專題03軸對稱（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律軸對稱與軸對稱圖形能準(zhǔn)確說出軸對稱和軸對稱圖形的定義，區(qū)分二者聯(lián)系與區(qū)別基礎(chǔ)考點，多在選擇題、填空題中考查對概念的理解與辨別平面直角坐標(biāo)系中的軸對稱掌握平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)變化規(guī)律，并能運用規(guī)律求對稱點坐標(biāo)重要考點，常以選擇題、填空題形式考查，是解決平面直角坐標(biāo)系中圖形軸對稱問題的基礎(chǔ)垂直平分線的性質(zhì)與判定理解并能熟練運用垂直平分線的性質(zhì)（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等）和判定（到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上）高頻考點，易與等腰三角形、三角形全等結(jié)合，在幾何證明與計算中頻繁出現(xiàn)等腰三角形掌握等腰三角形的性質(zhì)（等邊對等角、三線合一等）和判定（等角對等邊），并能運用解決角度計算、線段證明等問題核心考點，貫穿等腰三角形相關(guān)題目，在計算、證明題中高頻出現(xiàn)，常與三角形內(nèi)角和定理等結(jié)合等邊三角形掌握等邊三角形的性質(zhì)（三邊相等、三角都是60°等）和判定（三邊相等、三角相等、有一個角是60°的等腰三角形），能運用解決相關(guān)問題重要考點，多與等腰三角形、直角三角形等知識結(jié)合，在幾何證明與計算中應(yīng)用廣泛含30°角的直角三角形掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)（30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），并能運用解決線段長度計算等問題常考考點，多在幾何計算題目中出現(xiàn)，與直角三角形其他性質(zhì)結(jié)合考查知識點01軸對稱與軸對稱圖形1.軸對稱圖形定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線就是它的對稱軸.這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱.【解讀】1）對稱軸是一條直線，而不是射線或線段；2）一個軸對稱圖形的對稱軸可以有1條，也可以有多條（例：正方形有四條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸等）；2.軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點.【補充】成軸對稱的兩個圖形一定全等，但全等的兩個圖形不一定成軸對稱.3.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系：軸對稱軸對稱圖形區(qū)別意義不同兩個圖形之間的特殊位置關(guān)系具有特殊形狀的圖形對象不同兩個圖形一個圖形對稱軸的位置不同在兩個圖形之間過圖形的某條直線對稱軸的數(shù)量不同只有一條不一定只有一條聯(lián)系1)沿對稱軸折疊，兩個圖形重合.2)如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形.1)沿對稱軸折疊，圖形的兩部分重合.2)如果把軸對稱圖形的兩部分看作兩個圖形，那么這兩個圖形成軸對稱.4.軸對稱的性質(zhì)1）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形.2）如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任意一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.3）如果圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或?qū)?yīng)線段的延長線相交，那么交點在對稱軸上.知識點02平面直角坐標(biāo)系中的軸對稱1）關(guān)于x軸對稱：點（a，b）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（a，b），簡記：橫同縱反.2）關(guān)于y軸對稱：點（a，b）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為（a，b），簡記：縱同橫反.知識點03垂直平分線的性質(zhì)與判定定義：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）.數(shù)學(xué)語言：如圖，∵C為線段AB的中點，l⊥AB，∴直線l為線段AB的垂直平分線.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.數(shù)學(xué)語言：∵l是線段AB的垂直平分線，P在l上，∴PA=PB判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.數(shù)學(xué)語言：∵PA=PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上.小結(jié)：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合.知識點04等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，其中AB、AC為腰，BC為底邊，∠A是頂角，∠B、∠C是底角.等腰三角形性質(zhì)定理：1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“三線合一”）.【注意】1）“三線合一”的前提是等腰三角形，且必須是頂角的角平分線，底邊上的高和底邊上的中線.2）在表述“三線合一”的性質(zhì)時，要分清是哪“三線”(頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高)，不能表述為“等腰三角形的角平分線、中線、高相互重合”.等腰三角形的判定定理：1）定義法：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；2）判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個三角形是等腰三角形（簡稱“等角對等邊”）.知識點05等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三條邊相等，三個內(nèi)角都相等，并且每個內(nèi)角都是60°.等邊三角形的判定：文字描述數(shù)學(xué)語言圖示定義法三條邊都相等的三角形是等邊三角形∵AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形等角法三個角都相等的三角形是等邊三角形∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形等腰三角形法有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形知識點06含90°角的直角三角形含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.幾何表述：如圖，在Rt△ABC中，若∠B=30°，則AC=12題型一軸對稱圖形的識別解｜題｜技｜巧尋找對稱軸是確定軸對稱圖形的關(guān)鍵，能找出對稱軸的圖形為軸對稱圖形，否則就不是軸對稱圖形.1．（2425八年級上·廣東汕頭·期中）下列圖形中不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查軸對稱圖形的識別，根據(jù)軸對稱的定義逐項判斷即可．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，該選項不符合題意；B．不是軸對稱圖形，該選項符合題意；C．是軸對稱圖形，該選項不符合題意；D．是軸對稱圖形，該選項不符合題意；故選：B．2．（2425八年級上·云南臨滄·期中）以下是四款常用的人工智能大模型的圖標(biāo)，其文字上方的圖案是軸對稱圖形的是（）A．DeepSeek B．ChatGPTC．文心一言 D．納米AI【答案】C【分析】此題考查了軸對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線(成軸）對稱，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：C．3．（2324八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有4000多年的歷史．下面是對戰(zhàn)棋譜中的四個部分，由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是（）【答案】D【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，根據(jù)軸對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸．【詳解】解：由軸對稱圖形的定義可知，四個選項中，只有D選項中的圖形是軸對稱圖形，故選：D．4．（2425八年級上·全國·期末）中華文明，源遠(yuǎn)流長；中華漢字，寓意深廣．下列四個選項中，是軸對稱圖形的為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了軸對稱圖形，如果把一個圖形沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分可以完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱圖形的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：A選項：“愛”字不是軸對稱圖形，故A選項不符合題意；B選項：“國”字不是軸對稱圖形，故B選項不符合題意；C選項：“敬”字不是軸對稱圖形，故C選項不符合題意；D選項：“業(yè)”字是軸對稱圖形，故D選項符合題意．故選：D．題型二垂直平分線的性質(zhì)與判定解｜題｜技｜巧三角形中與線段垂直平分線結(jié)合的綜合題型，一般先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行線段間的轉(zhuǎn)化，向我們要證明的結(jié)論逐步引導(dǎo)進(jìn)行證明.5．（2324七年級下·湖南長沙·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點M，N，直線EF，MN(1)求證：點P在線段BC的垂直平分線上；(2)已知∠FAN=56°，求【答案】(1)見解析(2)62°【分析】（1）連接BP，AP，PC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明PB=（2）先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證明FA=FB，NA=NC，∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90°，再設(shè)∠B=【詳解】（1）證明：如圖所示：連接BP，AP，PC，∵PE垂直平分AB，PM垂直平分AC，∴PA=PB，∴PB=∴點P在線段BC的垂直平分線上；（2）解：∵PE⊥AB，∴EA=EB，NA=∴∠B+∠設(shè)∠B=x，∴∠B=∠BAE=x，∠C∴∠PFN=∠BFE=90°-∵∠B+∠C∴2x+2∴x+y∵∠PFN+∠∴90°-x+90°-∴∠FPN【點睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性性質(zhì)，，對頂角相等等知識點，熟練掌握其性質(zhì)并能正確添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵．6．（2425八年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E(1)求證：AB=(2)若△ABC的周長為21cm，AC=8【答案】(1)見解析(2)DC【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定及性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等可得AE=EC，（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形周長公式進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）證明：連接AE．∴AE∵AD⊥BC∴AD垂直平分BE，∴AB∴AB（2）∵△ABC的周長為21cm∴AB∵AC∴AB∵AB=EC∴AB∴DC7．（2122八年級上·河北邯鄲·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，連接(1)若△ABC的周長是14，AD的長是3，求△(2)若∠B=30°，求證：點E在線段【答案】(1)8(2)證明見解析【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，利用轉(zhuǎn)換的思想進(jìn)行求解．（1）根據(jù)題意得出AB=6，根據(jù)△ABC的周長是14，可得AC+BC（2）通過證明出△ADE≌△ACE【詳解】（1）解：∵DE是AB∴AE∵AD∴AB∵△ABC∴AC∵C∴C∴△AEC的周長為8（2）解：∵AE∴∠BAE∵∠ACB∴∠BAC∴∠BAE∵∠ADE∴△ADE∴DE即點E在線段CD的垂直平分線上．8．（2324八年級上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△(1)求證：AD垂直平分EF．(2)若AB+AC=16，S【答案】(1)見解析(2)DE【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．（1）由角平分線的性質(zhì)得DE=DF，證明Rt△（2）根據(jù)DE=DF，得【詳解】（1）解：∵AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△∴DE=在Rt△AED與AD=∴Rt△∴AE=∵DE=∴AD垂直平分EF；（2）解：∵DE=∴S△∵AB+∴DE=3題型三鏡面對稱解｜題｜技｜巧鏡面對稱的核心是軸對稱性質(zhì)，不同場景只需找準(zhǔn)“對稱軸”，再結(jié)合“對應(yīng)點/數(shù)字/時間”的規(guī)律，就能快速解決.鏡面對稱特點：上下前后方向一致，左右方向相反是解題的關(guān)鍵，根據(jù)鏡子中看到的數(shù)字與實際數(shù)字是關(guān)于鏡面成垂直的線對稱求解即可。9．（2425八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）一個汽車牌照在水中的倒影為，則該汽車牌照號碼為．【答案】F【分析】解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的對稱軸；難點是作出相應(yīng)的對稱圖形．根據(jù)所求的牌照與看到的牌照關(guān)于水面成軸對稱，作出相應(yīng)圖形即可求解．【詳解】解：作汽車牌照在水中的倒影關(guān)于水平方向的軸對稱圖形，如圖所示：∴該汽車牌照號碼為F59583故答案是：F5958310．（2425八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，這是小張在平面鏡里看到的背后墻上電子鐘顯示的時間，則此刻的實際時間應(yīng)該是．【答案】12【分析】本題主要考查了鏡面反射的原理與性質(zhì)，掌握在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右或上下順序顛倒成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的時刻20：51與12：故答案為：12：11．（2425八年級上·安徽淮南·期中）在鏡子中看到時鐘顯示的時間是80:25:41，則實際時間是．【答案】14:25:08【分析】本題主要考查鏡面對稱，解決此類問題應(yīng)認(rèn)真觀察，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)可知在平面鏡內(nèi)的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱，然后問題可求解．【詳解】解：由題意得：實際時間是14:25:08；故答案為14:25:08．12．（2425八年級上·廣東珠?！て谥校┟髅髟阽R中看到身后墻上的時鐘如下，你認(rèn)為實際時間最接近8:00的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了鏡面對稱的性質(zhì)，根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的鐘面上的時針、分針的位置和實物應(yīng)關(guān)于過12時、6時的直線成軸對稱，然后分別求出每個選項中的時間，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：A、實際時間大約為4:10；B、實際時間大約為3:55；C、實際時間大約為7:50；D、實際時間大約為8:05；∴實際時間最接近8:00的是8:05．故選：D．題型四尺規(guī)作圖問題（本章涉及的畫圖問題匯總）解｜題｜技｜巧在直角坐標(biāo)系中畫關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的圖形的“四字訣”1.找：在坐標(biāo)系中，找出已知圖形中的一些特殊點(如多邊形的頂點)的坐標(biāo).2.求：求出其對應(yīng)點的坐標(biāo).3.描：根據(jù)所求坐標(biāo)，描出對應(yīng)點，4.連：連接這些點，就可以得到這個圖形的軸對稱圖形.13．（2425八年級上·湖北襄陽·階段練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，其中A0,-2，B2,-4(1)畫出與△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A1(2)在y軸上找一點P，使PB+PB1最小，畫出點P的位置，并直接寫出點【答案】(1)作圖見解析，A(2)作圖見解析，(0,0)【分析】本題主要考查了作關(guān)于x軸對稱的圖形，根據(jù)對稱求線段和最小問題，對于（1），先作點A，B，C關(guān)于x軸的對稱點A1對于（2），作點B關(guān)于y軸的對稱點B'，連接B1B'，與y軸的交點即為所求作的點P.由對稱可知BP=【詳解】（1）解：如圖所示.（2）解：如圖所示，點P即為所求作，點P(0,0)故答案為：(0,0)．14．（2223八年級上·全國·期末）如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點的坐標(biāo)分別為A-2，4，B-3，2(1)請在坐標(biāo)系中畫出△ABC關(guān)于x(2)請在坐標(biāo)系中畫出△ABC關(guān)于直線l(3)若點Pa,b是△ABC內(nèi)一點，則點P關(guān)于直線【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2-【分析】本題考查了軸對稱作圖，在平面直角坐標(biāo)系中找到一個點關(guān)于特定直線的對稱點，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．（1）先確定出點A-2，4，B-3，（2）先確定出點A-2，4，B-3，（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得點P與點P的對稱點縱坐標(biāo)相同，再由軸對稱的性質(zhì)可得點P的對稱點橫坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如圖，△A（2）解：如圖，△A（3）解：點Pa,b關(guān)于直線l對稱點的縱坐標(biāo)為b∴點P關(guān)于直線l對稱的坐標(biāo)是2-a故答案為：2-a15．（2023八年級上·廣東肇慶·競賽）∠O內(nèi)有一點A，在∠O的兩邊上各找一點B，C，使△ABC的周長最小，用尺規(guī)作圖法，在圖中作出【答案】見解析【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，找到點A關(guān)于∠O兩邊的對稱點，將三角形周長轉(zhuǎn)化為兩點間的線段，從而確定使周長最小的點B、C本題主要考查了軸對稱最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，△ABC16．（山東省濟(jì)寧市鄒城市20232024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知直線l同側(cè)有兩點A、(1)在直線l上求作一點P，使PA+PB最?。ǔ?2)在直線l上求作一點Q，使QA-(3)在（1）和（2）的條件下，若PB⊥AQ，PA=【答案】(1)見解析(2)見解析(3)9【分析】本題考查了軸對稱，以及含30度角的直角三角形的特征，正確確定如何使線段的和最小是關(guān)鍵．（1）要使PA+PB最短，根據(jù)同一平面內(nèi)線段最短，可知要作點B關(guān)于直線l的對稱點B'，連接AB'（2）根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，當(dāng)點A，B，Q三點共線時，QA-QB最大，延長AB交直線l于（3）過點A作AG⊥l交直線l于G，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得到∠AQG【詳解】（1）解：如圖所示，作點B關(guān)于直線l的對稱點B'，連接AB'交直線l即點P為所求；（2）解：如圖所示，延長AB交直線l于Q，即點Q為所求；（3）解：如圖，過點A作AG⊥l交直線l于由（1）（2）知，PG=∵PB∴∠PBQ∵∠AQG∴∠AQG∵PA=∴∠AQG∵∠APG∴∠B∴∠PAG∵∠PAG∴∠PAG在Rt△ABP中，∴PA+∴PA+PB的最小值為17．（2122七年級下·全國·期末）要求用尺規(guī)作圖，畫圖必須用鉛筆，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡．(1)如圖①，已知點M在直線l上，A，B是直線l外的兩點，按照下面要求完成作圖：①過點M作直線l的垂線；②在已作出的垂線上確定一點P，使得點P到A，B兩點的距離相等．(2)如圖②，已知點A是銳角MON內(nèi)的一點，試分別在OM，ON上確定點B、點C，使△ABC【答案】(1)①見解析；②見解析(2)見解析【分析】本題考查了復(fù)雜作圖，掌握相關(guān)作圖方法是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)過直線上一點作已知直線的垂線的作法作圖；②作線段AB的垂直平分線即可；（2）分別過A作OM，ON的對稱點，再連接兩個對稱點與OM，ON的交點即可．【詳解】（1）解：如圖示；（2）解：分別作點A關(guān)于OM，ON的對稱點A'，A''；連接A'，A''，分別交OM，ON于點如圖所示；此時△ABC的周長=18．（2025九年級下·新疆·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是△(1)尺規(guī)作圖：請用無刻度的直尺和圓規(guī)，作AD的垂直平分線交AB于點E；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑）(2)在（1）的條件下，連接DE，過點D作DF∥AB交AC于點F，求證：【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了解作垂直平分線，角平分線的定義，三角形全等的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握基本作圖；（1）作線段AD的垂直平分線即可；（2）利用垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)證明出△AOE【詳解】（1）解：作圖如下：（2）證明：如圖，AD的垂直平分線交AB于點E，AE=DE,AO∴∠EAD∵∠AOE∴△A∴AE∵AE∴DE題型五關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特征解｜題｜技｜巧根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)軸或原點對稱的點的坐標(biāo)的關(guān)系特點，可以利用軸對稱找到特定點的對稱點的坐標(biāo)；在點的坐標(biāo)不是單一的數(shù)字時，例如用字母表示，用各種形式的代數(shù)式表示的點的坐標(biāo)仍然滿足軸對稱的特定關(guān)系，可以利用這種關(guān)系，列出滿足題意的方程或不等式，從而求出坐標(biāo)中的參數(shù).19．（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）若a-3+(b+4)2【答案】3,4【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和為0，那么每個非負(fù)數(shù)都為0求出a、b的值．先根據(jù)算術(shù)平方根和完全平方式的非負(fù)性得到a-3=0,b+4=0，求出【詳解】解：∵a-3+∴a-解得a=3,∴M3,-4∴點M3,-4關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為3,4故答案為：3,4．20．（2526八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，點P,M關(guān)于直線x=1（1）點P'的坐標(biāo)為；點M'的坐標(biāo)為（2）點P-2,4關(guān)于直線y=-1的對稱點的坐標(biāo)為；點N'5,-2【答案】4,43,1-2,-6【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對稱點到對稱軸的距離相等，進(jìn)行列式計算，即可作答．（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對稱點到對稱軸的距離相等，進(jìn)行列式計算，即可作答．【詳解】解：（1）依題意，1+1--∴點P'的坐標(biāo)為4,4，點M'的坐標(biāo)為故答案為：4,4，3,1；（2）依題意，-1-∴點P-2,4關(guān)于直線y=-1依題意，2-∴點N'5,-2關(guān)于直線x=2故答案為：-2,-6，-21．（2526八年級上·全國·課后作業(yè)）填空：（1）若點P-5,6與點Q關(guān)于x軸對稱，則點Q的坐標(biāo)為（2）若點Ma,-5與點N-2,b關(guān)于x軸對稱，則a（3）若點P-5,6與點Q關(guān)于y軸對稱，則點Q的坐標(biāo)為（4）若點Ma,-5與點N-2,b關(guān)于y軸對稱，則a【答案】-5,-6-255,6【分析】本題考查坐標(biāo)與軸對稱．（1）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出結(jié)果；（4）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）若點P-5,6與點Q關(guān)于x軸對稱，則點Q的坐標(biāo)為故答案為：-5,-6（2）若點Ma,-5與點N-則a=-2，-∴b=5故答案為：-2；5（3）若點P-5,6與點Q關(guān)于y軸對稱，則點Q的坐標(biāo)為（4）若點Ma,-5與點N-2,b關(guān)于y故答案為：2；-522．（2526八年級上·全國·課后作業(yè)）已知直角坐標(biāo)系中一點P(2x-y,3x+2y)，先將它關(guān)于【答案】點Q的坐標(biāo)為(2,1)【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，點的坐標(biāo)，二元一次方程組的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先逐步分析，關(guān)于x軸作一次軸對稱變換得出P1(2x-y,-3x-2y【詳解】解：∵直角坐標(biāo)系中一點P(2x-∴得出P1∵關(guān)于y軸作一次軸對稱變換，∴得出P2依題意，-2解得x=2∴點Q的坐標(biāo)為(2,1)．題型六等腰三角形分類討論問題解｜題｜技｜巧等腰三角形的邊有腰、底之分，角有頂角、底角之分，若題目中的邊沒有明確是底還是腰，角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.類型一當(dāng)腰長或底邊長不能確定時，必須進(jìn)行分類討論23．（2526八年級上·全國·周測）已知等腰三角形的周長為18cm，一邊長為7cm，則另外兩邊的長分別為．【答案】7cm,4cm或5.5cm,5.5cm【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；在已知沒有明確腰和底邊的題目一定要進(jìn)行分類討論，還需驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這是解題的關(guān)鍵．題中給出一邊長為7cm，但未明確是底邊長還是腰長，因此分兩種進(jìn)行討論，再通過三角形的三邊關(guān)系驗證是否能構(gòu)成三角形即可．【詳解】解：根據(jù)題意，分類討論：①當(dāng)?shù)走呴L為7cm，則腰長為：(18-7)÷2=5.5cm，∵5.5+5.5>7，∴能組成三角形∴此時其它兩邊長分別為5.5cm，5.5cm；②當(dāng)腰長為7cm，則底邊長為：18-7-7=4cm，∵4+7>7∴能組成三角形∴此時其它兩邊長分別為7cm，4cm故答案為：7cm,4cm或5.5cm,5.5cm．24．（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長為8，且一邊長為3，求腰長．【答案】3或2.5【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，對題中的一邊長為3進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．本題需要分情況討論，等腰三角形的腰長可能是3，也可能是底邊為3，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系（任意兩邊之和大于第三邊）判斷是否成立．【詳解】解：根據(jù)題意分情況討論：①若一腰長為3，則另一腰長也為3，∴底邊長為2．∵3+2>3，∴此種情況能構(gòu)成三角形，符合題意．②若底邊長為3，則腰長為8-32∵2.5+2.5>3，∴此種情況能構(gòu)成三角形，符合題意．綜上所述，腰長為3或2.5．類型二當(dāng)頂角或底角不能確定時，必須進(jìn)行分類討論25．（2425八年級上·陜西咸陽·開學(xué)考試）若等腰三角形的一個角為52°，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為．【答案】76°或52°【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理，不確定52°的角是等腰三角形的底角還是頂角，則分兩種情況分析；等腰三角形的底角是52°，兩個底角都是52°，結(jié)合三角形內(nèi)角和是180°計算頂角的度數(shù)；另一種情況是52°就是頂角的度數(shù)．【詳解】解：（1）52°是等腰三角形的底角時，頂角的度數(shù)為180°-52°-52°=76°；（2）52°就是頂角的度數(shù)．綜上，這個等腰三角形的頂角是76°或52°．故答案為：76°或52°．26．（2021八年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）若等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角的度數(shù)是25度，則等腰三角形頂角的度數(shù)是度．【答案】50【分析】此題要分兩種情況推論：當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時，腰上的高在三角形的外部，根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，求得底角，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，得頂角的度數(shù)．【詳解】解：如圖，（1）頂角是鈍角時，∠B∴頂角=180°-2×65°=50°，不是鈍角，不符合；（2）頂角是銳角時，∠B∠A故答案為：50．27．（2425九年級下·重慶沙坪壩·期末）等腰△ABC中，已知一內(nèi)角等于50°，求三角形的底角為【答案】50°或65°【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分兩種情況進(jìn)行討論．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論即可．【詳解】解：①當(dāng)50°是底角時，則答案為：50°；②當(dāng)50°是頂角時，底角為：(180°-50°)÷2=65°；所以底角的度數(shù)為50°或65°．故答案為：50°或65°．類型三當(dāng)高的位置關(guān)系不能確定時，必須進(jìn)行分類討論28．（黑龍江省哈爾濱市第一一三中學(xué)校20212022學(xué)年八年級上學(xué)期10月模擬測試數(shù)學(xué)試卷（五四制））等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是30°，則其頂角的度數(shù)為．【答案】120°或60°【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)以及直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．注意分類討論.分頂角為鈍角和頂角為銳角兩種情況：當(dāng)頂角為鈍角時，利用三角形外角的性質(zhì)可求得頂角120°；當(dāng)頂角為銳角時，利用直角三角形兩銳角互余，可求得頂角為60°，即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)頂角為鈍角時，如圖，BD是鈍角等腰三角形AC腰上的高，BD與AB腰的夾角為∠ABD則頂角∠CAB當(dāng)頂角為銳角時，如圖，BD是銳角等腰三角形AC腰上的高，BD與AB腰的夾角為∠ABD則頂角∠CAB綜上可知該等腰三角形的頂角為120°或60°．故答案為：120°或60°．29．（2425七年級下·上?！るA段練習(xí)）已知BD是等腰三角形ABC一腰上的高，且∠ABD=40°，求△ABC【答案】50°或80°或130°【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠A，再分點A是頂角頂點（△ABC為銳角三角形、△ABC【詳解】解：∵∠ABD=40°，BD是等腰∴∠A①如圖1，點A是頂角頂點，△ABC為銳角三角形時，頂角為∠A，是②如圖2，點A是底角頂點時，兩底角是50°，頂角∠BCA③如圖3，點A是頂角頂點，△ABC是鈍角三角形時，頂角∠綜上所述，等腰△ABC頂角度數(shù)為50°或80°或130°故答案為：50°或80°或130°．類型四由腰的垂直平分線所引起的分類討論30．（2122八年級下·遼寧盤錦·開學(xué)考試）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點D，交直線AC于點E，∠AEB【答案】55°或125°【分析】本題考查等邊對等角，中垂線的性質(zhì)，點E在線段AC上和點E在線段CA的延長線上，兩種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】解：當(dāng)點E在線段AC上時，如圖，∵DE垂直平分AB，∴BE=∴∠BAC當(dāng)點E在線段CA的延長線上時，同理可得：∠BAE∴∠BAC故答案為：55°或125°31．（2425七年級下·上海楊浦·階段練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，AB邊的垂直平分線與邊AB交于點D，與AC、BC邊所在直線分別交于E、F，若∠【答案】50或140【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，分類思想的運用是解題的關(guān)鍵．分兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖1，∴∠ADE∴∠BAC∵AB∴∠B∴∠BFE如圖2，∴∠ADE∴∠A∵AB∴∠B∴∠BFE當(dāng)垂直平分線與線段AC交于點E，∵∠AED=10°，EF垂直平分AB∴∠BAC∴∠∴∠∵AB∴∠B∴∠△BCE∴當(dāng)垂直平分線與線段AC交于點E，此種情況不存在，綜上，∠BFE=50°或故答案為：50或140．類型五由腰上的中線所引起的分類討論32．（2425七年級下·四川成都·期末）等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把這個三角形的周長分為兩部分，這兩部分的差為4cmA．1cm或9cm B．1cm C．5【答案】D【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)．設(shè)等腰三角形的腰長為xcm，底邊長為5cm，根據(jù)兩種情況列出【詳解】解：設(shè)等腰三角形的腰長為xcm，底邊長為5取一腰的中點，連接該中點與底邊頂點形成中線，中線將原三角形的周長分為兩部分：一部分為腰長的一半和底邊之和：12x另一部分為腰長的一半和另一腰之和：12兩部分的周長差為12x+5-32驗證解：當(dāng)x=9時，三邊為9cm、9cm當(dāng)x=1時，三邊為1cm、1cm綜上，腰長為9cm故選：D．33．（2526八年級上·全國·隨堂練習(xí)）已知等腰三角形ABC的底邊BC長為10cm，AC上的中線BD把其周長分為差是6cm的兩部分，求等腰三角形【答案】42【分析】本題考查了三角形的周長求解，三角形中線的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系，分類討論兩部分是哪一部分減哪一部分是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)中線的性質(zhì)可得AD=【詳解】解：∵BD為△ABC的邊∴AD分兩種情況討論：①當(dāng)AB+即AB-∵BC∴AB∴周長為AB②當(dāng)BC+即BC-∵BC∴AB當(dāng)AB=4cm時，三邊長分別為而4+4<10，不能構(gòu)成三角形，故舍去．綜上，等腰三角形ABC的周長為42cm題型七利用等腰三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)的方法解｜題｜技｜巧對于等腰三角形中求角度問題，若題目沒有一個已知角度而結(jié)果需要求具體的角度，則常設(shè)較小角為x，通過三角形內(nèi)角和或等腰三角形的性質(zhì)列方程求解.【注意】已知多個等腰三角形時，常利用方程思想解題.34．（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）已知一等腰三角形的兩外角的度數(shù)之比為1:4，試求其與底角相鄰的外角的度數(shù)．【答案】160°【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義，解題時注意分類思想的運用．先設(shè)這兩個外角等于x，4x，然后分類討論，①若底角的外角是x；②若頂角的外角是x，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求x，從而求解．【詳解】解：設(shè)這兩個外角分別為x，4x，①若底角的外角是x，則2180°-解得x=60°則底角為120°，不合題意；②若頂角的外角是x，則180°-x解得x=40°則頂角為140°，底角為20°，故底角的外角的度數(shù)為160°，即與底角相鄰的外角度數(shù)為160°．35．（2526八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于點D【答案】20°【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)．在DC上截取DE=BD，連接AE；根據(jù)SAS證得△ABD≌△AED，再利用全等三角形的對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等，可得到AB=AE，∠B=∠AEB；又由等量代換，證得【詳解】解：如圖，在DC上截取DE=BD，連接∵AD⊥∴∠ADB在△ABD和△AD∴△ABD∴AB=AE，又∵AB+BD=CD，∴AB+∴AB=∴AE=∴∠EAC設(shè)∠EAC∵∠AEB為△∴∠AEB∴∠B=2在△ABC中，∠即2x+120°+x∴∠C36．（2425八年級上·吉林·期末）如圖所示，△ABC中，∠ABC=100°,【答案】40°【分析】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意證得△AMN,△CNP都是等腰三角形，推出∠ANM=∠【詳解】解：∵AM=∴△AMN∴∠ANM∴∠ANM∵∠A∴∠ANM∴∠MNP37．（2425七年級下·河南平頂山·期末）已知一個等腰三角形的頂角是底角的3倍，求它的各個內(nèi)角的度數(shù)．【答案】這個三角形的三個內(nèi)角分別為108°，36°，36°【分析】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)這個等腰三角形底角的度數(shù)為x°，則它的頂角的度數(shù)為3【詳解】解：設(shè)這個等腰三角形底角的度數(shù)為x°，則它的頂角的度數(shù)為根據(jù)“三角形的三個內(nèi)角和等于180°”得：x+解得：x即3答：這個三角形的三個內(nèi)角分別為108°，題型八等腰三角形的個數(shù)問題解｜題｜技｜巧確定等腰三角形的個數(shù)問題是等腰三角形中的常見題，通常是“兩定一動”類型，則以兩定點所連線段進(jìn)行分類討論，①當(dāng)該線段是等腰三角形的底時，作該線段的垂直平分線進(jìn)行找點；②當(dāng)該線段是等腰三角形的邊時，分別以兩定點為圓心，兩定點所連線段為半徑作圓來進(jìn)行找點.38．（2425八年級上·廣東東莞·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點A2,-2，在y軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有（A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的定義及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；針對線段OA在等腰三角形中的地位，分類討論用兩圓一線的方式，找與y軸的交點即可得到答案．【詳解】如圖所示，當(dāng)點A是頂角頂點時，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個交點P1當(dāng)點O是頂角頂點時，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個交點，即P3和P當(dāng)點P是頂角頂點時，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個交點P4故符合條件的點一共4個．故選：C．39．（2021八年級上·山東臨沂·期中）在如圖的網(wǎng)格上，小正方形的頂點叫網(wǎng)格的格點，圖中能找出幾個格點？使每一個格點與A，B兩點能構(gòu)成等腰三角形，符合條件格點的個數(shù)有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的判定，根據(jù)等腰三角形的判定，兩邊相等的三角形為等腰三角形，可以從圖中每一列中取格點，看是否滿足等腰三角形．【詳解】解：如圖：從圖中第一列中，可知當(dāng)格點在最下方時，△ABC為等腰三角形，第二列中沒有構(gòu)成等腰三角形的格點；第三列中第一個格點和第二個格點可以構(gòu)成等腰三角形△ABD，△第四列中第二個格點和第四個格點可以構(gòu)成等腰三角形△ABF，△第五列中沒有構(gòu)成等腰三角形的格點．故選：C．40．（2425八年級上·廣東韶關(guān)·期中）在直角坐標(biāo)系中，△ABC(1)請畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△(2)直接寫出A1，B1，(3)點Q在坐標(biāo)軸上，且滿足△BCQ是等腰三角形，則所有符合條件的Q點有______【答案】(1)見解析(2)A14,1，B12,3，(3)10【分析】本題考查軸對稱作圖，圖形與坐標(biāo)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，兩圓一線確定等腰三角形的方法是解題的關(guān)鍵．（1）由點的對稱性，作出圖形即可；（2）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變，即可求解；（3）利用兩圓一線確定等腰三角形，作出圖形即可求解．【詳解】（1）如圖：△A（2）由圖可知A-4,1，B∴A點關(guān)于y軸對稱的點為4,1，B點關(guān)于y軸對稱的點為2,3，C點關(guān)于y軸對稱的點為-∴A14,1，B12,3（3）如圖：以B為圓心，BC長為半徑作圓，此圓與坐標(biāo)軸有4個交點，以C為圓心，BC長為半徑作圓，此圓與坐標(biāo)軸有4個交點，作線段BC的垂直平分線，此線與坐標(biāo)軸有2個交點，∴△BCQ是等腰三角形時，Q點坐標(biāo)有10個故答案為：10．41．（2425八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在直線MN上能否找到點A，使以BC為一邊的△ABC【答案】見解析【分析】本題考查作等腰三角形，根據(jù)“兩圓一線”作圖即可，分別以B、C為圓心，BC長為半徑畫圓與直線MN的交點以及作BC的垂直平分線與MN的交點即為點A，使以BC為一邊的△ABC【詳解】解：所有滿足條件的點A如圖所示：題型九見等腰，構(gòu)造三線合一解｜題｜技｜巧已知等腰三角形，通過作底邊的高（底邊的中線，頂角的角平分線），利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解.42．（2425八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在四邊形ACBD中，∠C=90°，(1)若CA=3，BC=4，AD=6(2)請在①∠ABD=2∠ABC；②AD【答案】(1)四邊形ACBD的面積為18；(2)選擇①作為條件，②作為結(jié)論，證明見解析．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）過B作BH⊥AD于H，則∠C=∠AHB=∠DHB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AH=DH=（2）分選擇①作為條件，②作為結(jié)論和選擇②作為條件，①作為結(jié)論，通過全等三角形的判定與性質(zhì)即可求證．【詳解】（1）解：如圖，過B作BH⊥AD于H，則∵BA=BD，∴AH=∴AC=∵AB=∴Rt△∴△ABC的面積=△∵AH=∴△ABH的面積=△∴S四邊形∵△ACB的面積=∴四邊形ACBD的面積=3×6=18；（2）解：i）如圖，選擇①作為條件，②作為結(jié)論，理由如下：過B作BH⊥AD于H，則∵AB=DB，∴AD=2AH，∵∠ABD∴∠ABH∵∠C=∠AHB∴△ABH∴AH=∴AD=2ii）如圖，選擇②作為條件，①作為結(jié)論，理由如下：過B作BH⊥AD于H，則∵AB=DB，∴AD=2AH=2∵AD=2∴AC=∴Rt△∴∠ABC∴∠ABD43．（2425八年級上·浙江金華·期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E分別是BC上兩點，連接AD，AE，且AD針對這道題目，三位同學(xué)進(jìn)行了如下討論：小明：“可以通過證明△ABD≌△小華：“可以通過證明△ABE≌△小聰：“我覺得可以通過等腰三角形三線合一定理添加適當(dāng)?shù)妮o助線證明．”請你結(jié)合上述討論，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄍ瓿勺C明．【答案】證明見解析【分析】小明的方法：由等腰三角形的性質(zhì)得∠B=∠C，∠ADE=∠小華的方法證：由等腰三角形的性質(zhì)得∠B=∠C，∠小聰?shù)姆椒ǎ哼^點A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得BH=本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】小明的方法證明：∵AB=∴∠B∵AD=∴∠ADE∴∠ADB∴△ABD∴BD=小華的方法證明：∵AB=∴∠B∵AD=∴∠AED即∠AEB∴△ABE∴BD=小聰?shù)姆椒ㄗC明：如圖，過點A作AH⊥BC于∵AB=AC，∴BH=CH，∴BH-即BD=44．（2425八年級上·全國·期末）如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為AB邊上的中點，E為AC上的一動點（不與A、C點重合），過點D作DE的垂線交BC【答案】證明見解析【分析】本題考查了等腰三角形的三線合一、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．連接CD，先根據(jù)等腰三角形的三線合一、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得∠A=∠B=45°，AD=BD=CD，【詳解】證明：如圖，連接CD，∵△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°∴∠A=∠B=45°，AD=∴∠A=∠DCF∵DE⊥∴∠CDF∴∠ADE在△ADE和∠A∴△ADE∴AE=題型十雙腰上的高求定值解｜題｜技｜巧雙腰上的高求定值的證明利用了等面積法，消去相等底邊后得到高之間的關(guān)系，因此等腰三角形中動點只能在底邊所在直線上運動，此時連接該點和底邊所對頂點，能將原圖形分割成兩個底相等的三角形.45．（第十五章軸對稱數(shù)學(xué)活動）【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師提出了一個問題：等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等嗎？同學(xué)們就這個問題展開探究．【問題初探】（1）希望小組的同學(xué)們根據(jù)題意畫出了相應(yīng)的圖形，如圖①，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC證明：∵DE⊥AB，∴∠DEB∵AB=∴∠B=∠C∵D是BC的中點，∴BD在△BDE和△∠∴△BDE≌△CDF∴DE=①請寫出依據(jù)1和依據(jù)2的內(nèi)容：依據(jù)1：，依據(jù)2：；②請你寫出另一種證法；【問題再探】（2）未來小組的同學(xué)們經(jīng)過探究又有新的發(fā)現(xiàn)，如圖②，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，作腰AB上的高CG，則CG【類比探究】（3）奮斗小組的同學(xué)們認(rèn)真研究過后，發(fā)現(xiàn)了以下兩個正確結(jié)論：①如圖③，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，若DE，DF分別為△ABD和△ACD的中線，那么DE=DF仍然成立；②如圖④，在△ABC中，AB=AC，【答案】（1）①等腰三角形的兩個底角相等（或等邊對等角）；兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（或角角邊或AAS）；②見解析；（2）CG=2DE；（【分析】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）①由等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定可求解；②由等腰三角形的性質(zhì)可得AD是∠BAC的平分線，由角平分線的性質(zhì)可得DE問題再探：（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得AD是∠BAC的平分線，由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，由面積的和差關(guān)系（3）通過證明△BDE【詳解】（1）①解：依據(jù)1：等腰三角形的兩個底角相等（或等邊對等角）依據(jù)2：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（或角角邊或AAS）②證明：如圖，連接AD．∵AB=AC，D是∴AD是∠BAC∵DE⊥AB，∴DE（2）解：CG=2連接AD，∵AB=AC，D是∴AD是∠BAC∵DE⊥∴DE=∵S△∴12∴CG=2故答案為：CG=2（3）證明：選擇①：∵DE，DF分別是△ABD∴BE=1∵AB=∴BE又∵D是BC的中點，∴BD在△BDE和BE∴△BDE∴DE=選擇②：∵AB=AC，D是∴∠B∴∠ADB又∵DE，DF分別是△ABD∴∠BDE在△BDE和△∠∴△∴DE46．（2122八年級下·云南·期末）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)完勾股定理的證明后，發(fā)現(xiàn)運用“同一圖形的面積用不同方式計算結(jié)果相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為“等面積法”．如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC邊上的高BD記為h，M是底邊BC上的任意一點，M到腰AB、AC的距離ME、MF分別記為h1(1)興趣小組現(xiàn)需要證明h=證明：連接AM，由題意得BD=h，ME=h∵S△ABC=SS△AMC=∴12又∵AB=∴12AC×h=∴h=(2)當(dāng)點M在BC延長線上時（M點在C點的右邊），h1、h2、h之間又有什么樣的結(jié)論，請你寫出結(jié)論，并說明理由（可利用圖(3)利用以上結(jié)論解答：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l1：y=34x+6，l2：y=-3x+6，若【答案】(1)△ACM，(2)h=(3)23,4【分析】（1）根據(jù)S△（2）先根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)S△（3）先求得△ABC為等腰三角形，再根據(jù)（1）（2）的結(jié)果分①當(dāng)點M在BC邊上時，②當(dāng)點M在CB延長線上時，求得M的坐標(biāo)．③當(dāng)點M在BC的延長線上時，h【詳解】（1）證明：連接AM，由題意得BD=h，ME=∵S△ABC=S△AMC=∴12又∵AB=∴12∴h=故答案為△ACM，h（2）解：h=h1-h2，作圖如圖所示：ME⊥AB于點E，MF⊥由題意得BD=h，ME=h∵S△ABC=S又∵S△ABC∴12∴12∴h=h（3）解：在y=34x+6中，令x=0得∴A(-8,0)，B(0,6)∴AB=OA∴AB=即△ABC設(shè)M點坐標(biāo)為Mx①當(dāng)點M在BC邊上時，由h1+h∴M把它代入y=-3x+6∴此時M(②當(dāng)點M在CB延長線上時，由h1-h2=h把它代入y=-3x+6∴此時M(-③當(dāng)點M在BC的延長線上時，h1綜上所述：點M的坐標(biāo)為M(23【點睛】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是相交添加常用輔助線，學(xué)會利用面積法證明線段之間的關(guān)系，屬于中考?？碱}型．47．（2324八年級上·浙江紹興·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法被稱為“面積法”．已知等邊△ABC，點P是平面上任意一點，設(shè)點P到△ABC邊AB、AC邊的距離分別為PD、PE，△ABC的BC(1)如圖（1），若點P在三角形的BC邊上，PD、PE、AM存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程．(2)如圖（2），當(dāng)點P在△ABC內(nèi)，已知AM=10，求(3)如圖（3），當(dāng)點P在△ABC外，請直接寫出AM與PD、PF、PE【答案】(1)PD+PE(2)10(3)PD【分析】（1）連結(jié)PA，設(shè)AB=m，則AB=AC=BC=m，則S△APB（2）連結(jié)PA、PB、PC，則S△APB=12m?PD，S△APC=（3）連結(jié)PA、PB、PC，則S△APB=12m?PD，S△APC=【詳解】（1）解：PD+證明如下：連結(jié)PA，如圖（1）所示：設(shè)AB=∵△ABC∴AB∵PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E∴S△APB=1∵S∴12∴PD（2）解：連結(jié)PA、PB、PC，如圖（2）所示：設(shè)AB=∵△ABC∴AB∵PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，PF⊥BC∴S△APB=12mPD∵S∴12∴PD∵AM∴PD∴PD+PE（3）解：PD+理由如下：連結(jié)PA、PB、PC，如圖（3）所示：設(shè)AB=∵△ABC∴AB∵PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，PF⊥BC∴S△APB=12mPD∵S∴12∴PD【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式、根據(jù)面積等式證明其他線段之間的相等關(guān)系、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運用等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線并且列出相應(yīng)的面積等式是解題的關(guān)鍵．題型十一等腰三角形判定與性質(zhì)綜合解｜題｜技｜巧1）當(dāng)三角形有兩條邊相等時，應(yīng)用“有兩條邊相等的三角形是等腰三角形”來判定；2）當(dāng)三角形中有兩個角相等時，應(yīng)用“如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”來證明；3）當(dāng)線段垂直平分線上的點與線段兩端點構(gòu)成三角形時，應(yīng)用“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，則構(gòu)成的三角形是等腰三角形”來證明.48．（2223八年級上·湖南長沙·期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點D，(1)如圖1，求證：△CDE(2)如圖2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC邊上取點F使BF=DF【答案】(1)見解析(2)4【分析】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及30°角直角三角形的邊角關(guān)系，掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，30°角直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線得到∠BCD=∠ACD，由DE（2）先根據(jù)平行得到∠ADE=∠ABC=30°，故由（1）可知，∠ACD=∠BCD=∠CDE=30°，然后通過等邊對等角以及三角形外角性質(zhì)得到【詳解】（1）證明：∵CD是∠ACB∴∠BCD∵DE∴∠BCD∴∠EDC∴ED即△CDE（2）解：∵DE∥∴∠ADE=∠ABC又∵DE平分∠∴∠ADE由（1）可知，∠ACD∵BF∴∠B∴∠DFC∴∠FDC∴∠FCD∴DF又∵DF=∴DF49．（2223八年級上·廣東廣州·期末）如圖，在△ABC中，D點是AB的中點，OD⊥AB于D，點O(1)求證：△BOC(2)若∠BAC=80°，求【答案】(1)見解析(2)∠【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．（1）先證明OD垂直平分AB，得出OA=OB，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得出OA=OC，即可得出（2）OA=OB，OA=OC，得出∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，根據(jù)【詳解】（1）證明：∵D點是AB的中點，OD⊥∴OD垂直平分AB，∴OA=∵O點在AC的垂直平分線上，∴OA=∴OB=∴△BOC（2）解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA∵∠OAB∴∠OBA∵∠ABC∴∠OBA∴∠OBC∵OB=∴∠OBC∴∠BCO50．（2425八年級上·廣東汕尾·期中）如圖，已知線段BC上有點D，E，且BD=CE．在線段BC外側(cè)取點A，使AD=AE．連結(jié)AB，AD，(1)求證：AB=(2)若∠BAC=108°，∠DAE=36°，求出圖中除【答案】(1)見解析(2)除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形為：△ABD，△AEC，【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由等邊對等角得出∠ADE=∠AED，求出∠（2）根據(jù)等腰三角形的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計算即可得解．【詳解】（1）解：∵AD=∴∠ADE=∠∴180°-∠ADE=180°-∠AED，即在△ABD和△AD=∴△ABD∴AB=（2）解：∵AD=AE，∴∠ADE∵AB=AC，∴∠B∵∠B+∠BAD∴∠C=∠EAC∴∠BAE=∠BAD∴除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形為：△ABD，△AEC，題型十二構(gòu)造等腰三角形五種方法解｜題｜技｜巧1）作邊的平行構(gòu)造等腰三角形.2）“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形，應(yīng)用平行線的性質(zhì)得到角的相等關(guān)系，應(yīng)用等角對等邊得到邊的相等關(guān)系；3）“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形，逆用等腰三角形的三線合一性質(zhì)定理；4）應(yīng)用“垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形；5）利用二倍角關(guān)系構(gòu)造等腰三角形.51．如圖，在△ABC中∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．若過點O作直線EF和邊BC平行，與AB交于點E，與AC交于點F，則線段【答案】EF=【分析】此題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，利用了等量代換的思想，熟練掌握性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵．由BD為角平分線，利用角平分線的性質(zhì)得到一對角相等，再由EF與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，等量代換可得出∠EBD=∠EDB，利用等角對等邊得到EB=ED【詳解】解：EF=理由：∵BO，CO分別是∠ABC，∴∠EBO=∠OBC又∵EF∥∴∠OBC=∠BOE∴∠BOE=∠EBO即EB=EO，∴EF52．（2425八年級上·湖南懷化·階段練習(xí)）（1）如圖，△ABC中，若AB=6,AC=4，求（2）如圖，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF【答案】（1）1<AD<5；（【分析】此題考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性質(zhì)，掌握用倍長中線法構(gòu)造全等三角形是解決此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)倍長中線法將AD延長至G，使AD=DG，再證△ADC≌△GDB（2）由（1）中結(jié)論：△ADC≌△GDB，即可得到：AC=BG【詳解】（1）解：將AD延長至G，使AD=DG，連接在△ADC和△CD∴△ADC∴AC在△ABGAB∴6-4<2∴1<AD（2）證明：將AD延長至G，使AD=DG，連接由（1）中結(jié)論：△∴AC=又∵AE=∴∠AFE∴∠∵∠∴∠∴BG即AC=53．（2425八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）在△ABC中，∠ABC、∠ABC的平分線相交于點D，過點D作EF∥BC分別交AB、AC(1)求證：BE=(2)若△ABC的周長比△AEF的周長大8，試求出【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題考查了角平分線的定義，兩直線平行內(nèi)錯角相等，等角對等邊．（1）先根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD=∠CBD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠（2）同（1）證明CF=DF，可知△AEF的周長=AB+AC，根據(jù)“【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC∴∠ABD∵EF∥∴∠∴∠ABD∴BE=（2）解：∵CD平分∠ACB∴∠ACD∵EF∥∴∠∴∠ACD∴CF=∴△AEF的周長=∵△ABC的周長比△AEF的周長大∴AB+54．（2425八年級上·北京海淀·期中）如圖，D為△ABC內(nèi)一點，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB=∠B【答案】10【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等角對等邊、角平分線的定義，結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．延長CD交AB于點E，利用全等三角形的ASA判定定理證出△ADE≌△ADC，得出AE=AC=6，ED=【詳解】解：如圖，延長CD交AB于點E，∴∠ADE∵AD平分∠∴∠DAE在△ADE和△∠ADE∴△ADE∴AE=AC∴CE∵∠DCB∴BE∴AB∴AB的長為1055．（2425八年級上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期中）【閱讀理解】在一個三角形中出現(xiàn)一個角是另一個角的2倍時，我們可以通過以下三種方法轉(zhuǎn)化倍角尋找等腰三角形．（1）如圖①，若∠ABC=2∠C，可作∠ABC的平分線BD交AC于點（2）如圖②，若∠ABC=2∠C，可延長CB至點D，使BD=BA（3）如圖③，若∠B=2∠ACB，以C為頂點，CA為一邊，在△ABC外作∠ACD=______，交【解決問題】（4）如圖④，在△ABC中，∠C=2∠B，【答案】（1）見解析；（2）△ACD（3）∠ACB（【分析】本題考查三角形的外角，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等角對等邊證明三角形為等邊三角形，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)角平分線的定義，推出∠DBC（2）利用等邊對等角，三角形的外角，推出∠D（3）根據(jù)等角對等邊，證明△DBC（4）延長BC至點H，使AC=CH，取BC的中點E，連接AE，證明AB=AH，進(jìn)而證明△ABE≌△AHC【詳解】解：（1）∵BD平分∠ABC∴∠ABC∵∠ABC∴∠DBC∴BD=∴△DBC（2）∵BD=∴∠D∵∠ABC=∠D∴∠C∴AC=∴△ACD故答案為：△ACD（3）作∠ACD∵∠ACD∴∠BCD∵∠B∴∠BCD∴CD=∴△DBC（4）延長BC至點H，使AC=CH，取BC的中點E，連接則：∠H=∠CAH∴∠ACB∵∠ACB=2∠B∴∠B=∠H∴AB=∴△ABE∴AE=∴AE=∴△AEC∴∠ACB∴∠B∴∠BAC題型十三利用等邊三角形的性質(zhì)求角度/線段長度解｜題｜技｜巧1）與等邊三角形有關(guān)的角度計算常常要用到等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60，這一點是解題的關(guān)鍵.2）與等邊三角形有關(guān)的線段長度的計算問題，常常與勾股定理相結(jié)合，利用等邊三角形的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，借用勾股定理求線段長度.56．（2425七年級下·四川成都·期末）如圖，等邊三角形紙片ABC的邊長為4cm，點D，E分別在AC，BC上，將△CDE沿直線DE折疊，點C落在點C'處，且點C'在【答案】12【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，折疊問題，關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)推出DC由折疊的性質(zhì)得到：DC【詳解】解：∵△ABC是邊長為4∴AB由折疊的性質(zhì)得到：DC∴三個陰影部分的周長的和=AD故答案為：12．57．（2526八年級上·江蘇徐州·期中）圖，在邊長為a等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AB上，且DE∥AC，過點E作EF⊥DE，交CB的延長線于點F．若AE=b，則DF=．【答案】2a-【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDB=∠B【詳解】解：∵△ABC∴∠B∵DE∴∠EDB∵EF∴∠DEF∴∠F∵∠ABC∴△DEB∴ED∵∠DEF=90°，∴DF故答案為：2a58．（2526八年級上·陜西西安·開學(xué)考試）如圖，點B、C、D在同一直線上，△ABC和△求證：AB∥【答案】見詳解【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，涉及等邊三角形性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型證全等是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，由“手拉手”模型求證△ABD【詳解】證明：∵△ABC、△∴AE=AD，AB∴∠BAD在△ABD和△AB=∴△ABD∴∠ABD∴∠DCE∴∠DCE∴AB59．（2425七年級下·四川成都·階段練習(xí)）已知：如圖，點B在線段AD上，△ABC和△BDE都是等邊三角形，且在AD同側(cè)，連接AE交BC于點G，連接CD交BE于點H，交AE于點O，連接(1)求證：AE=(2)求∠AOC(3)求證：AG=【答案】(1)見詳解(2)60°(3)見詳解【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；本題綜合性強，難度不大，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)可證得△ABE≌△CBD（2）由（1）中的全等得∠BAE=∠BCD，結(jié)合∠（3）由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAG=∠BCH，證出∠ABC=∠【詳解】（1）證明：∵△ABC∴AB∴180°-∠EBD即∠ABE在△ABE與△AB=∴△ABE∴AE（2）解：由（1）知：△ABE∴∠BAE∵∠AGB=∠CGO∴∠AOC（3）證明：∵△ABE∴∠BAG∵∠ABC∴∠CBH∴∠ABC在△ABG與△∠BAG∴△ABG∴AG題型十四等邊三角形判定與性質(zhì)綜合解｜題｜技｜巧題目圖形中有兩個以上的以圖形中的線段為邊向圖形同側(cè)或異側(cè)作的特殊圖形(特殊圖形包括等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析條件時，經(jīng)常先尋找圖形中有無全等三角形（手拉手模型），若有，這對全等三角形的性質(zhì)常常是解題的關(guān)鍵所在.60．（2526八年級上·全國·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE(1)求證：△DEF(2)當(dāng)∠A=50°時，求(3)當(dāng)∠EDF=60°時，求【答案】(1)見解析(2)115°(3)∠【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD（2）根據(jù)∠A=50°可求出∠ABC=∠ACB（3）可證△DEF是等邊三角形，可得∠DEF=60°【詳解】（1）證明：∵AB∴∠ABC在△DBE和△BE=∴△DBE∴DE∴△DEF（2）∵△DBE∴∠BDE∵∠A+∠∴∠B∴∠DEB∴∠DEB（3）∵∠EDF=60°，∴△DEF∴∠DEF∵△DBE∴∠BDE∵∠DEF∴∠B∴∠C∴∠A61．（2425八年級下·陜西咸陽·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，DE是邊AC的垂直平分線，點O在DE(1)求證：△OAB(2)若OD=2，OE【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用．（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)和等角對等邊得出相等的線段，利用三角形的內(nèi)角和定理求出角的度數(shù)，進(jìn)而可得出等邊三角形；（2）過點O作OF⊥BC，交BC于點F，利用勾股定理和含【詳解】（1）證明：∵DE是邊AC的垂直平分線，∴OA=∵∠OAB∴OA∴OA∴∠OAC∴∠OAC∴∠OAB∴∠OAB∴△OAB（2）解：如圖，過點O作OF⊥BC，交BC于點∵DE是邊AC的垂直平分線，∴△CDE在Rt△CDE中，∴CE=2DE=12∵OF⊥∴△OEF∴∠∴在Rt△OEF中，∴CF=由（1）得OB=∴△OBC根據(jù)三線合一得，BF=∴BE=62．（2425八年級上·貴州遵義·期中）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，D是△ABC外的一點，且有△BOC≌△ADC，∠OCD=60°(1)求證：△OCD(2)∠BOC=150°時，試判斷(3)探究：當(dāng)∠BOC為多少度時，△【答案】(1)見解析(2)△ADO(3)150°或105°或255°【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OC=DC，再由∠OCD（2）先求出∠ODC=60°，根據(jù)全等的性質(zhì)得到∠ADC=150°，即可求出∠ADO（3）分別表示出∠AOD=195°-α，∠ADO=α-60°，∠OAD=180°-∠【詳解】（1）證明：∵△BOC∴OC∵∠OCD∴△OCD（2）解：∵△BOC∴∠BOC∵△∴∠DOC∴∠ADO∴△ADO∵∠AOD∴∠AOD∴∠AOD∵∠OAD∴∠OAD∴△ADO（3）解：若∠BOC=α則∠AOD=360°-∠AOB∴∠DAO①當(dāng)DA=DO時，則∴195°-α∴∠B②當(dāng)OA=OD時，則∴α-∴∠BOC③當(dāng)AO=AD時，則∴195°-α∠BOC綜上：當(dāng)∠BOC為150°或105°或255°2，題型十五利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解解｜題｜技｜巧在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.這個性質(zhì)常常用于計算三角形的邊長也是證明一邊(30°角所對的直角邊)等于另一邊(斜邊)的一半的重要依據(jù).當(dāng)已知的條件或結(jié)論傾向于該性質(zhì)時，我們可運用轉(zhuǎn)化思想，將線段或角轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形.63．（2425八年級上·湖南湘西·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，BD⊥AC，垂足為D【答案】9【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，含30°的直角三角形，先求出∠BAC=30°，∠CBD=30°，通過通過含30°的直角三角形性質(zhì)得BC=6【詳解】解：∵∠ABC=90°，∴∠BAC∵BD⊥∴∠ADB∴∠CBD∴CD=∴BC=6∵∠BAC∴BC=∴AC=12∴AD=故答案為：9．64．（2425八年級下·黑龍江綏化·期中）某校在一塊如圖所示的三角形空地ABC上種植草皮美化環(huán)境，已知∠A=150°，這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮需要【答案】150【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，涉及到三角形的面積公式，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于作出AB邊上的高，根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)推出高CD的長度，正確的計算出△ABC的面積．作BA邊的高CD，設(shè)與BA的延長線交于點D，則∠DAC=30°，由AC=30m，即可求出CD【詳解】解：如圖，作BA邊的高CD，設(shè)與BA的延長線交于點D，∴∠DAC∵CD⊥BD∴CD∵AB∴S∵每平方米售價a元，∴購買這種草皮的價格：150a故答案為：150a65．（2425八年級下·湖南婁底·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，連接(1)求證：AE=(2)若∠BAC=60°，AD=10【答案】(1)見解析(2)5【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，掌握30度角所對的直角邊等于斜邊一半是解題關(guān)鍵．（1）利用“AAS”證明出△AED（2）證明△ACE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，得到∠CAD=30°，AD【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，∴∠AED∵AD平分∠∴∠EAD在△AED和△∠EAD∴△AED∴（2）解：∵∠BAC=60°，∴△ACE∴∠A∵AD平分∠∴∠CAD=30°，∵∠ACB=90°，∴CD在Rt△CFD中，∴DF題型十六等腰三角形存在性問題解｜題｜技｜巧66．（2425八年級下·山東日照·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點B6,0的直線AB與直線OA相交于點A4,2，動點M沿路線(1)求直線AB的解析式．(2)求△OAC(3)當(dāng)△OMC的面積是△OAC的面積的14(4)在x軸上是否存在一點P，使得△OAP是等腰三角形，若存在請直接寫出P【答案】(1)y(2)12(3)1,12(4)52,0或25,0【分析】本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與幾何圖形的綜合運用，等腰三角形的性質(zhì)．（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）求得C的坐標(biāo)，即OC的長，利用三角形的面積公式即可求解；（3）當(dāng)△OMC的面積是△OAC的面積的14時，根據(jù)面積公式即可求得M（4）設(shè)Pp,0，求出OA=42+2【詳解】（1）解：設(shè)直線AB的解析式為y=把點A4,2，點B6,0代入得：解得：k=-1∴直線AB的解析式為y=-（2）解：當(dāng)x=0時，y∴點C0,6，即OC∴S△（3）解：設(shè)直線OA的解析式為y=把點A4,2代入得：4解得：a=∴直線OA的解析式為y=設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，∵△OMC的面積是△OAC面積的∴S△OMC=當(dāng)點M在OA上時，y=此時點M的坐標(biāo)為1,1當(dāng)點M在AC上時，y=-1+6=5此時點M的坐標(biāo)為1,5；綜上