1/12021北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編

空間直線、平面的平行一、單選題1．（2021·北京·人大附中高一期末）若是兩條不同的直線，垂直于平面，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）如圖，在空間四邊形ABCD中，兩條對(duì)角線AC，BD互相垂直，且長(zhǎng)度分別為4和6，平行于這兩條對(duì)角線的平面與邊AB，BC，CD，DA分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，記四邊形EFGH的面積為y，設(shè)＝x，則（）A．函數(shù)y＝f（x）的值域?yàn)?B．函數(shù)y＝f（x）的最大值為8C．函數(shù)y＝f（x）在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)y＝f（x）滿足3．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）點(diǎn)分別是棱長(zhǎng)為2的正方體中棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng).若面，則的長(zhǎng)度范圍是（）A． B． C． D．4．（2021·北京·人大附中高一期末）下列條件中，能使的條件是A．平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面B．平面與平面同平行于一條直線C．平面內(nèi)有兩條直線平行于平面D．平面內(nèi)有兩條相交直線平行于平面5．（2021·北京·人大附中高一期末）如圖，E是正方體棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，下列命題中：①在平面內(nèi)總存在與平面BEF平行的直線；②直線和直線EB為異面直線；③四面體EBFC的體積為定值.其中正確命題個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．36．（2021·北京·匯文中學(xué)高一期末）已知平面，和直線，且，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2021·北京·人大附中高一期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則（）A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能二、填空題8．（2021·北京師大附中高一期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，若平面，則下列說法正確的是__________.①線段的最大值是②③與一定異面④三棱錐的體積為定值9．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）如圖，在四棱錐中，底面四邊形的兩組對(duì)邊均不平行.①在平面內(nèi)不存在直線與平行；②在平面內(nèi)存在無數(shù)多條直線與平面平行；③平面與平面的交線與底面不平行；上述命題中正確命題的序號(hào)為___________.10．（2021·北京二中高一期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），若平面AEF，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是_________.11．（2021·北京·人大附中高一期末）棱長(zhǎng)為4的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．設(shè)直線與平面交于點(diǎn)，則________.三、解答題12．（2021·北京師大附中高一期末）已知四棱錐的底面為直角梯形，平面，且，是棱上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若平面，求的值；（3）當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，設(shè)平面與棱交于點(diǎn)，求截面的面積.13．（2021·北京·人大附中高一期末）如圖，已知正方體，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（）證明：平面．（）證明．14．（2021·北京·匯文中學(xué)高一期末）如圖1，已知菱形AECD的對(duì)角線AC，DE交于點(diǎn)F，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．將三角形ADE沿線段DE折起到PDE的位置，如圖2所示．（1）求證：；（2）試問平面PFC與平面PBC所成的二面角是否為，如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說明理由；（3）在線段PD，BC上是否分別存在點(diǎn)M，N，使得平面平面PEN？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M，N的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．15．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，分別為，的中點(diǎn).設(shè)平面與平面的交線為.（1）求證：平面；（2）求證：；（3）在棱上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.16．（2021·北京·101中學(xué)高一期末）已知正四棱柱中，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：；（3）在線段上是否存在點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，平面面？若存在，求出的值并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．（2021·北京師大附中高一期末）在正方體中，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.18．（2021·北京·匯文中學(xué)高一期末）如圖所示，在三棱錐中，點(diǎn)?分別在棱?上，且.（1）求證：平面；（2）若，，求證：平面平面.

參考答案1．B【詳解】若，因?yàn)榇怪庇谄矫?，則或；若，又垂直于平面，則，所以“”是“的必要不充分條件，故選B．考點(diǎn)：空間直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系．2．C【分析】根據(jù)空間四邊形的性質(zhì)證明四邊形為矩形，然后根據(jù)比例關(guān)系求出函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：平面，平面，．，．，則四邊形為平行四邊形，兩條對(duì)角線，互相垂直，，則四邊形為矩形，，由，即，同理，則，則四邊形的面積為，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值6，故A，B錯(cuò)誤．函數(shù)的對(duì)稱軸為，則函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確．函數(shù)的對(duì)稱軸為，函數(shù)滿足，故D錯(cuò)誤．故選：C．3．B【分析】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，則可證得平面‖平面，從而可得點(diǎn)在上，從而可求出的長(zhǎng)度范圍【詳解】解：如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，，則‖，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以‖，所以‖，因?yàn)槠矫?，平面，所以‖平面，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以‖，，因?yàn)椤?，，所以‖，，所以四邊形為平行四邊形，所以‖，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以‖平面，因?yàn)?，所以平面‖平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，使面，因?yàn)榈睦忾L(zhǎng)為2，所以所以當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，最長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，最短，的最小值為，所以的長(zhǎng)度范圍是，故選：B4．D【詳解】若是平面內(nèi)有無數(shù)條平行的直線平行于平面無法得到，A不符合；平面與平面同平行于一條直線，則有可能相交，B不符合；若是平面內(nèi)兩條平行直線平行于平面無法得到，C不符合；根據(jù)線面平行判定定理可知，D符合，故選D5．C【分析】由已知可得平面與平面相交，只要在平面內(nèi)做交線的平行線，即可判斷①；舉反例當(dāng)與重合時(shí)，可判斷②；到平面距離為定值，且面積為定值，即可判斷③.【詳解】F是棱上的動(dòng)點(diǎn)，所以平面與平面相交，設(shè)交線為，在平面做交線的平行線，平面，可得平面，所以①正確；若與重合，此時(shí)與相交，所以②不正確；到平面距離為定值為定值，所以四面體EBFC的體積為定值，所以③正確.故選：C.6．A【分析】根據(jù)線面平行關(guān)系，利用定義法直接判斷即可.【詳解】若，，則與無公共點(diǎn)，根據(jù)線面平行的定義，知；反過來，，不能推出，因?yàn)榕c可能相交；所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.7．B【分析】直接利用線面平行的性質(zhì)分析解答.【詳解】∵M(jìn)N∥平面PAD，MN?平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，∴MN∥PA.故選：B8．①④【分析】過點(diǎn)作出與平面平行的平面，找出其與面的交線，從而確定點(diǎn)在線段上.選項(xiàng)①中線段的最大值可直接得到為；選項(xiàng)②通過建系求向量數(shù)量積來說明與平面不垂直，從而不一定成立；選項(xiàng)③通過構(gòu)造平面來確定位置關(guān)系；選項(xiàng)④通過證明平面，來說明三棱錐即的體積為定值.【詳解】如圖，延長(zhǎng)至，使得，則有取的中點(diǎn)，連接，則有，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn).因?yàn)?，平面，平面所以平?同理可得平面.又，在平面內(nèi)，且相交于點(diǎn)，所以平面平面.故點(diǎn)在線段上.由圖知，，故選項(xiàng)①正確；以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，.，，.因?yàn)椋耘c不垂直，而點(diǎn)在線段上，所以條件不一定成立，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；如圖，連接，，，則有，且，故四邊形為梯形，與為相交直線，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.故線段上的點(diǎn)到平面的距離都相等.又點(diǎn)在線段上，所以三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，故選項(xiàng)④正確.故答案為：①④.【點(diǎn)睛】立體幾何問題中與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)問題，可以從一下幾點(diǎn)考慮：(1)先作輔助線，找出動(dòng)點(diǎn)所在的線段或軌跡.(2)判斷與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的條件是否成立常需結(jié)合動(dòng)點(diǎn)所在的線段或軌跡，利用線線、線面、面面位置關(guān)系求解，或線線、線面、面面位置關(guān)系的判定或性質(zhì)求解，或建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求解.9．①②③【分析】利用反證法結(jié)合線面平行的性質(zhì)可判斷①的正誤；設(shè)平面平面，且在平面中有無數(shù)條直線與直線平行，即可判斷②的正誤；利用反證法與線面平行的性質(zhì)可判斷③的正誤.【詳解】對(duì)于命題①，設(shè)在平面內(nèi)存在直線與平行，則平面，平面平面，平面，，與已知條件矛盾，故①正確；對(duì)于命題②，設(shè)平面平面，則平面，所以，在平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線平行，這無數(shù)條直線與平面平行，故②正確；對(duì)于命題③，假設(shè)平面與平面的交線與底面平行，平面，平面，平面平面，，同理可得，，與已知條件矛盾，故③正確.故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，考查空間想象能力與推理論證能力，屬于中等題.10．【分析】分別取棱的中點(diǎn)，通過證明平面可得必在線段上，進(jìn)而可求得長(zhǎng)度的取值范圍.【詳解】如下圖所示，分別取棱的中點(diǎn)，連接，連接，因?yàn)闉樗诶獾闹悬c(diǎn)，所以，所以，又平面平面，所以平面；因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，因?yàn)槭莻?cè)面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，則必在線段上，在直角中，，同理，在直角中，求得，所以為等腰三角形，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)最短，位于處時(shí)最長(zhǎng)，，，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)的存在性問題，解題的關(guān)鍵是取棱的中點(diǎn)，得出點(diǎn)必在線段上，從而將問題轉(zhuǎn)化為在中.11．1【分析】設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，連接，根據(jù)線面平行的判定定理證得平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證出，由此可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，連接，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，且，又，，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又，平面，∴平面，又設(shè)直線與平面交于點(diǎn)，∴平面平面，∴由線面平行的性質(zhì)定理可得，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，故答案為：1．12．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】(1)要證平面平面，只需證明平面，利用線面垂直的判定可證平面.(2)根據(jù)題意，作出點(diǎn)，再利用相似三角形求的值(3)從四點(diǎn)共面角度出發(fā)，利用平面向量基本定理確定點(diǎn)的位置，再求截面面積.【詳解】(1)證明：因?yàn)?，所以，又，所?因?yàn)槠矫?，平面，所?又，在平面內(nèi)，且相交于點(diǎn)，所以平面.又平面，所以平面平面.(2)如圖，連接，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn).因?yàn)?，平面，平面，所以平?故上述所作點(diǎn)為使得平面的點(diǎn).如圖在梯形中，有，令，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，.即，所以，.因?yàn)?，所以?(3)設(shè)，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，，使得.因?yàn)?，，又，，為一組基底，所以解得.所以.因?yàn)槠矫?，平面，所?又，，在平面內(nèi)，且相交于點(diǎn)，所以平面，又平面，所以.在四邊形中，，，，因?yàn)?，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為.所以截面的面積.13．（1）見解析；（2）見解析【詳解】試題分析：（1）連結(jié)交于，連結(jié)，通過正方形對(duì)角線的性質(zhì)以及三角形中位線可得，根據(jù)線面平行判定定理可得結(jié)果；（2）通過證明平面可得結(jié)論.試題解析：（）證明：連結(jié)交于，連結(jié)，正方形中，與互相平分，∴為中點(diǎn)，在中，∵，分別為與中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面．（）證明：在正方形中，，在正方體中，平面，∵平面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴．14．（1）證明見解析；（2）平面與平面所成的二面角為，證明見解析；（3）存在滿足條件的，分別為中點(diǎn)，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定可證得平面，由線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）根據(jù)平行關(guān)系可證得平面，由面面垂直的判定可證得兩平面垂直，由此得到所成角為；（3）利用平行四邊形和三角形中位線性質(zhì)可證得線線平行關(guān)系，由此證得線面平行和面面平行，從而確定存在滿足條件的.【詳解】（1）四邊形為菱形，，即，，又平面，，平面，平面，.（2）平面與平面所成的二面角為，證明如下：為中點(diǎn)且四邊形為菱形，，四邊形為平行四邊形，，由（1）知：平面，平面，又平面，平面平面，即平面與平面所成的二面角為.（3）存在滿足條件的，分別為中點(diǎn)，證明如下：由（2）知：四邊形為平行四邊形，又分別為中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；分別為中點(diǎn)，為中位線，，又平面，平面，平面，又，平面，平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線線垂直關(guān)系、面面垂直與平行關(guān)系的證明問題，涉及到線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定、線面平行與面面平行的判定等定理的應(yīng)用，屬于?？碱}型.15．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.【分析】（1）連接，易知為的中點(diǎn)，進(jìn)而得，再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）由題知平面，進(jìn)而根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；（3））假設(shè)在棱上存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得平面，進(jìn)而在平面中，過點(diǎn)作的平行線，交于，故平面平面，進(jìn)而得，另一方面，在平行四邊形中，與不平行，矛盾，故不存在.【詳解】解：（1）證明：連接，因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以在中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?）因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫媾c平面的交線為，平面，所以（3）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得平面，在平面中，過點(diǎn)作的平行線，交于，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以另一方面，在平行四邊形中，與不平行，矛盾，所以在棱上不存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得平面.16．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)在線段上存在點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，平面平面.【分析】(1)利用線面平行的判定定理證明平面；(2)利用線面垂直的判定定理證明平面，則有；(3)先確定的值，再根據(jù)面面平行的判定定理證明兩平面平行.【