專題14四類母子型相似目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、“母子”模型（斜射影模型） 1類型二、雙垂直模型（射影模型） 4類型三、“母子”模型（變形） 6類型四、共邊模型 12壓軸能力測評（10題） 13母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件:如圖1，在四邊形中，對角線平分，，結(jié)論：；類型一、“母子”模型（斜射影模型）例．定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長．【變式訓(xùn)練1】．如圖，，動(dòng)點(diǎn)，分別以每秒和的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊一直移到點(diǎn)為止，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊一直運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)為止（點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)）(1)請直接用含的代數(shù)式表示的長和的長，并寫出的取值范圍；(2)當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí)，與相似？【變式訓(xùn)練2】．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長線上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．類型二、雙垂直模型（射影模型）例．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【變式訓(xùn)練1】．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點(diǎn)H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．【變式訓(xùn)練2】．如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD，AD上，于點(diǎn)G，若BC=4，AF=1，則CE的長為（

）

A．3 B． C． D．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD＝，那么BC＝．類型三、“母子”模型（變形）例．如圖，點(diǎn)是ΔABC的邊上的一點(diǎn)，若添加一個(gè)條件，使ΔABC與相似，則下列所添加的條件錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)在邊上，且，連接，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖，若，求證：；(3)如圖，若延長恰好經(jīng)過點(diǎn)，求的值．【變式訓(xùn)練2】．如圖1，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．(1)求AB的長．(2)當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求的值．(3)如圖2，將本題改為點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位長度的速度在上向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其速度是每秒個(gè)單位長度，其它條件不變，求當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形．【變式訓(xùn)練3】．如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交⊙O于點(diǎn)E、D，連接EC、CD．（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；（2）求證：；（3）若，⊙O的半徑為3，求OA的長．類型四、共邊模型例．如果兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩個(gè)相似三角形互為母子三角形．（1）如果與互為母子三角形，則的值可能為（

）A．2

B．

C．2或（2）已知：如圖1，中，是的角平分線，．求證：與互為母子三角形．（3）如圖2，中，是中線，過射線上點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，連結(jié)，射線與射線交于點(diǎn)，若與互為母子三角形．求的值．【變式訓(xùn)練1】．如圖，，為的兩條切線，，為切點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）若，求的值．【變式訓(xùn)練2】．如圖，是的直徑，是的弦，是的切線，切點(diǎn)為，，的延長線相交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為4，，求的長．【變式訓(xùn)練3】．如圖，中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，與點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的大??；（3）若，求的面積．1．如圖，中，，，，點(diǎn)，分別在，上，，．把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)落在線段上．若點(diǎn)在的平分線上，則的長為（

）A． B． C． D．2．如圖，正方形ABCD中，△繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)到，，分別交對角線BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AE=4，則的值為（

）A．8 B．12 C．16 D．203．如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為4和2，∠B＝120°，則圖中陰影部分的面積是（）A．3 B．2 C．4 D．34．如圖，正方形的邊長為2，平分交于E，F(xiàn)是延長線上一點(diǎn)，且，延長線交于G，則的值是．?5．如圖，中，點(diǎn)在上，，若，，則線段的長為．6．如圖，在中，點(diǎn)D在AB上，請?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是．7．如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，若，，則的長為．8．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE，∠DAE的平分線AG與CD邊交于點(diǎn)G，與BC的延長線交于點(diǎn)F．設(shè)λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求線段CF的長為；（2）連接EG，若EG⊥AF，則λ的值為．9．如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)與相似？10．如圖：在矩形ABCD中，，，動(dòng)點(diǎn)Р以的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向C點(diǎn)移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)