專題02有理數(shù)的運(yùn)算（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律有理數(shù)的運(yùn)算能準(zhǔn)確運(yùn)算并解決應(yīng)用題必考點(diǎn)，易錯運(yùn)算順序或符號括號科學(xué)記數(shù)法小題必考，易錯確定的值有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能運(yùn)用有理數(shù)解決實(shí)際問題，熟練使用科學(xué)記數(shù)法解決問題，建立數(shù)學(xué)模型綜合應(yīng)用題必考，需要強(qiáng)化建模能力知識點(diǎn)01有理數(shù)的加法（1）有理數(shù)加法法則：①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（在進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．）（2）相關(guān)運(yùn)算律交換律：a+b＝b+a；結(jié)合律（a+b）+c＝a+（b+c）．知識點(diǎn)02有理數(shù)的減法（1）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在進(jìn)行減法運(yùn)算時，首先弄清減數(shù)的符號；②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運(yùn)算符號（減號變加號）；二是減數(shù)的性質(zhì)符號（減數(shù)變相反數(shù)）；【注意】：在有理數(shù)減法運(yùn)算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因?yàn)闇p法沒有交換律．減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應(yīng)依法則進(jìn)行計(jì)算．知識點(diǎn)03有理數(shù)的加減混合運(yùn)算（1）有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．（2）方法指引：①在一個式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號的和的形式．②轉(zhuǎn)化成省略括號的代數(shù)和的形式，就可以應(yīng)用加法的運(yùn)算律，使計(jì)算簡化．知識點(diǎn)04有理數(shù)的乘法法則有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．知識點(diǎn)05倒數(shù)的概念（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?1a=1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是（2）方法指引：①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法求一個數(shù)的相反數(shù)求一個數(shù)的相反數(shù)時，只需在這個數(shù)前面加上“﹣”即可求一個數(shù)的倒數(shù)求一個整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個整數(shù)分之一求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置注意：0沒有倒數(shù)．知識點(diǎn)06有理數(shù)的乘法運(yùn)算律乘法結(jié)合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c.知識點(diǎn)07多個有理數(shù)相乘多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．方法指引：①運(yùn)用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘．②多個因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡單．知識點(diǎn)08有理數(shù)除法法則1.有理數(shù)除法法則一：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù).用字母表示：a÷b=a·1b2.有理數(shù)除法法則二兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，且商的絕對值等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值的商.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.方法指引：（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0．（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右．知識點(diǎn)09有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算有理數(shù)乘除混合運(yùn)算通常是先將除法轉(zhuǎn)化成乘法,然后按照乘法法則,確定積的符號,最后求出結(jié)果.注意：除法沒有運(yùn)算律，只有將除法轉(zhuǎn)化為乘法后，才可以利用乘法的運(yùn)算律簡化運(yùn)算知識點(diǎn)10有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算順序在運(yùn)算時要注意按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如果有括號，應(yīng)先算括號里面的.在同級運(yùn)算中，要按從左到右的順序來計(jì)算，并合理運(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)算.知識點(diǎn)11有理數(shù)的乘方（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．乘方的結(jié)果叫做冪，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)．a(chǎn)n讀作a的n次方．（將an看作是a的n次方的結(jié)果時，也可以讀作a的n次冪．）（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0．（3）方法指引：①有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先要確定冪的符號，然后再計(jì)算冪的絕對值；②由于乘方運(yùn)算比乘除運(yùn)算又高一級，所以有加減乘除和乘方運(yùn)算，應(yīng)先算乘方，再做乘除，最后做加減．知識點(diǎn)12非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負(fù)性．任意一個數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．知識點(diǎn)13有理數(shù)的混合運(yùn)算（1）有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算．（2）進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時，注意各個運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化．【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運(yùn)算的四種運(yùn)算技巧1．轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運(yùn)算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進(jìn)行約分計(jì)算．2．湊整法：在加減混合運(yùn)算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解．3．分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進(jìn)行計(jì)算．4．巧用運(yùn)算律：在計(jì)算中巧妙運(yùn)用加法運(yùn)算律或乘法運(yùn)算律往往使計(jì)算更簡便．知識點(diǎn)14近似數(shù)和有效數(shù)字（1）有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字．（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法．（3）規(guī)律方法總結(jié)：“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實(shí)際意義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)中哪個相對更精確一些．知識點(diǎn)15科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)（1）科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．【科學(xué)記數(shù)法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)．】（2）規(guī)律方法總結(jié)：①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n．②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是前面多一個負(fù)號．題型一有理數(shù)的加減混合運(yùn)算解｜題｜技｜巧1.先確定運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號先算括號內(nèi)2.將除法轉(zhuǎn)化為乘法3.注意符號規(guī)則，特別是負(fù)號的處理4.分步計(jì)算，避免一步出錯全盤皆錯易｜錯｜點(diǎn)｜撥混合運(yùn)算中最容易出現(xiàn)符號錯誤和運(yùn)算順序錯誤，特別是乘方運(yùn)算的優(yōu)先級【例1】（2526七年級上·江西九江·階段練習(xí)）閱讀下面的材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．計(jì)算：?55解：因?yàn)?556=?5+所以原式===0+=?11上面這種計(jì)算方法叫拆項(xiàng)法．任務(wù)：(1)上述材料中，序號①的內(nèi)容為________．(2)試用上述方法計(jì)算：①11②?2005【變式11】（2526七年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)?3+40+?32+?8；【變式12】（2526七年級上·新疆和田·階段練習(xí)）有理數(shù)的加減混合運(yùn)算：（寫出必要的計(jì)算過程）(1)9??11+?21(3)111+?0.22題型二有理數(shù)加減中的簡便運(yùn)算【例2】（2526七年級上·遼寧大連·階段練習(xí)）閱讀下題的計(jì)算方法：計(jì)算：?55解：原式===0+=?5上面這種計(jì)算算方法叫做拆項(xiàng)法，請按此方法計(jì)算：?553【變式21】（2526七年級上·新疆和田·階段練習(xí)）計(jì)算：用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算：(1)?17++3?(3)?556?3【變式22】（2526七年級上·重慶·階段練習(xí)）計(jì)算下列各題：??12+0.125??33題型三有理數(shù)加減混合運(yùn)算的應(yīng)用答｜題｜模｜板1.明確實(shí)際問題中的正負(fù)意義2.建立有理數(shù)運(yùn)算模型3.計(jì)算結(jié)果并結(jié)合實(shí)際解釋易｜錯｜點(diǎn)｜撥實(shí)際問題中要特別注意單位的統(tǒng)一和結(jié)果的合理性?！纠?】（2526七年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖所示，將?1、2、?3、4、?5、6、?7、8分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使圖中橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等，則圖中a+b的值為（

）A．?6或?3 B．?8或1 C．?1或?4 D．1或?1【變式31】（2324七年級上·福建廈門·開學(xué)考試）一輛客車從甲地開往乙地，每小時行駛75千米，預(yù)計(jì)3小時到達(dá)，行了1小時，機(jī)器發(fā)生故障，就地維修了20分鐘，要想準(zhǔn)時到達(dá)而不誤事，以后每小時應(yīng)加快多少千米？【變式32】（2425七年級上·黑龍江佳木斯·期末）一輛公共汽車從起點(diǎn)站開出后，途中經(jīng)過6個?？空荆詈蟮竭_(dá)終點(diǎn)站．下表記錄了這輛公共汽車全程載客的變化情況，其中正數(shù)表示上車人數(shù)，負(fù)數(shù)表示下車人數(shù)，0表示無人上車或下車．?？空酒瘘c(diǎn)站中間第1站中間第2站中間第3站中間第4站中間第5站中間第6站終點(diǎn)站上、下車人數(shù)+21?3；+8?4；+20；+4?7；+1?9；+6?7；0?12(1)中間第4站上車的人數(shù)是人，下車的人數(shù)是人；(2)途中的6個站中，第站沒有人上車，第站沒有人下車；(3)公共汽車離開中間第2站時車上的人數(shù)為人，離開中間第4站時車上的人數(shù)為人；(4)從表中你還能知道什么信息？題型四有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【例4】（2526七年級上·山西太原·階段練習(xí)）閱讀下面解題過程并解答問題：計(jì)算：?15解：原式=?15=?15=3(1)上面解題過程從第________步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤原因是________________；(2)請寫出正確的解答過程．【變式41】（2526七年級上·山東臨沂·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)16+?25+24+?35；?215×2311【變式42】（2526七年級上·河北保定·階段練習(xí)）有理數(shù)混合計(jì)算(1)2?6÷?2×??9+?12×|?1題型五有理數(shù)四則混合運(yùn)算【例5】（2526七年級上·云南紅河·階段練習(xí)）觀察下列等式規(guī)律：等式一：12等式二：13等式三：14等式四：15探尋規(guī)律，解答下列問題：(1)直接寫出第五個等式；(2)計(jì)算：12(3)觀察探究，并計(jì)算：12【變式51】（2526七年級上·湖北襄陽·階段練習(xí)）我們定義一種新運(yùn)算對任意兩個有理數(shù)x、y，有x?y=x(1)求2??4(2)求?3?【變式52】（2526七年級上·山東臨沂·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)991718×?9；(3)?124÷1題型六有理數(shù)四則混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用【例6】（2526七年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）某陶瓷廠計(jì)劃每個工人一周生產(chǎn)陶瓷工藝品280個，平均每天生產(chǎn)40個，但實(shí)際每天的生產(chǎn)量與計(jì)劃相比有出入，下表是該廠一工人某周的生產(chǎn)情況（以40個為標(biāo)準(zhǔn)，超產(chǎn)記為正，減產(chǎn)記為負(fù)）；星期一二三四五六日增減（個）+5?6+5+13?10+16?8(1)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)可知該工人星期三生產(chǎn)工藝品__________________個：(2)該工人本周實(shí)際生產(chǎn)工藝品多少個？(3)已知該廠實(shí)行計(jì)件工資制，每周結(jié)算一次，每生產(chǎn)一個工藝品可得5元，以280個為標(biāo)準(zhǔn)，超過部分每個另獎10元，未達(dá)標(biāo)準(zhǔn)的部分每個扣3元，求該工人在這一周實(shí)際獲得的工資總額．【變式61】（2526七年級上·福建泉州·階段練習(xí)）隨著城市的快速發(fā)展，小張計(jì)劃對城市中的幾個重要地點(diǎn)進(jìn)行考察，以便更好地了解城市規(guī)劃．他依次訪問了博物館、圖書館、公園、科技館和市政府，收集了相關(guān)資料如下表．素材一路線圖：小張家→博物館→圖書館→公園→科技館→市政府素材二這條考察路線近似看成南北走向．如果規(guī)定向北為正，向南為負(fù)，他這天行走的里程（單位：km）如下：+6素材三小張選擇騎共享電單車進(jìn)行考察，已知每千米的騎行費(fèi)用為0.3元(1)向市政府在小張家的哪個方向？距離是多少？(2)計(jì)算小張騎共享電單車完成整個考察路線的總費(fèi)用．【變式62】（2526七年級上·甘肅白銀·階段練習(xí)）小明家新?lián)Q了一輛新能源純電汽車，他連續(xù)7天記錄了每天行駛的路程（如表），以50km為標(biāo)準(zhǔn)，多于50km的記為“+”，不足50km的記為“?”，剛好50km的記為“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程km?8?10?140+24+23+35(1)這7天里路程最多的一天比最少的一天多走多少千米？(2)請求出小明家的新能源汽車這七天一共行駛了多少千米？(3)已知新能源汽車每行駛100km耗電量為15度，每度電為0.4元，請計(jì)算小明家這7天的行駛費(fèi)用是多少錢？題型七有理數(shù)乘除中的簡便運(yùn)算【例7】（2324七年級上·貴州遵義·開學(xué)考試）怎樣簡便就怎樣計(jì)算．(1)168.1÷4.3×2?0.4(2)(3)0.6×1925+60【變式71】（2425七年級下·重慶·自主招生）計(jì)算：3.85÷5【變式72】（2324七年級上·廣東河源·期中）學(xué)習(xí)本節(jié)知識后，薛老師給同學(xué)們出了這樣的兩道題：①?1②?1下面是小剛和小明做的過程：小剛：解：①原式=?小明：解：②原式=?請回答：(1)小剛和小明的解題都對嗎？如果不對，請寫出正確的計(jì)算過程；(2)小華是個愛動腦筋的好學(xué)生，他觀察了①、②這兩個式子是互為倒數(shù)的關(guān)系，故先求出①式的結(jié)果，即可得到②式的結(jié)果，你認(rèn)為他的思路正確嗎？(3)如果你認(rèn)為小華是正確的，請?jiān)囍?jì)算：?1題型八根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【例8】（2526七年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的位置如圖所示．(1)填空：a+b___________0；c?a___________0；（填“＞”“＜”或“=”）(2)已知，表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)距離為4，且m與c互為相反數(shù)，n與b互為倒數(shù)，求m+ca【變式81】（2526七年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B分別表示數(shù)a和b，則下列式子錯誤的是（

）A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)×b<0 C．a(chǎn)?b×a+b<0【變式82】（2425七年級上·廣西桂林·階段練習(xí)）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且表示數(shù)a的點(diǎn)、數(shù)b的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離相等．(1)用“>”“<”或“=”填空：b0，a+b0，a?c0，b?c0；(2)若a=|?1.5|，則b=；(3)計(jì)算：|b?1|+|3?a|?2．題型九數(shù)軸上的翻折【例9】（2526七年級上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·階段練習(xí)）如圖，小麗在紙上畫了一條不完整的數(shù)軸，折疊紙面，使數(shù)軸上表示?1的點(diǎn)和表示3的點(diǎn)重合，若該數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間的距離為8，且折疊后也互相重合，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（

）A．?4或4 B．?2或5 C．?3或4 D．?3或5【變式91】（2526七年級上·河北邢臺·階段練習(xí)）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右依次有點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為3，點(diǎn)(1)若A表示的數(shù)是?5，則數(shù)軸上點(diǎn)B所表示的數(shù)為：___________；(2)若以點(diǎn)B為原點(diǎn)，求點(diǎn)A，B，C所對應(yīng)的數(shù)的和．(3)若C表示的數(shù)是4，將數(shù)軸折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，求折疊后與點(diǎn)B重合的點(diǎn)表示的數(shù)．【變式92】（2526七年級上·河南南陽·階段練習(xí)）已知在紙面上有一個數(shù)軸（如圖），折疊紙面．操作一：若數(shù)軸上表示數(shù)1的點(diǎn)與表示數(shù)?1的點(diǎn)重合，則折痕經(jīng)過的點(diǎn)表示的數(shù)是0；操作二：若數(shù)軸上表示數(shù)?4的點(diǎn)與表示數(shù)0的點(diǎn)重合，則根據(jù)操作二解答下列各題：(1)此時折痕經(jīng)過的點(diǎn)表示的數(shù)是______；數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)______的點(diǎn)重合；(2)若點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是5個單位長度，并且A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求點(diǎn)B表示的數(shù)；(3)若數(shù)軸上M，N兩點(diǎn)之間的距離為2026，并且M，N兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，如果點(diǎn)M表示的數(shù)比點(diǎn)N表示的數(shù)大，點(diǎn)M表示的數(shù)是______；N表示的數(shù)是______．題型十有理數(shù)的乘方運(yùn)算【例10】（2526七年級上·遼寧錦州·階段練習(xí)）（1）已知a=5，b=3，且a?b=b?a（2）若x?12+y+2【變式101】（2526七年級上·湖南衡陽·階段練習(xí)）閱讀材料：求1+2+2解：設(shè)S=1+2+22S=2+2將②式減去①式，得2S?S=22014即1+2+仿照此法計(jì)算1+3+32+33A．3n+1?1 B．3n+1?12 【變式102】（2324七年級上·甘肅酒泉·期末）在下列各數(shù)中：?12，?42，??3，?5A．2個 B．3個 C．4個 D．5個題型十一有理數(shù)乘方逆運(yùn)算【例11】（2425七年級上·云南昭通·階段練習(xí)）閱讀下列各式：a?b2=a2?b2解答下列問題：(1)寫出a?b6=，猜想：a?b(2)計(jì)算：?0.1252022【變式111】（2023·山東棗莊·一模）定義運(yùn)算：若am=b，則logab=m(a>0)，例如23=8，則A．?1 B．2 C．1 D．4【變式112】（2223七年級上·重慶云陽·期中）請認(rèn)真閱讀下面材料，并解答下列問題．如果a(a>0,a≠1)

的b次冪等于N，即指數(shù)式ab=N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，對數(shù)式記作：①因?yàn)橹笖?shù)式22=4，所以以2為底4的對數(shù)是2，對數(shù)式記作：②因?yàn)橹笖?shù)式42=16(1)請根據(jù)上面閱讀材料將下列指數(shù)式改為對數(shù)式：①62=36(2)將下列對數(shù)式改為指數(shù)式：①log525(3)計(jì)算：log題型十二程序流程圖與有理數(shù)計(jì)算【例12】（2526七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）根據(jù)如圖所示的程序進(jìn)行計(jì)算，若輸入x的值為?3，則輸出的值為．【變式121】（2526七年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖是一個計(jì)算機(jī)的運(yùn)算程序，若一開始輸入的x值為?2，則輸出的結(jié)果y是【變式122】（2526七年級上·北京·階段練習(xí)）如圖是一個數(shù)字傳輸器，箭頭代表傳輸路徑，方框代表傳輸方式，菱形代表判斷，理解這個數(shù)字傳輸器的工作原理，回答下列問題：(1)當(dāng)x=3時，y=____________；當(dāng)x=2024時，y=___________；(2)若輸出的y值為0，則輸入的x為___________；（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）(3)若x是自然數(shù)，請寫出y的所有可能值________________．題型十三算“24”點(diǎn)【例13】（2526七年級上·安徽六安·階段練習(xí)）小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片（如圖），請你按要求抽出卡片，完成下列問題：(1)從中抽取2張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字相乘的積最大，如何抽取，最大值是多少？(2)從中抽取2張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？(3)從中抽取4張卡片，用學(xué)過的運(yùn)算方法，使其運(yùn)算結(jié)果為24．請寫出運(yùn)算式子．（一種即可）【變式131】（2526七年級上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，小玉有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列問題：(1)從中抽出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字的和最小，則應(yīng)如何抽??？最小的和是多少？(2)從中抽出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)字的乘積最小，則應(yīng)如何抽取？最小的乘積是多少？(3)從中抽出3張卡片，使這3張卡片上的數(shù)字經(jīng)過加、減、乘、除運(yùn)算后，組成一個最大的數(shù)，則應(yīng)如何抽??？最大的數(shù)是多少？(4)從中抽出4張卡片，用學(xué)過的運(yùn)算方法，要使結(jié)果為24，則應(yīng)如何抽??？寫出運(yùn)算式子（一種即可）．【變式132】（2324七年級下·河北保定·期中）嘉琪有6張寫有不同數(shù)值的卡片，請按下列要求抽出卡片，完成下列問題：(1)從中取出兩張卡片，使這兩張卡片上的數(shù)乘積最大，最大值是多少？(2)從中取出兩張卡片，使這兩張卡片上的數(shù)相除的商最小，最小值是多少？(3)從中取出兩張卡片，使這兩張卡片上的數(shù)的倒數(shù)最大和最小，這兩數(shù)的倒數(shù)分別是多少？(4)從中取出非負(fù)數(shù)的卡片組成一個最大的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示；(5)算24點(diǎn)游戲：從中取出四張卡片，用學(xué)過的“+、?、×、÷”進(jìn)行運(yùn)算，使結(jié)果為24．寫出1個算式即可（運(yùn)算算式可以加括號）．題型十四含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【例14】（2526七年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）計(jì)算題：(1)?82??31(3)?5+23(5)(?4)2÷?【變式141】（2526七年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)?2+9÷?3??3；(3)?32??42(5)24×?994748；【變式142】（2526七年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）（1）①觀察一列數(shù)1，2，4，8，16，…，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是一個常數(shù)，這個常數(shù)是；根據(jù)此規(guī)律，如果an（n為正整數(shù)）表示這個數(shù)列的第n項(xiàng)，那么a10=，②為了求1+2+2令M=1+2+2則2M=2+2因此2M?M=2所以M=2即1+2+2仿照以上推理：（2）計(jì)算1+7+7（3）計(jì)算1+2×2+3×2期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時間：10分鐘）1．（2425七年級上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）不改變原式的值，省略算式中的括號和加號后，可以寫成?6+3?4?5的是（

）A．?6?+3?C．+?6++32．（2526七年級上·全國·課后作業(yè)）人工智能模型的參數(shù)量越大，理解能力越強(qiáng)．DeepSeekV3?0324模型參數(shù)可達(dá)685000000000個，其中數(shù)685000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．6.85×1011 B．6.85×1010 C．3．（2526七年級上·遼寧·期中）如圖是一個“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”，按下面的運(yùn)算過程輸入一個數(shù)x，若輸入x=3，則輸出的結(jié)果為（

）A．15 B．13 C．11 D．?54．（2526七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是3，從點(diǎn)A出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向左平移8個單位長度到達(dá)點(diǎn)B，則點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為．5．（2526七年級上·廣東深圳·期中）手機(jī)支付給生活帶來便捷，如圖是王老師某日微信賬單的收支明細(xì)（正數(shù)表示收入，負(fù)數(shù)表示支出，單位：元）王老師當(dāng)天微信收支的最終結(jié)果是．6．（2425七年級上·貴州遵義·期中）定義一種新運(yùn)算“#”，a#b=ab÷a+b，如3#4=3×4÷3+4=12÷7=127．（2526七年級上·廣東揭陽·期中）計(jì)算：(1)27?13+?4?32；8．（2425七年級上·湖北十堰·期中）隨著短視頻軟件的普及，許多人利用各種直播平臺做電商，小李也將自己家果園的蘋果梨在某直播平臺進(jìn)行銷售，經(jīng)過一段時間的銷售，小李發(fā)現(xiàn)每天能銷售100kg左右的蘋果梨．下表為小李12月份第一周銷售蘋果梨的情況(以100kg為標(biāo)準(zhǔn)，超額記為正，不足記為負(fù)，單位：kg)．星期一二三四五六日與標(biāo)準(zhǔn)銷售量的差值?3?1+1?2?6+13+8根據(jù)以上內(nèi)容解答下列問題：(1)這周銷售量最多的一天比銷售量最少的一天多銷售多少千克蘋果梨?(2)若蘋果梨的售價為5.5元/kg9．（2425七年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）[情境題生活應(yīng)用]隨著人們生活水平的提高，家用轎車越來越多地進(jìn)入家庭．小明家買了一輛小轎車，他連續(xù)記錄了7天中每天行駛的路程（如下表，單位：km），以50km為標(biāo)準(zhǔn)，多于50km的記為“+”，不足50km的記為“?”，剛好50第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天?8?11?140?16+38+18(1)這七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行駛了多少千米？(2)請求出這七天中平均每天行駛多少千米．(3)若行駛100km需用汽油610．（2425七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法后，老師給同學(xué)們這樣一道題目：計(jì)算：4924小明：原式=?1249小軍：原式=49+(1)希望你通過以上兩種解法的不同理解，用不同于以上兩種方法求解，并寫出計(jì)算過程．(2)用你認(rèn)為最合適的方法計(jì)算：1915期中重難突破練（測試時間：10分鐘）1．2425七年級上·遼寧鞍山·期中）有下列計(jì)算：①0??8=?8；②?13??13=0A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2526七年級上·全國·期中）小李同學(xué)做了以下幾道計(jì)算題，其中做對的題的數(shù)量為（

）①8?4×?②?7÷9×1③?2④4×2A．1道 B．2道 C．3道 D．4道3．（2526七年級上·浙江·期中）在數(shù)學(xué)課上，老師讓甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別做了一道有理數(shù)計(jì)算題，你認(rèn)為做對的同學(xué)是()甲：64?乙：24?4×丙：?3?。?6?12A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．（2526七年級上·江蘇·期中）計(jì)算：???225．（2526七年級上·廣東揭陽·階段練習(xí)）如果一對有理數(shù)a、b使等式a?b=ab+1成立，那么這對有理數(shù)a、b叫做“幻生有理數(shù)對”，記為a,b．根據(jù)上述定義，下列四對有理數(shù)1,0；2,13；5,43；6．（2425七年級上·陜西西安·期中）某數(shù)學(xué)愛好者制作了一個魔術(shù)盒，當(dāng)把有理數(shù)對x,y放入其中時，會得到一個新的有理數(shù)：x2?y+2，例如把有理數(shù)對3,1放入其中，就會得到32?1+2=10．現(xiàn)將有理數(shù)對?1,3放入其中，得到有理數(shù)m，再將有理數(shù)對7．（2425七年級上·甘肅天水·期末）某公路檢修隊(duì)乘車從A地出發(fā)，在南北走向的公路上檢修道路，規(guī)定向南走為正，向北走為負(fù)，從出發(fā)到收工時所行駛的路程記錄如下（單位：千米）：+3，?7，+5，+7，?8，+6，?9，+13．(1)問收工時，檢修隊(duì)在A地哪邊？距A地多遠(yuǎn)？(2)問從出發(fā)到收工時，汽車共行駛多少千米？(3)在汽車行駛過程中，若每行駛1千米耗油0.3升，則檢修隊(duì)從A地出發(fā)到收工后回到A地，汽車共耗油多少升？8．（2526七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）某水果超市購進(jìn)7箱蘋果，標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每箱20千克，每箱與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量差值如下（單位：千克，超過的用正數(shù)表示，不足的用負(fù)數(shù)表示）：0.45，0.7，?0.2，0.4，?0.5，?0.35，0.6，實(shí)際總質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量相比超過或不足多少千克？這7箱蘋果共有多少千克？9．（2425七年級上·浙江杭州·期中）對于任意有理數(shù)m，n定義一種新運(yùn)算：m⊕n=n?m(1)若a=?6，b=7，求a⊕b的值；(2)已知點(diǎn)A，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為?1，x，且A，B兩點(diǎn)的距離是7，y是???5的相反數(shù)，求10．（2526七年級上·陜西·期中）計(jì)算：(1)?3+?4?+11??34?59期中綜合拓展練（測試時間：15分鐘）1．（2526七年級上·陜西·期中）下列各組運(yùn)算結(jié)果中，數(shù)值最小的是（）A．??3?22 B．?3×?22 2．（2526七年級上·全國·期中）有理