2025年考研理學概率論測試試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題（每小題2分，共10分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將所選項前的字母填在題后的括號內。）1.設隨機事件A與B互斥（A∩B=?），且P(A)>0，P(B)>0，則下列結論正確的是（）。（A）P(A|B)=0（B）P(B|A)=0（C）P(A∪B)=P(A)+P(B)（D）P(A-B)=P(A)2.設隨機變量X的分布律為P(X=k)=c(1/2)^k，k=1,2,3,...，則常數(shù)c等于（）。（A）1（B）2（C）1/2（D）1/33.設隨機變量X與Y獨立，且X～N(0,1)，Y～N(1,2)，則隨機變量X+2Y的分布是（）。（A）N(0,1)（B）N(1,1)（C）N(0,3)（D）N(1,6)4.設隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)={0,x<0;(1-x^2)/2,0≤x<1;1,x≥1}，則X的期望E(X)等于（）。（A）1/2（B）1/4（C）1/3（D）05.設隨機變量X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=1，方差DX=2，DY=3，則X與Y的相關系數(shù)ρXY等于（）。（A）1/3（B）1/2（C）2/3（D）1二、填空題（每小題3分，共15分。請將答案填在題中橫線上。）1.設A，B為隨機事件，且P(A)=1/2，P(B)=1/3，P(A|B)=1/4，則P(A∪B)等于_________。2.設隨機變量X～B(n,p)，且E(X)=2，Var(X)=4/3，則n等于_________，p等于_________。3.設隨機變量X～N(μ,σ^2)，且P(X≤μ-1)=0.2，則P(X>μ+2)等于_________。（σ>0）4.設隨機變量X與Y的期望分別為EX=2，EY=3，方差分別為DX=1，DY=4，且X與Y的協(xié)方差Cov(X,Y)=1，則E(XY)等于_________。5.根據(jù)切比雪夫不等式，若隨機變量X的期望EX=10，方差DX=4，則P(|X-10|≥3)≤_________。三、計算題（每小題5分，共20分。）1.甲、乙兩人獨立地投籃，甲命中的概率為0.7，乙命中的概率為0.6。現(xiàn)每人投籃一次，求至少有一人命中的概率。2.設隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={1/2,0<x<2;0,其他}，求隨機變量Y=X^2的概率密度函數(shù)。3.設隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律如下表所示：||Y=0|Y=1||-------|-------|-------||X=0|0.1|0.2||X=1|0.3|0.4|求隨機變量X的邊緣分布律，Y的邊緣分布律，并判斷X與Y是否獨立。4.設隨機變量X與Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～U(0,1)，求E(XY)。四、證明題（每小題10分，共20分。）1.設隨機變量X與Y相互獨立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，證明X+Y～N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)。2.設{Xn}是相互獨立的隨機變量序列，且E(Xn)=0，Var(Xn)=1/2n，證明{Xn}滿足切比雪夫大數(shù)定律。試卷答案一、單項選擇題1.A2.B3.D4.B5.C二、填空題1.5/122.6,1/33.0.24.95.1/16三、計算題1.解：P(至少有一人命中)=1-P(兩人都不命中)=1-(1-0.7)(1-0.6)=1-0.3*0.4=0.8。2.解：設Y=X^2的分布函數(shù)為Fy(y)，則當y<0時，F(xiàn)y(y)=P(Y≤y)=0；當0≤y<4時，F(xiàn)y(y)=P(Y≤y)=P(X^2≤y)=P(-√y≤X≤√y)=P(X≤√y)-P(X<0)=Fx(√y)-0=√y/2；當y≥4時，F(xiàn)y(y)=P(Y≤y)=P(X^2≤y)=P(-√y≤X≤√y)=P(X≤√y)-P(X<0)=1-0=1。所以，F(xiàn)y(y)={0,y<0;√y/2,0≤y<4;1,y≥4}。對Fy(y)求導，得Y的概率密度函數(shù)為fy(y)={1/(2√y),0<y<4;0,其他}。3.解：X的邊緣分布律為：P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.1+0.2=0.3；P(X=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.3+0.4=0.7。Y的邊緣分布律為：P(Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0)=0.1+0.3=0.4；P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.4=0.6。因為P(X=0,Y=0)=0.1≠P(X=0)P(Y=0)=0.3*0.4=0.12，所以X與Y不獨立。4.解：E(XY)=E(X)E(Y)（因為X與Y獨立）=0*(E(Y))=0。（E(Y)=0.5）四、證明題1.證明：因為X與Y相互獨立，所以X-μ1與Y-μ2相互獨立。根據(jù)獨立隨機變量和的正態(tài)分布性質，X-μ1+Y-μ2～N(0,1+1)=N(0,2)。所以(X-μ1+Y-μ2)/√2～N(0,1)，即(X+Y-(μ1+μ2))/√(σ1^2+σ2^2)～N(0,1)。因此，X+Y～N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)。2.證明：根據(jù)切比雪夫大數(shù)定律，只需