01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分?！局芙庾x01】空間向量的線性運(yùn)算及有關(guān)定理【知能解讀02】?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積及其運(yùn)算【知能解讀03】空間中的平行與垂直的向量表示【知能解讀04】利用空間向量求空間角【知能解讀05】利用空間向量求空間距離【重難點(diǎn)突破01】利用空間向量解決探索性問(wèn)題【重難點(diǎn)突破02】利用空間向量解決最值范圍問(wèn)題【重難點(diǎn)突破03】不規(guī)則幾何體建系問(wèn)題【重難點(diǎn)突破04】空間向量新定義問(wèn)題04辨·易混易錯(cuò)：辨析易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)?！疽谆煲族e(cuò)01】忽視零向量【易混易錯(cuò)02】錯(cuò)判數(shù)量積的符號(hào)與夾角關(guān)系【易混易錯(cuò)03】忽略建系的條件而出錯(cuò)【易混易錯(cuò)04】由線、面關(guān)系誤解向量關(guān)系【易混易錯(cuò)05】忽視異面直線的夾角與向量的夾角范圍不同【易混易錯(cuò)06】線面角與向量夾角轉(zhuǎn)化不清等問(wèn)題【易混易錯(cuò)07】二面角概念模糊【易混易錯(cuò)08】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題沒(méi)有取舍05點(diǎn)·方法技巧：點(diǎn)撥解題方法，練一題通一類【方法技巧01】用基向量表示指定向量的方法【方法技巧02】三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較【方法技巧03】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【方法技巧04】利用空間向量證明空間線面位置關(guān)系【方法技巧05】用向量法求異面直線所成角的一般步驟【方法技巧06】用向量法求解直線與平面所成角的方法【方法技巧07】利用向量法解二面角問(wèn)題的策略【方法技巧08】利用空間向量求空間距離在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算向量和(差)模夾角公式a//ba,=λb,a=Ab?a?=Ab?((3)方向向量和法向量均是非零向量且不唯一；同一條直線的方向向量共線；同一個(gè)空間角解題思路則cosθ=設(shè)兩異面直線則cosθ=AL如圖，設(shè)1為平面a的斜線，Ina=A,a為I的方向向AL平面與平面的夾角平面β的夾角即為向量n,和n,的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為0,則cosθ=lcos平面與平面的夾角空間角兩個(gè)平面的夾角：[0號(hào)]:則cosθ=則cosθ=面a與平面β的夾角為8,則cosB空間距離空間距離夾角范圍兩個(gè)平面空間向量的有關(guān)概念空間向量的有關(guān)概念盤基礎(chǔ)知識(shí)1、空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量；(1)空間向量的加減法OB=OA+AB=a+bλa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|入倍.有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb.(1)數(shù)量積及相關(guān)概念 ①結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b);向量表示數(shù)量積共線模夾角【分析】結(jié)合已知條件根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.所以AC·BD=(AB+BD+DC)·BD=AB·BD+BD2+DC·BD=0+1+0=1.故選：B知能解讀03空間中的平行與垂直的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥a,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面α的法向量.位置關(guān)系向量表示直線L?,l?的方向向量分別為n,n?直線1的方向向量為n,平面α的法向量為m【真題實(shí)戰(zhàn)】(2025高二全國(guó)·專題練習(xí))已知空間直線1的方向向量是平2【分析】根據(jù)空間向量垂直和平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù).【解析】由m=(1,a+2b,a-1)(a,b∈R)是直線1的方向向量，n=(2,3,若l⊥α,則m//n,即解得則a+b=2,故答案為：2,知能解讀04利用空間向量求空間角設(shè)異面直線a,b所成的角為θ,則,其中a,b分別是直線a,b的方向向量.2、直線與平面所成角如圖所示，設(shè)1為平面α的斜線，INa=A,a為1的方向向量，n為平面α的法向量，3、二面角向量AB與CD的夾角，如圖a.(2)平面α與β相交于直線1,平面α的法向量為π,平面β的法向量為n2,<n,n>=θ,則二面角【真題實(shí)戰(zhàn)】(2025·四川巴中模擬預(yù)測(cè))如【解析】(1)在直三棱柱ABC-A?B?C?中，B?B⊥平面ABC,BCc面ABC,則B?B^BC又∠ABC=90°,即AB⊥BC,又BBIAB=B,BBc平面ABB,ABc平面ABB,又AB?c平面ABB,所以BC⊥AB所以AB?⊥A?B,又BCnA?B=B,BCC平面A?BC,A?BC平面A?BC,又A?Cc平面A?BC,所以A?C⊥AB(2)由(1)知BA,BC,BB?兩兩互相垂直，由于AC=2AB,設(shè)AB=AA?=2,則BC=2√3,B(0,0,0),A(2,0,0),c(0,2√3,0),B(0,0,2),4,(2,0,2),E(1則：取z=-1,則y=0,x=2,得m=(2,0,-1),(如圖)(如圖).(1)直線a與平面α之間的距離：,其中A∈a,B∈α,n(2)兩平行平面α,β之間的距離：,其中A∈α,B∈β,n是平面α的法向量.是平面α的法向量。BC=1.點(diǎn)P在線段AC?上，點(diǎn)P到直線BB的距離的最小值為【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量求法【解析】由已知，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC,BA,BB?所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直三棱柱ABC-A?B?C?的側(cè)棱長(zhǎng)為h,則B(0,0,0),A(0,2,0),C(1,0,h),AC?=(1,-2,h),BB?=(0,由于點(diǎn)P在線段AC?上，設(shè)AP=tAC,0≤t≤1,則P(t,-2t+2,ht),故BP=(t,-2t+2,ht),設(shè)點(diǎn)P到直線BB的距離為d,則當(dāng)時(shí)，取最小值則d的最小值為破重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)突破01利用空間向量解決探索性問(wèn)題利用空間向量解決立體幾何的探索性問(wèn)題思路：(1)根據(jù)題設(shè)條件的垂直關(guān)系，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，將相關(guān)點(diǎn)、相關(guān)向量用坐標(biāo)表示。(2)假設(shè)所成的點(diǎn)或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線、面滿足的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在.【典例1】(25-26高二山西臨汾·開(kāi)學(xué)考試)如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥平面ABCD,△PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，其中BC//AD,AB⊥AD,AB=BC=1.(2)線段PD上是否存在一點(diǎn)E,使得平面EAC與平面DAC夾角的余弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)由面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥平面PAD,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證明；(2)取AD的中點(diǎn)0,以直線OC、OD、OP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，令【解析】(1)由于平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,又∵AB⊥AD且ABc平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.(2)取AD的中點(diǎn)0,連接PO,OC,由△PAD為等邊三角形，可得PO⊥AD,則PO⊥平面ABCD,又OCc平面ABCD,得PO⊥OC,則A(0,-1,0),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,-1 則AP=(0,1,√3),PD=(0,1,-√3),AC=(1,1,0),AE=AP+PE=(0,1,√3)+(0,a,-√3z)=(0,1+2,√3化簡(jiǎn)得3λ2-10λ+3=0,又λ∈[0,1],故解得即請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)由MN/IOD,結(jié)合線面平行判定定理可證得結(jié)論；【解析】(1)∵E,F分別為AD,BC中點(diǎn)，連接CE,DF,交于點(diǎn)N,連接MN,則D(0,0,√3),E(-1,0,0),F(-1,4,0),c(0,4,√3), 設(shè)M(1,m,0)(0≤m≤4),則DE=(-1,0,-√3),EM=(2,m,0),EC=(1,4,√3),令y?=2,則x?=-m,解；(2)求點(diǎn)A?到平面ABC?與到平面MNC?的距離之比；【分析】(1)作出輔助線，利用三角形相似以及線面平行判定定理可證明出結(jié)論；(2)根據(jù)等體積法以及錐體體積公式計(jì)算可得結(jié)果；(3)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出兩平面ABC?與平面MNC?的法向量，再由向量夾角的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【解析】(1)作平行四邊形MACD與平行四邊形MAC?D?,連接AD交BC與點(diǎn)P,如下圖所示：即顯然AM=CD,△CPD~△BPA,所以即又BN=CN,可知P為NC的中點(diǎn)，即所以CD//C?D?,且CD=C?D?,所以CDD?C?為平行四邊形，即CC?//DD?;又因?yàn)锳A?//CC,所以AA?//DD?,可得MN//AD//A?D?,又AC?//MD,AC?女平面MNA?D?,MD?c平面MNA?D?;故AC?//平面A?MN(2)設(shè)點(diǎn)A到平面ABC?與到平面MNC?的距離分別為d,d?,到AB的距離為點(diǎn)C到AB的距離的一半，即得d?=2d?. (3)如圖，以B為原點(diǎn)，AB,BC,BA為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系·設(shè)平面ABC?的一個(gè)法向量為7=(x,y,z),則則設(shè)平面MNC的一個(gè)法向量為n2=(x?,Y?,z?),則則則由d?=2d?可知12|=21同|.設(shè)平面ABC?與平面MNC?所成角為θ,則【典例2】(2025·福建福州模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐P-ABCD中，CD1平面PAD,PA⊥AD.(2)若底面ABCD是正方形，AP=AB=2,E為PB中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱PD上，且異面直線AF與PB所成的角為60°.(ii)平面AEF交PC于點(diǎn)G,點(diǎn)M在線段PB上，求EG與平面MAD所成角的正弦值的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析【分析】(1)依據(jù)CD⊥平面PAD得CD⊥PA,結(jié)合PA⊥AD,利用線面垂直判定定理，證得結(jié)果；PF;【解析】(1)因?yàn)镃D⊥平面PAD,PAc平面PAD,又因?yàn)镻A⊥AD,ADc平面ABCD,CDc平面ABCD,AD∩CD=D,所以PA⊥平面ABCD.(2)(i)由(1)可知PA⊥平面ABCD,所以AB,AD,AP兩兩垂直，所以AE=(1,0,1),PD=(0,2,-2),PB=(2,0,-2),則AF=AP+PF=(0,22,2-22),則AG=AP+PG=AP+μPC=(0,0,2)+μ(2,2,-2)=(2μ,2μ,2即設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則即取x=-1,y=-1,z=1,得n=(-1,-1,1),因?yàn)閚⊥AG,所以n·AG=0,即-2μ-2μ+(2-2μ)=0,解得，所似所以因?yàn)镸在線段PB上，所以PM=tPB=(2t,0,-2t),(0≤t≤1),則M(2t,0,2-2t),AD=(0,2,0),AM=(2t,0,2-2t),設(shè)平面MAD的法向量m=(x,y?,z),則取x=t-1,y?=0,z?=t,得m=(t-1,0,t),貝即EG與平面MAD所成角的正弦值的取值范圍為重難點(diǎn)突破03不規(guī)則幾何體建系問(wèn)題常見(jiàn)的x,y軸選取的參考原則：①盡可能的讓底面上更多的點(diǎn)位于x,y軸上；②找角：x,y軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件；③找對(duì)稱關(guān)系：尋找底面上的點(diǎn)能否存在軸對(duì)稱特點(diǎn).還需證明所用坐標(biāo)軸兩兩垂直(即一個(gè)線面垂直+底面兩條線垂直),這個(gè)過(guò)程不能省略.(1)證明：A?在底面ABC上的射影是線段BC的中點(diǎn).(2)點(diǎn)P在棱CC?上一點(diǎn)，若二面角C?-A?B?-P的正弦值為,確定點(diǎn)P位置并說(shuō)明理由.(2)P與C點(diǎn)重合時(shí)滿足題意，理由見(jiàn)解析.【分析】(1)取BC中點(diǎn)0,連接OA,OA?,證明BC⊥平面AA?O得A?O⊥BC,再由勾股定理逆定理證明A?O⊥AO,則證得線面垂直，從而得結(jié)論； (2)以O(shè)A,OB,OA?為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CP=kCC?=(-k,0,k),0≤k≤1,用空間向量法求二面角的方法求得k值.【解析】(1)取BC中點(diǎn)0,連接OA,OA?,AB=AC,則AO⊥BC,所以BC⊥平面AA?O,而A?Oc平面AA?O,所以BC⊥A?O,AA?⊥BC,AA//BB?,所以BB?⊥BC,側(cè)面BBC=√B?C2-BB2=√6-2=2,CO=1,AO=√AC2-CO2=1,AO=√AC2-CO2=1,所以A?O2+AO2=A?A2,所以A?O⊥AO,AO∩BC=O,AO,BCc平面ABC,所以AO⊥平面ABC,所以A?在底面ABC上的射影是線段BC的中點(diǎn).BB(2)以O(shè)A,OB,OA為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),CC?=AA=(-1,0,1),設(shè)CP=kCC?=(-k,0,k),0≤k≤1,AB?=AB=(-1,1,0),AP=AC+CP=(0,-1,-1)+(-k,0,k)=(-k,-1,k-1),設(shè)平面PA,B的一個(gè)法向量是m=(x,y,z),平面A?B?C?的一個(gè)法向量是n=(0,0,1),二面角C?-AB?-P的正弦值為則余弦值的絕對(duì)值為解得k=0,所以P與C點(diǎn)重合時(shí)滿足題意.y∠ABC=60°,平面AA?C?C⊥平面ABCD,∠A?AC=60°.(2)求二面角D-A?A-C的平面角的余弦值.(3)在直線CC?上是否存在點(diǎn)P,使得BP//平面DA?C??若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由.【分析】(1)連接BD交AC于點(diǎn)0,則BD⊥AC,連接A?O,先根據(jù)勾股定理和面面垂直的性質(zhì)證得線面垂直，以O(shè)B,OC,OA?所在直線為x軸、y軸、z軸建立的空間直角坐標(biāo)系，利為所求.【解析】(1)連接BD交AC于點(diǎn)0,則BD⊥AC,連接A?O.圖2所以A?O⊥底面ABCD.則A(0,-1,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),D(-J3,0,0),4(0, 由于BD=(-2√3,0,0),AA=(0,1,√3),所以BD⊥AA?.(2)由于OB⊥平面AA?C?C,由(1)可知，如圖3.(3)存在，點(diǎn)P在C?C的延長(zhǎng)線上且使C?C=CP,使得BP//平面DA?C?.解法1:假設(shè)在直線CC?上存在點(diǎn)P,使BP//平面DA?C?.設(shè)CP=λCC,P(x,y,z),則(x,y-1,z)=a(0,1,√3),由(1)可知AC=(0,√3,0),DA=(√3,0,√3)則設(shè)?=(x?,y?,Z3),得到解法2:連接CB?,由題設(shè)知CB?//DA?,圖3重難點(diǎn)突破04空間向量新定義問(wèn)題式方程為2x-√2y+z+5=0,平面β的一般式方程為2x+3y+z-1=0,平面Y的一般式方程為x-y-2z+4=0,平面μ的一般式方程為(2m+1)x+(3m+2)y+(m+1)z-5=【答案】(1)【解析】(1)由離散曲率的定義得：(2)由PA⊥平面ABC,BCc平面ABC,得PA⊥BC,又AC⊥BC,AC∩PA=A,AC,PAc平面PAC,則BC⊥平面PAC,由PCc平面PAC,得BC⊥PC,即過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PC于點(diǎn)M,由BC⊥平面PAC,AMc平面PAC,得BC⊥AM,又BC∩PC=C,BC,PCc平面PCB,則AM⊥平面PCB,因此點(diǎn)A到平面PCB的距離為線段AM的長(zhǎng).(3)方法一：過(guò)點(diǎn)Ω作QG//PA交AB于點(diǎn)G,設(shè)BQ=x(0≤x≤2√3),則 設(shè)BQ=λBP(0≤λ≤1),則CQ=CB+BQ=(2,0,0)+λ(-2,-2,2)=(2-22,-22,22),整理得3λ2+2λ-1=0,即(3λ-1)(λ+1)=0,解得：或λ=-1(舍),辨析：在進(jìn)行空間向量相關(guān)概念判斷時(shí)，要注意零向量的特殊性，如零向量與任意向量平行等?！镜淅?】(多選)下列命題為真命題的是() B.在正方體ABCD—A?B?C?D?中，必有AC=ACC.若空間向量m,n,節(jié)滿足m=n,n=p,則m=pD.空間中，al/b,b//c,則allc【答案】BC【解析】對(duì)于A,兩個(gè)向量相等，但方向不一定相同，不能得到a=b,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B,由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，AC與AC長(zhǎng)度相等，方向相同，有AC=AC?,B選項(xiàng)正確；對(duì)于C,空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,即m與n長(zhǎng)度相等方向相同，n與p長(zhǎng)度相等方向相同，則有m與p長(zhǎng)度相等方向相同，有m=p,C選項(xiàng)正確；對(duì)于D,b=0時(shí)，滿足all6,b//c,但不能得到allc,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.B.若兩個(gè)非零向量AB與CD滿足AB+CD=0,則AB//CDC.零向量與任何向量都共線D.兩個(gè)單位向量一定是相等向量【分析】根據(jù)共線向量以及單位向量的定義對(duì)于B,由AB+CD=0可得AB=-CD,故AB//CD,B正確，對(duì)于C,零向量與任意向量共線，故C正確，故選：BC辨析：未考慮共線情況，誤判數(shù)量積的符號(hào)與夾角的關(guān)系.【典例1】已知向量a=(1,1,x),b=(-2,x,4),若(a,b〉為鈍角，則x的取值范圍為_(kāi).要想為鈍角，則且x≠-2,所以x的取值范圍為故答案為：【典例2】已知空間向量a=(3,-1,1),b=(m,2,-2),若a與6的夾角是鈍角，則m)【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及共線向量，列式求解即得.由a與6的夾角是鈍角，得a.b<0且a與6不共線，所以m的取值范圍是辨析：缺乏空間象限能力，忽略空間直角坐標(biāo)系的定義要求.【典例1】已知在直三棱柱ABC-AB?C?中，∠ABC=135°,AB=√2,BC=1,BB?=2,則異面直線AB?與BC?所成角的余弦值為()【解析】在直三棱柱中以B為頂點(diǎn)，BA為x軸，在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作垂直于AB的直線為y軸，BB為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示： 設(shè)異面直線AB?與BC?所成角為θ,貝【典例2】已知直三棱柱ABC-A?B?C?的棱長(zhǎng)均為2,則異面直線A?C與BC?)D【分析】?jī)芍本€所成角為銳角或直角，若利用向量法求出余弦值為負(fù)，注意取相反數(shù).軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3,易混易錯(cuò)04由線、面關(guān)系誤解向量關(guān)系辨析：利用空間向量處理線、面關(guān)系，錯(cuò)誤理解直線向量、法向量之間的關(guān)系.【典例1】若直線l1平面α,且1的方向向量為a=(-1,4,1),平面α的一個(gè)法向量為,則t=【解析】因?yàn)橹本€l1平面α,則alln,又易知z0.m0【典例2】已知空間向量a=(1,3,-2),b=(m,2,m+1)分別是平面α,β的法向量，且α⊥β,則m的值為【分析】根據(jù)a·b=0即可計(jì)算.易混易錯(cuò)05忽視異面直線的夾角與向量的夾角范圍不同辨析：兩異面直線所成角的范圍是兩向量的夾角的范圍是[0,π],需要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系?！镜淅?】已知三棱柱ABC-A?B?C?的各條棱長(zhǎng)相等，且∠A?AB=∠A?AC=45°,∠BAC=60°,則異面直線AB與B?C所成角的余弦值為()【解析】設(shè)三棱柱棱長(zhǎng)為1,AB=a,AC=b,A=c,|a=151=12=1,設(shè)異面直線AB與B?C所成角為θ,【典例2】如圖，E,F分別是正八面體(8個(gè)面均為正三角形)棱BC,CD的中點(diǎn)，則異面直線QE與PF所成角的余弦值為()【分析】根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征有,若正八面體的棱長(zhǎng)為2,應(yīng)用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式求異面直線的夾角余若正八面體的棱長(zhǎng)為2,且各側(cè)面都是正三角形，ABCD為正方形，所以lcos(PF,QE)=易混易錯(cuò)06線面角與向量夾角轉(zhuǎn)化不清等問(wèn)題【典例2】如圖，在四棱錐P-ABCD為PA的中點(diǎn).【分析】(1)設(shè)AD中點(diǎn)為0,連接PO,由等邊三角形、面面垂直的性質(zhì)得PO⊥AD、PO⊥AB,再【詳解】(1)設(shè)AD中點(diǎn)為0,連接PO,因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，故PO⊥AD,又PD⊥AB,PO∩PD=P,PO,PDc平面PAD,故AB⊥平面PAD,由DMc平面PAD,故AB⊥DM,因?yàn)锳B∩PA=A,AB,PAc平面PAB,所以DM⊥平面PAB.則P(0,0,2√3),B(2,-2,0),M(0,-1,√3),C(2,0,0),D(0,2,0),PB=(2,-2,-2√3),MC=(2,1,-√3),MD=(0,設(shè)平面MCD的法向量為n=(x,y,z),則令y=1,則n=(1,1,√3),設(shè)直線PB與平面MCD所成角為θ,則辨析：若兩個(gè)平面的法向量分別為a,b,若兩個(gè)平面所成的銳二面角為θ,則cosθ=合圖形判斷二面角的取值范圍.【典例1】如圖所示，正方形ABCD,ABEF的邊長(zhǎng)都是1,且它們所在的平面互相垂直.動(dòng)點(diǎn)M,N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM=BN.當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，二面角A-MN-B的平面角的余弦【解析】由題意兩個(gè)邊長(zhǎng)均為1的正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面互相垂直.可得AB⊥BC,AB⊥BE,BC⊥BE,以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BE,BC所在直線為坐標(biāo)軸建立則A(1,0,0),B(0,0,0),D(1,0,1),C(0,0,1),E(0,在xOz平面上，直線AC方程為x+z=1,可設(shè)M(t,0,1-t),則取x?=1得p=(1,-1,-1),PAC,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，則二面角P【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量即可求解.【詳解】連接BD,設(shè)AC交BD于點(diǎn)0,則SO⊥平面ABCD,以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,OS的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則易混易錯(cuò)08動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題沒(méi)有取舍辨析：對(duì)于立體結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，計(jì)算結(jié)果一般有多個(gè)值，沒(méi)有根據(jù)題意進(jìn)行取舍.【典例1】如圖，在三棱錐P-ABC中，AC⊥BC,AC=BC=3√2,PA⊥平面ABC.BE.【解析】(1)∵PA⊥平面ABC,BCc平面ABC,∴PA⊥BC,(2)過(guò)A在平面ABC內(nèi)作AS⊥AB,令y=1,x=2λ-3,z=1-λ,即n=(2λ-3,1,1-λ),解得λ=3或【典例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥平面ABCD,△PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)取AD的中點(diǎn)0,連接PO,OC,建立空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)到平面距離的向量公式即可求解；【詳解】(1)由于平面PAD⊥平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,(2)取AD的中點(diǎn)0,連接PO,OC,由△PAD為等邊三角形，得PO⊥AD,則A(0,-1,0),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,-1,0),P(0,0,√3),取z=1,得n=(√3,√J3,1),AE=AP+PE=(0,1,√3)+(0,a,-√3z)=(0,1+a,√3-√3a),AC=(化簡(jiǎn)得3λ2-10λ+3=0,又λ∈[0,1],解得，化簡(jiǎn)得3λ2-10λ+3=0,又λ∈[0,1],解得，所以線段PD上存在點(diǎn)E,使得平面EAC與平面DAC夾角的余弦值為此時(shí)點(diǎn)(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來(lái). AB?=()【答案】B 【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，利用空間向量的線性運(yùn)算即可表示出AB?.【解析】如圖所示：于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.如圖所示，已知四棱錐P-ABCD是陽(yáng)馬，PA⊥平面ABCD,且若AB=a,AD=b,AP=c,則BE=【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算原則求解即可.PB=AB-AP=a-C,【典例3】(25-26高二全國(guó)·課后作業(yè))如圖，在空間四邊形OABC中，點(diǎn)M在OA上，且|OM|=2|MA|,N為【分析】利用向量加法和減法的定義及題設(shè)幾何條件即可求解.【解析】由點(diǎn)M在OA上，且|OM|=2|MA|,知由N為BC的中點(diǎn)，知三點(diǎn)(P,A,B)共線空間四點(diǎn)(M,P,A,B)共面對(duì)空間任一點(diǎn)0,OP=OM+xMA+yMB 【分析】利用A,C,D三點(diǎn)共線得到AC//CD,再使用共線向量定理即可.【解析】因?yàn)锳,C,D三點(diǎn)共線，所以AC/ICD,則存在實(shí)數(shù)μ,使得AC=μCD,由已知得CD=4e+8e?+4e,AC=AB+BC=2e?+(1+a)e?+2e?,由已知得CD=4c+8e?+4e,AC=AB+BC=2e+(1+λ)e?+2e?,故向量表達(dá)式中e,e?,e?的系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，即解得λ=3.【典例2】(25-26高二全國(guó)·課后作業(yè))四棱柱ABCD-A'B'C'D′的六個(gè)面都是平行四邊形，點(diǎn)M在對(duì)角【分析】(1)借助空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可【解析】(1)因?yàn)樗訫、N、DC三點(diǎn)共線.所以AB=(-1,2,0),AC=(-1,0,3),AD=(0,1,解得x=1,y=2, OP=xOM+yON+zoQ,且x+y+z=1,解得滿足且點(diǎn)P在平面A?BC內(nèi)，則k=()A.MP=2MA+3MBC.PM⊥ABD.PM//AB【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念結(jié)合四點(diǎn)共面的結(jié)論逐項(xiàng)分析判斷.【解析】對(duì)于選項(xiàng)A:由MP=2MA+3MB知MP,MA,MB為共面向量，故P,M,A,B四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)A正確；方法技巧03空間向量數(shù)量積的應(yīng)用2、求長(zhǎng)度(距離):運(yùn)用公式la2=a·a,可使線段長(zhǎng)度的點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為1,且兩兩之間的夾角都是60°,則下即可.【解析】∵在平行六面體ABCD-A?B?C?D其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為1,且彼此夾角都是60°,所以A2=AB2=AD2=1,對(duì)于A,因?yàn)锳C?=AA+AB+AD,AC|=|AA+AB+AD|=√6,故A正確；對(duì)于B,因?yàn)镈B?=AA+AB-AD,即AC?⊥BD不成立，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于C,BC=BC?+BB=-A4+AD,所以BC=√(-A4+AD)2=√1+1-1=1.所以向量B?C與AA夾角是120°,故C正確； 對(duì)于D,∵BD?=AD+AA-AB,AC=AB+AD,BD?·AC=(AD+AA?-AB)·=AD·AB+AD2+AA·AB+AA·AD-AB2-故D錯(cuò)誤. =aAD=b,AA?=C則下列結(jié)論正確的是()A.AC?=a+b+cD故B錯(cuò)誤；故C正確；故D正確.正確的是()B:∵|a=√6,|=5√2,∴5|al=√3|6|,B正確；B(-1,1,1),C(3,1,2),則下列結(jié)論正確的是()C.AB⊥AC,則P,A,B,C四點(diǎn)共面可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于C,驗(yàn)證AB·AC是否等于0,可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于由【解析】因?yàn)锳(1,0,2),B(-1,1,1),C(3,1,2),所以AB=(-2,1,-1),AC=(2,1,0),BC=(4,0,1).對(duì)于B,AB+AC=(0,2,-1),則(AB+AC)·BC=0×4+2×0+(-1)×1=-1.故B正確；對(duì)于C,AB·AC=(-2)×2+1×1+(-1)×0=-3,所以AB,AC不垂直.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)?所以6OP=30A+2OB+OC,所以30A-30P+2OB-20P+OC-OP=0,所以3PA+2PB+PC=0,即PC=-3PA-2P線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問(wèn)題線線垂直線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡腃.若n=-20,則1/laD.若m=-10,則α⊥β【分析】利用平面的法向量、直線的方向向量逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.對(duì)于B,由l⊥a,得i//ü,則解得n=1,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,由n=-20,得t=(-20,-2,-4),i.ü=20-4-16=0,i⊥ü,則L/1α或lcα,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,由m=-10,得v=(-10,-1,-2),ü·v=10-2-8=0,ü⊥,則α⊥β,故D正確?！镜淅?】(25-26高三·江蘇階段練習(xí))已知正方體ABCD-A?B?C?D?,點(diǎn)P,Q分別在AB,B?C上，A?P=B?Q,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()C.P,Q,A?,C?四點(diǎn)共面D.PQ//平面ABCD【分析】由題意∠B?CC?為直線B?C與CC?所成的角，即可判斷A;舉反例判斷C;建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求證線線垂直和線面平行判斷B、D.【解析】對(duì)于A:由正方體性質(zhì)可知：∠B?CC?為直線B?C與CC?所成的角，∠B?CC?=45°,故直線B?C與CC?所成的角為45°,故A正確；對(duì)于B:如圖，設(shè)正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長(zhǎng)為1,以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD?所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),D?(0,0,1),B?(1,1,1),C?(0,1,1),設(shè)AP=tAB=(0,t,-t),則P(1,t,1-t),因A?P=B?Q,A,B=B?C,則BQ=tBC=(-t,0,-t),則Q(1-t,1,1-t),所以PQ=(-t,1-t,0),而DD?=(0,0,1),因?yàn)镻QDD?=(-t)×0+(1-t)×0+0×1=0,所以PQ⊥DD,即DD?⊥PQ,故B正確；直線，故PQ與A?C?為異面直線，即P,Q,A?,C?四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:由正方體的性質(zhì)知DD?⊥平面ABCD,所以DD?=(0,0,1)為平面ABCD的一個(gè)法向量.由選項(xiàng)B的證明可知：DD?⊥PQ,又PQ?平面ABCD,所以PQ//平面ABCD,故D正確.C(1,1,-1).下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()所以O(shè)A=(1,1,2),OB=(-1,2,1),OC=(1,1,-1),AB=(-2,1對(duì)于A:OA·OC=1+1-2=0,所以O(shè)A⊥OC,故A正確；對(duì)于C:由A、B可得：OA⊥OC,AB⊥OC,所以O(shè)故C正確； n?分別為平面α,β的法向量(a,β不重合),則下列說(shuō)法中正確的是()A.?//??l⊥l?對(duì)值.M,N分別是B?C,A?B?的中點(diǎn)，則直線BM與直線CN所成角的余弦值()設(shè)BC=a(a>0),則B(0,0,0),C(0,a,0),與DF所成的角的正弦值是()如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為4,AB=a,AD=b,AA=c,則則設(shè)BE與DF所成的角為θ,則CE與DF所成的角余弦值為()積的運(yùn)算律求解數(shù)量積，即可解答.利用數(shù)量利用數(shù)量則a-b=0, ①當(dāng)M在線段A?B?上時(shí)(包含端點(diǎn)),易知AD⊥AM,則cosθ=0;②當(dāng)M在線段B?C?上時(shí)(不含B?,包含C?),設(shè)M(t,1,√3)(0<t≤1),,則AM=(t,1,√J3),④當(dāng)M在線段D?A?上時(shí)(不含端點(diǎn)),顯然③求解.【解析】(1)證明：由平面PAB∩平面PCD=l,1//平面ABCD,(2)證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD,且ABC平面ABCD,所以AB⊥PA,(3)解：因?yàn)镻A⊥平面ABCD,且AD,ABc平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,方法技巧06用向量法求解直線與平面所成角的方法如圖所示，設(shè)直線I的方向向量為e,平面α的法向量為n,直線1與平面α所成的角為φ,向量e與n的AB=BC=BB?=2.(2)求直線A?B與平面BDC?所成的角的正弦值【答案】(1)【分析】(1)建立空間坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可；(2)利用線面角的向量求法即可求解.【解析】(1)由題意可知，BA,BC,BB兩兩垂直，于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz,設(shè)平面BDC?的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),所以點(diǎn)C到平面BDC?的距離(2)設(shè)直線A,B與平面BDC?所成的角為θ,所以直線A?B與平面BDC?所成的角的正弦值為AA?=5,點(diǎn)Q,R分別在棱CC?,BB?上，且CQ=BR=2.(2)求直線AB?與平面B?DQ所成角的正弦值.②【分析】(1)連接RQ,證明四邊形BCQR和四邊形ADQR都為平行四邊形，從而可得出ARI/IDQ,再根據(jù)線面平行的判斷的了即可得證；(2)以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解即可.【解析】(1)連接RQ,因?yàn)锽R/ICQ且BR=CQ,所以四邊形ADQR為平行四邊形，所以AR//DQ,又DQc平面B?DQ,AR?平面B?DQ,所以AR//平面B?DQ;(2)如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),A(3,0,0),Q(0,4,2),B?(3,4,5),故AB?=(0,4,5),DQ=(0,4,2),QB?=(3,0,3),設(shè)平面B?DQ的法向量為n=(x,y,z),令z=2,則x=-2,y=-1,所以n=(-2,-1,2),所以直線AB?與平面B?DQ所成角的正弦值為角形，AC?=4,AB⊥AAA③(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，轉(zhuǎn)化為證明AC?⊥平面ABC,即可證明面面垂直；(3)根據(jù)垂直關(guān)系，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面AB?C的法向量，代入線面角的向量公【解析】(1)因?yàn)锳B=3,AC?=4,AB⊥AC?,所以BC?=5,(2)由(1)可知△ACC?中，滿足AC2+AC2=CC2,所以AC⊥AC?,且AB⊥AC?,AB∩AC=A,AB,ACc平面ABC,所以AC?⊥平面ABC,且AC?C平面ABC?,設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),設(shè)AC?與平面AB?C所成的角為θ,1、找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.【典例1】(25-26高二黑龍江哈爾濱階段練習(xí))在平行四邊形ABCD中(圖1),為AB的中點(diǎn)，將等邊△ADM沿DM折起，連接AB,AC,且AC=4(圖2).(2)求平面ADC與平面ABM夾角的余弦值；(3)若P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),判斷直線DP能否與平面ABM平行，并說(shuō)明理由.(3)不能，證明見(jiàn)詳解【分析】(1)在平行四邊形中找到三角形VCDM的角和邊，利用余弦定理解三角形，即可證明DM,CM的關(guān)系，然后利用勾股定理得到CM,AM的關(guān)系，然后得到線面關(guān)系；(2)取線段DM,DC中點(diǎn)，然后由(1)證明三條直線兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，然后由條件寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到面內(nèi)空間向量的坐標(biāo)，然后由空間向量的數(shù)量積求得兩個(gè)面的法向量，由法向量的夾角的余弦值求得面面角的余弦值.(3)反證法，假設(shè)直線DP與平面ABM平行，由線面平行推導(dǎo)得面面平行，又因?yàn)槊媾c面存在交點(diǎn)，從而證明假設(shè)不成立，然后得到結(jié)論.【解析】(1)在平行四邊形ABCD中，△ADM為等邊三角形，DC=4,DM=2,在四棱錐中由AC=4可得CA2=AM2+CM2,∴CM⊥AM,且AM∩DM=M,AMC平面ADM,DMc∴CM⊥平面ADM.(2)分別取DM,CD中點(diǎn)F,N,連接AF,FN,由(1)可知DM⊥CM,CM⊥平面ADM,則(3)不能.即不存在AC上一點(diǎn)P(不包括端點(diǎn))使得DP//平AB⊥BC.方法二：把二面角的余弦轉(zhuǎn)化成兩個(gè)平面的垂線所成的角，利用余弦定理求角的余弦.【解析】(1)在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥平面ABC,BCc平面ABC,所以AA?⊥BC.又AB⊥BC,AA∩AB=A,所以BC⊥平面AA?B?B,AB?c平面AA?B?B,所以BC⊥AB?.又AA?=AB,所以四邊形AA,B?B為正方形，從而A?B⊥AB?.因?yàn)锳?BIBC=B,A?B,BCc平面A?BC,所以AB?⊥平面A?BC.(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，BB?所在直線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系：則B(0,0,0),A(0,2,0),C(2√3,0,0),A(0,2,2),B?(0,0,2),設(shè)平面A?ACC?的法向量為7=(x,y,z),則由(1)可知，平面ABC的法向量為AB?,設(shè)平面A?BC與平面A?ACC?的夾角為θ,則法二：過(guò)B?作A?C?的垂線，垂足為E,連接AE,∵平面A?B?C?⊥平面AA?C?C,B?E⊥A?C?,∴BE⊥平面ACC?A?,設(shè)平面ABC與平面A?ACC?的夾角為θ,θ=∠AB?E,則的中點(diǎn).(2)若AA?=2AB,求平面A?EC?與平面AEC?夾角的余弦值.【分析】(1)根據(jù)線線平行，結(jié)合平行線的傳遞性可得AF//EC?,即可求證，(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求解向量的夾角，即可求解.【解析】(1)設(shè)G為CC?的中點(diǎn)，連接GF,AF,BG.由題易知GF//CD,GF=CD,BA=CD,BA//CD,所以GF=AB,GF//AB,所以四邊形ABGF為平行四邊形，所以AF//BG,又BG//EC?,所以AF//EC?,且點(diǎn)A在平面AEC?內(nèi)，故點(diǎn)F在平面AEC?內(nèi)(2)不妨設(shè)AB=1,則AA?=2,以BC,BA,BB?所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以EC=(1,0,1),EA=(0,1,1),EA=(0,1,-1).所以平面A?EC?的一個(gè)法向量為m=(1,1,-1).設(shè)n=(x?,y?,z?)為平面AEC?的法向量，所以即令x?=1,得y?=Z?=-1,所以平面AEC?的一個(gè)法向量為n=(1,-1,-1).所以平面A,EC?與平面AEC?夾角的余弦值為AD=2AB=2BC=√2AP=6,且面ABCD,E,F分別為線段PD,PC上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn).②【分析】(1)先求證CD⊥平面PAC,再根據(jù)EFIICD即可求出；【解析】(1)因ABCD為直角梯形，AB⊥AD,AD//BC,AD=2AB=2BC=√2AP=6,因PA⊥平面ABCD,CD=平面ABCD,則PA⊥CD,又PA∩AC=A,PA,ACc平面PAC,則CD⊥平面PAC,則EF⊥平面APC;則A(0,0,0),C(3,3,0),D(0,6,0),P(0,0,3√2),E(0,2,2√2),則AE=(0,2,2√2),DC=(3,-3,0),由EFIAB=2,AC∩BD=0,PO⊥底面ABCD,OP=2,點(diǎn)E在棱PD上.【解析】(1)因?yàn)镻O⊥平面ABCD,ACc平面ABCD,所以PO⊥AC,所以AC⊥平面PBD,又因?yàn)锳Cc平面ACE,所以平面ACE⊥平面PBD.(2)由(1)知AC⊥平面PBD,又因?yàn)镃E∩AC=C,CE,ACc平面CEA,所以PD⊥平面CEA,又因?yàn)樵诹庑蜛BCD中，∠BAD=120°,|AB|=2,又因?yàn)镻O=2,所以|PD|=√PoP2+lOD2=√22+(52=所以二面角P-AC-E的余弦值為解法二：由PO⊥底面ABCD,AC,BDC底面ABCD,且底面ABCD為菱形可知OB,OD,OP兩兩垂直，又當(dāng)CE取得最小值時(shí)，有CE⊥PD,以0為原點(diǎn)，OB,OC,OP分別為x,y,z軸建空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,2),A(0,-1,0),B(√3,0,0),C(0,1,0所以PD⊥平面ACE,所以二面角P-AC-E的余弦值為(1)點(diǎn)線距：已知直線I的單位方向向量為u,A是直線1上的定點(diǎn)，P是直線I外一點(diǎn)，設(shè)向量AP在直線1上的投影向量為AQ=a,則點(diǎn)P到直線I的距離為√a2—(a-u)2.面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P到平面α的距離為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作DEIAB交AC于點(diǎn)D,將VADE沿DE翻折至△PDE,得到四棱錐P-BCDE,F為棱PB上一動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn)).FG//PE,CG//DE,再由線面、面面平行的判定定理證明平面FCG//平面PDE,再由線面平行的性質(zhì)證 BF=λBP=(0,-32,3λ)(0<λ<1),進(jìn)而得F(0,3-32,32),求直線EF與平面PEC的方向向量和法向量，應(yīng)用向量法求線面角及已知列方程求出參數(shù)值；(ii)應(yīng)用點(diǎn)面距離的向量求法求點(diǎn)面距離.【解析】(1)因?yàn)锳C⊥BC,AB=2BC=6,所以∠ABC=60°,因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則BC=CE=BE,所以△BCE是等邊三角形，取BE的中點(diǎn)G,連接CG,FG,則