金堂中學學年高二上學期月月考數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.某中學為了了解500名學生的身高，從中抽取了30名學生的身高進行統計分析，在這個問題中，500名學生身高的全體是（）A.總體B.個體C.從總體中抽取的一個樣本D.樣本的容量【答案】A【解析】【分析】根據總體、個體、樣本和樣本容量的知識選出正確選項.【詳解】500名學生身高的全體是總體；每名學生的身高是個體；所抽取的名學生的身高是從總體中抽取的一個樣本；是樣本容量.故選：A【點睛】本小題主要考查對隨機抽樣中總體、個體、樣本和樣本容量的理解，屬于基礎題.2.拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，下列結論中正確的是（）A.與互為對立事件B.與互斥C.D.與相等【答案】C【解析】【分析】列舉出所有基本事件，再結合互斥事件、對立事件的意義及古典概型逐項判斷即得.【詳解】拋擲兩枚質地均勻的硬幣的所有結果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，事件A包含的結果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的結果有：(正，反)，(反，反)，對于AB，事件與能同時發(fā)生，不是互斥事件，不是對立事件，AB錯誤；對于C，，C正確；對于D，事件與事件不是同一個事件，D錯誤．故選：C第1頁/共18頁3.若構成空間一個基底，則下列向量不共面的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】C【解析】【分析】要判斷向量是否共面，需依據向量共面定理：三個向量共面的充要條件是其中一個向量可由另外兩個不共線向量線性表示，用此定理一一進行檢驗即可判斷.【詳解】構成空間的一個基底，不共面.選項A：因，則三個向量共面；選項B：因，則三個向量共面；選項C：假設共面，則存在，使得，這與不共面相矛盾，故假設不成立，即不共面；選項D：因，則三個向量共面.故選：C.4.高一年級舉行“校園安全伴你行”知識能力競賽，男生隊40人，女生隊60人，按照比例分配的分層抽樣的方法從兩隊共抽取20人，相關統計情況如下：男生隊答對題目的平均數為5，方差為1；女生隊答對題目的平均數為4，方差為2，則這20人答對題目的方差為（）A.1.8B.1.82C.1.84D.1.86【答案】C【解析】【分析】借助分層抽樣的平均數與方差公式計算即可得.【詳解】根據題意，按照比例分配分層抽樣的方法從男生隊中抽取人，從女生隊中抽取人，這20人答對題目的平均數為，第2頁/共18頁故選：C.5.如圖，在三棱錐中，，，，點，，滿足，，，則直線與所成的角余弦值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，，，利用空間向量運算得，數量積的運算律求解數量積，即可解答.【詳解】設，，，則，，，，所以，故直線與所成角余弦值為0.故選：D.6.靶的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先分析事件“甲乙中恰有一人中靶”包含的兩種互斥情況，分別計算兩種情況的概率，再利用互第3頁/共18頁【詳解】甲乙中恰有一人中靶，事件包含兩種情況：①甲中靶乙未中靶；②乙中靶甲未中靶，設情況①的概率為，情況②的概率為，甲的中靶概率為，乙的中靶概率為，，．故選：C．7.在兩塊平行放置的木板之間放有4個半徑均為的球，4個球兩兩相切，且其中3個球均與同一塊木板相切，則兩木板之間的最小距離為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據正四面體的幾何性質，利用勾股定理求解高，即可求解.【詳解】小球兩兩相切，其中3個小球與同一塊木板相切，則四個球心的連線構成棱長為2的正四面體，如圖：為球心，是三棱錐的高，則即正四面體高為，故兩木板之間的最小距離為，故選：C第4頁/共18頁ABC，則實數（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由條件可知，延長與交于，連接，則由題意可得∥，令，用果.【詳解】由條件可知，延長與交于，連接，因為平面，平面，平面平面，所以∥，令，，則有，第5頁/共18頁根據向量基底表示法的唯一性，得解得∥，，，．故選：D．二、多選題：本題共3小題，每題6分，共分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.下列調查中，適宜采用抽樣調查的是（）A.調查某市小學生每天的運動時間B.某公司初步發(fā)現一位職員患有甲肝，對此公司職員進行檢查C.農業(yè)科技人員調查某塊地今年麥穗的單穗平均質量D.調查某快餐店中全部8位店員的生活質量情況【答案】AC【解析】【分析】根據普查和抽樣調查各自的特點進行選擇．【詳解】A．調查某市小學生每天的運動時間的工作量很大，抽樣調查；BC．農業(yè)科技人員調查某塊地今年麥穗的單穗平均質量適合采用抽樣調查；D．調查某快餐店中全部8位店員的生活質量情況適合普查的方式；故選：AC．10.為響應校團委發(fā)起的“青年大學習”號召，某班組織了有獎知識競答活動.決賽準備了4道選擇題和2道填空題，每位參賽者從6道題中不放回地隨機抽取三次，每次抽取1道題作答.設事件為“第次抽到選擇題”，則下列結論中正確的是（）第6頁/共18頁B.不管第幾次抽取，抽到選擇題的概率都相同C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據互斥事件的定義判斷A，由簡單隨機抽樣的性質判斷B，根據古典概型的概率公式判斷CD.【詳解】由題意可知第1次抽到選擇題與第2次抽到選擇題可能同時發(fā)生，所以與不是互斥事件，同理與也不是互斥事件，A說法錯誤；從6道題中不放回地隨機抽取三次，滿足簡單隨機抽樣，每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，B說法正確；第二次抽到選擇題且第三次也抽到選擇題的概率,C說法正確；第1次抽到選擇題或第2次抽到選擇題的概率,D說法錯誤；故選：BC已知正方體的棱長為2，點P滿足，，，則下列說法正確的是（）A.若，則平面B.若，則點P的軌跡長度為C.若，則線段長度最小值為D.若，則與平面所成角的余弦的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】由空間向量的基本定理結合面面平行可得A正確；由向量的數量積運算可得B錯誤；由空間向量第7頁/共18頁點P的軌跡是線段，當為的中點時可得D正確.【詳解】對于A，若，則點P在線段上，易知平面平面，所以平面，故A正確；對于B，若，即，則點P的軌跡是以為半徑的四分之一圓弧，又，所以點P的軌跡長度是，故B錯誤；對于C，設和的中點分別為M，N，若，則點P的軌跡是線段，當P是的中點時，的長度最小，因為是等腰三角形，，，所以長度的最小值為.，故C正確；對于D，若，則點P的軌跡是線段，第8頁/共18頁設與平面所成的角為，在等邊三角形中，邊長為，當P為的中點時，取得最小值，為，而點P到平面的距離恒為2，所以，從而，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3個小題，每題5分，共分.12.在空間直角坐標系中，點關于x軸對稱的點坐標為_________．【答案】【解析】相反數．【詳解】在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點坐標為，點關于x軸對稱的點坐標為.故答案為：.13.總體由編號為1，2，?，99，100的100個個體組成，現用隨機數法選取60個個體，利用電子表格軟件產生的若干個1~100范圍內的整數隨機數的開始部分數據，如下表，則選出來的第5個個體的編號為______8442888314772176335063【答案】31【解析】第9頁/共18頁【分析】根據題意，結合隨機數表選取的規(guī)則，結合題意，即可求解.【詳解】根據隨機數表的選取的規(guī)則是選出的樣本編號為1~100范圍內的整數，且與前面重復的數據不再出現，所以前5個個體編號為：，所以選出來的第5個個體的編號為31.故答案為：31.14.從集合中任取一個元素a，使得只有整數解的概率為_________．【答案】##0.03【解析】【分析】先根據判別式及韋達定理分析方程存在整數解的條件，再求出滿足條件的的個數，最后計算滿足條件的概率．【詳解】只有整數解，，解得（不在已知集合范圍內，舍去）或，，設方程的兩個整數解為（含，則，代入整理得，，的整數因數對有：，又為集合中的任意元素，，需根據計算上述的因數對是否屬于集合，且滿足，因數對：，，不符合條件；因數對：，，不符合條件；因數對：，，不符合條件；第10頁/共18頁因數對：，，不符合條件；因數對：，，不符合條件；因數對：，，符合條件；因數對：，，符合條件；因數對：，，符合條件；因數對：，，符合條件；因數對：，，符合條件；符合條件的的取值為，共3個．集合中共有個元素，滿足條件的共3個，滿足條件的概率，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共計分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知．（1）求向量的坐標及的值；（2）若，求k的值．【答案】（1）；（2）【解析】1）先利用向量減法求出，再根據向量夾角的余弦公式求解；（2）先分別求出和的坐標，再利用的坐標表示列方程組求出．【小問1詳解】，，第11頁/共18頁，，，．【小問2詳解】，，，又，則存滿足，，解得，，經驗證，成立，．16.第24屆冬奧會于2022年2辦了北京志愿者選拔的面試工作．現隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組2所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a，b的值；（2）估計這100名候選者面試成績的平均數和第分位數（分位數精確到0.1（3）在第四、第五兩組志愿者中，現采用分層抽樣的方法，從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率．【答案】（1）；（2）估計平均數為69.5，第分位數為71.7；第12頁/共18頁（3）.【解析】1）根據頻率之和為1，及第三、四、五組的頻率之和為0.7列出方程組，求出a，b2）3）先分層抽樣求出列舉法求出抽取的第四、第五兩組志愿者人數，再利用列舉法求出古典概型求概率公式.【小問1詳解】，解得：，所以；【小問2詳解】100名候選者面試成績的平均數為69.5；前兩組志愿者的頻率為，前三組志愿者的頻率為分位數落在第三組志愿者中，設第分位數為，則，解得：，故第分位數為71.7【小問3詳解】4，第五組志愿者人數為1，設為，這5人中選出2人，所有情況有，共有10種情況，其中選出的兩人來自不同組的有共4種情況，故選出的兩人來自不同組的概率為17.甲、乙兩位同學進行中國象棋比賽，約定賽制如下：一人累計獲勝2局，此人最終獲勝，比賽結束；4局比賽后，沒人累計獲勝2局，比賽結束，獲勝局數多的人最終獲勝；兩人獲勝局數相同為平局.已知每局比賽中甲獲勝、平局、乙獲勝的概率分別為，且每局比賽的結果相互獨立.（1）求比賽3局結束的概率；（2）求甲最終獲勝的概率.【答案】（1）第13頁/共18頁（2）【解析】1）利用獨立事件概率乘法公式，結合互斥事件概率加法來計算；（2）利用獨立事件概率乘法公式，結合分類討論，可得互斥事件概率加法來計算.【小問1詳解】根據題意可知，比賽3局結束的事件為前兩局中，甲或乙中有一個人勝了一局且另一局為平局或敗局，第三局由前兩局中勝一局的一方獲勝，所以比賽3局結束的概率為；小問2詳解】根據題意可知，甲最終獲勝的可能性有：①兩局后獲勝，即連續(xù)勝兩局，此時概率為；②三局后獲勝，且前兩局有一局沒獲勝，此時概率為；③四局后以勝2局獲勝，且前三局只勝一局，另兩局沒有全敗，此時概率為；④四局后以勝1局獲勝，且另外3局全是平局，此時概率為；所以設“甲最終獲勝”為事件，則.18.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，為的中點.（1）證明：平面；第14頁/共18頁（2）求三棱錐的體積；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】1）取中點，通過證明四邊形為平行四邊形，從而得到，再由線面平行的判定即可證明；（2）由題知，根據面面垂直的性質可證平面，然后利用體積計算公式求解；（3）取的中點，連接，過作于，則為二面角的平面角，在中，可求，再得到即可.【小問1詳解】取中點，連接，為的中點，為中點，所以，且，又，，，，所以有，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以//平面．小問2詳解】第15頁/共18頁所以//平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，所以三棱錐的體積，又為的中點，則點到平面的距離等于點到平面的距離的一半，所以，又，，，所以，故，又，，所以，平面平面，且平面平面，又平面，所以平面，故.【小問3詳解】因為平面平面，且其交線為，又平面，，所以平面，取的中點，連接，在中，，分別為，的中點，所以，則平面，過作于，連接，則有，所以為二面角的平面角，第16頁/共18頁在直角梯形中，，，所以，所以，又，所以，在中，，所以，又，解得：，即二面角的余弦值為．19.n個有次序的實數，，，所組成的有序數組稱為一個n維向量，其中稱為該向量的第i個分量.特別地，對一個n維向量，若