】(1)通過求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.(2)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性，畫出函數(shù)大致圖象數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】(1)由題意得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),圖切點(diǎn)坐標(biāo)為,切線斜率為0,2f(x)在x=1處的切線方程為(2)若函數(shù)y=f(x)-a有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a有3個(gè)不同的交點(diǎn).由(1)得，?f(x)在x=1時(shí)取得極大值,在x=2時(shí)取得極小值f(2)=2ln2-4.(2)若關(guān)于x的方程f(x)+2=0有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍.【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，分a≤0和a>0分類討論計(jì)算函數(shù)的單調(diào)性；(2)把方程f(x)+2=0有兩個(gè)不等實(shí)根轉(zhuǎn)化為y=a與有2個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性及最值，計(jì)算求出參數(shù)范圍.【詳解】(1)x∈R,f'(x)=e*-a,若a>0,f'(x)=0,得x=lna,(2)方程f(x)+2=e-ax=0,若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即y=a與有2個(gè)交點(diǎn)，x>0時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，g(x)取得最小值，g(1)=e,y=a與有2個(gè)交點(diǎn)，則a>e.【分析】(1)二次求導(dǎo)，通過確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，確定導(dǎo)數(shù)正負(fù)，即可求證；判斷f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可求解.【詳解】(1),令g(x)=f'(x),對(duì)x∈(-1,0),e?<1,-sinx<1,**所以g'(x)<0,即f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)<f(O)=0,與題設(shè)矛盾.所以f(x?)>f(O)=0.又,所以存在唯r∈(-1,x?)使f(r)=0.對(duì)x∈(0,+∞),令g(x)=f'(x),令h(x)=8'(x),所以g'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(0,x?),g'(x)<0,當(dāng)x∈(x?,+∞),所以f(x?)<f(0)=a+3<0.當(dāng)x∈(0,x?)時(shí)，f'(x)<0,當(dāng)x∈(x?,+∞),f'所以f(x3)<f(0)=0.又,所以存在唯一s∈(x?,+∞)使f(s)=0.符合題設(shè).【考點(diǎn)6:導(dǎo)數(shù)中的新定義問題】【知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)中的新定義問題】【知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)中的新定義問題】A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a【答案】A【分析】根據(jù)定義分別求得a和c,再構(gòu)造函數(shù),x>0,根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定m(x)零點(diǎn)的取值范圍即可求解.【詳解】g'(x)=e?+1,則g(x)=g4x)?ex+2=e?+1?x-1,即a=-1,②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；③對(duì)Vx∈(a,b),g'(x)≠0,那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,滿足成立，該定理稱為柯西中值定理.請(qǐng)利用該定理解決下面問題：已知f(x)=x2e?×,若存在正數(shù)a,b(a<b),滿足則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是()【答案】A【分析】令g(x)=lnx,由柯西中值定理可知：那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c,滿足,對(duì)F(x)求導(dǎo)，求出F(x)的值域，即可得出答案.【詳解】由可得：由柯西中值定理可知：那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c,滿足所以,所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍為3.(24-25高三下·廣東東莞·階段練習(xí))類似于斜率，我們給出曲率的定義：如圖所示，設(shè)曲線C是光滑的，在曲線C上選定一點(diǎn)M。作為度量弧s的基點(diǎn).設(shè)曲線上點(diǎn)M對(duì)應(yīng)于弧s,在點(diǎn)M處的傾角為α,曲線上另外一點(diǎn)M′對(duì)應(yīng)于弧s+△s,在點(diǎn)M'處的傾角為α+△α,則弧段MM'的長(zhǎng)度為|△s|,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M轉(zhuǎn)到M'時(shí)切線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為|△α|,用比值來表示弧段MM'的平均彎曲程度，叫做平均曲率，并記作K.類似于從平均速度引入瞬時(shí)速度的方法，當(dāng)這個(gè)M′趨于M時(shí)，上述平均曲率的極限就叫做曲線C在M處的曲率，記作K;.在數(shù)學(xué)上給出曲率的公式：.(其中y,y”分別表示y=f(x)在點(diǎn)M處的一階、二階導(dǎo)數(shù)),根據(jù)定義，橢圓在點(diǎn)的曲率為【答案】?jī)纱螌?duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入曲率計(jì)算公式求解即可.【詳解】由題意在第一象限，所以則故【分析】(1)依題意,即可求出a、b的值；(2)由(1)可得利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=ax3+bx2-6x+3,所以f'(x)=3ax2+2bx-6,所以f”(x)=6ax+2b,所以,解得(2)由(1)知，2f'(x)=3x2-3x-6=3(x+1令f'(x)=0,得x=-1或x=2,所以f(x)有3個(gè)零點(diǎn).(3)an為(2)問所得結(jié)果，證明不等式：【分析】(1)根據(jù)定義，求得f'(x)和f”(x),判斷f"(x)的正負(fù)即可；,即可得出h(x)的最小值an;(3)由(2)結(jié)論得出即兩邊取對(duì)數(shù)，即證]由導(dǎo)數(shù)得出 f(x)=x-In(x+1)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，即可得出,再用累加法即可證明.【詳解】(1)由題,即f"(x)<0,所以f(x)為(0,+∞)的凸函數(shù).(2)設(shè)函數(shù),則 兩邊取對(duì)數(shù)，即證：所以f(x)>f(0)=0→In(x+1)<x,累加可得：,證得不等式成立.域內(nèi)均有f'(x)≤g'(x),則稱y=f(x)是y=g(x)的“DT—函數(shù)”.(2)設(shè)y=f(x)和y=h(x)為定義在R上的函數(shù)，已知f(-x)=f(x),g(x)=h(“DT-函數(shù)”,證明：g(x)-f(x)=c(c為常數(shù));【分析】(1)根據(jù)題意，求得y'=-3x2-1和y′=-sinx,結(jié)合“DT—函數(shù)”的定義，即可求解；得到F'(x)遞增且,F'(1)>0,得到使得F'(x。)=0,求得F(x)的單調(diào)性和最小值,再設(shè)h(x)=lnx-x+1(x>0),求得,求得h(x)的單調(diào)性和最小值h(x).=0,得出lnx≤x-1,進(jìn)而求得F(x)≥0,得到f'(x)≤g'(x),即可證得f(x)是g(x)的“DT-【詳解】(1)解：由函數(shù)y=-x3-x,可得y'=-3x2-1,又由y=cosx,可得y'=-sinx,(2)解：由y=h(x)為定義在R上的函數(shù)，可得函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)镽,因?yàn)間(-x)=h(-x)+h(x)=g(x),所以y=8(x)為偶函數(shù)，即-f'(-x)≤-g'(-x),用-x代替x,可得f所以g(x)-f(x)=c(c為常數(shù))(3)解：由函數(shù)f(x)=xlnx-(a+2)x,g(x)=e+(x-2),可得f'(x)=lnx-a-1,g'(x)=e+a(x-1),設(shè)F(x)=e+a(x-1)-Inx+a+1(存在使得F'(x。)=0,所以h(x)n=h(1)=0,所以h(x)≤0,即Inx≤x-1,所以當(dāng)-1<a<0時(shí)，f(x)是g(x)的“DT一函數(shù)”【考點(diǎn)7:極值點(diǎn)偏移問題】【知識(shí)點(diǎn)：極值點(diǎn)偏移問題】【知識(shí)點(diǎn)：極值點(diǎn)偏移問題】所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對(duì)稱性.極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)x?,方程f(x)的解分別為(2)若則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x,x?)上極值點(diǎn)x?左偏，簡(jiǎn)稱極值點(diǎn)x?左偏；(3)若則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x?,x?)上極值點(diǎn)x?右偏，簡(jiǎn)稱極值點(diǎn)x?右偏.【答案】(1)增區(qū)間為(-∞,1),減區(qū)間為(1,+∞),極大值為,無極小值【分析】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得答案；f(x)>f(2-x),設(shè)x?<1<x?,可得出f(x?)>f(2-x?),進(jìn)一步得出f(x)>f(2-x?),結(jié)合函數(shù)f(x)在【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=xe?*,其中x∈R,則f'(x)=(1-x)e?×,令f'(x)=0,解得x=1,當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)、f(x)的變化情況如下表：x1+0一單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以，f(x)的增區(qū)間為(-∞,1),減區(qū)間為(1,+).故函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,無極小值.(2)構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x),x>1,則F'(x)=f'(x)+f'(2-x)=e×(1-x)+e?-2(x-1)=(x-1)(e??2-e?*),可設(shè)x<1<x?,將x?代入(*)式可得f(x?)>f(2-x?),(2)(i)m∈[e,+∞];(ii)證明見解析【分析】(1)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可求解；(2)(i)由題意知，問題轉(zhuǎn)換成mxlnmx=xe?有兩根，通過取對(duì)數(shù)，同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx+x,通過其單調(diào)性即可求解；(ii)構(gòu)造函數(shù)H【詳解】(1)由題意知，令f'(x)>0,解得令f'(x)<0,解得(2)(i)由題意知，在(0,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故g(Inmx)=g(x)可等價(jià)于Inmx=x,即x-Inx=lnm.F(x)有最小值F(1)=1,故Inm≥1,即m∈(e,+∞).(ii)根據(jù)題意得F(x?)=F(x?)=Inm,不妨設(shè)0<x?<1<x?.構(gòu)造函數(shù)H(x)=F(x)-F(2-x),有H(x)>H(1)=0,