專題22.3相似三角形的判定（舉一反三講義） 【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用平行判定相似】 2【題型2利用兩角相等判定相似】 4【題型3利用兩邊對應成比例及夾角相等判定相似】 7【題型4利用三邊對應成比例判定相似】 10【題型5選擇或補充條件使兩三角形相似】 13【題型6裁剪使兩三角形相似】 16【題型7尺規(guī)作圖使兩個三角形相似】 19【題型8數(shù)相似三角形的對數(shù)】 23【題型9存在相似三角形】 26知識點1相似三角形1.定義：三角分別相等、三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．△ABC和△A12.全等三角形與相似三角形的比較全等三角形相似三角形定義能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形三角分別相等、三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形特征形狀相同且大小相等形狀相同但大小不一定相等圖形表示對應邊相等成比例對應角相等相等相似比1可以是1，也可以是其他正實數(shù)知識點2三角形相似的判定如果兩個三角形分別與同一個三角形相似，那么這兩個三角形也相似．相似三角形的預備定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的三角形與原三角形相似．1.定理1：兩角分別對應相等的兩個三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C′2.定理2：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C′，若3.定理3：三邊對應成比例的兩個三角形相似．已知△ABC和和△A′B′C直角三角形相似的判定定理：如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．4.有關三角形相似的常見圖形圖形特征所需條件證明方法平行線型已知DE//BC，所以同位角、內(nèi)錯角相等兩角分別相等的兩個三角形相似．△斜交型有公共角或?qū)斀?，∠兩角分別相等的兩個三角形似．△公共角的兩邊對應成比例，AB兩邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似．△母子型∠兩角分別相等的兩個三角形相似．△旋轉(zhuǎn)型有一組角對應相等，公共角（對應角）的兩邊對應成比例，∠1=∠兩邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似．△【題型1利用平行判定相似】【例1】如圖，AB?//CD?//EF，則圖中相似三角形的對數(shù)為(

)A.4對 B.3對 C.2對 D.1對【答案】B

【分析】此題考查了相似三角形的判定：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊或另兩邊的延長線所構成的三角形相似．解題的關鍵是注意識圖，注意做到不重不漏．由AB//CD//EF，根據(jù)平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊或另兩邊的延長線所構成的三角形相似，可得△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，【詳解】解：∵AB//CD//EF，∴△ACD∽△AEF，△ECD∽∴圖中共有3對相似三角形．故選B．【變式11】如圖，AB，CD相交于點O，AC//BD.【答案】證明：AC//BD，∴△OAC∽【解析】本題考查相似三角形的判定．根據(jù)平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似，由此即可證明問題．【變式12】如圖，在△ABC中，點D、M在AB上，點E、N分別在BC、AC上，且DE/?/AC，MN/?/BC，DE交MN【答案】解：圖中與△ABC相似的三角形有3個，△AMN∽△ABC，△DBE∽理由：∵MN//BC，∴△AMN∽△ABC，∵DE//AC，∴△DBE∽∴△DMO∽【解析】本題考查了對相似三角形的判定的應用，注意：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似．根據(jù)相似三角形的判定：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截得的三角形與原三角形相似，即可推出答案．【變式13】如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是AD延長線上一點，連結BF交DC于點E，則圖中的相似三角形共有

對.【答案】3

【分析】此題考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)．注意相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型．由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似，可得△BCE∽△FDE，△FDE∽【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AB//CD，∴△BCE∽△FDE，∴△BCE∽故相似三角形共有3對．【題型2利用兩角相等判定相似】【例2】（2425九年級上·浙江杭州·期末）如圖，D是△ABC邊BC上的一點，∠BAD=∠C，∠ABC的平分線交邊AC于點E，交AD于點FA．△BFA B．△BAE C．△BEC【答案】B【分析】本題主要考查了三角形角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，相似三角形的判定等知識點，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．由三角形角平分線的定義可得∠CBE=∠ABE，即∠DBF=∠ABE，由三角形外角的性質(zhì)可推出∠BFD=∠BEA，于是可證得△【詳解】解：∵BE是∠∴∠CBE即：∠DBF又∵∠BAD∴∠BFD∴△BDF且依據(jù)已知條件，無法證明△BFA、△BEC、△AEF故選：B．【變式21】（2425九年級上·河北廊坊·階段練習）如圖，由尺規(guī)作圖痕跡可知，下列兩個三角形一定相似的是（

）A．△BCD∽△ACDC．△ACD∽△【答案】C【分析】該題主要考查了尺規(guī)作相等角、相似三角形的判定，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定．根據(jù)作圖可知∠ACD=∠ABC【詳解】解：根據(jù)作圖可知∠ACD又∠CAD∴△ACD故選：C．【變式22】（2425九年級上·陜西榆林·期中）如圖，AB⊥BC，BD⊥CD，【答案】見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，根據(jù)余角的性質(zhì)得出∠A=∠BCD【詳解】證明：∵∠ACD=90°，∴∠A+∠ACB∴∠A∵AB⊥BC∴∠ABC∴△ABC【變式23】（2425九年級下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△【答案】見解析【分析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點．結合題意，可得∠CAB=45°，從而可得出∠CAP+∠PAB=45°，又【詳解】證明：∵∠ACB=90°，∴∠CAB即∠CAP∵∠APC∴∠CAP∴∠ACP∵∠APB∴△CPA【題型3利用兩邊對應成比例及夾角相等判定相似】【例3】（2425九年級上·陜西榆林·階段練習）如圖，在正方形ABCD中，點F是BC邊上一點，連接AF，以AF為對角線作正方形AEFG，連接AC、DG，求證：△AFC【答案】見解析【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得△ADC和△AGF都是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠DAC【詳解】證明：∵AC，AF分別是正方形ABCD和正方形AEFC的對角線，∴△ADC和△AGF∴∠DAC=∠GAF∴∠DAG∴∠DAG∴△AFC【變式31】（2425九年級上·江蘇揚州·期中）如圖，點E,F分別在正方形ABCD的邊AD，CD上，連接BE和EF，AB=9，AE=3，【答案】見解析【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相關性質(zhì)和判定是解題的關鍵．根據(jù)已知條件求出DE，再證明ABDE=AE【詳解】證明：∵四邊形ABCD是正方形，AB=9∴AD=AB∵AE∴DE∴ABDE∵DF∴AEDF∴ABDE∴△ABE∽△DEF【變式32】（2425九年級上·湖南衡陽·期末）已知：如圖，點C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且AC=1，CD=2，DB【答案】見解析【分析】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠PCD=∠PDC=60°，【詳解】證明：∵△PCD∴∠PCD=∠PDC∴∠PCA又∵AC=1，∴AC∴△ACP【變式33】（2425九年級上·遼寧鐵嶺·階段練習）四邊形ABCD為平行四邊形，點E和點F分別為邊AD，AB的中點，連接EF、CF，EF交對角線AC于點G．(1)若AC=8，求AG(2)如果AB=AC，求證：【答案】(1)2(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得EF∥BD，由平行線分線段成比例定理得AGGO=AFFB=1（2）根據(jù)中點的定義及已知得AFAC=12，由（1）知【詳解】（1）解：如圖，連接BD交AC于點O，∵點E和點F分別為邊AD，AB的中點，∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥∴AGGO∴AG=∵四邊形ABCD為平行四邊形，AC=8∴AO=∴AG=∴AG的長為2；（2）證明：∵F為邊AB的中點，∴AF=∵AB=∴AFAC∵AG∴AGAF∴AFAC∵∠FAG∴△AFG【點睛】本題考查三角形中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定等知識點．掌握平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定是解題的關鍵．【題型4利用三邊對應成比例判定相似】【例4】2425九年級上·安徽淮南·期末）已知：如圖，∠ABE=90°，且【答案】△ACD【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根據(jù)勾股定理求出AC=2,AD=【詳解】證明：△ACD由勾股定理AC=ACEC∴ACEC∴△ACD【變式41】（2425九年級上·湖南湘潭·期中）已知△ABC和△DEF的三邊長，下列條件能判斷它們相似的是（A．AB=4，BC=8，AC=10；

DE=20B．AB=3，BC=4，AC=6；

DE=6C．AB=12，BC=15，AC=24；

DE=16D．AB=3k，BC=4k，AC=5k；【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定定理逐一判斷即可．【詳解】解：A、∵AB∴兩個三角形的三邊成比例，故兩個三角形相似；B、∵AB∴兩個三角形的三邊不成比例，故兩個三角形不相似；C、∵AB∴兩個三角形的三邊不成比例，故兩個三角形不相似；D、∵AB∴兩個三角形的三邊不成比例，故兩個三角形不相似；故選：A．【變式42】（2425九年級下·廣東汕頭·階段練習）如圖在4×1的方格中，每一個小正方形的頂點叫做格點，以其中三個格點為頂點的三角形稱為格點三角形，△ABC就是一個格點三角形，現(xiàn)從格點D、E、F、G中選取一個格點與點B、C連接成格點三角形，能使該格點△ABC三角形與相似的格點是（A．點D B．點E C．點F D．點G【答案】C【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根據(jù)三邊對應成比例的三角形相似進行求解即可．【詳解】解：連接BF，如圖，網(wǎng)格的特點可知AB=2，CF∴BC∴△故選：C．【變式43】（2324九年級下·全國·期中）如圖，八個完全相同的小長方形拼成一個正方形網(wǎng)格，小妍、小鳳、小蕾、小強四位同學用無刻度的直尺在網(wǎng)格中各畫了一個鈍角三角形，其中會相似的三角形是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【答案】D【分析】本題考查網(wǎng)格中的相似三角形，觀察圖形可知小長方形的長是寬的2倍，設小長方形的寬為a，則小長方形的長為2a，正方形的邊長為4【詳解】解：觀察圖形可知：小長方形的長是寬的2倍，設小長方形的寬為a，則小長方形的長為2a，正方形的邊長為4圖①三角形的三條邊長分別為：2a圖②三角形的三條邊長分別為：2a圖③三角形的三條邊長分別為：2a圖④三角形的三條邊長分別為：2a∵2a∴圖①和圖④的兩個三角形相似；故選D．【題型5選擇或補充條件使兩三角形相似】【例5】（2223八年級下·浙江金華·階段練習）如圖，在△ABC中，點D為邊AC上的一點，選擇下列條件：①∠2=∠A；②∠1=∠CBA；③BCAC=CDBC；④BC【答案】①②③【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理可得結論．【詳解】解：①∠2=∠A，∠C=∠②∠1=∠CBA，∠C=∠③BCAC=CDBC，④BCAC=DBAB，故答案為：①②③．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是掌握兩組對應邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；有兩角對應相等的兩個三角形相似．【變式51】（2425九年級上·甘肅白銀·期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，AB=9，AC=6，則要使△ABC【答案】4【分析】本題考查相似三角形的判定，根據(jù)兩組對應邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，進行求解即可．【詳解】解：∵AC平分∠BAD∴∠BAC當ABAC=AC即：AC∵AB=9，AC∴62∴AD=4故答案為：4．【變式52】（2425九年級上·上?！るA段練習）如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，要使△BAD與△【答案】∠A【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解題關鍵．根據(jù)題意可證∠ADB【詳解】解：∵AD∥∴∠ADB∴當∠A=∠BDC或∠ABD=∠DCB時或故答案為：∠A【變式53】（2025·河北·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，延長BA，BC，分別交直線DE于點M，N．若添加下列一個條件后，仍無法判定△MAEA．∠B+∠4=180°B．CD∥AB C．【答案】D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，平行線的性質(zhì)與判定，當∠B+∠4=180°時，可證明CD∥BM，由平行線的性質(zhì)得到∠CDN=∠AME，∠AEM=∠【詳解】解：A、∵∠B∴CD∥∴∠CDN∵AE∥∴∠AEM∴△MAEB、∵CD∥∴∠CDN∵AE∥∴∠AEM∴△MAEC、∵AE∥∴∠1+∠B∵∠1=∠4，∴∠B∴CD∥∴∠CDN∵AE∥∴∠AEM∴△MAED、根據(jù)∠2=∠3結合已知條件不能證明△MAE故選：D．【題型6裁剪使兩三角形相似】【例6】（2324九年級上·浙江溫州·期末）如圖，在△ABC紙片中，∠A=72°,∠B=38°，將△A．①② B．②④ C．③④ D．①③【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定定理逐個判斷即可．【詳解】解：圖①中，∵∠B∴△BDE圖②中，只有∠B=∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△圖③中，∠C∴△CDE圖④中，只有∠C不能推出△CDE和△綜上所述，陰影三角形與原三角形相似的有①③，故D正確．故選：D．【變式61】（2425九年級上·陜西榆林·期中）如圖，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的知識點是相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定方法對選項進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、陰影部分三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，本選項不符合題意；B、陰影部分三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，本選項不符合題意；C、6?39?7=3D、夾角相等但夾角兩對應邊比例不相等，故兩三角形不相似，本選項符合題意．故選：D．【變式62】（2324九年級上·山西呂梁·期末）數(shù)學實踐活動課上，小明和小強分別剪了一對三角形，他們經(jīng)過測量得到相關數(shù)據(jù)，并標記在圖形上．如圖，對于他們剪的兩組三角形的說法，正確的是（

）A．都相似 B．只有圖①相似 C．只有圖②相似 D．都不相似【答案】A【分析】此題考查了相似三角形的判定．圖（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求得各自的第三角，由有兩角對應相等的三角形相似，即可判定（1）中的兩個三角形相似；圖（2）根據(jù)圖形中的已知數(shù)據(jù)即可證得OAOC【詳解】解：圖（1）由35°和75°得另一個角為180°?35°?75°=70°，由75°和70°得另一個角為180°?70°?75°=35°，則兩三角形全等；圖（2）∵OA=4，OD=3，OC=8∴OAOC∵∠AOC∴△AOC故選：A．【變式63】如圖，在三角形紙片ABC中，AB=6，AC=4，BC=8，沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△A． B．C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了相似三角形的判定，正確利用相似三角形兩邊比值相等且夾角相等的兩三角形相似是解題關鍵．根據(jù)相似三角形的判定分別進行判斷即可得出答案即可．【詳解】解：在三角形紙片ABC中，AB=6，AC=4，A．因為DCAC=24=12B．因為ADAB=36=12，C．因為BDAB=23，ABBC=D、因為BDBC=12，BCAB=故選：A．【題型7尺規(guī)作圖使兩個三角形相似】【例7】（2025·浙江嘉興·二模）用“尺規(guī)作圖”將一個三角形分割成一個小三角形和一個四邊形，則下列圖形中，分割出來的小三角形與原三角形不一定相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，相似三角形的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理．分別根據(jù)作圖痕跡，依據(jù)相似三角形的判定定理，即可判斷．【詳解】解：B、由作圖知，DE∥∴△ADEC、由作圖知，四邊形BDEC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ADE∵∠A∴△ADED、由作圖知，點D和點E分別是AB和AC的中點，∴DE∥∴△ADEA、由作圖知，CD和BE分別是△ABC的角平分線，不能說明△ADE和故選：A．【變式71】（2425九年級上·浙江杭州·期末）如圖，已知等腰△ABC中，BA=BC，∠B=108°，請用尺規(guī)在AC上求作一點D【答案】見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，熟練掌握相似三角形的判定是解題關鍵．作AB的垂直平分線，交AC于點D，連接BD，由此即可得．【詳解】解：如圖，點D即為所求．

理由：由線段垂直平分線的性質(zhì)得：AD=∴∠A∵BA∴∠A∴∠ABD在△ABD和△∠ABD∴△ABD【變式72】（2425九年級上·陜西榆林·階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，連接BD，請用尺規(guī)作圖法在BD上找一點P，使得△ABD【答案】見解析【分析】本題考查的是作一個角等于已知角，相似三角形的判定，先在∠BCD的內(nèi)部作∠ABP=∠【詳解】解：如圖，點P即為所求．理由：∵AD∥∴∠ADB由作圖可得：∠ABP∴△ABD【變式73】在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圓規(guī)在AC上確定點D，使△A．B．C． D．【答案】B【分析】由題意及相似三角形的判定定理可知，當BD是AC的垂線時，即BD⊥AC時，【詳解】解：當BD是AC的垂線時，即BD⊥AC時，∵BD∴∠ADB∴∠BAD∵∠ABC∴∠ABD∴∠BAD∴△BAD根據(jù)作圖痕跡可知：A選項中，BD是AC邊的中線，不與AC垂直，故選項A不符合題意；B選項中，BD是AC的垂線，故選項B符合題意；C選項中，BD是∠ABC的平分線，不與AC垂直，故選項CD選項中，BD不與AC垂直，故選項D不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了垂線的性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余，等式的性質(zhì)1，相似三角形的判定，作垂線（尺規(guī)作圖），作角平分線（尺規(guī)作圖）等知識點，熟練掌握相似三角形的判定定理及尺規(guī)作圖的方法是解題的關鍵．【題型8數(shù)相似三角形的對數(shù)】【例8】（2425九年級上·安徽滁州·期中）如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，A．5對 B．6對 C．10對 D．20對【答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵；根據(jù)相似三角形的判定定理分析即可求解；【詳解】解：圖中有個三角形，分別是：△ABC、△BDE、△DEC、△∵AC⊥BC，CD⊥∴∠BED∴AC∥∴△ABC∵∠B=∠B∴△BDE∴△ABC∵∠A=∠A∴△ABC∵AC∥∴∠CDE∵∠CED∴△DEC綜上所述：△ABC即：△ABC∽△DBE，△ABC∽△△DBE∽△CDE，△DBE∽△ACD，△DBE∽△CBD故選：C．【變式81】如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是CD上一點，且CF=3FD．則圖中相似三角形的對數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．)4【答案】C【詳解】FD=在Rt△BCF中，在Rt△DEF中，在Rt△ABE在Rt△BEF根據(jù)相似三角形的判定，RtΔDEF～RtΔABE～RtΔEBF,故選C.【變式82】（2425九年級上·上海浦東新·階段練習）如圖，已知△ABC、△DEF都是等邊三角形，點D、E分別在AB、BC上，圖中的相似三角形共有（A．3對 B．4對 C．6對 D．7對【答案】D【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得出答案，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：如圖：∵△ABC、△∴∠A∴△ABC∵∠A=∠F∴△ADG∵∠F=∠C∴△FHG∴△ADG∵∠ADG∠ADG∴∠AGD又∵∠A∴△ADG∴△BED△BED綜上，相似三角形共有7對，故選：D．【變式83】（2425九年級上·河北保定·期中）如圖，E是矩形ABCD的邊CD的中點，連接BE,AF⊥BE于點F,AF的延長線交BC于點A．4對 B．6對 C．8對 D．5對【答案】B【分析】本題考查了三角形的判定，矩形的性質(zhì)．根據(jù)矩形的性質(zhì)以及AF⊥BE得到∠ABC=∠C=∠AFB=∠BFG【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，AF⊥∴∠ABC∵∠1=∠1，∠2=∠2,∴△AFB∵∠1+∠ABF∴∠1=∠2∴△AFB∴△AFB∴根據(jù)相似的傳遞性可得：△AFB∴有6對相似三角形，故選：B．【題型9存在相似三角形】【例9】（2324九年級上·安徽馬鞍山·期中）如圖，已知AB⊥BC于點B，CD⊥BC于點C，AB=4，CD=6，BC=14，P為直線BC上一點，若以A、B、P為頂點的三角形與以P、C【答案】6【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關鍵．分3種情況求解即可：①當點P在線段BC上運動時，②當點P在B的左側運動時，③當點P在點C的右側運動時．【詳解】解：∵AB⊥∴∠C=∠B①當點P在線段BC上運動時，當PB:DC=∴x6∴x1=2，當PB:PC=∴x14?解得：x=5.6②當點P在B的左側運動時，當PB:DC=∴x6∴x1=?7+72當PB:PC=∴x14+解得：