專題01數(shù)的開方（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律算術(shù)平方根和平方根的意義能準(zhǔn)確判斷算術(shù)平方根和平方根的聯(lián)系和區(qū)別，并會求算術(shù)平方根和平方根基礎(chǔ)必考點，常出現(xiàn)在選擇題和填空題無理數(shù)的定義會判斷無理數(shù)的幾種形式并且會進(jìn)行無理數(shù)估算中考?？碱}型，盡量不能出錯實數(shù)的認(rèn)識會對實數(shù)進(jìn)行分類，以及對實數(shù)相關(guān)概念性質(zhì)進(jìn)行準(zhǔn)確的識別和判斷正誤高頻易錯點，容易忽視……實數(shù)的運算法則能對實數(shù)的運算法則熟悉，并熟練按照實數(shù)混合運算法則進(jìn)行實數(shù)的運算中考必考計算題型，通常在一些題目的解題過程中作為關(guān)鍵計算，要算對算準(zhǔn)實數(shù)的實際應(yīng)用掌握實數(shù)概念，結(jié)合題目條件有效并靈活對題目進(jìn)行分析以及運算求解這類題型相對考查背景比較廣泛，并且考查內(nèi)容也比較靈活，需要學(xué)生具備閱讀理解以及涉及知識的綜合應(yīng)用能力知識點01算術(shù)平方根的定義·示例：讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).·易錯點：當(dāng)式子有意義時，一定表示一個非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.知識點02平方根的定義·易錯點：當(dāng)式子有意義時，一定表示一個非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.一個正數(shù)的平方根有兩個，根號前有“”，要與算術(shù)平方根進(jìn)行區(qū)分.知識點03平方根的性質(zhì)知識點04算術(shù)平方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律◎被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.·易錯點：注意小數(shù)點移動的數(shù)位以及方向.知識點05立方根的定義知識點06立方根的性質(zhì)◎正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.·易錯點：任何數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數(shù)的符號相同.兩個互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).知識點07立方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律◎被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.·易錯點：注意小數(shù)點移動的數(shù)位以及方向.知識點08無理數(shù)◎有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).·示例：常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.知識點09實數(shù)的定義與分類◎?qū)崝?shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)．◎?qū)崝?shù)的分類：·易錯點：實數(shù)的分類先判定是否大于0，決定其正負(fù)性，再看其屬性是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)還是無理數(shù).知識點10實數(shù)的性質(zhì)◎在實數(shù)范圍內(nèi)絕對值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣．實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離．◎?qū)崝?shù)a的絕對值可表示為|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是說實數(shù)a的絕對值一定是一個非負(fù)數(shù)，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），則x＝±a．◎?qū)崝?shù)的絕對值：正實數(shù)a的絕對值是它本身，負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0．◎乘積為1的兩個實數(shù)互為倒數(shù)，即若a與b互為倒數(shù)，則ab＝1；反之，若ab＝1，則a與b互為倒數(shù)，這里應(yīng)特別注意的是0沒有倒數(shù)．·易錯點：注意實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離，其具有非負(fù)性．知識點11實數(shù)與數(shù)軸◎?qū)崝?shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系．任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù)．?dāng)?shù)軸上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．◎在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數(shù)a的絕對值就是在數(shù)軸上這個數(shù)對應(yīng)的點與原點的距離．◎利用數(shù)軸可以比較任意兩個實數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而小．·示例：判斷題：任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示（√）.·易錯點：利用數(shù)軸進(jìn)行實數(shù)大小比較時注意帶有絕對值的實數(shù)，要先去絕對值再進(jìn)行比較.知識點12估算無理數(shù)的大小◎估算無理數(shù)大小要用逼近法．思維方法：用有理數(shù)逼近無理數(shù)，求無理數(shù)的近似值．知識點13實數(shù)的運算◎?qū)崝?shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進(jìn)行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方．◎在進(jìn)行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進(jìn)行．·示例：有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．.·易錯點：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準(zhǔn)確度．題型一平方根的概念以及求平方根解｜題｜技｜巧★一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)．【典例1】16的平方根是（

）．A．4 B．±8 C．2 D．±2【變式1】0.64的平方根是，14的算術(shù)平方根是，16的算術(shù)平方根的平方根是【典例2】一個正數(shù)的兩個平方根分別為m+1和m?3，求m和這個正數(shù)的值．【變式2】如果一個正數(shù)a的兩個平方根分別是2x?2和x?7，求a的值．題型二算術(shù)平方根的非負(fù)性應(yīng)用解｜題｜技｜巧【典例1】已知a+2+b?1=0，那么(a+b)A．?1 B．1 C．2 D．?2【變式1】若(m?3)2+n?2【變式2】已知：x?y+3與x+y?1互為相反數(shù)，求x+y的算術(shù)平方根題型三立方根概念以及求立方根解｜題｜技｜巧★正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.【典例1】若一個數(shù)的立方根是?32，則這個數(shù)是（A．?332 B．±332【變式1】?27125的立方根是，729的立方根是【變式2】已知4a+7的立方根是3，則a=．題型四利用平方根和立方根解方程解｜題｜技｜巧【典例1】用平方根或立方根解方程：(1)x2(2)8x?1【變式1】求下列各式中x的值：(1)x2(2)9x(3)4x?2(4)x?12【變式2】求下列各式中x的值(1)4x?1(2)1?2x+3題型五與平方根和立方根有關(guān)的規(guī)律解｜題｜技｜巧★規(guī)律題型先算出前面幾項的結(jié)果，進(jìn)一步通過計算結(jié)果進(jìn)行觀察和歸納，注意代入后面幾項驗證可行性．【典例1】若a1=1+112+122A．202220222023 B．202420232024 C．【變式1】請你觀察、思考下列計算過程：因為112=121?，所以?121=11，同樣，因為1112=12321，所以12321【變式2】觀察下列等式∶x1x2x3?；根據(jù)以上規(guī)律，計算x1+【變式3】觀察下表：a0.00010.01110010000a0.010.1110100(1)由上表你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用語言敘述這個規(guī)律：__________________；(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：已知5.217≈2.284則0.05217≈___________，?若x≈0.02284，則x≈(3)拓展提升：①已知30.000456≈0.07697，則②已知33≈1.442，題型六算術(shù)平方根與立方根的應(yīng)用解｜題｜技｜巧【典例1】若b=3a?15+15?3a+31，且a+11的算術(shù)平方根為m,4b+1的立方根為【變式1】已知一個正方體的體積是729cm3，現(xiàn)要在它的8個角上分別截去1個大小相同的小正方體，截去小正方體后余下部分的體積恰好是665cmA．6cm B．4cm C．2cm D．1【變式2】已知A=x?yx+y+3是x+y+3的算術(shù)平方根，B=x?2y+3x+2y是題型七無理數(shù)的定義與判斷解｜題｜技｜巧★常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.★無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果.【典例1】在下列實數(shù)中：38，0，16，?3.1415，3，π，227，0.3141141114…（每兩個4之間1的個數(shù)依次加1），無理數(shù)的個數(shù)是（A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1】下列說法正確的是（

）A．無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù) B．帶根號的數(shù)都是無理數(shù)C．無限小數(shù)都是無理數(shù) D．π是無理數(shù)，但π3【變式2】在①?52②π3③2④?116⑤3.14⑥0⑦2?1整數(shù)有____________；負(fù)分?jǐn)?shù)有____________；有理數(shù)有____________；正無理數(shù)有____________．題型八無理數(shù)的大小估算解｜題｜技｜巧★估算無理數(shù)的大小，可以先將原數(shù)平方，然后看看這個平方的數(shù)字在哪兩個平方數(shù)之間，就可以確定無理數(shù)在哪兩個整數(shù)之間.【典例1】估計26+2A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【變式1】已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)是?2，將點A在數(shù)軸上向右移動32個單位長度到達(dá)點B，點B表示的數(shù)為m，若a<m<a+1（a為整數(shù)），則a=【變式2】m、n為兩個連續(xù)的整數(shù)，且m<65<n，則【變式3】比較大?。??120.618（填空“>”，“<”，“題型九無理數(shù)的整數(shù)與小數(shù)部分解｜題｜技｜巧★按照無理數(shù)的估算原則即可得出整數(shù)部分，而小數(shù)部分則由原數(shù)減去整數(shù)部分即可得到.【典例1】規(guī)定用符號m表示一個實數(shù)m的整數(shù)部分，m表示一個實數(shù)m的小數(shù)部分，例如：3.14=3，3.14=0.14，按此規(guī)定11【變式1】下列說法正確的個數(shù)為（

）①在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②若6的整數(shù)部分是a，則3<a<4；③有公共頂點且相等的角是對頂角；④4的平方根是±2；⑤π，3，0.3030030003…（相鄰兩個3之間依次多一個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2】根據(jù)材料解答：∵4<5<9，即2<(1)11的整數(shù)部分是________；(2)若17的小數(shù)部分為m,11?1的整數(shù)部分為n，求【變式3】【閱讀理解】大家知道，2是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此2的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用2?1來表示2的小數(shù)部分，因為2【解決問題】(1)23的整數(shù)部分是______，小數(shù)部分是______；(2)若7+13=x+y，其中x是整數(shù)，且0<y<1，求題型十實數(shù)與數(shù)軸解｜題｜技｜巧★在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的總比左邊的大，在原點左側(cè)，絕對值大的反而?。镜淅?】已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示：試化簡：a2【變式1】（1）實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式a2如果7的小數(shù)部分為a，13的整數(shù)部分為b，求a+b?7【變式2】找出下列各數(shù)中的無理數(shù)，并在數(shù)軸上用點將它們表示出來：4【變式3】在一根長條紙帶上畫有一根數(shù)軸，現(xiàn)對折紙帶，回答問題：(1)若?2對應(yīng)的點與2對應(yīng)的點重合，則2對應(yīng)的點與數(shù)與______對應(yīng)的點重合．(2)若?1對應(yīng)的點與3對應(yīng)的點重合，則7對應(yīng)的點與哪個數(shù)對應(yīng)的點重合？?3題型十一實數(shù)的混合運算解｜題｜技｜巧★先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．★靈活的運用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準(zhǔn)確度．【典例1】計算：(1)?(2)?2【變式1】計算(1)?2(2)16+【變式2】計算：(1)?82(2)3?(3)?1205(4)52題型十二實數(shù)的新定義問題解｜題｜技｜巧★結(jié)合新定義的運算規(guī)則進(jìn)行計算.注意一些題可能要求分類討論．【典例1】對于一個正實數(shù)m，我們規(guī)定：用符號m表示不大于m的最大整數(shù)（m表示不大于m的最大整數(shù)），稱m為m的根整數(shù)，如：4=2，10=3．如果我們對m連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1為止．例如：對11連續(xù)求根整數(shù)2次，11①3+②a2③若方程12?x?x?3=1④進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運算后，結(jié)果為1的所有正整數(shù)m中，最大值與最小值之差為239．其中說法不正確的有（）A．① B．② C．③ D．④【變式1】對于任意的正數(shù)m、n定義運算“※”為m※n=m?n(m≥n)mA．3?2 B．3+2 C．3?1【變式2】一個四位正整數(shù)m各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同且都不為0，四位數(shù)m前兩位數(shù)字之和為4，后兩位數(shù)字之和為10，稱這樣的四位數(shù)m為“事實數(shù)”；把四位數(shù)m的前兩位上的數(shù)字和后兩位上的數(shù)字整體輪換后得到新的四位數(shù)m′，稱此時的m′是m的“伴隨數(shù)”，并規(guī)定Fm=m?m′99，例如：m=1234，∵1+2≠4，3+4≠10，∴1234不是“事實數(shù)”；m=3128，∵3+1=4，2+8=10，3128是“事實數(shù)”．則m′=2831，F(xiàn)m=3128?283199=3．已知：s=130+c，t=1004+100a+10b（0≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤5，其中a【變式3】定義新運算“⊕”如下：當(dāng)a≥b時，a⊕b=ab?a；當(dāng)a<b時，a⊕b=ab+a．按上述規(guī)定計算?2⊕?1題型十三實數(shù)運算的實際應(yīng)用解｜題｜技｜巧★這種題相對比較靈活審題就及其重要了．【典例1】在一次“冒險活動”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“寶藏”．他們一路披荊斬棘，終于來到了“寶藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他們遇到了一個難題，“寶藏”的位置由實數(shù)x決定，且滿足方程x?3=小明興奮地說：“我覺得x的值應(yīng)該是3+5小美思考片刻后說道：“不對，我覺得還有可能是另一個值．”那么小美所說的另一個值是（

）A．3?5 B．C．?3?5 【變式1】如果f(x)=x21+x2并且f1表示當(dāng)x=1時的值，即f1=12A．n+12 B．n?32 C．【變式2】如圖，數(shù)軸上A點表示的數(shù)是7，P是數(shù)軸上一動點．(1)在數(shù)軸上，把A點向左平移4個單位長度得到B點，求B點表示的數(shù)；(2)在（1）的條件下，若C點表示的數(shù)是B所表示數(shù)的相反數(shù)，求C點表示的數(shù)；(3)在（2）的條件下，若P點從A點向B點以每秒3個單位長度運動，到達(dá)B點后又向A運動，到達(dá)A后再向B運動，如此往復(fù)運動．問當(dāng)P點運動2026秒時，P點與C點的位置有什么關(guān)系？請說明理由．期中重難突破練（測試時間：10分鐘）1．定義新運算：加法運算法則：a,b+c,d=a+c,b+d，其中a，b，c，A．m=?4，n=?3B．m=4，n=3 C．m=?4，n=3 D．m=2，n=72．如圖是小江在電腦上設(shè)計的一個程序框圖，若輸入x的值為32，那么輸出的值為（

）A．22 B．2 C．2 D．3．已知y=x2?25x?4?A．2 B．4 C．6 D．無法確定4．比較大小，填“>”或“<”號，11911，3223，375．計算：(1)25+(2)?16．觀察等式：2+22=23?2，2+22+23=24?2，2+7．已知一個正數(shù)的兩個不同的平方根分別是2x?14和x+2，y+1的立方根為?3，m是17的整數(shù)部分，(1)求x和y的值；(2)求