專題5.4復(fù)數(shù)（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"13"\h\u【題型1復(fù)數(shù)的概念】 6【題型2共軛復(fù)數(shù)】 6【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】 7【題型4復(fù)數(shù)的四則運算】 7【題型5復(fù)數(shù)的相等】 7【題型6復(fù)數(shù)的模】 8【題型7與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問題】 8【題型8復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的根】 9【題型9復(fù)數(shù)的三角表示】 91、復(fù)數(shù)考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù)(2)理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義(3)掌握復(fù)數(shù)的四則運算，了解復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義2023年新高考I卷：第2題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第1題，5分2024年新高考I卷：第2題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第1題，5分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第1題，5分、（理數(shù)）：第1題，5分2025年全國一卷：第1題，5分2025年全國二卷：第2題，5分2025年北京卷：第2題，4分2025年天津卷：第10題，5分2025年上海卷：第10題，5分復(fù)數(shù)是高考的熱點內(nèi)容，是每年高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，高考對復(fù)數(shù)的考查比較穩(wěn)定，往往以單選題、填空題的形式考查，考查內(nèi)容、難度變化不大，主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的運算及其幾何意義，屬于簡單題.預(yù)測明年高考復(fù)數(shù)依舊以單選題、填空題形式呈現(xiàn)，比較簡單.知識點1復(fù)數(shù)的概念1．復(fù)數(shù)的概念(1)復(fù)數(shù)的概念我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.這樣，方程x2+1=0在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.(2)復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時，復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部.(3)復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)a+bi，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，它是實數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，它是實數(shù)0；當(dāng)b≠0時，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時，它叫做純虛數(shù).2．復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復(fù)數(shù)才相等.知識點2復(fù)數(shù)的幾何意義1．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面如圖所示，點Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點Z(a,b)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的.這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù).如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點Z唯一確定；反過來，點Z(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定.2．復(fù)數(shù)的模3．共軛復(fù)數(shù)(1)定義一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即若z=a+bi，則=abi.特別地，實數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身.(2)幾何意義互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱(如圖).特別地，實數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點重合，且在實軸上.(3)性質(zhì)①=z.4．復(fù)數(shù)的模的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z(a,b)到坐標(biāo)原點的距離，這是復(fù)數(shù)的模的幾何意義.(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，r表示一個大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>r表示圓的外部.知識點3復(fù)數(shù)的運算1．復(fù)數(shù)的四則運算(1)復(fù)數(shù)的加法法則設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復(fù)數(shù)的減法法則類比實數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)(c+di).根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=ac，y=bd，所以x+yi=(ac)+(bd)i，即(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.(3)復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(acbd)+(ad+bc)i.可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成1，并且把實部與虛部分別合并即可.(4)復(fù)數(shù)的除法法則由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個確定的復(fù)數(shù).2．復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義兩個復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個復(fù)數(shù)的差z1z2減法來進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.3．復(fù)數(shù)運算的常用技巧(1)復(fù)數(shù)常見運算小結(jié)論(2)常用公式知識點4復(fù)數(shù)有關(guān)問題的解題策略1．復(fù)數(shù)的概念的有關(guān)問題的解題策略(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部.若z為實數(shù)，則虛部b=0，與實部a無關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實部a無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=0且b≠0.2．復(fù)數(shù)的運算的解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算；(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輪復(fù)數(shù).3．復(fù)數(shù)的幾何意義的解題策略由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.4．復(fù)數(shù)的方程的解題策略(1)對實系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.(2)對復(fù)系數(shù)(至少有一個系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.【方法技巧與總結(jié)】4．復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)|z(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心，r為半徑的圓.【題型1復(fù)數(shù)的概念】【例1】（2025·全國一卷·高考真題）(1+5i)i的虛部為（

A．?1 B．0 C．1 D．6【變式11】（2025·吉林·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=m2?1+(m+1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)A．?1 B．1 C．?1或1 D．2【變式12】（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)z=2?i的虛部是（

A．i B．1 C．?1 D．?【變式13】（2025·云南曲靖·二模）已知復(fù)數(shù)z=a+2+a2?a?6ia∈A．1 B．2 C．3 D．6【題型2共軛復(fù)數(shù)】【例2】（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=3+i（其中i為虛數(shù)單位），則z=A．1?3i B．1+3i C．3?i【變式21】（2025·甘肅白銀·二模）復(fù)數(shù)z=3?i2025A．?15?75i B．1【變式22】（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)z滿足3?2iz=11，i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)zA．2i B．2 C．?2i【變式23】（2025·湖南岳陽·三模）若復(fù)數(shù)z滿足z+iz?1=1+i，則在復(fù)平面內(nèi)，A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】【例3】（2025·天津河北·模擬預(yù)測）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)4+3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式31】（2025·云南·模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1=?1+i與復(fù)數(shù)z2對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則A．1 B．2 C．3 D．2【變式32】（2025·寧夏陜西·模擬預(yù)測）“a<0”是“復(fù)數(shù)2+2?ai在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式33】（2025·湖南長沙·二模）在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點，復(fù)數(shù)1?i，?1+2i對應(yīng)的向量分別是OM，ON，則MN對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（A．?2+3i B．i C．2?3i 【題型4復(fù)數(shù)的四則運算】【例4】（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知z1=1+2i，z2=3?4i，若A．4?3i B．2?32i C．【變式41】（2025·全國二卷·高考真題）已知z=1+i，則1z?1=A．?i B．i C．?1 【變式42】（2025·河南信陽·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=1+3ii，則z?A．?2i B．2 C．0 D．【變式43】（2025·寧夏銀川·三模）已知復(fù)數(shù)z=2?1+iA．zB．z的虛部為?C．z對應(yīng)的點位于復(fù)平面的第三象限D(zhuǎn)．z?【題型5復(fù)數(shù)的相等】【例5】（2025·云南紅河·三模）若1?2i=a+bi（i為虛數(shù)單位），其中a，b為實數(shù)，則a+bA．1 B．3 C．?1 D．?3【變式51】（2025·山東·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足2z+z+2i=4+z?A．1+i B．1?i C．?1+i【變式52】（2025·遼寧遼陽·一模）已知1?2ia+3+4ib=2+6A．a(chǎn)=1,b=?1 B．a(chǎn)=?1,b=1C．a(chǎn)=?1,b=?1 D．a(chǎn)=1,b=1【變式53】（2025·安徽六安·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z1=m+(4?m2)i(m∈R)A．?916,+∞ B．?916【題型6復(fù)數(shù)的?！俊纠?】（2025·山東·模擬預(yù)測）已知z為復(fù)數(shù)，z?2為純虛數(shù)，z+i為實數(shù)，則z=（A．2 B．5 C．22 【變式61】（2025·湖北宜昌·二模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足3+4iz=5i，則zA．125 B．15 C．1【變式62】（2025·青海西寧·二模）若a與b均為實數(shù)，且b?3i=4+ai，則a+bA．3 B．4 C．5 D．7【變式63】（2025·廣西柳州·三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量OZ=1,2，則z?3=A．22 B．5 C．3 D．【題型7與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問題】【例7】（2025·山東·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足z?4+3i=2，則z的最小值為（A．2 B．3 C．6 D．7【變式71】（2025·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）設(shè)z∈C，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z，則滿足1≤z?1≤2的點Z的集合形成的圖形的面積為（A．π B．2π C．3π 【變式72】（2025·新疆烏魯木齊·三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z?1=2，則z的取值范圍是（

A．0,1 B．0,3 C．（1,3） D．1,3【變式73】（2025·遼寧·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z1,z2分別滿足z1=1，A．5 B．6 C．7 D．8【題型8復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的根】【例8】（2025·山東青島·三模）若1+2i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復(fù)數(shù)根，則b，cA．b=?2，c=5 C．b=?2，c=?5 D．b=2，c=?5【變式81】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知1?i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個根（i為虛數(shù)單位），則n=A．3 B．2 C．2 D．3【變式82】（2025·山東濟(jì)寧·二模）已知1?2i是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0a,b∈R的一個根，則A．2 B．3 C．5 D．29【變式83】（2025·江西·二模）已知2?2i（i是虛數(shù)單位）是實系數(shù)一元二次方程x2+bx+c=0A．b=4，c=8 B．b=4，c=?8C．b=?4，c=8 D．b=?4，c=?8【題型9復(fù)數(shù)的三角表示】【例9】（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3?3i對應(yīng)的向量a按順時針方向旋轉(zhuǎn)π3，所得向量在aA．23?3i B．3?23i 【變式91】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知eiθ=cosθ+A．eiθ?C．e?iθ【變式92】（2025·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式(cosx+i?sinx)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式93】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（16671754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個復(fù)數(shù)z1=r1cosθ1+isinθ1A．?32 B．32 一、單選題1．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z=3+i?2i3，則A．5 B．6 C．10 D．32．（2025·河北邢臺·三模）若a+i=b+2?ai(a,b∈RA．2 B．4 C．?4 D．?23．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足|z?3?4i|=5（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上不可能位于（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若z=2+4i2?i，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)A．5 B．2 C．25 5．（2025·全國·二模）已知復(fù)數(shù)z滿足z1+i=2?3A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2025·海南·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=cosπ6+sinπ6A．1 B．?1 C．i D．?7．（2025·廣東佛山·三模）復(fù)平面上A，B兩點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1＋3i，?2＋iA．17 B．17 C．13 D．138．（2025·北京海淀·三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，21+i?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、多選題9．（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測）設(shè)z1,zA．z1?zC．z1?z10．（2025·