4.1成比例線段導(dǎo)學案理解線段的比和成比例線段的定義，能準確判斷四條線段是否成比例；掌握比例的基本性質(zhì)，并能運用性質(zhì)解決簡單的幾何問題.2.經(jīng)歷測量、計算、對比等活動，從具體實例中抽象出成比例線段的概念，培養(yǎng)數(shù)學抽象能力.3.感受成比例線段在生活中的廣泛應(yīng)用，體會“數(shù)學源于生活、用于生活”，激發(fā)學習興趣.成比例線段的定義，掌握比例基本性質(zhì)并會簡單應(yīng)用.理解并會推導(dǎo)比例基本性質(zhì)，能夠識別實際問題中“成比例線段”模型.第一環(huán)節(jié)自主學習溫故知新：1.測量以上兩個形狀相同圖形對應(yīng)邊的長度，發(fā)現(xiàn)兩個圖形中的兩條對應(yīng)邊比值都為2：1．2.由此可以發(fā)現(xiàn)：形狀相同的圖形，多組對應(yīng)邊的比值是相等的.3.回顧：兩個數(shù)的比，本質(zhì)是表示兩個數(shù)相除的關(guān)系.新知自研：自研課本第7578頁的內(nèi)容．【學法指導(dǎo)】情景引入在ppt上展示一些生活圖片，并將這些圖片的縮放圖放在一起，引導(dǎo)學生觀察這些圖片的大小與形狀關(guān)系.自研課本P7578頁的內(nèi)容，思考：●探究一：形狀相同圖形與線段的比◆1.圖中形狀相同的圖形有：大小不同的星形、輪廓相似但大小有別的多邊形、五邊形◆2.由于對應(yīng)線段的長度不同，導(dǎo)致它們最終大小不一樣；由此可以猜想，這些形狀相同的圖形可能存在固定的比例關(guān)系.◆3.定義：如果用同一長度單位量得兩條線段AB、CD的長度分別是m、n，那么這兩條線段的比是AB:CD=m:n（或ABCD◆4.（1）線段的比的實質(zhì)是什么兩個數(shù)的比. （2）注意：計算時必須統(tǒng)一長度單位◆5.（1）已知五邊形ABCDE與五邊形A'B'C'D'E'形狀相同，AB=5cm，A'B'=3cm，那么線段AB與A'B'的比是53（2）這個比值刻畫了形狀相同圖形的大小關(guān)系，也就是說，大五邊形可看作小五邊形“放大53倍”得到◆6.知識歸納①形狀相同的圖形，對應(yīng)線段的比相等；②線段的比：線段的比是兩條線段長度的比值（需統(tǒng)一單位），它能刻畫形狀相同圖形的大小關(guān)系，若兩線段AB、CD的長分別為m、n，則兩條線段長度的比記作ABCD=練一練1.（1）用同一單位測量得線段

MN=4?cm，PQ=12?mm，則

MN:PQ（2）若線段

a=2?m，b=100?cm，則

ab=2002.已知線段

AB=3?cm，CD=6?cm，下列說法正確的是（

A.

AB:CD=2:1

C.

AB

是比的前項，CD

是比的后項時，比值為

12

D.

CD

與

AB

的比為

3:6●探究二 成比例線段的概念探究◆1.觀察圖形觀察上圖，可以發(fā)現(xiàn)這兩個四邊形形狀形狀相似、大小不同◆2.設(shè)小方格邊長為1，計算線段AB、AD、EF、EH的長度AB=8；由勾股定理,AD=10EF=4;由勾股定理,EH=◆3.計算線段比值，探究其中規(guī)律2◆4.知識歸納“成比例線段”的定義.四條線段a,，b,，c,，d中，若a與b的比等于c與d的比（即ab=cd），則這四條線段叫做成比例線段（簡稱（1）四條線段成比例的核心條件是兩組線段的比相等；線段順序會（會/不會）影響比例關(guān)系.練一練下列每組四條線段中，哪些是成比例線段？若成比例，寫出一個比例式；若不成比例，說明理由（單位：cm）.（1）a=2，b=4，c=3，（2）a=1，b=2，c=3，（3）a=5，b=10，c=15解：（1）ab=24=12比例式為a（2）嘗試所有可能的“兩兩比”組合：ab=12，ac=13，ad=14，所有組合中，均無“兩個比相等”的情況，故四條線段不成比例（3）計算線段的比，尋找“兩個比相等”：ab=5因為

ab比例式：a●探究三 比例的基本性質(zhì)探究猜想：（1）如果a，b，c，d四個數(shù)成比例，即ab=cd，那么（2）反過來，如果ad＝bc，那么a，b，c，d四個數(shù)成比例嗎？小組討論：驗證以上兩個猜想.◆1.結(jié)合等式性質(zhì)，驗證若ab=c由于ab=cd，且b,得ab?bd◆2.猜想二的驗證（1）已知

2×6=4×3（即

ad=bc），利用等式的性質(zhì)，在2×6=4×3的等號兩邊同時除以24，能得到

24=36；同樣的，3×4=2×6（即

bc=ad），利用等式的性質(zhì)，在2×6=4（2）若

ad=bc，且

b,c≠0，利用等式的性質(zhì)，等式兩邊同時除以

◆3.知識歸納比例的基本性質(zhì)：正向：若

ab=cd（b,d反向：若

ad=bc（a,b,c,練一練1.（1）若x3=y5（x,y（2）若2a=3b（a解：ab=32.判斷下列說法是否正確，并說明理由：（1）若mn=pq，則mq=np；（2）若ab=cd，則ac=db（a,b,c,d均為實數(shù)）.解：（1）正確。理由：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，若mn=pq（n,q≠0，比例式分母不為0），則兩外項m與q（2）不正確。理由：若ab=cd，轉(zhuǎn)化為比例式ac=db需要滿足分母c≠0且b≠0。題目中僅說明a,b,c,d均為實數(shù)，未限制典例分析例1：如圖，一塊矩形綢布的長AB＝am，寬AD＝1m，按照圖中所示的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即AEAD=ADAB，那么a【分析】本題是比例性質(zhì)應(yīng)用問題，結(jié)合矩形裁剪情境，核心是利用比例的基本性質(zhì)（交叉相乘）建立方程求解未知量.【解答】根據(jù)題意可知，AB＝am，AE＝13am，AD＝由AEAD=AD即1∴a開平方，得a＝3（a＝－3舍去，長度為正數(shù)）.第二環(huán)節(jié)合作探究小組群學在小組長的帶領(lǐng)下：A.共同探討如何得出比例的基本性質(zhì)；B.合作探究比例的基本性質(zhì)的雙向推導(dǎo).C.交流例題的解決方法.1.已知線段a=2cm，b=3cm，c=4cm，d=6cm，下列比例式成立的是（A.ba=dc C.da=cb 2.若四條線段m、n、p、q成比例，且m=3，n=4，p=6，則q的值為（AA.8 B.4.5C.2 D.123.下列說法正確的是（C）A.若ba=dc，則a=cB.線段的比與所采用的長度單位有關(guān)C.若ad=bc（a,b,c,D.成比例線段的四條線段必須按順序排列4.已知yx=43（y≠0），則下列等式成立的是（A.3x=4y C.3x=4y 5.形狀相同的兩個矩形，其中一個矩形的長和寬分別為5cm和4cm，另一個矩形的寬為6cm，則其長為（B）A.7cm B.7.5cmC.8cm D.8.5cm6.若ba=32，且a+7.已知線段AB=6cm，CD=2dm（1dm=10cm），則AB:8.若3m=5n（m,9.某工廠要生產(chǎn)一種零件，設(shè)計圖紙上零件的長為10cm，實際生產(chǎn)的零件長為50mm（1cm=10mm），圖紙上零件的寬為6cm。（1）求圖紙上零件與實際零件的長度比；（2）根據(jù)比例的基本性質(zhì)，求實際生產(chǎn)零件的寬。解：（1）長度比計算圖紙上零件長10

cm，實際長50

mm=5（2）實際寬計算設(shè)實際生產(chǎn)零件的寬為x

cm，根據(jù)比例關(guān)系圖紙長實際長=圖紙寬實際寬故實際生產(chǎn)零件的寬為3cm.題型一：線段的比與單位統(tǒng)一1.（2024?山東青島模擬）已知線段a=3cm，b=50mm，則aA.35 B.350 C.3500 【分析】此題的單位不統(tǒng)一，需將bb的單位換算為"cm"（1cm=10mm）.【解答】統(tǒng)一單位：b計算比值：a:b【點評】本題關(guān)鍵在單位統(tǒng)一，避免直接用“3cm:50mm”計算導(dǎo)致錯誤.2.（2.（2023?江蘇蘇州中考改編）線段m=2dm，n=0.4m（1m=10dm），則A.1:2 B.2:4 C.5:1 D.1:5【分析】單位不統(tǒng)一：m的單位是"dm"，n的單位是"m"，需統(tǒng)一單位（1m=10dm）.【解答】統(tǒng)一單位：n=0.4?"m"=0.4×10=4?"dm"計算比值：m:n=2?"dm":4?"dm"=2:4=1:2【點評】易錯點：未化簡“2:4”，錯選B；或單位換算錯誤（如將0.4?"m"換算為0.4dm），錯選C.3.（2025?湖北武漢模擬）若線段AB=4cm，線段CD的長度是AB的2倍，則AB:CD=【分析】先求出CD的長度，再計算AB與CD的比.【解答求CD的長度：CD=2×AB=2×4?"cm"=8?"cm"計算比值：AB:CD=4?"cm":8?"cm"=4:8=1:2.【點評】關(guān)鍵步驟：明確“CD是AB的2倍”即CD=2AB，避免將比寫成2:1.4.（2024?浙江杭州模擬）已知線段x=1.5cm，y=3mm【分析】單位不統(tǒng)一：x的單位是"cm"，y的單位是"mm"，需統(tǒng)一單位（1cm=10mm）.【解答】統(tǒng)一單位：y計算比值：x【點評】技巧：小數(shù)比可通過“分子分母同乘10的倍數(shù)”化為整數(shù)比，再計算．題型二：成比例線段的判斷5.（2023?四川成都中考）已知四條線段a=2，b=3，c=4，d=6，下列說法錯誤的是（A.a,b,c,d成比例（ab=cC.a,d,b,c成比例（【分析】分別驗證各選項的比例式是否成立，即計算“前項比后項”是否相等．【解答】選項A：ab=23，cd=46=2選項B：ac=24=12，bd=36選項C：ad=26=13?，b【點評】關(guān)鍵：成比例線段的順序可調(diào)整，只要存在兩組線段比相等即可.6.（2024?廣東深圳模擬）四條線段的長度分別為3，5，6，10，則這四條線段（A）A.成比例 B.不成比例C.只有兩組成比例 D.無法判斷【分析】嘗試不同順序組合，判斷是否存在ab=【解答】組合1：35=0.6，610=0.6，則【點評】技巧：先將四條線段按從小到大排序（3，5，6，10），再驗證“最小:較小=較大:最大”是否成立（35=7.（2025?河南鄭州模擬）若四條線段m=1，n=2，p=2，q【分析】驗證是否存在mn=【解答】mn=12=22【點評】理數(shù)比：含根號的線段比可通過分母有理化后比較8.（2023?湖南長沙模擬）已知線段a=4，b=6，c=9，d=6，判斷a【分析】分別計算ab和d【解答】計算比值：ab=46=23?判斷成比例：由ab=dc?，可知四條線段a,【點評】順序調(diào)整：成比例線段的順序不唯一，只要滿足“兩組比相等”即可.題型三比例基本性質(zhì)9.（2024?陜西西安中考改編）若x2=y3（x,A.3x=2y C.xy=32 【分析】利用比例基本性質(zhì)“交叉相乘”轉(zhuǎn)化為等積式.【解答】由x2=y3，交叉相乘得3x選項B：應(yīng)為3x=2y選項C：xy=23選項D：需用合比性質(zhì)驗證，但題目未要求，D不成立.【點評】核心技巧：比例式ab=cd?與等積式ad=10.（2023?重慶中考）已知ab=cd（a,A.ac=db C.bc=da 【分析】驗證各選項是否滿足“外項積=內(nèi)項積”（即ab=cd）【解答】選項A：ac=db→外項積ab，內(nèi)項積選項B：ad=cb?→外項積ab，內(nèi)項積選項C：bc=da→外項積ab，內(nèi)項積選項D：bd=ac→外項積bc，內(nèi)項積ad，即bc=【點評】驗證方法：比例式正誤判斷的本質(zhì)是“外項積是否等于內(nèi)項積”，與已知等積式對比即可.11.（2025?江蘇南京模擬）若2m=3n（【分析】將等積式2m=3n轉(zhuǎn)化為比例式【解答】等式2m=3n兩邊同時除以2n（n【點評】等積式化比例式時，“m的系數(shù)”作為后項，“n的系數(shù)”作為前項.12.（2024?山東濟南模擬）已知ab=35，且【分析】設(shè)a=3k，b=5k（k≠0），代入【解答】設(shè)參數(shù)：設(shè)a=3k代入方程：3k+5k=16求a,b：a【點評】比例問題中，設(shè)“比例系數(shù)k”可將兩個變量轉(zhuǎn)化為一個變量，簡化計算.題型四比例性質(zhì)的計算應(yīng)用13.（2023?浙江寧波中考改編）已知ab=23，b=12，則A.6 B.8C.10 D.14【分析】利用比例基本性質(zhì)“交叉相乘”求a.【解答】由ab=23代入b=12：3a【點評】比例式中已知三個量，可通過“外項積=內(nèi)項積”求第四個量14（2024?河北石家莊模擬）若xy=45，則x+A.45 B.C.95 D.【分析】利用合比性質(zhì)：x【解答】.x【點評】合比性質(zhì)：避免繁瑣的參數(shù)法，直接將分式拆分為“xy+1”15.（2025?遼寧沈陽模擬）已知a-bb【分析】將a-bb拆分為ab【解答】a-bb【點評】拆分法：將分子為多項式的分式拆分為兩個分式的差或和，簡化計算16.（2023?安徽合肥模擬）若x3=y4=z5（【分析】設(shè)比例系數(shù)k，表示x=3k，y=4k【解答】設(shè)參數(shù)：設(shè)x3=y4=z5=代入方程：23k+4k-5kxyz【點評】連比設(shè)k：遇到多個相等的比（連比），設(shè)比例系數(shù)k是通用方法，可將多個變量統(tǒng)一為單變量題型五比例性質(zhì)的計算應(yīng)用17.（2024?福建福州中考）某地圖的比例尺為1:50000，若圖上距離為2cm，則實際距離為（AA.1000m B.C.100m D.【分析】比例尺=圖上距離:實際距離，設(shè)實際距離為x?cm，列比例式求解，注意單位換算（1m=100cm【解答】列比例式：150000=單位換算：100000