3/3專題07函數(shù)的應(yīng)用（零點(diǎn)與方程的根、函數(shù)模型）（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律7.1函數(shù)零點(diǎn)的概念與求法能理解零點(diǎn)的定義，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的零點(diǎn)（令f(x)=0求解）。概念理解題。7.2零點(diǎn)存在性定理的理解與應(yīng)用能判斷函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是否連續(xù)，并驗(yàn)證f(a)·f(b)<0，從而判斷零點(diǎn)存在性。高頻考點(diǎn)，易錯(cuò)在“連續(xù)”條件的忽視。7.3判斷函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)能通過(guò)圖象法（兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)）或單調(diào)性法判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)。常見中等題，數(shù)形結(jié)合思想的典型應(yīng)用。7.4二分法求方程近似解的原理與步驟能敘述二分法的原理和操作步驟，理解其“逐步逼近”的思想。了解性考點(diǎn)，通常不要求具體計(jì)算。7.5一次、二次函數(shù)模型的應(yīng)用能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立直線或二次函數(shù)模型解決最優(yōu)值等問(wèn)題?；A(chǔ)應(yīng)用模型。7.6指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用（增長(zhǎng)、衰減、復(fù)利等）能識(shí)別指數(shù)增長(zhǎng)/衰減的特征，并建立相應(yīng)模型解決實(shí)際問(wèn)題。期中應(yīng)用題壓軸題型，符合當(dāng)前命題趨勢(shì)。7.7函數(shù)模型的選擇與評(píng)價(jià)能根據(jù)數(shù)據(jù)特征或散點(diǎn)圖選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理性分析?？疾閿?shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的最高層次知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)零點(diǎn)的定義一般地，對(duì)于函數(shù)y=fx，把使叫作函數(shù)y=fx的零點(diǎn).函數(shù)y=fx的零點(diǎn)就是方程fx=0方程、函數(shù)、函數(shù)圖象之間的關(guān)系：方程fx=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=fx的圖象?函數(shù)知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b上的圖象是的一條曲線，且有，那么函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b內(nèi)零點(diǎn)，即存在c∈a,b，使得fc=0知識(shí)點(diǎn)03函數(shù)單調(diào)性對(duì)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點(diǎn)至多有一個(gè)。因此分析一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)知識(shí)點(diǎn)04幾個(gè)“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)）（1）若，則“一定”存在零點(diǎn)，但“不一定”只有一個(gè)零點(diǎn)。要分析的性質(zhì)與圖象，如果單調(diào)，則“一定”只有一個(gè)零點(diǎn)（2）若，則“不一定”存在零點(diǎn)，也“不一定”沒(méi)有零點(diǎn)。如果單調(diào)，那么“一定”沒(méi)有零點(diǎn)（3）如果在區(qū)間中存在零點(diǎn)，則的符號(hào)是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖象影響。如果單調(diào)，則一定小于0知識(shí)點(diǎn)05零點(diǎn)與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號(hào)是一個(gè)在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點(diǎn)，且，則時(shí)，；時(shí)，知識(shí)點(diǎn)06證明零點(diǎn)存在的步驟（1）將所證等式中的所有項(xiàng)移至等號(hào)一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)（2）判斷是否要對(duì)表達(dá)式進(jìn)行合理變形，然后將表達(dá)式設(shè)為函數(shù)（3）分析函數(shù)的性質(zhì)，并考慮在已知范圍內(nèi)尋找端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間（4）利用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)存在知識(shí)點(diǎn)07三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同知識(shí)點(diǎn)08常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)知識(shí)點(diǎn)09解函數(shù)模型問(wèn)題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型．(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．以上過(guò)程用框圖表示如下：題型一求函數(shù)的零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)解｜題｜技｜巧函數(shù)零點(diǎn)即函數(shù)值為0時(shí)的自變量值，解方程(f(x)=0)可得零點(diǎn)。（2）結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)、特殊點(diǎn)的函數(shù)值，輔助確認(rèn)零點(diǎn)是否存在及個(gè)數(shù)（如端點(diǎn)值異號(hào)則區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)）?！镜淅?】（24-25高一上·河南鄭州·期中）（多選）函數(shù)的零點(diǎn)有（

）A．0 B． C． D．3【典例2】（24-25高一上·黑龍江伊春·期中）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式1】（24-25高一上·云南昆明·期中）函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則=【變式2】（24-25高一上·遼寧大連·期中）已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)．題型二用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間解｜題｜技｜巧確認(rèn)函數(shù)在區(qū)間([a,b])上連續(xù)（如多項(xiàng)式、指對(duì)數(shù)函數(shù)等基本函數(shù)的組合通常連續(xù)）。計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值(f(a))和(f(b))，若(f(a)f(b)<0)，則區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。（3）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，可進(jìn)一步判斷區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性?！镜淅?】（24-25高一上·河南開封·期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高一上·北京海淀·期中）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．題型三求方程的根及根的個(gè)數(shù)解｜題｜技｜巧將方程變形為(f(x)=0)，方程的根等價(jià)于函數(shù)(f(x))的零點(diǎn)。分析函數(shù)(f(x))的單調(diào)性、根據(jù)極值（跨章節(jié)）的正負(fù)判斷函數(shù)與x軸的交點(diǎn)數(shù)。（3）結(jié)合函數(shù)定義域和極限趨勢(shì)，綜合判斷根的個(gè)數(shù)?！镜淅?】（24-25高一上·河南·期中）方程的根的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】（24-25高一上·山東淄博·期中）已知方程有唯一的根，則（

）A． B． C． D．1【變式2】已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，方程的根的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3題型四求圖象的交點(diǎn)及交點(diǎn)個(gè)數(shù)【典例1】（24-25高一上·四川瀘州·期中）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1】（24-25高一上·湖南·期中）已知函數(shù).(1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出的大致圖象，并寫出的單調(diào)區(qū)間及值域；(2)若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式2】（24-25高一上·湖北·期中）已知函數(shù)，其中(1)用定義證明：函數(shù)，在上單調(diào)遞增(2)若函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍(3)已知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．題型五指數(shù)函數(shù)模型【典例1】（24-25高一上·浙江溫州·期中）一個(gè)質(zhì)量為的物體在空氣中以初始速率落下，假設(shè)空氣阻力大小與物體的速率滿足（為正常數(shù)）可求得在時(shí)刻物體的速率，其中自然常數(shù)，為重力加速度的大小，按照此模型，可推得（

）A．當(dāng)時(shí)，隨著變大，物體速率減小，但始終大于B．當(dāng)時(shí)，隨?變大，物體速率增大，且始終大于C．當(dāng)時(shí)，隨著變大，物體速率減小，且始終小于D．當(dāng)時(shí)，隨著變大，物體速率增大，最終會(huì)等于【變式1】（24-25高一上·四川瀘州·期中）在某個(gè)時(shí)期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以6.15%的增長(zhǎng)率呈指數(shù)增長(zhǎng)，已知經(jīng)過(guò)30天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來(lái)的6倍，那么經(jīng)過(guò)60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來(lái)的（

）A．12倍 B．18倍 C．24倍 D．36倍【變式2】（24-25高一上·廣東惠州·期中）某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)存溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是（

）小時(shí).A．20 B．22 C．33 D．24題型六對(duì)數(shù)函數(shù)模型【典例1】（24-25高一上·廣東佛山·期中）豬血木又名陽(yáng)春紅檀，原產(chǎn)于廣東陽(yáng)江陽(yáng)春市、廣西平南縣和巴馬縣，是中國(guó)特有的單種屬瀕危植物，屬于國(guó)家一級(jí)保護(hù)植物和極小種群野生植物．豬血木不僅實(shí)現(xiàn)了人工繁育，在陽(yáng)江陽(yáng)春市儲(chǔ)備苗木近10萬(wàn)株，還被引種到廣州、深圳、韶關(guān)、云浮等地．某地引種豬血木1000株，假設(shè)該地的豬血木數(shù)量以每年10%的比例增加，且該地的豬血木數(shù)量超過(guò)2000株至少需要經(jīng)過(guò)年，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．9 B．8 C．7 D．6【變式1】（24-25高一上·浙江寧波·期中）中國(guó)5G技術(shù)領(lǐng)先世界，其數(shù)學(xué)原理之一便是香農(nóng)公式：，它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，將信噪比從2000提升至10000，則大約增加了（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高一上·江蘇連云港·期中）盡管目前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如地震時(shí)釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為.若甲地發(fā)生里氏4.5級(jí)地震，乙地發(fā)生里氏8.0級(jí)地震，則乙地地震釋放出的能量是甲地地震釋放出的能量的（

）A．5.25倍 B．5.2倍 C．倍 D．倍題型七建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【典例1】（24-25高一上·廣東·期中）中國(guó)芯片產(chǎn)業(yè)崛起，出口額增長(zhǎng)迅猛，展現(xiàn)強(qiáng)勁實(shí)力和競(jìng)爭(zhēng)力．中國(guó)自主創(chuàng)新，多項(xiàng)技術(shù)取得突破，全球布局加速.現(xiàn)有某芯片公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入108萬(wàn)元買一套生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備后，前年的支出成本為萬(wàn)元，每年的銷售收入100萬(wàn)元(1)求該芯片公司買該套生產(chǎn)設(shè)備產(chǎn)生的前年的總盈利額；(2)使用若干年后對(duì)該設(shè)備處理的方案有兩種，方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以30萬(wàn)元的價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以54萬(wàn)元的價(jià)格處理，哪種方案較為合理?并說(shuō)明理由(注：年平均盈利額=總盈利額使用年限)【典例2】（24-25高一上·廣東東莞·期中）東莞廣播電視臺(tái)旗下的電商平臺(tái)—“家鄉(xiāng)好物商城”依托廣播、電視與互聯(lián)網(wǎng)平臺(tái)優(yōu)勢(shì)，主要銷售東莞制造的優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品及東莞對(duì)口支援、幫扶地區(qū)的農(nóng)特產(chǎn)品，打通新疆、廣西、云南、貴州等地區(qū)農(nóng)特產(chǎn)品的產(chǎn)銷對(duì)接渠道.近一個(gè)月來(lái)，“貴州黃牛肉”、“廣西小砂糖橘”、“云南野蘋果”等農(nóng)特產(chǎn)品在東莞熱銷.通過(guò)對(duì)過(guò)去的一個(gè)月（以30天計(jì)）的“廣西小砂糖橘”的銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每千克的銷售價(jià)格（單位：元/千克）關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系近似滿足（，且為常數(shù)），日銷售量（單位：千克）關(guān)于第天的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：9141822295459635952已知第9的日銷售收入為552元.(1)求的值；(2)給出以下四種函數(shù)模型：①；②；③；④.請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型（簡(jiǎn)要說(shuō)明理由）來(lái)描述日銷售量關(guān)于第天的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；(3)設(shè)該工藝品的日銷售收入為函數(shù)（單位：元）；求函數(shù)的最小值.【變式1】（24-25高一上·江蘇南京·期中）兩縣城和相距，現(xiàn)計(jì)劃在縣城外以為直徑的半圓?。ú缓瑑牲c(diǎn)）上選擇一點(diǎn)建造垃圾處理站，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，垃圾處理廠對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為；對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為.對(duì)城和城的總影響度為城和城的影響度之和，記點(diǎn)到城市的距離為，建在處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度為.統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城和城的總影響度為.(1)將表示成的函數(shù)；(2)判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使得建在此處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度最??？若存在，求出該點(diǎn)到城的距離；若不存在，說(shuō)明理由.【變式2】某公司為調(diào)動(dòng)員工工作積極性擬制定以下獎(jiǎng)勵(lì)方案，要求獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，獎(jiǎng)金不超過(guò)90萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%.即假定獎(jiǎng)勵(lì)方案模擬函數(shù)為時(shí)，該公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：當(dāng)時(shí)，①是增函數(shù)；②恒成立；③恒成立.(1)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：①；②.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？(2)已知函數(shù)符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型要求，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：20分鐘）一、單選題1．（24-25高一上·貴州·期中）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·河南·期中）方程的根的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位:）可以表示為，其中表示魚的耗氧量的單位數(shù).若一條鮭魚游速為時(shí)耗氧量的單位數(shù)為，那么當(dāng)耗氧量的單位數(shù)為時(shí)，鮭魚的游速為（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·廣東東莞·期中）某市政府為了增加農(nóng)民收入，決定對(duì)該市特色農(nóng)副產(chǎn)品的科研創(chuàng)新和廣開銷售渠道加大投入，計(jì)劃逐年加大研發(fā)和宣傳資金投入.若該政府2024年全年投入資金120萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長(zhǎng)20%，則該政府全年投入的資金翻兩番（即為2024年的四倍）的年份是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．2029年 B．2030年 C．2031年 D．2032年5．（24-25高一上·廣東惠州·期中）某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)存溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是（

）小時(shí).A．20 B．22 C．33 D．246．（24-25高一上·山東淄博·期中）若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、解答題8．（24-25高一上·湖南懷化·期中）某醫(yī)學(xué)研究所研發(fā)一種藥物.據(jù)監(jiān)測(cè)，如果成人在0.5小時(shí)內(nèi)按規(guī)定的劑量注射該藥，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，每升血液中的藥物含量（毫克）與開始注射后的時(shí)間（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線，與的函數(shù)關(guān)系為且.根據(jù)圖中提供的信息：(1)寫出開始注射該藥后每升血液中藥物含量（毫克）關(guān)于時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測(cè)定：每升血液中藥物含量不少于0.08毫克時(shí)該藥有效，那么該藥的藥效時(shí)間有多長(zhǎng)？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；(3)第一次藥物注射完成2小時(shí)后，馬上進(jìn)行第二次注射，則第二次注射完成后再過(guò)1小時(shí)，該人每毫升血液中藥物含量為多少毫克？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）.（參考值：）期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：30分鐘）一、單選題9．（24-25高一上·江蘇南通·期中）把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).現(xiàn)有85的物體，放在25℃的空氣中冷卻，1min以后物體的溫度是75.若要將物體的溫度降為45，需要冷卻的時(shí)間為（

）（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，）A．5.8min B．6.0min C．6.2min D．6.4min10．（24-25高一上·遼寧盤錦·期中）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．11．（24-25高一上·安徽·期中）已知函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．12