第二章聲子晶格動(dòng)力學(xué)本節(jié)用經(jīng)典力學(xué)的方法討論完整晶格中原子（離子）繞平衡位置的振動(dòng)晶格振動(dòng)首先我們考慮一個(gè)元胞中只有一個(gè)原子（離子）的簡單晶格晶體的元胞數(shù)為N，原子質(zhì)量為M，原子l

的位置：則代表此原子的位移。晶格振動(dòng)的總動(dòng)能總勢能為由于晶體的平移對稱性代表l’元胞中原子沿

方向移動(dòng)單位距離時(shí)對l元胞中原子作用力沿

方向的分量，稱為力常數(shù)因?yàn)楫?dāng)整體作剛性運(yùn)動(dòng)（即每個(gè)原子均作）時(shí)，晶格中任一原子受到其它原子作用力之總和為零；即

在簡諧近似下，略去

展開的三次方由正則方程可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程利用平移對稱性及布洛赫定理對于確定的k，運(yùn)動(dòng)方程的解表現(xiàn)出下列特征：各元胞中原子振動(dòng)的方向相同，振幅相等。有特定的相位關(guān)系，按變化因此，每一確定的k的解代表波長為的集體振動(dòng)，稱為格波令對應(yīng)于用波矢k標(biāo)記的特解可將3N自由度的耦合方程組簡化為N個(gè)獨(dú)立的3自由度耦合方程。而每個(gè)波矢滿足方程-------3

3動(dòng)力學(xué)矩陣，為實(shí)的厄米矩陣。

其對角化方程為

為振動(dòng)頻率，由久期方程可求出3個(gè)本征頻率和本征向量滿足正交性和完備性條件結(jié)合以上方程可知：代表波矢為k、偏振為

、頻率為的格波解。在BZ中，一定時(shí)刻t的格波解稱為簡振膜。根據(jù)正格矢與倒格矢之間的關(guān)系可得動(dòng)力學(xué)矩陣是倒逆空間的周期函數(shù)；因此在BZ內(nèi)討論即可。由于有N個(gè)不同的k，而每個(gè)k又對應(yīng)3個(gè)本征值，因此有3N個(gè)簡正模（或格波解），它們滿足正交、歸一和完備性條件，構(gòu)成3N維空間函數(shù)組。對于具有r個(gè)原子的復(fù)式晶格，本征頻率晶格振動(dòng)的一般解：系數(shù)（包括因子）在固體物理學(xué)中稱為簡正坐標(biāo)；代表格波的偏振方向，稱為極化矢量，它是單位矢。2.格波的特性1.

的共性i）格波的本征頻率是倒點(diǎn)陣的周期函數(shù)ii）

具有點(diǎn)陣所屬點(diǎn)群的全部對稱性iii）存在一個(gè)普遍的關(guān)系式它是時(shí)間反演對稱性的結(jié)果。2.

聲學(xué)模與光學(xué)模聲學(xué)模：色散曲線具有k=0時(shí)，

=0特征的格波稱為聲學(xué)模。光學(xué)模：反之，當(dāng)k=0時(shí),的格波解稱為光學(xué)模?？梢宰C明：簡單晶格中的全部格波解都屬于聲學(xué)模因?yàn)椋?/p>

在復(fù)式晶格中，同時(shí)存在聲學(xué)模和光學(xué)模對于元胞中有r個(gè)原子的復(fù)式晶格有本征方程其中s,s’=1,…,r,代表元胞中不同的原子。格波頻率由下式?jīng)Q定：同樣，復(fù)式晶格的剛性位移不產(chǎn)生應(yīng)力將代入本征方程可得如果某確定的

的解在長波限滿足條件----同向運(yùn)動(dòng)則本征方程變?yōu)橛纱丝芍?，?fù)式晶格的聲學(xué)模為元胞內(nèi)各原子的同向運(yùn)動(dòng)，即元胞的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)每個(gè)k值有3個(gè)獨(dú)立的

解屬于聲學(xué)模。

在一般情況下，，即其它（3r-3）個(gè)

解屬于格波的光學(xué)模如果（s=1，2），當(dāng)時(shí)

點(diǎn)的實(shí)極化矢量滿足正交關(guān)系：設(shè)

為聲學(xué)模，由于對聲學(xué)模有代入上式可得由于3個(gè)聲學(xué)模解的極化向量彼此正交。因此，光學(xué)模滿足條件因此，光學(xué)模代表元胞的質(zhì)心不動(dòng)，元胞內(nèi)原子的相對運(yùn)動(dòng)。3.

格波頻率的計(jì)算二維的正方晶格（i）

線（包含

、M點(diǎn)）橫向聲學(xué)模：極化矢量e與傳播方向垂直；縱向聲學(xué)模：極化矢量e與傳播方向平行；（ii）

線（包含

、X點(diǎn)）存在橫向聲學(xué)模和縱向聲學(xué)模（iii）Z線（包含X、M點(diǎn)）既非橫波，也非縱波。

一維復(fù)式晶格既存在聲學(xué)模，也存在光學(xué)模3.簡正坐標(biāo)在簡諧近似下晶格振動(dòng)已由簡正模的線性疊加表示其是復(fù)簡正坐標(biāo)，由于中為實(shí)量，則那么；若約定極化矢量滿足關(guān)系式則復(fù)簡正坐標(biāo)對于動(dòng)能晶格振動(dòng)的勢能其中那么晶格振動(dòng)的哈密頓可簡化為H在簡正坐標(biāo)中表示為3N個(gè)獨(dú)立項(xiàng)之和；利用拉氏函數(shù)可求出Qk

的共軛動(dòng)量根據(jù)正則方程可求出簡正坐標(biāo)滿足方程與簡諧振子的運(yùn)動(dòng)方程在形式上相同。利用傅里葉變換顯然簡正坐標(biāo)

和其共軛動(dòng)量均為集體坐標(biāo)。4.聲子晶格振動(dòng)必須用量子力學(xué)處理其量子化條件為共軛量滿足對易關(guān)系（一次量子化）那么容易求得簡正坐標(biāo)的對易律：由于（P，Q）為復(fù)共軛量，因此，H哈密頓中并不對應(yīng)量子力學(xué)中頻率為的簡諧振子哈密頓量

因?yàn)椋╬，q）為實(shí)量。晶格振動(dòng)的哈密頓可進(jìn)一步寫成：為了消除H中k和-k的交叉項(xiàng)，通過正則變換（對易關(guān)系不變）定義新算符（二次量子化）經(jīng)計(jì)算可得哈密頓對易關(guān)系為（玻色對易關(guān)系）其時(shí)間依賴關(guān)系可利用海森堡運(yùn)動(dòng)方程位移矢量可表示為h.c.代表厄米共軛項(xiàng)，這是位移的行波展開，其中每一項(xiàng)求和代表頻率

偏振

沿k方向傳播的格波，它所對應(yīng)的哈密頓量是定態(tài)薛定諤方程進(jìn)一步可得暫時(shí)略去（k，

）下面討論上面算符方程的基態(tài)和激發(fā)態(tài)（i）基態(tài)設(shè)基態(tài)為，有能量，采用狄拉克（Dirac）算符將算符a作用上式兩邊得到另一個(gè)態(tài)滿足當(dāng)時(shí)它比|0>具有更低的能量，顯然與原假設(shè)矛盾，所以基態(tài)必須滿足條件上式即二次量子化表象中的基態(tài)定義由于，于是基態(tài)能為它相當(dāng)于振子的零點(diǎn)能。（ii）激發(fā)態(tài)稱為激發(fā)一個(gè)波格量子

的狀態(tài)，稱為第一激發(fā)態(tài)。

代表激發(fā)n個(gè)格波量子的狀態(tài)，叫做第n激發(fā)態(tài)，用表示

其中cn由歸一化條件決定。格波能量總是以一份份地激發(fā)，這個(gè)量子稱為聲子激發(fā)了n個(gè)聲子的

格波能量為與諧振子的能量一致。（iii）遞推關(guān)系是聲子的產(chǎn)生算符，是聲子的消滅算符；有特性其本征值為n，代表聲子數(shù)，因此，稱為聲子數(shù)算符。另外恢復(fù)腳標(biāo)（k，

），那么代表3N種不同的（k，

）的無互作用聲子系統(tǒng)，而能量為聲子是玻色子，N個(gè)原子（離子）的耦合振蕩問題在簡諧近似下約化為獨(dú)立玻色子系統(tǒng)。溫度T時(shí)，格波（k

）所激發(fā)的平均聲子數(shù)

T=0K時(shí)，聲子數(shù)為0，稱為聲子真空。

聲子并不是真實(shí)的粒子，不能脫離固體，可以產(chǎn)生和消滅，有相互作用時(shí)聲子數(shù)不守恒。5．長波方法（一）——聲學(xué)模

在多數(shù)問題中，長波長的聲子起重要作用，為此，有必要討論晶格動(dòng)力學(xué)理論的長波極限（k

0）情況。

由于聲頻支代表同一元胞中諸原子（基元）的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，因此，復(fù)式晶格中的聲學(xué)模也可當(dāng)簡單晶格處理。

對長波長的晶格振動(dòng)，晶體結(jié)構(gòu)的原子性對問題影響不大，可用連續(xù)介質(zhì)近似引入一個(gè)在空間緩變的位移場

：代表r點(diǎn)附近小體元的位移；當(dāng)（簡記時(shí)，u就是l元胞中質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)由于u是在元胞間緩慢變化過渡到連續(xù)介質(zhì)的基本關(guān)系式定義密度：

求和與積分的變換：

過度到連續(xù)介質(zhì)近似對于晶格振動(dòng)的動(dòng)能：對于勢能項(xiàng)其中：--彈性系數(shù)

---形變能密度考慮求解彈性問題，首先應(yīng)考慮對稱性最簡單而又最常用的模型是把晶體看作彈性各向同性體，這時(shí)彈性能與取向無關(guān)。由于位移場只可能有三種一階導(dǎo)數(shù)；因此能保持上述旋轉(zhuǎn)不變性的二次函數(shù)只可能是它們的標(biāo)量二次型:

而代表晶體旋轉(zhuǎn)，而不是應(yīng)變，這一項(xiàng)不會出現(xiàn)在彈性能中。彈性各向同性體的形變能密度應(yīng)具有下列簡單形式A，B與彈性系數(shù)的關(guān)系長波近似的動(dòng)力學(xué)矩陣求得長波情況下的本征方程具有聲頻支的特征對于彈性各向同性體其矢量形式為可以看出，它有一個(gè)縱波（），兩個(gè)橫波（）解橫波的聲速小于縱波的聲速。由于求本征方程時(shí)，已假定晶格波的形式解作下列對應(yīng)：由此可得彈性波方程（從本征方程）當(dāng)各向同性時(shí)經(jīng)變化可求得矢量表示式這就是人們熟知的彈性波方程。引入簡正坐標(biāo)經(jīng)計(jì)算可得：

引入聲子的產(chǎn)生消滅算符--有一個(gè)縱波和兩個(gè)橫波。

位移場的二次量子化形式位移場的變化與體積變化有關(guān)因此，只有縱波導(dǎo)致體積變化，LA聲子對電子的互作用比TA聲子更重要。6．長波方法（二）——光學(xué)模在離子晶體中長波光學(xué)模代表元胞內(nèi)正、負(fù)離子的反向運(yùn)動(dòng)，它伴隨著極化并與電磁波有強(qiáng)烈的相互作用，從而對離子晶體的電學(xué)與光學(xué)特性有重要影響。以下為黃昆的長波方法:設(shè)每個(gè)元胞只含有兩個(gè)電荷量相等、符號相反的離子，基于連續(xù)介質(zhì)模型：由于在長波限各正負(fù)離子的相對位移幾乎一樣，因此用一個(gè)矢量W描述光頻振動(dòng)：折合質(zhì)量的密度光頻支振動(dòng)的動(dòng)能密度位能密度由兩部分組成其中這里P代表晶體的極化強(qiáng)度，E為宏觀電場；顯然正、負(fù)離子的相對位移導(dǎo)致極化并產(chǎn)生內(nèi)場，這個(gè)場又反過來作用于離子影響它們運(yùn)動(dòng)，并且還使離子上電子相對于核位移產(chǎn)生電子極化

方程一：第一項(xiàng)為離子位移極化，第二項(xiàng)與離子上電子的極化有關(guān)。由此可得：其中是待定系數(shù)。拉氏密度W的共軛量：因此哈密頓：

利用正則方程：

可導(dǎo)出光學(xué)模的運(yùn)動(dòng)方程其中第一項(xiàng)代表彈性恢復(fù)力，是短程作用；第二項(xiàng)是極化所產(chǎn)生宏觀內(nèi)場對離子運(yùn)動(dòng)的作用力，它概括了長程作用。

方程二：---------------長波方法的優(yōu)點(diǎn)是用宏觀內(nèi)場代替對離子間的長程庫侖力求和------------------利用黃昆方程可求出離子晶體中光學(xué)模橫縱波的頻率，并且諸系數(shù)可由常用的宏觀測量值決定（高低頻介電常數(shù)）。1.介電常數(shù)考慮的平面波解，當(dāng)時(shí)代入黃昆方程一二消去W后可得根據(jù)：

可求出

與

的關(guān)系式介電函數(shù)在時(shí)有極點(diǎn)。靜態(tài)介電常數(shù)：

高頻介電常數(shù)：

于是求得諸系數(shù)：

介電函數(shù)可表示為

2.橫波及縱波振動(dòng)方程在各向同性介質(zhì)中，光學(xué)?？蓜澐譃榭v波部分與橫波部分，相應(yīng)的矢量：當(dāng)不存在外磁場時(shí)，

，又由于

，因此

橫振動(dòng)方程變?yōu)椋?/p>

黃昆方程二寫為：

橫波的頻率與介電函數(shù)的極點(diǎn)頻率

相等。對于縱波，考慮到離子晶格中平均電荷密度為零，故，又由于；所以代入黃昆方程一，可得將上式代入黃昆方程二，可得縱波振動(dòng)方程縱波和橫波的關(guān)系這是著名的LST(Lyddane-Sachs-Teller)關(guān)系。介電函數(shù)可進(jìn)一步寫為由于，因此；為介電函數(shù)的零點(diǎn)頻率，為極點(diǎn)頻率。當(dāng)時(shí)，；這時(shí)電磁波只能在晶體邊界上反射，而不能在介質(zhì)中傳播。7．極化激元

由于光子是橫向電磁場的量子，光照射離子晶體時(shí)將激發(fā)橫向電磁場，從而對離子晶體中光頻支橫波振動(dòng)產(chǎn)生影響。

當(dāng)光子頻率（）與橫波光學(xué)模聲子（TO）的頻率（）相近時(shí)，兩者耦合很強(qiáng)，形成光子-光學(xué)模聲子的耦合模式，其量子稱為極化激元（Polaritons）

由于時(shí)對應(yīng)的光子波數(shù)與布里淵區(qū)的尺寸（）相比為小量，因此，極化激元是長波長光頻支振動(dòng)與電磁場的耦合模量子。為求耦合模，必須考慮黃昆方程與麥克斯韋方程的聯(lián)立其中假定（i）介質(zhì)是非磁性的：（ii）不存在空間電流：（iii）無自由電荷：所以僅涉及橫向場量：*考慮平面波型解：設(shè)波矢k沿z方向，E、P、W在x方向振動(dòng)，而H沿y方向代入上式解系數(shù)行列式可將頻率方程寫為得到極化激元的色散關(guān)系極化激元的解有兩支當(dāng)時(shí)：當(dāng)

時(shí)：有兩重根，說明存在兩種橫波，它們的偏振方向不同。反映出聲子與光子的耦合特征。禁區(qū)光速

+

-介質(zhì)中光速兩支極化激元的色散曲線:在頻率范圍內(nèi)不存在耦合模的傳播解，代表禁區(qū)。在禁區(qū)入射光不能在離子晶體中傳播，與此同時(shí)實(shí)驗(yàn)上將觀察到強(qiáng)烈的反射現(xiàn)象。介電函數(shù)與頻率的關(guān)系：反射率當(dāng)以上說明極化激元對解釋晶體中的光學(xué)現(xiàn)象起重要作用。極化激元的概念在固體理論中已推廣到光子與激子、磁振子等的相互作用形成的耦合模量子。以上極化激元的色散關(guān)系已被拉曼（Raman）光譜實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。8.態(tài)密度

由于波矢k顯準(zhǔn)連續(xù)分布，每一頻帶內(nèi)的格波頻率也將是連續(xù)分布。那么在計(jì)算熱力學(xué)量時(shí)，可以把的求和變換為對頻率的積分。態(tài)密度：平均每個(gè)元胞（或格點(diǎn)）的態(tài)密度定義為單位頻率間隔內(nèi)的格波模式數(shù)被總元胞數(shù)N除。態(tài)密度滿足：即對于三維復(fù)式晶格，當(dāng)元胞內(nèi)含有s個(gè)原子時(shí)，態(tài)密度的積分應(yīng)等于平均每個(gè)元胞內(nèi)的振動(dòng)自由度3s。*由于求和變換為積分有:那么，用積分表示態(tài)密度有:用態(tài)密度計(jì)算熱力學(xué)量在簡諧近似下，晶格系統(tǒng)總的振動(dòng)能量為這里為聲子數(shù)組態(tài)晶格振動(dòng)的配分函數(shù)為按照熱力學(xué)公式，自由能為利用狄拉克

函數(shù)的特性以及自由能可寫為：態(tài)密度是計(jì)算晶格熱力學(xué)特性的重要物理量內(nèi)能：

熱容：

熵：

顯然，知道了態(tài)密度也就可計(jì)算出以上熱力學(xué)量。態(tài)密度的計(jì)算例如，對于質(zhì)量為M，彈性常數(shù)為f以及周期為a的一維原子鏈，其格波頻率為：那么采用長波近似時(shí)，各向同性時(shí)格波聲學(xué)模的色散關(guān)系簡化為每個(gè)k有一個(gè)縱波和兩個(gè)橫波。由于態(tài)密度的積分在內(nèi)是德拜（Debye）模型中的最大波數(shù)，是德拜頻率。態(tài)密度這就是固體物理學(xué)中的德拜（Debye）態(tài)密度態(tài)密度的面積分表示首先將k空間元作變換其中是等頻面上的面積元，是等頻面間的垂直距離當(dāng)時(shí)，被積函數(shù)發(fā)散，因此這些點(diǎn)的態(tài)密度出現(xiàn)奇異性，這樣的點(diǎn)稱為范

霍夫奇點(diǎn)（VanHove）若將格波的頻率換成能帶電子的能量則平均每個(gè)格點(diǎn)的電子態(tài)密度為：這里

代表電子自旋指標(biāo)。

對于自由電子模型那么此即自由電子氣的態(tài)密度。9．范

霍夫奇點(diǎn)（VanHove）態(tài)密度的面積分表示：當(dāng)波包的群速時(shí)，中將出現(xiàn)范

霍夫奇點(diǎn)。*由于在三維晶格中在色散曲線的極小點(diǎn)、極大點(diǎn)和鞍點(diǎn)處為零。那么其中是在主軸坐標(biāo)系中的展開系數(shù)，而為范

霍夫奇點(diǎn)的波矢。那么共有4類范

霍夫奇點(diǎn)：1）：代表的極小點(diǎn)，用標(biāo)記；2）：代表的極大點(diǎn)，用標(biāo)記；3）：代表的I類鞍點(diǎn)，用標(biāo)記；4）：代表的II類鞍點(diǎn)，用標(biāo)記；范

霍夫奇點(diǎn)附近態(tài)密度的特性首先作標(biāo)度變換：

可得：

對于單頻帶情況，再利用態(tài)密度的另一個(gè)等效公式：下面分別討論4類范

霍夫奇點(diǎn)1）極小點(diǎn)（）：的情況；計(jì)算可得： 其中

這樣可得極小點(diǎn)（）附近的態(tài)密度態(tài)密度以無限大斜率離開極小點(diǎn)。2）極大點(diǎn)（）：的情況；同理可得：態(tài)密度：

態(tài)密度以負(fù)無限大斜率接近極大點(diǎn)。3）I類鞍點(diǎn)（），的情況當(dāng)時(shí)，令是單葉雙曲面當(dāng)時(shí)，令是雙葉雙曲面當(dāng)時(shí)做下列坐標(biāo)變換：i）當(dāng)時(shí)，令變換前后的體元關(guān)系;ii）當(dāng)時(shí)，令變換后態(tài)密度為：其中來源于積分限于內(nèi)。為一固定數(shù)由此可得：在I鞍點(diǎn)附近的態(tài)密度：在附近態(tài)密度是連續(xù)的，但斜率是不連續(xù)的，第二項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)趨于正無窮大。4）II類鞍點(diǎn)（），的情況與I類鞍點(diǎn)（）類似，只是態(tài)密度的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)以負(fù)無窮大離開。10.晶格振動(dòng)的局域模

含有雜質(zhì)和缺陷的晶體，由于平移對稱性被破壞，其聲子譜將不同于完整晶格，會產(chǎn)生以雜質(zhì)、缺陷為中心的局域振動(dòng)模式。以一維原子鏈入手。設(shè)質(zhì)量為M的原子組成一維簡單晶格，元胞數(shù)為N，在原點(diǎn)()處有一個(gè)質(zhì)量為M’的雜質(zhì)原子。近鄰互作用的彈性常數(shù)均為f并設(shè)那么

為輕雜質(zhì)。

為重雜質(zhì)。晶格振動(dòng)的哈密頓：其中動(dòng)能和勢能部分分別為：（只考慮最近鄰互作用）

1.單個(gè)缺陷對振動(dòng)頻率的影響由于平移對稱性被破壞，不能直接利用布洛赫定理來確定系統(tǒng)的振動(dòng)模式。利用傅里葉變換，晶格振動(dòng)位移可表示為：利用關(guān)系式：可將改用表示為完整晶格的本征振動(dòng)頻率設(shè)，上式可改成由于出現(xiàn)系統(tǒng)的本征頻率將發(fā)生改變，根據(jù)經(jīng)典力學(xué)（理論力學(xué)），含缺陷系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)椋杭从烧齽t方程考慮的非零解，設(shè)代入上式上式對k求和并消去可得含缺陷雜質(zhì)晶格的本征頻