專題03相似形（3知識(shí)&8題型&4易錯(cuò)&6方法清單）【清單01】比例線段1.成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。2.比例的性質(zhì)1）比例的重要性質(zhì)：eq\o\ac(○,2)把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB分割，C叫做線段AB的分割點(diǎn)。3.平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例?！厩鍐?2】相似三角形的相關(guān)概念、判定和性質(zhì)1）相似三角形的概念：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形是相似三角形。三角形相似具有傳遞性。2）相似比的概念：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是有順序的。3）相似三角形的判定判定1：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定2：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定3：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似（此知識(shí)常用，用時(shí)需要證明）。4）相似三角形的性質(zhì)①對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；②拓展：對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。③相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長(zhǎng)比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）【清單03】圖形的位似變換1、位似的概念及性質(zhì)（1）兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，象這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。這時(shí)的相似比又稱為位似比。（2）相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，相似圖形沒有；②位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。（3）位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。（4）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比等于相似比。2、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）利用位似變換可以把一個(gè)圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小。畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長(zhǎng)（分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長(zhǎng)）；③根據(jù)相似比確定各線段的長(zhǎng)度；④順次連接上述個(gè)點(diǎn)，得到圖形?！绢}型一】判斷是否是成比例線段【例1】下列各組數(shù)中，不成比例的是（

）【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】成比例線段故選：B．【變式11】下列各組的四條線段a，b，c，d是成比例線段的是（

）【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】成比例線段【分析】此題考查了比例線段，根據(jù)比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對(duì)選項(xiàng)一一分析，即可得出答案．故選：D．【變式12】下列四條線段成比例的是（

）【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】成比例線段【分析】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．∴四條線段不成比例；∴四條線段不成比例；∴四條線段成比例；∴四條線段不成比例．故選：C．【題型二】比例的性質(zhì)【答案】【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)故答案為：【答案】【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)故答案為：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】比例的性質(zhì)【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確設(shè)出未知數(shù)是解題關(guān)鍵．直接利用已知條件設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，進(jìn)而代入化簡(jiǎn)即可．故答案為：．【題型三】由平行判斷成比例的線段【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由平行判斷成比例的線段【分析】本題考查平行線分線段成比例：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)A正確，符合題意，故選：A．A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由平行判斷成比例的線段【分析】本題考查了平行線分線段成比例，根據(jù)夾在平行線中的線段是對(duì)應(yīng)線段，即可求解．【詳解】解：依題意，的對(duì)應(yīng)線段是，故選：C．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用平行四邊形的性質(zhì)求解、由平行判斷成比例的線段【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理解決問題即可．故選：D．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)∶相似三角形的判定與性質(zhì)．理解性質(zhì)是關(guān)鍵．【題型四】由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值故答案為：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值故答案為：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值故答案為：．【題型五】利用相似三角形的性質(zhì)求解【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用相似三角形的性質(zhì)求解【分析】本題考查求相似比，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比解答即可．故答案為：；．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用相似三角形的性質(zhì)求解故答案為：．【知識(shí)點(diǎn)】利用相似三角形的性質(zhì)求解【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方．求出三個(gè)相似三角形的相似比是解決本題的關(guān)鍵．，是的三等分點(diǎn)，故答案為：6；，是的三等分點(diǎn)，【題型六】求位似圖形的坐標(biāo)【知識(shí)點(diǎn)】利用相似三角形的性質(zhì)求解、求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)

【知識(shí)點(diǎn)】求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)【分析】本題考查了利用位似求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)乘以或，求出結(jié)果即可．【知識(shí)點(diǎn)】求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)【分析】此題考查了求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)．注意根據(jù)題意求得其位似比是關(guān)鍵．∴位似比為：，【題型七】在平面直角坐標(biāo)系中作位似圖形(3)10．【知識(shí)點(diǎn)】平移(作圖)、在坐標(biāo)系中畫位似圖形、利用網(wǎng)格求三角形面積【分析】本題考查作圖平移變換、位似變換、三角形的面積，熟練掌握平移和位似的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作出、、，順次連接即可得出答案；（2）根據(jù)位似的性質(zhì)作出、、，順次連接即可得出答案；（3）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可．，故答案為：1,0．故答案為：10．【知識(shí)點(diǎn)】在坐標(biāo)系中畫位似圖形、求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)【分析】本題主要考查作圖位似變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位似變換的定義及性質(zhì)．（1）根據(jù)題目的敘述，正確地作出圖形，然后確定各點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)（1）中變換的規(guī)律，即可寫出變化后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．

(3)寫出點(diǎn)、的坐標(biāo)．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形、畫軸對(duì)稱圖形、在坐標(biāo)系中畫位似圖形【分析】本題考查了位似變換，軸對(duì)稱作圖，掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）分別作出三頂點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可得；（2）根據(jù)位似性質(zhì)找到，，，分別連接起來即可得到答案；（3）根據(jù)（2）圖即可得、的坐標(biāo)．

【題型八】相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合問題【答案】(1)見解析(2)8【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形的兩個(gè)銳角互余、斜邊的中線等于斜邊的一半、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，（2）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得答案．【答案】(1)證明見解析(2)4【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，勾股定理：(2)若正方形的邊長(zhǎng)為4，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．(2)如圖（2），若E為中點(diǎn)．【答案】(1)9【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、利用矩形的性質(zhì)證明、斜邊的中線等于斜邊的一半、全等三角形綜合問題（2）解：①證明：如圖，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【題型一】相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問題易錯(cuò)問題A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒【答案】A故選：A【答案】2秒或秒【分析】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．利用時(shí)間表示相應(yīng)線段長(zhǎng)和利用相似比列方程是解決此題的關(guān)鍵．分兩種情況，利用相似三角形的判定建立方程求解即可；故答案為：2秒或秒．【題型二】相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長(zhǎng)多解問題易錯(cuò)問題【答案】4或或【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想．根據(jù)直角三角形的直角不確定，分情況求解.綜上所述，的長(zhǎng)為4或或．故答案為：4或或．∵點(diǎn)D始終在邊上，∴分兩種情況：【題型三】由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值易錯(cuò)問題【答案】/∵是的中點(diǎn)，故答案為：．【答案】故答案為：．【題型四】相似三角形與幾何圖形綜合易錯(cuò)問題【例4】（2425九年級(jí)下·遼寧撫順·階段練習(xí)）新定義：如果從一個(gè)平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)向不過該頂點(diǎn)的對(duì)角線作垂線，垂線交平行四邊形的邊于另一點(diǎn)，且該點(diǎn)為所在邊的中點(diǎn)，那么這個(gè)平行四邊形叫做“垂中平行四邊形”，垂足叫做“垂中點(diǎn)”．①請(qǐng)畫出以為邊的垂中平行四邊形，使得為垂中點(diǎn)，點(diǎn)在垂中平行四邊形的邊上；（不限定畫圖工具，不寫畫法及證明，在圖上標(biāo)明字母）【答案】(1)1，②根據(jù)①中的三種情況討論：第三種情況無交點(diǎn)，不符合題意．∵為的中點(diǎn)，故答案為：1；；（3）解：①第一種情況：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)；第二種情況：故為的中點(diǎn)；第三種情況：則為的中點(diǎn)，②若按照?qǐng)D1作圖，若按照?qǐng)D2作圖，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，連接，若按照?qǐng)D3作圖，則：沒有交點(diǎn)，不存在PE（不符合題意）【變式41】（2425九年級(jí)下·山東青島·自主招生）【問題發(fā)現(xiàn)】矩形里的有趣“十字架”【模型建立】如何證明這個(gè)猜想呢？在同學(xué)們陷入深思時(shí)，組長(zhǎng)小林提議道：“我們可以先找一種特殊情況探究它，然后再將探究方法推廣到一般情況呀！”于是，在他的提議下，同學(xué)們一致認(rèn)為可以先將F、G分別移動(dòng)到頂點(diǎn)A、D處，如圖②所示．（1）在圖②所示的情況下，你能幫小組成員們證明一下他們的猜想嗎？（2）你能在圖①中添加輔助線，并對(duì)輔助線進(jìn)行描述，以方便小組成員繼續(xù)證明一般性的規(guī)律嗎？【模型應(yīng)用】【拓廣延伸】【答案】（1）能，過程見詳解（2）見詳解（3）1（4）【詳解】解：（1）能，過程如下：如圖所示：（3）如圖所示：故答案為：1故答案為：【題型一】相似三角形中（雙）A字型模型方法技巧總結(jié)：“A”字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角），再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似．“A”字模型條件：如圖，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).(1)求的值；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)3【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì).【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握對(duì)應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩邊成比例且夾角相等，可證明兩個(gè)三角形相似；（2）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可．(1)求的值；【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握是是解決問題的關(guān)鍵．【題型二】相似三角形中（雙）8字型模型方法技巧總結(jié)：“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線等分線段定理，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析（2）利用相似三角形的性質(zhì)，代入計(jì)算得結(jié)論．本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【答案】(1)見解析(2)3(3)15【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件．【題型三】相似三角形中母子型模型方法技巧總結(jié)：“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.

【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定、重心的性質(zhì)，【答案】(1)①見解析；②見解析∵為的中點(diǎn)，【答案】（1）見解析；【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．（3）同理（2）考慮點(diǎn)D在線段上時(shí)、D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)、點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)三種情況即可．【詳解】解：（1）證明：如圖①，（2）解：方法一：方法二：（3）解：點(diǎn)D為直線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），有三種情況：（I）當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，如圖④所示：（II）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖⑤所示：（III）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖⑥所示：【題型四】相似三角形中的手拉手模型方法技巧總結(jié)：1.

模型構(gòu)造條件：在矩形ABCD中，若分別以矩形的一組鄰邊（如AB、AD）為邊，向外（或向內(nèi)）作兩個(gè)相似三角形（如△ABE∽△ADF），且對(duì)應(yīng)角與矩形內(nèi)角重合（∠BAE=∠DAF），連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（如BF、DE），則構(gòu)成“手拉手”相似模型，核心是“共頂點(diǎn)、等夾角、鄰邊相似”。2.

核心結(jié)論：一是對(duì)應(yīng)線段成比例且夾角等于矩形內(nèi)角，即BF/DE=AB/AD（矩形鄰邊比），且∠BGD=90°（G為BF與DE交點(diǎn)），因相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合矩形內(nèi)角90°可推導(dǎo)；二是衍生相似，如△BAG∽△DCG，由核心比例關(guān)系和對(duì)頂角相等可證。3.

應(yīng)用關(guān)鍵：解題時(shí)先定位矩形的“共頂點(diǎn)”（通常為直角頂點(diǎn)），識(shí)別相似三角形的“拉手邊”（矩形鄰邊），再利用“線段比例+夾角90°”結(jié)論，快速求解線段長(zhǎng)度、角度或證明垂直關(guān)系，需注意內(nèi)外作三角形時(shí)結(jié)論一致性，僅圖形位置不同?！纠?】【問題呈現(xiàn)】【類比探究】【變式41】（2025·山東聊城·三模）綜合與實(shí)踐觀察發(fā)現(xiàn)：探索猜