第第頁浙江省杭州市濱江區(qū)杭州濱和中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1．⊙O的半徑為5cm，點A到圓心O的距離OA＝3cm，則點A與⊙O的位置關(guān)系為（）A．點A在⊙O上 B．點A在⊙O內(nèi) C．點A在⊙O外 D．無法確定2．下列事件中，是必然事件的是（）A．足球運動員射門一次，球射進(jìn)球門B．隨意翻開一本書，這頁的頁碼是奇數(shù)C．經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到綠燈D．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°3．已知abA．a(chǎn)：b=4：C．a(chǎn)：b=(4．將拋物線y=3x2的圖象向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線是（）A．y=3(x+2)2-3 B．y=3(x+2)2-2 C．y=3(x-2)2-3 D．y=3(x-2)2-25．已知一個扇形的面積是24π，弧長是2A．24 B．22 C．12 D．66．如圖，△ABC的頂點A、B、C、均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，則∠AOC的大小是（）A．30° B．45° C．60° D．70°7．作⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF，甲、乙兩人的作法分別是：甲：第一步：在⊙O上任取一點A，從點A開始，以⊙O的半徑為半徑，在⊙O上依次截取點B，C，D，E，F(xiàn)．第二步：依次連接這六個點．乙：第一步：任作一直徑AD．第二步：分別作OA，OD的中垂線與⊙O相交，交點從點A開始，依次為點B，C，E，F(xiàn)．第三步：依次連接這六個點．對于甲、乙兩人的作法，可判斷（）A．甲正確，乙錯誤 B．甲、乙均錯誤C．甲錯誤，乙正確 D．甲、乙均正確8．已知二次函數(shù)y=x2?2x?3的自變量x1，x2，x3對應(yīng)的函數(shù)值分別為y1，y2，y3.當(dāng)?1<x1<0，1<x2<2，x3>3時，y1，y2，y3三者之間的大小關(guān)系是（）A．y1<y2<y3 B．9．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AE⊥CB交CB的延長線于點E，若BA平分∠DBE，AD=7，CE=5，則AE=（）A．3 B．23 C．26 10．在拋物線y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直線y＝﹣12x的圖象上有三點（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），則x1+x2+x3A．?32m+12 二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）11．20瓶飲料中有2瓶已過了保質(zhì)期，從20瓶飲料中任取1瓶，取到已過保質(zhì)期的飲料的概率是．12．已知點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，若AB＝2，則AC＝．13．已知y=2x?1，且0≤x≤12，若S=xy，則S的最小值為14．如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'．若點B'恰好落在BC15．已知二次函數(shù)y=axx-134y1010202則（4a-2b+c）（a-b+c）的值為．16．如圖，AB是半徑為4的⊙O的弦，且AB=6，將AB沿著弦AB折疊，點C是折疊后的AB上一動點，連接并延長BC交⊙O于點D，點E是CD的中點，連接EO.則EO的最小值為．三、解答題（本題有8小題，共66分）17．四張卡片上分別標(biāo)有1，2，3，4，它們除數(shù)字外沒有區(qū)別，現(xiàn)將它們放在不透明的盒子里攪拌均勻．（1）任意從盒子里抽取一張卡片，將卡片上的數(shù)字記為x，不放回，再任意抽取第二張卡片，將卡片上的數(shù)字記為y，請你用畫樹狀圖或列表的方式表示所有可能的結(jié)果；（2）求出第（1）問中的點（x，y）在函數(shù)y＝x+2圖象上的概率．18．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點，點A，B，C都是格點．已知每個小正方形的邊長為1．（1）畫出△ABC的外接圓⊙O，并直接寫出⊙O的半徑：（2）在圓上找一個點P，使得△PAC是直角三角形，且點P在格點上．19．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，OC∥BD，交AD于點E，連結(jié)BC．（1）求證：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求AC的長．20．如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象經(jīng)過點A(1,?2)（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤?2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．21．如圖，AB=AC，AB為⊙O直徑，AC、BC分別交⊙O于E、D，連結(jié)ED、BE．（1）試判斷DE與BD是否相等，并說明理由（2）如果BC=6，AB=5，求BE的長．22．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計噴泉噴頭的升降方案？素材1如圖1，某景觀公園內(nèi)人工湖里有一個可垂直升降的噴泉，噴出的水柱呈拋物線。記水柱上某一點到噴頭的水平距離為x米，到湖面的垂直高度為y米．當(dāng)噴頭位于起始位置時，測量得x與y的四組數(shù)據(jù)如下：x（米）0234y（米）121.751素材2公園想設(shè)立新的游玩項目，通過升降噴頭，使游船能從水柱下方通過，如圖2，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距離均不小于0.4米．已知游船頂棚寬度為2.8米，頂棚到湖面的高度為2米．問題解決任務(wù)1確定噴泉形狀結(jié)合素材1，求y關(guān)于x的表達(dá)式．任務(wù)2探究噴頭升降方案為使游船按素材2要求順利通過，求噴頭距離湖面高度的最小值．23．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y=mx+12+4n（1）求函數(shù)圖象的對稱軸．（2）若mn異號，求證：函數(shù)y的圖象與x軸有兩個不同的交點．（3）已知當(dāng)x=0,3,4時，對應(yīng)的函數(shù)值分別為pqr，若2q<p+r，求證：m<0．24．如圖，在△ABC中，D在邊AC上，圓O為銳角△BCD的外接圓，連接CO并延長交AB于點E．（1）若∠DBC=α，請用含α的代數(shù)式表示∠DCE；（2）如圖2，作BF⊥AC，垂足為F，BF與CE交于點G，已知∠ABD=∠CBF．①求證：EB=EG；②若CE=5，AC=8，求

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：由題目可求出點到圓心的距離d=OA=5，d=r，d<r所以點在圓上.故答案為：A.【分析】根據(jù)點到圓心的距離與半徑的關(guān)系進(jìn)行判定，2．【答案】D【解析】【解答】解：A、足球運動員射門一次，球射進(jìn)球門，是隨機事件；B、隨意翻開一本書，這頁的頁碼是奇數(shù)，是隨機事件；C、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到綠燈，是隨機事件；D、任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°，是必然事件；故答案為：D.【分析】必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫做相對條件S的必然事件，簡稱必然事件；

隨機事件：隨機事件是在隨機試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗中具有某種規(guī)律性的事件叫做隨機事件，據(jù)此分析即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、若ab=2B、若ab=2C、若ab=2D、若ab=2故答案為：B.【分析】根據(jù)比的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：將拋物線y=3x2向左平移2個單位，所得拋物線解析式為：再再向下平移3個單位，所得拋物線解析式為：y=3(x+2)故答案為：A．

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”即可作答．5．【答案】A【解析】【解答】解：S扇形=12lr故答案為：A【分析】根據(jù)S扇形=126．【答案】C【解析】【解答】解：∵∠AOC=2∠ABC，∠ABC+∠AOC=90°

∴∠AOC=60°

故答案為：C.【分析】根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，即可得到關(guān)于∠AOC、∠ABC的方程組，即可解答.7．【答案】D【解析】【解答】解：如圖：

甲：∵AB=BO=AO，

∴△AOB為等邊三角形，

同理可得△BOC，△COD，△DOE，△EOF，△AOF均為等邊三角形，

∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠AFE=∠FAB=120°，

故六邊形ABCDEF為正六邊形；

如圖：

乙：∵BA=BO=AO，

∴△ABO為等邊三角形，

同理可得△AOF，△COD，△DOE均為等邊三角形，

即∠EOF=∠BOC=60°，BO=CO=EO=FO，

∴△BOC，△EOF均為等邊三角形，

∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠AFE=∠FAB=120°，

故六邊形ABCDEF為正六邊形；

因此，甲、乙兩人的作法均正確，故答案為：D.【分析】根據(jù)有三條邊都相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形的三條邊相等，三個角都是60°可推得AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠AFE=∠FAB=120°，即可證明六邊形ABCDEF為正六邊形.8．【答案】B【解析】【解答】解：y=x2?2x?3=(x-1)2-4，∴對稱軸為直線x=1，令y=0，則(x-1)2-4=0，解得x1=-1，x2=3，∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(-1，0)，(3，0)，二次函數(shù)y=x2?2x?3的圖象如圖：由圖象知y2故答案為：B.【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得對稱軸為直線x=1，令y=0，求出x的值，可得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，然后畫出二次函數(shù)的圖象，據(jù)此進(jìn)行比較.9．【答案】C【解析】【解答】解：連接AC，如圖，

∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

又∠ABC+∠ABE=180°

∴∠ABE=∠ADC，

∵BA平分∠DBE，∴∠ABE=∠ABD，∴∠ACD=∠ABD=∠ADC，∴AC=AD=7，∵AE⊥CB，∴AE=A故答案為：C．

【分析】連接AC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理和角平分線的定義得∠ACD=∠ABD=∠ADC，再利用“等角對等邊”可得AC=AD=7，最后利用勾股定理即可求出AE的長．10．【答案】D【解析】【解答】解：如圖，在拋物線y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直線y＝﹣12x的圖象上有三點A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）∴拋物線的對稱軸為直線x＝m+1，∴x2∴x2+x3＝2m+2，∵A（x1，m）在直線y＝﹣12∴m＝﹣12x1∴x1＝﹣2m，∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，故答案為：D.【分析】由拋物線解析式可得x2+x32＝m+1，則x2+x3=2m+2，由點A在直線上可得m＝-111．【答案】1【解析】【解答】解：∵有20瓶飲料，其中有2瓶已過保質(zhì)期，∴從20瓶飲料中任取1瓶，取到已過保質(zhì)期的飲料的概率為：220故答案為：110【分析】根據(jù)概率公式“P(A)=A事件情況數(shù)÷總數(shù)”即可求出事件A的概率.12．【答案】5【解析】【解答】解：由題意知：ACAB∵AB＝2，∴AC＝5?1【分析】根據(jù)黃金分割的定義，列出比例式即可。13．【答案】?【解析】【解答】解：∵y=2x?1，∴s=xy=2x因此當(dāng)x=14時，函數(shù)S有最小值，等于故答案為：?1【分析】根據(jù)題意，先表示出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再對二次函數(shù)進(jìn)行配方，結(jié)合自變量x的范圍，考慮S的最小值即可.14．【答案】24°【解析】【解答】解：∵AB∴∠C=∠CAB'，

∴∠AB∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB∴∠C=∠C∴∠B=∠AB∵∠B＋∴3∠C+108°=180°，∴∠C=24°，故答案為：24°．

【分析】由AB'=CB'，得∠C=∠CAB'，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和鄰補角的概念可得∠AB'15．【答案】2020【解析】【解答】解：∵x=-1，y=10；x=3，y=10，∴點（-1，10）和（3，10）為拋物線上的對稱點，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，∴x=-2和x=4對應(yīng)的函數(shù)值相等，而x=4時，y=202，∴x=-2時，y=202，即4a-2b+c=202，而x=-1時，a-b+c=10，∴（4a-2b+c）（a-b+c）=202×10=2020．故答案為2020．【分析】由表格中的數(shù)據(jù)可知點（-1，10）和（3，10）為拋物線上的對稱點，可求出對稱軸為直線x=1，可得x=-2和x=4對應(yīng)的函數(shù)值相等，從而得出當(dāng)x=-2時，4a-2b+c=202，而x=-1時，y=a-b+c=10，然后整體代入計算即可.16．【答案】3?【解析】【解答】解：連結(jié)AD、AC，過點O作AB的垂線交AB于點F，過點C作AB對稱點C’，連結(jié)EF、AC’，BC’

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠AC'B=∠ACB

∵∠AC'B+∠D=180°，∠ACB+∠ACD=180°

∴∠D=∠ACD

∴AD=AC

∵E為DC的中點，

∴AE⊥DC，

∴∠ADB=90°

故點E在以AB為直徑的弧上運動當(dāng)E、O、F三點共線時，EO的值最小為EF-OF，

∴EF=12AB=3，OF=4∴OE的最小值為3?7故答案為：3?7【分析】連結(jié)AD、AC，過點O作AB的垂線交AB于點F，過點C作AB對稱點C'，連結(jié)EF、AC'，BC'，根據(jù)折疊的性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠D=∠ACD，從而判斷出等腰三角形ACD，利用等腰三角形的三線合一得出∠ADB=90°，推出點E的軌跡，再由軌跡判斷EO最小值，利用勾股定理即可解答.17．【答案】（1）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果；（2）解：由（1）可知，共有12種等可能的結(jié)果，點（x，y）在函數(shù)y＝x+2圖象上的結(jié)果有2種，即（1，3）、（2，4），∴點（x，y）在函數(shù)y＝x+2圖象上的概率為212【解析】【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖即可；

（2）共有12種等可能的結(jié)果，點（x，y）在函數(shù)y=x+2圖象上的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可.18．【答案】（1）解：如圖：作AB和BC的垂直平分線，交點即為點O，然后以點O為圓心，OA為半徑作圓即可；根據(jù)勾股定理可得半徑為12（2）解：當(dāng)△PAC是直角三角形時，且點P在⊙O上，只能是∠PAC=90°或∠PCA=90°，利用網(wǎng)格作圖如下，點P1、P【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形外接圓的定義及性質(zhì)，三角形外接圓的圓心是三邊垂直平分線的交點，故作AB和BC的垂直平分線，交點即為點O，然后以點O為圓心，OA為半徑作圓即可；在網(wǎng)格中根據(jù)勾股定理即可求出外接圓的半徑；（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，若△PAC是直角三角形，有兩種情況：∠PAC=90°或∠PCA=90°，直接利用網(wǎng)格作圖即可.（1）（1）作AB和BC的垂直平分線，交點即為點O，如圖：根據(jù)勾股定理可得半徑為12（2）解：當(dāng)△PAC是直角三角形時，且點P在⊙O上，只能是∠PAC=90°或∠PCA=90°，利用網(wǎng)格作圖如下，點P1、P19．【答案】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵OC∥BD，

∴∠AEO=∠ADB=90°，

即OC⊥AD，

∴AE=ED；

（2）解：∵OC⊥AD，

∴AC?=CD?，

∴∠ABC=∠CBD=36°，

∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，

∴【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AEO=90°，再利用垂徑定理證明即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理得AC?20．【答案】（1）解：∵二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象經(jīng)過點A(1,?2)和B(0,?5)．

∴c=?51+b+c=?2，

解得：b=2c=?5，

∴拋物線為y=x（2）?3≤x≤1【解析】【解答】解：（2）當(dāng)y=?2時，x2+2x?5=?2，

∴x∴x1=1，如圖，∴當(dāng)y≤?2時，?3≤x≤1．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法建立方程組，求解即可得到函數(shù)解析式，再把解析式化為頂點式，即可得頂點坐標(biāo)；（2）把y=?2代入函數(shù)解析式求解x的值，再利用函數(shù)圖象可得y≤?2時x的取值范圍．21．【答案】解：（1）DE=BD，理由如下：

如圖，連接AD，

∵AB是圓O的直徑，

∴AD⊥BC，

∵在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，

∴∠CAD=∠BAD（等腰三角形三線合一），

∴弧ED=弧BD，

∴DE=BD；

（2）∵在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，

∴BD=12BC=3，∠ADB=90°，

∴AD=AB2-BD2=4，

∵【解析】【解答】（1）連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得AD⊥BC，由等腰三角形的三線合一推出AD平分∠BAC，再由同圓相等的圓周角所對的弧相等即可得出ED?（2）先根據(jù)等腰三角形的三線合一求出BD的長，再由勾股定理求出AD長，由直徑所對的圓周角是直角，得BE⊥AC，由等面積法得出AC?BE=CB?AD，代入計算出BE的長．22．【答案】任務(wù)1：由表格，可設(shè)該拋物線的解析式為y=axx-4+1，

將點（2，2）代入，得2=-4a+1，

解得：a=?14，

∴該拋物線的解析式為y=?14x(x?4)+1=-14x2+x+1

任務(wù)2：拋物線化為頂點式為y=-14x-22+2

可設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出拋物線的解析式為y=-14x-22+2+c，對稱軸為x=2，【解析】【分析】任務(wù)1：根據(jù)表格數(shù)據(jù)得拋物線上的點（0，1）和點（4，1）關(guān)于對稱軸對稱，故可以設(shè)解析式為兩點式y(tǒng)=axx-4任務(wù)2：將解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，設(shè)新的解析式為y=-14x-223．【答案】（1）解：∵函數(shù)y=mx+12+4n（m≠0，且m，n為實數(shù)），

∴（2）證明：令y=0，則0=mx+12+4n，即x+12=?4nm，

∵m，n異號，（3）證明：由題可知p=m+4n，q=16m+4n，r=25m+4n，

∵2q<p+r，∵2q?p+r∴m<0．【解析】【分析】（1）對于y=a(x－h(huán))2+k，（a≠0），對稱軸為x=h，據(jù)此即可確定函數(shù)的解析式；（2）令y=0，有x+12=?4n（3）把x=0,3,4代入y=mx+12+4n（1）解：∵函數(shù)y=mx+12+4n∴函數(shù)圖象的對稱軸為x=?1；（2）證明：令y=0，則0=mx+1即x+12∵m，n異號，∴?4n∴一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，即函數(shù)y的圖象與x軸有兩個不同的交點；（3）證明：由題可知p=m+4n∵2q?p+r∴m<0．24．【答案】（1）解：連接OD，如圖所示：

∵∠DBC=α，

∴∠DOC=2∠DBC=2α，

∵OD=OC，

?????∴∠DCE=∠CDO=12（2）解：①∵∠ABD=∠CBF，

∴∠ABD+∠DBF=∠CBF+∠DBF，即∠EBG=∠DBC，

設(shè)∠DBC=α，由（1）得：∠DCE=90°?α，

∵BF⊥AC，

∴∠EGB=∠FGC=90°-∠DCE=α，

∴∠EBG=∠EGB，

∴EB=EG；

②作EM⊥BF于點M，EN⊥AC于點N，如圖：

∵BF⊥AC，

∴∠