專題02復(fù)數(shù)及其應(yīng)用題型5復(fù)數(shù)的模題型5復(fù)數(shù)的模題型6復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)及其應(yīng)用題型7與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題題型1復(fù)數(shù)的概念題型2復(fù)數(shù)的運(yùn)算題型3復(fù)數(shù)的幾何意義題型4復(fù)數(shù)相等與共軛復(fù)數(shù)1虛數(shù)單位的性質(zhì)②i2=-1,這樣方程x2=-1就有解了，解為x=-i,x=i.③i2=-1,i3=-i,i?=1,in2復(fù)數(shù)的概念1(25-26高三上·湖北武漢·開學(xué)考試)若復(fù)數(shù)z滿足z=3i+2i?,則z的虛部是()A.-2iB.3iC.1【答案】【答案】D【分析】根據(jù)i的冪次規(guī)律，i2=-1,把z=3i+2i?化為復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式z=-2+3i,其虛部即為i前的系數(shù).【詳解】因?yàn)閕?=i?·i2=(-1)2·(-1)=-1,代入原式得：z=3i+2i?=-2+3i,所以復(fù)數(shù)z=-2+3i標(biāo)準(zhǔn)形式中，虛部為3.故選：D.2(2025高三·全國(guó)·專題練習(xí))若復(fù)數(shù)z=(1+3a)-(2-a)i的實(shí)部、虛部互為相反數(shù)，則z的實(shí)部是【答案】【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列方程即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z的實(shí)部、虛部互為相反數(shù)，所以1+3a=2-a,解得故z的實(shí)部是13(2025-湖北·3(2025-湖北·模擬預(yù)測(cè))已知z?,Z?∈C,語句α:Z?,Z?中至少有一個(gè)為虛數(shù)，語句β:z?-z?為虛數(shù).則α是A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要【答案】C【分析】由必要不充分條件的定義、復(fù)數(shù)的概念即可判斷.【詳解】若z?、Z?皆是實(shí)數(shù)，則z?-Z?一定不是虛數(shù)，因此當(dāng)z?-z?是虛數(shù)時(shí)，則“Z?、Z?中至少有一個(gè)數(shù)當(dāng)z?、Z?中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)，Z?-z?不一定是虛數(shù)，如z?=Zz=i,即充分性不成立，A.2B.3C.2【分析】根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)才能比較大小進(jìn)行求解即可.,解得k=2或5(2025-湖南婁底·模擬預(yù)測(cè))當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，(1)復(fù)數(shù)Z實(shí)數(shù)；(2)復(fù)數(shù)Z純虛數(shù)；(3)復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線y=-x上.【答案】(1)【答案】(1)m=-2或m=3;(2)m=2;(3)m=-2或【解析】(1)由虛部為0,求解m值；(2)由實(shí)部為0且虛部不為0,列式求解m值；(3)由實(shí)部與虛部的和為0,列式求解m值.【詳解】解：由題可知，復(fù)數(shù)Z=m2-4+(m2-m-6)i,(1)當(dāng)Z為實(shí)數(shù)時(shí)，則虛部為0,(2)當(dāng)Z純虛數(shù)時(shí)，實(shí)部為0且虛部不為0,即：實(shí)部與虛部的和為0,1運(yùn)算法則題型2復(fù)數(shù)的運(yùn)算2復(fù)數(shù)的運(yùn)算，最終的結(jié)果寫出z=a+bi(a,b∈R)的形式。A.-1B.-i【答案】【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,即得虛部.【詳解】由z·i=1+2i可,其虛部為-1.A.-1-iB.-1+iC.1-i【答案】A【分析】由已知等式化簡(jiǎn)即可求出復(fù)數(shù)z.故選：A【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算求解即可.【詳解】4(2025·甘肅金昌·三模)已知a為非零實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù),Z?=1-i,其中i為虛數(shù)單位，則().A.Z?·z?的虛部C.Z?·z?的實(shí)部【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法及復(fù)數(shù)的概念判斷ACD,根【分析】(1)證明z+1=zi,求出z即可求解；(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則即可求解.【詳解】(1)由題可得z+1=zi,題型3復(fù)數(shù)的幾何意義1復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)及平面向量OZ=(a,b)(a,b∈R)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，有序?qū)崝?shù)對(duì)既可以表示一個(gè)點(diǎn)，也可以表示一個(gè)平面向量)相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù).2復(fù)數(shù)可看成個(gè)向量，求向量的運(yùn)算也可以用平面向量的平行四邊形法則或三角形法則。1(2025高三·全國(guó)·專題練習(xí))在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(2-i)(1+i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】【答案】A【分析】通過復(fù)數(shù)乘法法則計(jì)算出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系確定其坐標(biāo)，最后根據(jù)坐標(biāo)判斷所在象限.【詳解】因?yàn)?2-i)(1+i)=2-i+2i+1=3+i.所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,1),位于第一象限.2(2025-河南·模擬預(yù)測(cè))在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則z=()【答案】【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.故選：B3(24-25高一下·3(24-25高一下·山東青島·期末)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1+2i,√2+√3i,√3-√2i,a+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z?,Z?,Z?,Z?在同一個(gè)圓周上，則實(shí)數(shù)a=().【答案】D【分析】由題意得點(diǎn)Z?,Z?,Z?,Z?在以原點(diǎn)為圓心、半徑為√5的圓上，進(jìn)一步列方程即可求解.得到對(duì)應(yīng)的以原點(diǎn)為始點(diǎn)的向量依次為OZ1,OZ2,OZ?,OZ?,因?yàn)閺?fù)數(shù)1+2i,√2+√3i,√3-√2i,a+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z?,Z?,Z?,Z?在同一個(gè)圓周上，所以a2+1=5,解得a=±2.的坐標(biāo)為() 【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義設(shè)出復(fù)數(shù)z=-m+mi(m>0),再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式，即可求解再代入向量的投影公式，即可求解.解得m=4(m=-3舍去),所以O(shè)Z=(-4,4),OP=(2,4),則向量OZ在向量OP上的投影向量5(24-25高三上貴州貴陽·期末)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),且z滿足|z-(1+i)|=A.(x+1)2+(y+1)2=1B.(x+1)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+1)2=1D.(x-1)2+(y-1)2=1【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi,結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)運(yùn)算和幾何意義可得.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi,則z-(1+i)=x+yi-(1+i)=x-1+(y-1)i,所以z|-(1+i)|=1在復(fù)平面上，表示(x,y)到點(diǎn)(1,1)的距離為1,即表示以(1,1)為圓心，1為半徑的圓，故選：D.A.2√3B.√3C.2【答案】A【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到對(duì)應(yīng)向量的表示，再結(jié)合向量的平行四邊形法則以及余弦定理求解出【詳解】設(shè)z?,Z?在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的向量為0Z?,OZ,Z?+Z?對(duì)應(yīng)的向量為0Z?,如下圖所示：Z?OZ?故選：A.7(多選)(2025高三·全國(guó)·專題練習(xí))【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的運(yùn)算公式判斷A正確；然后設(shè)z?=cosθ+isinθ,則則Z?(cosθ,sinθ),Z?(-sinθ,cosθ),然后根據(jù)根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和向量的模長(zhǎng)與坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷CBD的正誤.【詳解】對(duì)于A,|z?l=liz?I=li|×|z?I=1,所以A正確；設(shè)z?=cosθ+isinθ,則z?=-sinθ+icosθ,則Z?(cosθ,sinθ),Z?(-sinθ,cosθ)對(duì)于B,因?yàn)閦2+z2=(cosθ+isinθ)2+(-sinθ+icosθ)2=(cos2θ-sin2θ+isin20)+(sin2θ-所以B正確；對(duì)于對(duì)于C,因?yàn)閨Z?Z?I2=|0Z?-oZ?|2=0z?2-20Z?·OZ?+0Z對(duì)于D,因?yàn)镺Z?·0Z?=(cosθ,sinθ)·(-sinθ,cosθ)=-sinθcosθ+sinθcosθ=0,所以0Z?⊥OZ?,所以D正確；題型4復(fù)數(shù)相等與共軛復(fù)數(shù)a+bi=c+d也就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，充要條件是他們的實(shí)部和虛部分別相等.2共軛復(fù)數(shù)3對(duì)于含共軛復(fù)數(shù)的等式，常常用待定系數(shù)法，設(shè)z=a+bi,再根據(jù)題意得到關(guān)于a,b的方程，求出最【注意】只有兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)，才可以比較大小，否則無法比較大小.【分析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),再根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及相等的條件求解即可.【詳解】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),A.2+3iB.1-2iC.-3iD【答案】【答案】D【分析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),由條件等式，應(yīng)用復(fù)數(shù)相等求a,b,得到復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z=a-bi,|z|=√a2+b2,因,所3(2024·湖南·二模)關(guān)于復(fù)數(shù)z與其共軛復(fù)數(shù)z,下列結(jié)論正確的是()A.在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)z和z的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱C.z+z必為實(shí)數(shù)，z-z必為純虛數(shù)D.若復(fù)數(shù)z為實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的一根，則z也必是該方程的根【答案】【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷A正確，z=0時(shí)可排除BC,易知當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0有兩實(shí)根時(shí)正確，若△<0可得方程兩根互為共軛復(fù)數(shù)，即D正確.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,表示復(fù)數(shù)z和z的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤：對(duì)于選項(xiàng)B和選項(xiàng)C,當(dāng)z=0時(shí)均不成立，故BC錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,若方程ax2+bx+c=0的△≥0可得z為實(shí)數(shù)，即z=z,符合題意；若△<0,則方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)復(fù)數(shù)根此時(shí)兩根互為共軛復(fù)數(shù)，因此D正確.故選：D,4(2025·山西·模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)則下列說法正確的是()A.z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限B.z的虛部【答案】【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)求出z,即可依次判斷每個(gè)選項(xiàng).故B錯(cuò)誤；z的模故D正確.A.|z|=1C.z-z=-i【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.將①代入②可得：1+2b+1=1,化簡(jiǎn)可得2b=-1,解得1所以z不是純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C:故C正確；【分析】對(duì)于A,舉反例說明即可；對(duì)于B,假設(shè)z?=a+bi,zz=c+di,根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)判斷即可；對(duì)于C,舉反例說明即可；對(duì)于D,根據(jù)復(fù)數(shù)的模的求法列出方程，化簡(jiǎn)判斷即可.對(duì)于C,取z?=1,z?=i,對(duì)于D,因?yàn)閨z?+i=|z?I+1,|z?+i|=la+(b+1)il=√a2+(b+1)2,|z?I+1=√a2+b2+1,此時(shí)z?為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)，故D正確.2求含復(fù)數(shù)模的等式，常常用待定系數(shù)法，設(shè)z=a+bi,再根據(jù)題意得到關(guān)于a,b的方程，求出最后1(2025-河南·模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,則滿足2<|z|<3的A.4πB.5πC.6π【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圓的面積公式求解即可.【詳解】由題意可得，滿足2<|z|<3的點(diǎn)的集合組成的圖形是以原點(diǎn)O為圓心，以2及3為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，則其面積為9π-4π=5π.因z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以故a<0,故a=-2,3(2025·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè))已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z+|z|=(-8i+4)i,復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z,則的A.-4B.3C.-4i【分析】方法一、設(shè)z=x+yi代入化簡(jiǎn)，即可求得復(fù)數(shù)z;【詳解】方法一、設(shè)z=x+yi,x,y∈R,z+|z|=x+√x2+y2+yi=(-8i+4)i=8+4i,z=3+4i,z=3-4i,所以z的虛部為-4,方法二、z+|z|=(-8i+4)i=8+4i,得z=8-|z|+4i,則有z=8-|z|-4i,所以z的虛部為-4,4(2025·河南·模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部均為自然數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,那么滿足2≤|z|≤3的點(diǎn)Z的個(gè)數(shù)為()A.5【答案】【答案】C【分析】設(shè)z=a+bi,得到4≤a2+b2≤9,再依次列舉得到答案.【詳解】設(shè)z=a+bi,a,b∈N,2≤|z|≤3,即4≤a2+b綜上所述：共有7個(gè)點(diǎn)滿足條件.5(20245(2024·寧夏·二模)設(shè)方程x2+x+1=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根分別為z?、Z?,則下列關(guān)于z?、Z?的說法錯(cuò)A.Z?=Z?B.z2=Z?C.|z2-z2l=1【答案】C【分析】求出方程x2+x+1=0的兩個(gè)虛根，可判斷A選項(xiàng)；利用韋達(dá)定理可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】由x2+x+1=0可得可得由韋達(dá)定理可得z?+Z?=-1,Z?Z?=1,對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，方程x2+x+1=0的兩個(gè)虛根z?、Z?互為共軛復(fù)數(shù)，即z?=z2,A對(duì)；所以|z2-z2I=|z?-Z?I=|√3i|=√3,CC.|z?±z?I2=|z?I2±2|z?·Z?I+|z?I2D.【答案】【答案】AD【分析】設(shè)出z?=a+bi,Z?=c+di,a,b,c,d∈R,結(jié)合共軛復(fù)數(shù)及模長(zhǎng)定義與復(fù)數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)判斷.【詳解】設(shè)z?=a+bi,Z?=c+di,且a,b,c,d∈R,則z1=a-bi,z2=c-di,Z?Z?=(ac-bd)+對(duì)A:Z1·Zz=(a+bi)(c+di)=(ac-bZ1·z2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(bc+ad)i,Iz?±Z?I=√(a±c)2+(b±d)2=√a2+b2Iz?I2±2|z?·Z?l+Iz?I2=a2+b2+c2+d2±2√(a=a2+b2+c2+d2±2√a2c2+b2d2+b2c2+a2d2,故C錯(cuò)誤；故D正確.7(2025遼寧.一模)設(shè)復(fù)數(shù)z?,z?滿足|z?I=|z?l=1,i,則z|?+z?l=【詳解】因?yàn)閷?duì)任意復(fù)數(shù)z?,Z?,都有|z?+z?I2+|z?-z?I2=2(lz?I2+|z?I2),題型6復(fù)數(shù)的三角形式1一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成的形式，其中，r是復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在射線為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角，r(cosθ+isinθ)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角形表示式.規(guī)定：在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz,即0≤argz<2π.2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi與三角形式r(cosθ+isinθ)的互換3復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義設(shè)z?=r?(cosθ?+isinθ1),Z?=r?(cosθ1(2023·湖北·二模)復(fù)與下列復(fù)數(shù)相等的是()【答案】B【答案】B【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示、各項(xiàng)的形式判斷正誤即可.,故B正確.故選：B【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算以及其三角形式的運(yùn)算即可得到答案.【詳解】=(cos75°+isin75°)×(cos315°+i=cos(75°+315°)+isin(75上的投影向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是()【答案】【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得旋轉(zhuǎn)后的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3-√3i)[cos(一孕+isin]并化簡(jiǎn)，再結(jié)合投影向量的定義求解.又因?yàn)閍·b=6,所以向量b在a上的投影向量即對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義確定z?,Z?所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程，然后確定z?,結(jié)合復(fù)數(shù)幾何意義及圓的切割線定理即可求出結(jié)果.即z?,z?所對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以(0,1)為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)該圓與y軸交點(diǎn)A(0,2),因?yàn)槟?的純虛數(shù)z?對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為Z?,即z?=±i,,則Z?為Z?,Z?的中點(diǎn)，故z?=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(0,1)不合題意，舍去，老因此z?=-i,由圓的切割線定理可得|Z?O|·|Z?A|=|Z?Z?1·|Z?Z?|,故選：B.5(2023.四川成都·模擬預(yù)測(cè))歐拉公式exi=cosx+isinx(其中i為虛數(shù)單位，x∈R)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是()A.ei為虛數(shù)B.函數(shù)f(x)=exi不是周期函數(shù)C.若,則D.e4·e3的共軛復(fù)數(shù)【答案】D【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)題意計(jì)算出e”i=-1,A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由sinx,cosx是周期函數(shù)，得到答案；C選項(xiàng)，根據(jù)歐拉公式得到C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，計(jì)算出e,得到共軛復(fù)數(shù).B選項(xiàng)，f(x)=exi=cosx+isinx,由于sinx,cosx是最故共軛復(fù)數(shù)i,D正確.故選：Drn(cosnθ+isinnθ),其中r>0,n∈N*.設(shè)復(fù),若正整數(shù)n滿足|z"≤2025,則n最A(yù).10B.11C.20【答案】【答案】D【分析】利用題設(shè)定義得2,進(jìn)而可得,結(jié)合條件，即可求解.由Iz"|≤2025,得到22≤2025,又21?<2025<211,且21題型7與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題1根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，理解與復(fù)數(shù)有關(guān)的軌跡是求最值的關(guān)鍵若z?=a+bi,Z?=c+di,(2)|z-Z?l=r(r>0)表示以(a,b)為圓心，r為半徑的圓.2求與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題，可采取幾何法，先掌握復(fù)數(shù)滿足的軌跡，再強(qiáng)調(diào)所求式子所含的幾何意義，結(jié)合幾何模型求出最值；3采取代數(shù)法，往往是三角換元.A.1B.√2C.2【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)模的幾何意義轉(zhuǎn)化復(fù)數(shù)z滿足的限制條件，進(jìn)而求得|z-1|的最大值.由|z+i|+|z-i|=2可知：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到兩點(diǎn)A,B的距離之和為2,A.1+√5B.3C.1+√3值.【詳解】設(shè)z=x+yi(x,y∈R),已知|z-1-i|=1,根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算這表示復(fù)平面上以點(diǎn)C(1,1)為圓心，半徑r=1的圓.它表示復(fù)平面上復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(x,y)與點(diǎn)A(0,-1)之間的距離.|z+i|的最大值為1+√5.A.1B.√2C.2【分析】直接利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求出點(diǎn)Z的軌跡.然后作圖求解即可.【詳解】設(shè)-2i,2i,1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z?,Z?,Z?,因|因|z+2i|+|z-2i|=4,且|Z?Z?I=4,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡為線段Z?Z?,如圖所示.故z|-1|的最小值問題可理解為：動(dòng)點(diǎn)Z在線段Z?Z?上移動(dòng)，求|ZZ?|的最小值，故只需作Z?Z?⊥Z?Z?,交線段Z?Z?于點(diǎn)Z?,則IZ?Z?|即為所求的最小值1,故|z-1|的最小值是1.故選：A.工Z?4(多選)(20254(多選)(2025·四川巴中·二模)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記為z,對(duì)于任意的三個(gè)復(fù)數(shù)Z?,Z?,Z?與下列結(jié)論錯(cuò)誤A.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)z=-5-2iB.若z=(1+2i)2,則復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限C.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|,則|z-1+i|的最小值為2D.若z?≠0,且Z?Zz=Z?Z?,則z?=Z?【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)除法法則和共軛復(fù)數(shù)的概念得到A正確；B選項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)乘方法則得到z=-3+4i,z=-3-4i,得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，得到所在象限；C選項(xiàng)，由模長(zhǎng)的幾何意義得到z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸(加上原點(diǎn))上，由幾何意義得到最小值為1;D選項(xiàng)，z?(Z?-z?)=0,又z?≠0,則z?=Z?·【詳解】A.復(fù),則共軛復(fù)數(shù)z=-5-2i,正確：B.z=(1+2i)2=1+4i+4i2=-3+4i,z=-3-4i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(-3,-4),在第三象限，B錯(cuò)：C.復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+1|,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在是以-1,1對(duì)應(yīng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線上，即虛軸(加上原|z-1+i表示虛軸(加上原點(diǎn))上的點(diǎn)到點(diǎn)(1,-1)的距離，最小值為1,C錯(cuò)誤.D.若Z?Z?=Z?Z?,則z?(Z?-Z?)=0,故選：BC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)z的模|z|=2的幾何意義，結(jié)合|z+4|+|z-4|的幾何意義，設(shè)出圓上任意一點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式列式，化簡(jiǎn)求得|利用兩點(diǎn)間距離公式列式，化簡(jiǎn)求得|z+4|+|z-4|的取值范圍.【詳解】由于復(fù)數(shù)z滿足|z|=2,故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓心為原點(diǎn)，半徑為2的圓上，設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(2cosθ,2sinθ),θ∈(0,2π),|z+4|+Iz-4|表示圓上的點(diǎn)到(4,0)和(-4,0)兩點(diǎn)距①式平方得40+2√400-256cos2θ,由于cos2θ∈[0,1],所以400-256cos2θ∈[144,400],所以所以40+2√400-256cos2θ∈[64,80],所以√20-16cosθ+√20+16cosθ∈[8,4√5].大大1復(fù)數(shù)方程ax2+bx+c=2m是方程ax2+bx+c=03x?,x?是方程ax2+bx0,也可用初中學(xué)的求根公式；的根，則am2+bm+c=0;+c=0(a,b,c∈R)的兩個(gè)根，4n次整式方程有n個(gè)解。1(2025-河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)z滿足z2-z+2=0,則|z|=()A.2B.√2【答案】B【分析】利用求根公式和復(fù)數(shù)模的公式求解可得.【詳解】由求根公式可得i,所故選：B2(2025-河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè))已知x∈R,i是虛數(shù)單位，方程3x2-a·2-1x+(2x2+x)i=1+10i有解，則正實(shí)數(shù)a=()A.9B.10【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等列式計(jì)算求解，再代入計(jì)算求解判斷.非非A.m=6,n=10B.m=-6,C.m=-6,n=10【分析】利用韋達(dá)定理可得答案.【詳解】由題意可得關(guān)于x的方程x2-mx-n=0(m,n∈R)的另一個(gè)根為3-i,