專題05相似三角形中的基本模型之對角互補模型相似三角形是中考數(shù)學中經常出現(xiàn)壓軸大題的知識點，占據著重要地位；相似三角形與其它知識點結合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就對角互補模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型趣事 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型運用 5模型1.對角互補模型（相似模型） 5 17因結構中存在“對角互補”的核心特征，模型被命名為“對角互補模型”?。2023年分類突破?：文獻明確劃分?全等型與?相似型?，確立模型框架?；?2025年深度整合?：將旋轉、垂線、四點共圓等技巧按“構造→轉化→結論”流程標準化，成為中考壓軸題核心工具。模型在八年級首次出現(xiàn)于三角形全等證明，常與角平分線、等腰三角形結合，通過旋轉或垂線構造全等形?。九年級擴展至相似三角形領域，利用雙垂線法構造相似三角形，適用于任意互補角，重點在于比例關系的推導。?(1)概念理解①在以下四種圖形中，一定是“等補四邊形”的是___________；A．平行四邊形

B．菱形C．矩形

D．正方形(2)探究發(fā)現(xiàn)(3)拓展應用(1)①在以下四種圖形中，一定是“求同存異四邊形”的是______；A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形1）對角互補相似1條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點O是AB的中點，證明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分別為D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°，∵∠C＝90°，∴四邊形OHCD為矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH∴∠DOF+∠HOF＝90°，2）對角互補相似 2條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.證明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分別為F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四邊形OGCF為矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，證明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，3）對角互補相似3 條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°。結論：如圖，過點D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分別為E、F；則：①△DAE～△DCF；②A、B、C、D四點共圓。證明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四點共圓。∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE～△DCF；模型1.對角互補模型（相似模型）例1（2425九年級下·廣東深圳·階段練習）在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗．請運用已有經驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究．【定義】至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．(1)操作判斷用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有______（填序號）①寫出圖2中相等的角，并說明理由；②當該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出的長．例2（2425九年級下·陜西咸陽·期中）定義新知定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．初步探究（1）如圖1為的正方形網格，線段、的端點均在格點上，請在圖中標出格點的位置，使得以、、、四點為頂點的四邊形是鄰等對補四邊形；（標出一個滿足條件的點，同時畫出這個四邊形）拓展應用例3（2025·河南商丘·二模）綜合與實踐在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗．請運用已有經驗，對“損矩形”進行研究．定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做“損矩形”．

(1)操作判斷(2)性質探究(3)拓展應用例4（2025·河南洛陽·一模）綜合與實踐在數(shù)學學習中，我們發(fā)現(xiàn)除了已經學過的四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形．請結合已有經驗，對下列特殊四邊形進行研究．定義：如果四邊形的一條對角線把該四邊形分割成兩個等腰三角形，且這條對角線是這兩個等腰三角形的腰，那么我們稱這個四邊形為雙等腰四邊形．(1)【初步探究】(2)【問題解決】(3)【拓展應用】（1）的長為．(1)概念理解①在以下四種圖形中，一定是“等補四邊形”的是___________；A．平行四邊形

B．菱形C．矩形

D．正方形(2)探究發(fā)現(xiàn)(3)拓展應用(1)理解操作(2)理解應用②判斷，，之間的數(shù)量關系，并加以證明．(3)拓展延伸4．（2425八年級下·新疆阿克蘇·期中）在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗，請運用已有經驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究．定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．(1)操作判斷用分別含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖（1）所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有（填序號）．(2)性質探究(3)拓展應用5．（2425九年級上·江蘇揚州·期中）綜合與實踐在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗，請運用已有經驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．(1)操作判斷用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有________（填序號）．(2)性質探究根據定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質．下面研究與對角線相關的性質．①寫出圖中相等的角，并說明理由；(3)拓展應用6．（2425九年級下·湖南株洲·期末）我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．

7．（2025九年級上·湖南·專題練習）我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．(1)概念理解①在以下四種圖形中，一定是“等補四邊形”的是（

）A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形(2)探究發(fā)現(xiàn)(3)拓展應用9．（2425九年級上·山西晉中·階段練習）閱讀理解如果兩個三角形中有一組對應角相等或互補，那么這兩個三角形叫做共角三角形，共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比，證明：分別過點E，C作EG⊥AB于點G，CF⊥AB于點F，得到圖2，10．（2425九年級上·安徽蕪湖·階段練習）定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．理解：運用：11．（2425九年級上·江蘇鹽城·階段練習）定義：在四邊形ABCD中，如果∠ABC+∠ADC＝90°，那么我們把這樣的四邊形稱為余對角四邊形．{問題探索}問題：如圖1，已知AC、BD是余對角四邊形ABCD的對角線，AC＝BC，∠ACB＝60°．求證：AD2+DC2＝BD2．探索：小明同學通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下想法：因為AC＝BC，∠ACB＝60°，所以ABC是等邊三角形，將CBD繞點C順時針方向旋轉60°，得CAE，連接DE．??請參考小明同學的想法，完成該問題的解答過程．{問題推廣}已知AC、BD是余對角四邊形ABCD的對角線，∠ABC+∠ADC＝90°，AC＝AB＝k?BC（k≠1），如圖2，類比前面問題的解決方法探究DA、DB、DC三者之間關系，并說明理由．{靈活運用}如圖3，已知AC、BD是四邊形ABCD的對角線，∠ABC+∠ADC＝90°，若AC＝2，BC＝，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，則AD＝．12．如圖，在△ABC中，點D為BC邊的任意一點，以點D為頂點的∠EDF的兩邊分別與邊AB，AC交于點E、F，且∠EDF與∠A互補．（1）如圖1，若AB=AC，D為BC的中點時，則線段DE與DF有何數(shù)量關系？請直接寫出結論；（2）如圖2，若AB=kAC，D為BC的中點時，那么（1）中的結論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請寫出DE與DF的關系并說明理由；（3）如圖3，若=a，且=b，直接寫出=．13．（2025九年級·新疆烏魯木齊·專題練習）【課本再現(xiàn)】【類比探究】15．（2425九年級上·陜西西安·階段練習）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形，根據以上定義，解決下列問題：16．（2425九年級上·湖南邵陽·期末）定義：有一組對角互補的四