/蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊3.1勾股定理的探究培優(yōu)訓(xùn)練一、折疊問題1．如圖，Rt△ABC，∠A=90°，將△ABC沿DE翻折，使得點C與點B重合。若AB=6，AC=8，則折痕DE的長為（）

A．4 B．154 C．5 D．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3．將△ABC折疊，使點C與邊A．23 B．56 C．2 3．如圖，三角形紙片中，AB=AC，BC=24，∠C=30°，折疊這個三角形，使點B落在AC的中點D處，折痕為EF，那么BF的長為.4．如圖，正方形ABCD的邊長為8，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH，若點E恰好是BC的中點，則線段CH的長為．5．長方形ABCD中，AB=4，BC=3，P為AD上一點，將△ADP沿BP翻折至△EBP，BE與CD相交于點G，PE與CD相交于點①求證：DP=EG②求6．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，點D在AB邊上運動，△CDB沿著CD折疊得到△CD（1）如圖2，若AC=3，CB'（2）當(dāng)△AB'（3）若AC=3，△EDB7．已知在直角三角形ABO中，OA=8，OB=6，D為斜邊AB（1）OD=（2）如圖1，連結(jié)BC交OD于點E．當(dāng)∠CBO①求證：OD⊥②求△BEO（3）如圖2，連結(jié)CD，將△ACD沿著CD折疊得到△A'CD．當(dāng)A'8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若點P從點（1）把△ABC沿著過點P的直線折疊，使點A與點B重合，請求出此時t的值．（2）是否存在t值，使得△ABP為等腰三角形？若存在，求出t（3）現(xiàn)把△ABC沿著直線BP翻折，當(dāng)t為何值時，點C翻折后的對應(yīng)點C'恰好落在直線AB二、全等構(gòu)造法（一線三等角、旋轉(zhuǎn)手拉手）9．（1）如圖1，△ABC與△CDE中，∠B=∠E（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=6，以AC為邊在△ABC（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°，若10．如圖1，P是等邊△ABC內(nèi)一點，連結(jié)AP,BP．將線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段B（1）求證：△APB（2）如圖2，連結(jié)CP,①當(dāng)∠APB=130°，且△C②當(dāng)PB=2,AB=6，且PB∥C11．如圖，△ABC中，∠B=90°，BC=8，BC上一點（1）若AD平分∠BAC，求點D到AC（2）若點D恰好在AC的垂直平分線上，求△ABD三、手拉手構(gòu)造12．已知P為等邊△ABC內(nèi)一點，PA=1,PB=2,∠13．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ.若PA=6，PB=8，PC=10四、等腰三角形分類討論14．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,AC=13,（1）BC=（2）求斜邊AC上的高線長．（3）①當(dāng)P在AB上時，AP的長為，t的取值范圍是．（用含t的代數(shù)式表示）②若點P在∠BCA的角平分線上，則t的值為（4）在整個運動過程中，直接寫出△PAB是以AB15．如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm（1）出發(fā)2秒后，求PQ的值；（2）從出發(fā)幾秒鐘后，△PQB（3）當(dāng)點Q運動到CA上時，求能使△BCQ16．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,（1）當(dāng)點P在AC的延長線上運動時，CP的長為___；（用含t的代數(shù)式表示）（2）若點P在∠ABC（3）在整個運動中，直接寫出△ABP五、新定義三角形17．如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個三角形為“夢想三角形”．（1）如圖，在△ABC中，AB=AC=5（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=618．定義：如果經(jīng)過三角形一個頂點的線段把這個三角形分成兩個小三角形，其中一個三角形是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形的三個內(nèi)角分別相等，那么這條線段稱為原三角形的“和諧分割線”，例如：如圖1，等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”．（1）判斷命題真假：等邊三角形存在“和諧分割線”是______命題；（填“真”或“假”）（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C（3）如圖3，在△ABC中，A=42°，若線段CD是△ABC的“和諧分割線”，且△19．根據(jù)以下素材，探索解決問題．如何作出“倍角三角形”？素材如果一個三角形的一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的兩倍，則稱這樣的三角形為“倍角三角形”問題解決項目操作如圖1，△ABC中，AB=AC，∠項目探索若△ABC是倍角三角形，∠A>∠B>∠C，項目拓展如圖2，△ABC的外角平分線AD與CB的延長線相交于點D，點E在CA延長線上，若AE=AB

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】284．【答案】35．【答案】證明：①∵四邊形ABCD為矩形

∴∠A=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=3

由翻折可得：∠A=∠E=∠D=90°

∵OD=OE，∠DOP=∠EOG

∴△PDO≌△GEO

∴DP=EG

②∵△PDO≌△GEO

∴OG=OP

∵OD=OE

∴DG=PE=PA

設(shè)AP=x，則PD=EG=3-x，DG=AP=x

∴BG=BE-EG=1+x，CG=DC-DG=4-x

在Rt△BCG中，BC2+CG2=BG2

即32+(4-x)2=(1+x)2

解得：x=2.4

∴AP=2.46．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，∵BC=4，AC=3，

∴AB=AC2+BC2（2）解：根據(jù)翻折可得BC=B'C,BD=B'D，當(dāng)△AB'C為等腰直角三角形時，

如圖，當(dāng)點B'在AC的右側(cè)時，

則AC2=AB'2+CB'2=2CB'2或AC2（3）解：如圖，當(dāng)∠B'DB=90°時，過點C作CH⊥AB，則∠HCD=∠HDC=45°，

∴HD=CH=2.4，

∴HB=BC2?CH2=42?2.42=3.2，

∴BD=3.2?2.4=0.8，

∴當(dāng)0<BD<0.8時，△B'DE為鈍角三角形．

如圖，當(dāng)CB'⊥AB時，△EDB'是直角三角形，

則CE=2.4，BE=BC2?CE2=42?2.42=3.2，B'E=4?2.4=1.6，

設(shè)BD=x，則B'D=x,ED=3.2?x，

7．【答案】（1）5（2）①證明：∵∠AOB=90°

∴∠ABO+∠BAO=90°

∵D為斜邊AB中點，

∴OD=BD=AD，

∴∠DOB=∠DBO；

∵∠CBO=∠BAO，

∴∠OEC=∠DOB+∠CBO=∠DBO+∠BAO=90°，

即OD⊥BC；

②解：由（1）知，OD=BD=5；（3）解：當(dāng)A'D∥OA時，如圖，則∠A'DC=∠ACD，

由折疊知，∠ADC=∠A'DC，

∴∠ADC=∠ACD，

∴AC=AD=5；

當(dāng)A'D∥OB時，連接OD，如圖，

則∠DEA=∠BOA=90°；

∵OD=AD=12AB=5，

∴AE=OE=12OA=4，

由勾股定理得：DE=AD2?8．【答案】（1）解：根據(jù)勾股定理，可得：AC=AB2?BC2=52?32=4，

由折疊性質(zhì)知：DP垂直平分AB，

∴AP=BP=t，CP=4-t，

在直角三角形BCP中：BP2-CP2=BC2，

（2）解：存在，△ABP為等腰三角形分三種情況：①當(dāng)AP=AB=5時，t=5；

②當(dāng)PA=PB時，由（1）知：t=258；

③當(dāng)AB=BP時：AP=2AC=8

∴t=8，

綜上所述，當(dāng)△ABP（3）解：分成兩種情況：①當(dāng)點P在線段AC上時，如圖2，由折疊性質(zhì)知：PC=PC'，∠AC'P=∠ACB=90°，BC'=BC=3，

∵AP=t，

∴PC=PC'=4-t，BC'=BC=3，

∴AC'=5-3=2，

在直角三角形APC'中：AP2-PC'2=AC'2，

∴t2-(4-t)2=22，

解得：t=52；

②點P在AC的延長線上時：如圖3，由折疊性質(zhì)知：PC=PC'，A'C=AC=4，A'B=AB=5，

∵AP=t，

∴PC=PC'=t-4，A'C=A'B+BC=5+3=8，

在直角三角形A'CP中：A'P2-PC2=A'C2，

∴t2-(t-4)2=82，

解得：t=10.

圖3

綜上，t的值為52或10時，點C翻折后的對應(yīng)點C'恰好落在直線AB9．【答案】解：（1）∵∠B=∠E=∠ACD，∠B+∠ACB+∠A=∠ACB+∠ACD+∠DCE=180°，

∴∠ACB+∠A=∠ACB+∠DCE，

∴∠A=∠DCE，

在△ABC和△CED中

∠A=∠DCE∠B=∠EAC=CD

∴△ABC≌△CEDAAS，

∴AB=CE=8,BC=ED=4，

∴BE=BC+CE=12；

（2）延長BC，作∠DFC=60°，過點D作DH⊥BC于H，如圖所示：

∵△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD=60°=∠ABC=∠DFC,AC=CD，

∴∠ACB+∠BAC=∠ACB+∠FCD=120°，

∴∠BAC=∠FCD，

在△ABC和△CFD中

∠BAC=∠FCD∠ABC=∠DFCAC=CD

∴△ABC≌△CFDAAS10．【答案】（1）由題意可得：PB=∵△ABC∴AB∴∠ABC∴∠ABP在△APB和△AB=∴△APB（2）①∵PB∴△BP∴∠BPC由（1）知：△BAP∴∠C∴∠C∵△C∴PC=PP'當(dāng)PC=PP∴∠CP∴∠CPB當(dāng)PC=P'∴∠CPB當(dāng)PP'∴∠CPB綜上，當(dāng)△CP'P為等腰三角形時，∠CPB的度數(shù)為100°②3311．【答案】（1）3（2）1212．【答案】513．【答案】24+9314．【答案】（1）12；（2）解：如圖1，過點B作BD⊥AC于點∵S∴BD∴斜邊AC上的高線長為6013（3）①3t?13，13（4）解：∵△PAB是以AB為一腰的等腰三角形，

①如圖，當(dāng)AB=AP=5∴t②如圖，當(dāng)AB=BP=5時，過點B作BD由（2）知BD=∴AD∵AB=BP∴AP∴CP∴t綜上所述，△PAB是以AB為一腰的等腰三角形時t的值為83或15．【答案】（1）解：出發(fā)2秒后，AP=1×2=2cm，所以BP=因為∠B=90°，根據(jù)勾股定理，（2）解：設(shè)從出發(fā)t秒鐘后，△POB此時BP=8?t，當(dāng)BP=BQ時，8?t（3）解：①當(dāng)CQ=BQ時(圖1)，則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，AC=BC2+AB2=6+82=10cm，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5cm，

∴BC+CQ=11cm，

∴t=11÷2=5.5秒，

②當(dāng)CQ=BC時(如圖2)，則BC+CQ16．【答案】（1）2（2）5（3）t的值為2516或517．【答案】（1）證明：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，

∵AB=AC，AD⊥BC，BC=2，

∴AD是BC邊上的中線，BD=12BC=12（2）解：如圖，若Rt△ABC是“夢想三角形”，

∵直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，

∴只能是直角邊的中線等于對應(yīng)的直角邊，

有以下兩種情況：

①當(dāng)AC邊上的中線BD=AC=6時，CD=12AC=12×6=3，

此時，BC=BD2?CD2=62?318．【答案】（1）假（2）解：存在“和諧分割線”，理由如下：作∠CAB的平分線AD交BC于點D，如圖2:

∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°，

∴∠CAD=∠DAB=30°，

在Rt△ACD中，∠ADC=60°，

∴△ACD的三個內(nèi)角與△ABC的三個內(nèi)角相等，

∵∠DAB=∠B=30°，

∴△ABD是等腰三角形，

∴AD是“和諧分割線”；

過點（3）解：

①如圖所示：

當(dāng)DC=DB時，

∴∠B=∠DCB，

根據(jù)“和諧分割線”的概念可知，∠B=∠ACD，

∴∠B=∠ACD=∠DCB，

∴∠ADC=2∠B，

∴∠B+2∠B+42°=180°，

解得∠B=46°；

②如圖所示：

當(dāng)BC=BD時，

∴∠BDC19．【答案】解：項目操作：如圖所示