專題九、函數(shù)零點問題1.嵌套函數(shù)零點問題=3\*GB3③已知函數(shù)值求自變量的步驟：若已知函數(shù)值求的解，則遵循“由外到內”的順序，一層層拆解直到求出的值.答案：答案：圖1圖2圖1圖2圖1圖2答案：答案：圖1圖2答案：圖1圖2答案：圖1圖22.函數(shù)導數(shù)隱零點問題方法一、察“言”觀“色”、猜出零點方法二、設而不求，巧借零點（1）若存在極小值，求實數(shù)a的取值范圍；例題10：設函數(shù)f(x)=ex﹣ax﹣2．(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若a=1，k為整數(shù)，且當x＞0時，(x﹣k)f′(x)+x+1＞0，求k的最大值．解析：(1)(略解)若a≤0，則f′(x)＞0，f(x)在R上單調遞增；若a＞0，則f(x)的單調減區(qū)間是(﹣∞，lna)，增區(qū)間是(lna，+∞)．(2)由于a=1，所以(x﹣k)f′(x)+x+1=(x﹣k)(ex﹣1)+x+1．而函數(shù)f(x)=ex﹣x﹣2在(0，+∞)上單調遞增，=1\*GB3①f(1)＜0，f(2)＞0，所以f(x)在(0，+∞)存在唯一的零點．故g′(x)在(0，+∞)存在唯一的零點．設此零點為a，則a∈(1，2)．當x∈(0，a)時，g′(x)＜0；當x∈(a，+∞)時，g′(x)＞0．所以g(x)在(0，+∞)的最小值為g(a)．=2\*GB3②又由g′(a)=0，可得ea=a+2，=3\*GB3③所以g(a)=a+1∈(2，3)．由于(*)式等價于k＜g(a)，故整數(shù)k的最大值為2．點評：從第2問解答過程可以看出，處理函數(shù)隱性零點三個步驟：=1\*GB3①確定零點的存在范圍(本題是由零點的存在性定理及單調性確定)；=2\*GB3②根據(jù)零點的意義進行代數(shù)式的替換；=3\*GB3③結合前兩步，確定目標式的范圍。若a=﹣1，設函數(shù)f(x)在(0，1)上的極值點為x0，求證：f(x0)＜﹣2．例題12：已知函數(shù)f(x)=ax2axxlnx，且f(x)≥0．(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e﹣2＜f(x0)＜2﹣2．解析(1)因為f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx=x(ax﹣a﹣lnx)(x＞0)，則f(x)≥0等價于h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0，求導可知h′(x)=a﹣．則當a≤0時h′(x)＜0，即y=h(x)在(0，+∞)上單調遞減，所以當x0＞1時，h(x0)＜h(1)=0，矛盾，故a＞0．因為當0＜x＜時h′(x)＜0，當x＞時h′(x)＞0，所以h(x)min=h()，又因為h(1)=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；(另解：因為f(1)=0，所以f(x)≥0等價于f(x)在x＞0時的最小值為f(1)，所以等價于f(x)在x=1處是極小值，所以解得a=1；)(2)證明：由(1)可知f(x)=x2﹣x﹣xlnx，f′(x)=2x﹣2﹣lnx，令f′(x)=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，記t(x)=2x﹣2﹣lnx，則t′(x)=2﹣，令t′(x)=0，解得：x=，所以t(x)在區(qū)間(0，)上單調遞減，在(，+∞)上單調遞增，所以t(x)min=t()=ln2﹣1＜0，從而t(x)=0有解，即f′(x)=