專題06.線段中的五類動態(tài)模型線段中的動態(tài)模型一直都是一大難點和?？键c，它經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)?？疾闃邮揭彩呛茇S富，和平時所學的內(nèi)容結(jié)合在一起考。本專題就線段中的動態(tài)模型（?中點與和差倍分模型、?定值模型、存在性模型?、分類討論模型、新定義模型等）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型運用 4模型1.動態(tài)線段中的和差倍分模型（求值模型） 4模型2動態(tài)線段中的?定值模型 7模型3.動態(tài)線段中的存在性模型（探究型） 10模型4.動態(tài)線段中的分類討論模型 13模型5.動態(tài)線段中的新定義模型 16 21動態(tài)模型的思想可追溯至古希臘幾何學，歐幾里得《幾何原本》中已隱含線段分割與比例關系的動態(tài)分析?。17世紀笛卡爾坐標系建立后，線段動態(tài)問題開始與代數(shù)結(jié)合；19世紀柯西、魏爾斯特拉斯等完善極限理論，為動態(tài)模型的嚴格化提供工具?，F(xiàn)代初中數(shù)學教育工作者將線段動態(tài)問題被歸納為五類核心模型，即：?中點與和差倍分模型、?定值模型、存在性模型?、分類討論模型、新定義模型。（3）解：當點N在線段上時，如圖當點N在線段的延長線上時，如圖：1、在與線段長度有關的問題中，常會涉及線段較多且關系較復雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設未知數(shù)列方程。2、線段的動態(tài)模型解題步驟：1）設入未知量t表示動點運動的距離；2）利用和差（倍分）關系表示所需的線段；3）根據(jù)題設條件建立方程求解；4）觀察運動位置可能的情況去計算其他結(jié)果。模型1.動態(tài)線段中的和差倍分模型（求值模型）(2)若C為線段上一點，當點M與N相遇時，設相遇的位置為點．(1)當點與點相遇時，求的值．(2)當點與點之間的距離為9個單位長度時，求的值．模型2.動態(tài)線段中的?定值模型（2）解：選①，的長度不變．（2）解：分兩種情況討論：①當點C在點B右側(cè)時，如圖所示：②當點C在點B左側(cè)時，如圖所示：（3）解：定值為2，說明如下：點D與點B重合，點P是線段延長線上任意一點，如圖所示：模型3.動態(tài)線段中的存在性模型（探究型）（3）解：①當點N在線段上時，如圖1，②當點N在線段的延長線上時，如圖2，例2（2425七年級上·陜西寶雞·階段練習）已知在數(shù)軸上有A，B兩點，點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為6．若動點M從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時動點N從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為t秒．(3)若點C為的中點，點D為的中點，當點M、N在線段上運動，且點M在點N的左側(cè)時，試猜想與之間的數(shù)量關系，并說明理由．故答案為：，4；

（2）解：①存在，

模型4.動態(tài)線段中的分類討論模型【答案】(1)10或30(2)①t為1或5；②2或4∴當為4或時，點與點重合；模型5.動態(tài)線段中的新定義模型如圖所示，此時，點是線段的中點，即點與點重合，綜上，當運動時間為或或秒時，點C是點P與點Q的衍生點．例2（2425七年級上·河南鄭州·期中）如圖①，點在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點是線段的“奇點”．【新知理解】（1）線段的中點________這條線段的“奇點”；（填“是”或“不是”）【問題解決】（2）若點和點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是和，點是線段的“奇點”，求點在數(shù)軸上表示的數(shù)．【答案】（1）是；（2）或或；（3）或或∵點在線段上，∴中點是線段的“奇點”，故答案為：是；（2）設點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，綜上所述，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為或或；∴當為或或時，點是線段的“奇點”．A． B． C． D．【答案】C綜上，C選項符合題意；故選：C．A． B． C． D．【答案】C【答案】或①當點靠近點的的三等分點，如圖所示：②當點靠近點的的三等分點，如圖所示：綜上，的長為或，故答案為：或．【答案】2或18/18或2(1)如圖1，當E為中點時，求的長；(2)當點C是線段的三等分點時，求的長．【答案】(1)13(2)16或12①如圖1，當E為中點時，求的長；【答案】(1)12，6(2)①7；②的長為3或5．（2）如圖1，②Ⅰ、當點在點的左側(cè)，如圖2，Ⅱ、如圖3，當點在點的右側(cè)，請回答下列問題：(1)若點P向右運動，點Q向左運動，求t為何值時P、Q兩點相遇？(2)若點P、Q均向右運動，求t為何值時P、Q兩點相遇？(3)若點P、Q均向右運動，當P、Q兩點之間距離為2時，求出t的值．(1)線段的中點這條線段的“巧點”；（填“是”或“不是”）∴線段的中點是這條線段的“巧點”．故答案為：是；①由題意可知A不可能為P、Q兩點的巧點，此情況排除；②當P為A、Q的巧點時，③當Q為A、P的巧點時，綜上，t為或3或或或6時，A、P、Q三點中其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的巧點．分兩種情況：i）當點在點的右側(cè)時，如圖，）當點在點的左側(cè)時，如圖，綜上所述，的長為或；（2）解：按照線段在直線上從左向右移動，分種情況討論：當點在點的左側(cè)時，如圖，當點在點的左側(cè)、點在點的右側(cè)時，此種情況無解；當點在點的右側(cè)、點在點的左側(cè)時，如圖，當點在、之間時，如圖，當點在點的左側(cè)、點在點的右側(cè)時，此種情況無解；當點在、之間時，此種情況無解；當點在點的右側(cè)時，此種情況無解；（2）如下圖，(3)當為何值時，使得點恰好是、、中兩點為端點的線段的中點？(3)當為6，或時，使得點恰好是、、中兩點為端點的線段的中點．綜上所述，當為6，或時，使得點恰好是、、中兩點為端點的線段的中點．點N在線段上時，如圖，當點N在線段AB的延長線上時，如圖，【答案】(1)1秒或2秒；(2)秒；(3)存在，或5．【詳解】（1）設運動t秒時為2單位長度，線段與線段從開始相遇到完全離開共經(jīng)過秒長時間；當點P在線段BC上時，16．（2425·四川·成都實外七年級開學考試）已知線段AB＝m（m為常數(shù)），點C為直線AB上一點，點P、Q分別在線段BC、AC上，且滿足CQ＝2AQ，CP＝2BP．（1）如圖，若AB＝6，當點C恰好在線段AB中點時，則PQ＝；（2）若點C為直線AB上任一點，則PQ長度是否為常數(shù)？若是，請求出這個常數(shù)；若不是，請說明理由；（3）若點C在點A左側(cè)，同時點P在線段AB上（不與端點重合），線段AP、CQ、PQ有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．【答案】（1）4；（2）PQ是一個常數(shù)，即是常數(shù)m；（3）2PQ﹣2AP=CQ，見解析．【詳解】解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC，∵點C恰好在線段AB中點，∴AC＝BC＝AB，∵AB＝6，∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×AB+×AB＝×AB＝×6＝4；故答案為：4；（2）①點C在線段AB上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC，∵AB＝m（m為常數(shù)），∴PQ＝CQ+CP=AC+BC＝×（AC+BC）＝AB=m；②點C在線段BA的延長線上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ＝AC，CP＝BC，∵AB＝m（m為常數(shù)），∴PQ＝CP﹣CQ＝BC﹣AC＝×（BC﹣AC）＝AB＝m；③點C在線段AB的延長線上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ＝AC，CP＝BC，∵AB＝m（m為常數(shù)）∴PQ＝CQ﹣CP＝AC﹣BC＝×（AC﹣BC）＝AB＝m；故PQ是一個常數(shù)，即是常數(shù)m；（3）如圖：∵CQ＝2AQ，∴2AP+CQ﹣2PQ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ＝CQ﹣2AQ＝2AQ﹣2AQ＝0，∴2PQ﹣2AP=CQ．17．（2425七年級上·安徽蕪湖·期末）【新知理解】如圖①，點C在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“巧點”．（1）線段的中點______這條線段的“巧點”；（填“是”或“不是”）．

【答案】（1）是；（2）8或12或16；（3）t為或或，理由見詳解【詳解】（1）解：C是線段的中點，

（3）解：t為或或，理由如下：綜上所示：當