專題2L2勾股定理十八大必考點

【人教版】

【考點1勾股數(shù)】..............................................................................1

【考點2勾股樹】..............................................................................2

【考點3利用勾股定理求兩點同距離】............................................................3

【考點4利用勾股定理求線段長度】.............................................................4

【考點5勾股定理中的分類討論】...............................................................4

【考點6勾股定理中的規(guī)律探究】...............................................................5

【考點7以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】...................................................6

【考點8利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）】...............................................7

【考點9利用勾股定理證明兩條線段的平方和（差）】.............................................9

【考點10利用勾股定理求面積】................................................................10

【考點11勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用】.............................................................10

【考點12勾股定理在翻折中的應(yīng)用】............................................................12

【考點13利用勾股定理求最值】................................................................13

【考點14勾股定理的證明】.....................................................................14

【考點15勾股定理與無理數(shù)】...................................................................17

【考點16判斷是否是直角三角形】..............................................................18

【考點17利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實際問題】..................................................19

【考點18利用勾股定理確定在幾何體中的最短距離】..............................................20

”小浮一次三

【考點1勾股數(shù)】

［例I］（2022?遼寧?興城市第二初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（填序號）.

①5,8,10：01.5,2,2.5：③32,42,52；④7,24,25：⑤遮，V4,V5

【變式1-1］（2022?黑龍江?肇東市第十中學(xué)八年級期中）若3,4,a是一組勾股數(shù)，則a=.

【變式1?2】（2022?河南安陽?八年級階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知以時，小明發(fā)現(xiàn)了?組有規(guī)律的勾股

數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中.

a68101214???

b815243548???

c1017263750???

則當(dāng)Q=24時，b+c的值為（）A.162B.200C.242D.288

【考點2勾股樹】

【例2】（2022?北京?前門外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是

正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、。、Z）的邊長分別是5、3、2、3,則最大正方形

￡的面積是（）

A.13B.26C.47D.94

【變式2-1］（2022?山東莉澤?八年級階段練習(xí)）閱讀材料：

分析探索題：細(xì)心觀察如圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題.

OA|=（2）2+4=85=2；

2

QA3=（V8）+4=12,S2==a=2\/2；

0A；=（V12）2+4=16,S3=~~=V12=2^3.....

（1）請用含有n（n為正整數(shù)）的等式Sn=；

（2）推算出OAio=；

（3）求出S：+S；+S專+??????SK的值.

【變式2-2］（2022?湖北?隨州市曾都區(qū)教學(xué)研究室八年級期末）如圖，正方形力8C0的邊長為1,其面積為

以C。為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2...,

按此規(guī)律繼續(xù)下去，則Si。。的值為（）

S

-------------

A囹9B.住聲c.（IfD.針?！?/p>

【變式2-3］（2022?山東?濟(jì)寧市兗州區(qū)東方中學(xué)八年級期中）有一個邊長為1的正方形，經(jīng)過一次“生長〃

后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次"生長"

后，變成了如圖，如果繼續(xù)"生長"下去，它將變得“枝繁葉茂〃，請你算出“生長〃了2021次后形成的圖形中

所有的正方形的面積和是（）

A.2022B.2021C.2020D.1

【考點3利用勾股定理求兩點間距離】

【例3】例022?河北邢臺?八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中,已知點［（一2,1）,點8（4,6）,點C（—4,2）,點。（2,3）,

則下列說法正確的是（）

A.AB=2CDB.BC=2ADC.AC=2BDD.BC=2CD

【變式3-1］（2022?吉林?大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校八年級階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點產(chǎn)（-1,2）到原點的

距離是_____________

【變式3-2］（2022?北京亦莊實驗中學(xué)八年級期末）平面直角坐標(biāo)系中兩點，其中點4的坐標(biāo)為（1,1）,點8的

坐標(biāo)為（4,5）,則力8兩點間的距離是.

【變式3?3】（2022?上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)八年級期末）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點A（犯0）、8（0,3）,且

AB=5,那么m的值是.

【考點4利用勾股定理求線段長度】

【例4】（2022?重慶八中八年級期末）如圖，在四邊形A8CQ中，LD=LACB=90°,AD=8,CD=6,

且四邊形48C。的面積為49,則A3的長為.

B

【變式4-1］（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，矩形"CD中，AD=8,AB=6,將矩形/1BCO繞點。順

時針旋轉(zhuǎn)得到矩形EFGD,邊BC與DE交于點、P,延長8C交FG于點Q,若BQ=2BP,則BP的長為.

【變式4-2］（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，在R/a4cB和m0OCE中，AC=BC=2,CD=CE,^CBD

=15°,連接AE,8。交于點F,則8〃的長為（）

A.2V2B.V2C.2V3D.V3

［考點5勾股定理中的分類討論】

【例5】（2022?山東?德州市第五中學(xué)八年級期中）已知△A6C中,48=17,AC=10,8c邊上的高AO=8,則

邊8c的長為（）

A.21B.6C.21或6D.21或9

【變式5-1］（2022?陜西榆林?八年級期中）已知直角三角形的兩邊長分別為3和5,求第三邊的長.

【變式5-2］（2022?安徽安慶?八年級期中）定義：如圖，點M,N把線段4B分割成三條線段力M,MN和BN,

若乩4M,MN,8N為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M,N是線段48的勾股分割點.若力Al=1,MN=

2,則8N的長為.

111I

AMNB

【變式5-3]（2022?云南?保山市第七中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在中，LACB=90°,AB=10cm,

AC=6cm,動點P從點8出發(fā)，沿射線8c以2cm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為心）.

⑴求AC邊的長.

⑵當(dāng)△A8P為直角三角形時，求/的值.

【考點6勾股定理中的規(guī)律探究】

【例6】（2022?河南濮陽?八年級期中）如圖，OP=1,過點P作PR_LOP,且PP]=1,得0匕=企：再

過點P1作P1P21OP1且P1P2=1，得0。2=6；又過點「2作P2P3，。22且P2P3=1，得。23=2...,依此法繼

續(xù)作下去，得。P2O22的值為（）

A.V2021B.V2022C.V2023D.V2024

【變式6-1]（2022?山東?濟(jì)南市章丘區(qū)寧家埠中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知是腰長為1的等腰直

角三角形，以RtiLABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰R/aACQ,再以RtaACZ）的斜邊A。為直角邊，畫

第三個等腰RtiMQE,…，依此類推，則第2022個等腰直角三角形的斜邊長是.

【變式6-2]（2022?湖北湖北?八年級期末）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-7）的會徽圖案，它是

由一串有公共頂點。的直角三角形（如圖2）演化而成的.如圖2中的。&=442=4243=”?47力8=1，

按此規(guī)律，在線段。4,OA2,。43,…?！Ｖ?，長度為整數(shù)的線段有（）條.

C.5D.6

【變式6-3]（2022?山東濟(jì)寧?一模）如圖甲，直角三角形48c的三邊小b,c，滿足片+/=M的關(guān)系.利

用這個關(guān)系，探究下面的問題：如圖乙，團(tuán)OAA是腰長為1的等腰直角二角形，0。4〃=90",延長OA至描,

使AB/=Q3以O(shè)B/為底，在團(tuán)。48外側(cè)作等腰直角三角形。1加“再延長。4/至生，使4&=。4，以

O所為底，在團(tuán)。4〃力外側(cè)作等腰直角三角形042比，…，按此規(guī)律作等腰直角三角形。4〃8〃（*1,〃為正

整數(shù)），則A282的長及國OA202/202/的面枳分別是（）

A.2,22°20B.4,22021C.2a,22020D.2,22019

【考點7以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】

【例7】（2022?黑龍江?綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校八年級期中）如圖,Rta45c中,AC=8cm,BC=6cm,EL4cB=90。,

分別以AB,BC,AC為直徑作三個半圓，則陰影部分的面積等于（）cm2

AB

A.18B.24C.36D.48

【變式7-1]（2022?廣東?東莞市南城開心實驗學(xué)校八年級期中）如圖，在心△ABC中，0C=9O\若止[5,

則正方形ADEC和正方形8CFG的面積和為（）

n

A.150B.200C.225D.無法計算

【變式7-2]（2022?河南?靈寶市實驗中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，以直角三角形的三邊mb,c為邊，向

外作正方形，等腰直角三角形，等邊三角形和半圓，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的圖形有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式7-3]（2022?浙江杭州?八年級期末）已知ZL4BC中,乙4cB=90。,如圖，作三個等腰直角三角形ZMCD,

AEAB,AFCB,AB,AC,BC為斜邊，陰影部分的面枳分別為品，S?,S3,S4.

（1）當(dāng)4）=6,8C=8時，

①求S的值：

②求S4-S2-S3的值；

（2）請寫出工，S2,S3,S4之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【考點8利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）】

【例8】（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，在AABC中，AB=6,AC=9,AD0BCTD,M為AD上任一點,

則MC2-MB2等于（）

M

A.29B.32C.36D.45

【變式8-1］（2022?河北?九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，CE平分NACB,CF平分△ABC的外角NACD,

且EF〃BC交AC于M,若CM=4,則CE?+CF2的值為（）

A.8B.16C.32D.64

【變式8-2］（2022?北京?首都師大二附八年級期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美〃四邊形，現(xiàn)有如

圖所示"垂美"四邊形48CD,對角線AC,8。交于點。，若48=6,CD=10,^iAD2+BC2=.

【變式8?3】（2022?陜西?咸陽市秦都區(qū)電建學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，射線？IM于點4、點C、B在力M、

AN上，。為線段AC的中點，且DE1BC于點E.

（1）若BC=10,直接寫出4c2+4B2的值；

（2）若AC=8,△4BC的周長為24,求△48C的面積；

（3）若力8=6,C點在射線/1M上移動，問此過程中，8小—CH的值是否為定值？若是，請求出這個定值;

若不是，請求出它的取值范圍.

【考點9利用勾股定理證明兩條線段的平方和（差）】

【例9】（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形A3CO中，班通4c交于點E.求證：AD2+BC2=AB2+CD2.

【變式9-1]（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，在中，（M=90°,D為斜邊8c中點，DE^DF,

求證：EF2=BE2+CF2.

A

【變式9?2】（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，在等腰RtMBC中，^ACB=90°,點。是48上一點,

⑴求證：^CEAKCDB；

(2)求證：BD2+AD2=DE2.

【變式9-3]（2022?福建?漳平市教師進(jìn)修學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC,

在Rt△力BD中，ZD=90°,AD與BC交于點E,且NDBE二-2DAB.求證:

c

A"

(1)Z.CAE=乙DBC；

(2)AC2+CE2=4BD2.

【考點10利用勾股定理求面積】

10]（2022?四川廣元?八年級期末）如圖，在四邊形4BCD中,Z.DAB=LBCD=90°,分別以四邊形

ABCO的四條邊為邊向外作四個正方形，面積分別為Si，52,S3,$4.若Si=48,S2+53=135,則二（）

【變式10-1】（2022?安徽?潛山市羅漢初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，點E是正方形A8CD內(nèi)一點，乙4EB=

90n.ZAE=2,BE=3,則正方形ASCD的面積為（）

A.10B.13C.36D.169

【變式10-2】（2022?廣東?河源市東華實驗學(xué)校八年級期中）已知直角三角形的三邊分別為7,Ti+l,n+2

（九+2是斜邊），則該三角形的面積為.

【變式10-3】（2022?全國,九年級專題練習(xí)）如圖，在直線/上依次擺放著7個正方形，斜放置的三個正方

形的面積分別是4,6,8,正放置的四個正方形的面積分別是Si，52,S3,54,則Si+$2+53+54=

【考點H勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用】

【例11】（2022?廣東?湛江市雷陽實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形變成都是

1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點按下列要求畫圖：

⑴畫一個三角形財8C,使它的三邊長分別為我，V5,3.

⑵求方格圖中所畫的的面積

【變式11-1】（2022?江西景德鎮(zhèn)?八年級期中）（1）已知△4BC三邊長分別為2VL<13,g,小迪在解

決這一問題時有以下思路：先畫如圖①的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為1）,再畫出格點三角形ABC,

利用外接長方形面積減去周圍三個直角三角形的面積，即可求出的面積.請你幫助小迪計算出△力

的面積;

（2）若ADEF三邊長分別為百a,VlOa,V13a,在圖②的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為c）中，畫出

格點二角形DER并求出△/）￡尸的面積;

（3）若△OPQ三邊長分別為2，舊+濘,V9m2+16n2,V?n24-36n2,在圖③的長方形網(wǎng)格（小長方形長

均為m,寬均為,）中,畫出格點三角形。PQ,并求出的面積.

【變式11-2】（2022?福建?莆田市城廂區(qū)南門學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖所示，正方形網(wǎng)格中的每個小正方

形邊長都是1,每個小格的頂點磯格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形.

①②

⑴使三角形的三邊長分別為3,2乃，V5（在圖①中畫一個即可）；

⑵使三角形為鈍角三角形，且面枳為6（在圖②中畫一個即可）.

【變式11-3】（2022?江西贛州?八年級期末）在8x8的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,僅用無刻度的

直尺完成以下作圖（保留必要的作圖痕跡）.

⑴在圖1中，畫一個面積為5的正方形.

⑵在圖2中，畫一個面積為2的正方形.

圖2

【考點12勾股定理在翻折中的應(yīng)用】

【例12】（2022?山東?濟(jì)南市章丘區(qū)寧家埠中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊

AC=6,BC=8.現(xiàn)將直角邊4c沿直線AQ折疊，使它落在斜邊A3上，且與A七重合，則CO的長為（）

A

【變式12-1】（2022?江蘇鎮(zhèn)江?八年級期中）如圖所示，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進(jìn)行兩次折疊,

得到直角三角形8EF,若BC=1，則4E的長度為（）

CDA1CDA'C

EB

(C)

A.V2-1C.V2

【變式12-2】（2022?江蘇?揚州市梅嶺中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，把矩形ABCO沿方折疊，使點C落在

點A處，點。落在點G處，若CD=2,AQ=3,則邊4E的長為

【變式12-3]（2022?山西?太原師范學(xué)院附屬中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，心財BC中，黜4C=90°,AC=8,

AB=6,。的AC,CD=gBC,DE=2,P是直線AC上一點，把（3COP沿。P所在的直線翻折后，點C落在直

線DE上的點”處，CP的長是.

【考點13利用勾股定理求最值】

【例13】（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，等邊△A3C的邊長為2,力。是邊3c上的中線，M是40上的

動點，E是邊力C上的中點，若｛E=l,求EM+CM的最小值為（）

A.1B.V2C.2D.V3

【變式13-1】（2022?廣東湛江?八年級期末）如圖心酎8。，Z-ACB=90°,A8=5,BC=3,若動點。在邊A8

上移動，則線段。尸的最小值是.

【變式13-2]（2022?江蘇?八年級專題練習(xí)）如圖，鐵路上4、8兩站相距8km,C、0為兩個村莊，ACLAB,

BDLAB,垂足分別為小B,己知力C=2km,BO=4km,現(xiàn)在要在鐵路45上修建一個中轉(zhuǎn)站R使得P到

C、。兩村的距離和最短.請在圖中畫出P點的位置，并求出PC+P。的最小值.

AB

JJ

C

I）

【變式13-3】（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，長方形紙片A8CD中，AB=3,8c=10,折疊紙片的一

邊AQ,使點。落在8C邊上的點尸處，AE為折痕，請回答下列問題：

（1）求線段。方的長度；

（2）若點P為線段AE上的一個動點，連接BP和尸P,則線段BP+”的最小值是.

【例14】（2022?安徽省安慶市外國語學(xué)校八年級期中）閱讀理解：

【問題情境】

教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1,利用此圖，可以驗證勾股定理嗎？

【探索新知】

從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：

大正方形的面積=小正方形的面積+4個直角三角形的面積

從而得數(shù)學(xué)等式：;（用含字母。、b、c的式子表示）

化簡證得勾股定理：/+/=。2

【初步運用】

（1）如圖1,若方=2小則小正方形面積：大正方形面積=；

（2）現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2,若。=4,人=6此時空白部分的面積為；

【遷移運用】

如果用三張含60。的全等三角形紙片，能否拼成一個特殊圖形呢？帶著這個疑問，小麗拼出圖3的等邊三角

形，你能否仿照勾股定理的驗證，發(fā)現(xiàn)含60。的三角形三邊〃、權(quán)。之間的關(guān)系，寫出此等量關(guān)系式及其推

導(dǎo)過程.

知識補(bǔ)充：如圖4,含60。的百角匚角形.已知丫=理

X2

b

【變式14-1】（2022?江蘇?八年級單元測試）（1）【閱讀】

公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系：在直角二角形中，兩

條直角邊的平方和等于.這個結(jié)論在中國稱之為“勾股定理”.

（2）【驗證】

我國三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽利用囚個全等的直角三角形拼成如圖1?的"弦圖〃（史稱“趙爽弦圖〃），其中四邊

形A8QE和四邊形CFG”都是正方形，巧妙地用面積法給出了勾股定理的證明過程，請你將他下面的證明

過程補(bǔ)充完整：

已知：RtMAC中，（L4CB=90o.AC=h,BC=a,AB=c.

求證：a2+b2=c

證明：由圖可知S正方形ABDE=4s6ABC+

回S正方形HBDE=02，S4ABC~，正?力杉"C7/G邊長為，

c2=4x4-（a-b）2=2ab+a2-2ab+b2

即=小+/.

（3）【操作】

如圖2,將等腰直角三角板八4。頂點人放在直線/上，過點8作BCJ.L,過點。作。砸/,垂足分別為C、E.

求證：CE=BC~\~DE.

（4）【發(fā)現(xiàn)】聰聰認(rèn)真觀察圖2后發(fā)現(xiàn)：如果設(shè)AC=b,BC=a,AB=c,此圖也可以利用面積法證明勾

股定理.請你幫聰聰完成證明過程.

（5）【拓展】

如圖3.將圖1中的這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長為24,0C

=3,直接寫出該飛鏢狀圖案的面積.

【變式14-2】（2022?貴州?仁懷市周林學(xué)校八年級階段練習(xí)）用四個全等的直角三角形拼成如圖①所示的

大正方形，中間也是一個正方形，它是美麗的弦圖，其中四個直角三角形的直角邊長分別為a,hCa<b）,

斜邊長為c.

⑴結(jié)合圖①，求證：a2+b2=c2；

⑵如圖②，將這四個全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形A8C。石FG，.若該圖形的

周長為48,0H=6.求該圖形的面積；

（3）如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接成正方形PQMN,記正方形PQMN、正方形ABC。、正方

形EFGH的面枳分別為工、S?、S3,S1+S2+S3=24,S2=.

【變式14-3】（2022?山東濟(jì)寧?八年級期中）如圖，點C在線段B/）上，ACLBD,。4=CD,點E在線段C4

上，且滿足DE=48,連接DE并延長交AB于點E

（1）求證：DE1AB,

⑵若已知8C=a,AC=b,AB=c,請借助本題提供的圖形，用等積法證明勾股定理a?+b?=。2.

（提示：用兩種不同的方法表示出△48。的面積）

【考點15勾股定理與無理數(shù)】

[ft151（2022?山東?青島超銀中學(xué)八年級期中）為了比較g與m+1的大小，可以構(gòu)造如圖所示的圖形

進(jìn)行推算，其中團(tuán)C=90。，8c=4,。在8C上，且CO=3,AC=1.通過計算可得g_g+l.（填”>〃

或"V"或"="）

【變式15-2]（2022?安徽黃山?八年級期末）如圖，在正方形網(wǎng)格口，每個小正方形邊長都為1,則網(wǎng)格上回ABC

中，邊長為無理數(shù)的邊長有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【變式15-3】（2022?江西?南昌市心遠(yuǎn)中學(xué)八年級期末）某課外學(xué)習(xí)小組在一次活動中.對如何畫出在數(shù)軸

上表示“土G（a>0的整數(shù)〃一類實數(shù)點的方法進(jìn)行如下探討：

A同學(xué)說：按照下圖可畫出表示（笫1個數(shù)）近（第2個數(shù)）6，（第3個數(shù)）VT5,（第n個數(shù)）的近點;

8同學(xué)說：我找到了表示一店，一唬，一g,一惱….一點的畫法，如圖2

/2\…

II」?」,1IY1a

-7""""~6~~5~4-312~~101

-V5

。同學(xué)說：以上兩位同學(xué)的方法都不能在數(shù)軸上畫出，表示百，夕等無理數(shù)點來.我可以在人同學(xué)的基礎(chǔ)上

完美地畫出表示“±8（a>0的整數(shù)）''型實數(shù)的點

問題

（1）按力同學(xué)的畫法，第4個數(shù)應(yīng)是.第〃個數(shù)是.

（2）請你在圖2上補(bǔ)回出表刁”我,—A/T5,—A/5U,+4的點;

（3）C同學(xué)說的更完美的方法你能畫出嗎?若能使用直尺和圓規(guī)在同一數(shù)軸上畫出表示：愿,通,夕的點來表

達(dá)其畫法，若不能請說明理由，

【考點16判斷是否是直角三角形】

【例16】（2022?全國?八年級單元測試）分別以下列四組數(shù)為一個三角形的邊長：（1）6、8、10,（2）5、

12、13,（3）8、15、17,（4）4、5、6,其中能構(gòu)成直角三角形的有（填序號）

【變式16-1】（2022?黑龍江綏化?八年級期末）已知，如圖，AB=3,AQ=4,BC=13,CD=12,且財=90°.

⑴求BD的長.

⑵判斷回3CQ是什么三角形，并說明理由？

【變式16-2】（2022?全國?八年級階段練習(xí)）如圖，在財中，CQM3于點。，AC=20,CZ）=12,BD=

9.

⑴求BC的長；

（2）求財3C的面枳；

⑶判斷刻8c的形狀.

【變式16-3】（2022?重慶?八年級期中）有一旅游景點C在一條筆直河流的一側(cè)，河邊有兩個碼頭力，8.并且

AB=AC,由于某種原因，由C到A的路已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊H點新建一個碼頭（點4H,B在

同一直線上），并新修一條筆直的公路CH,測得BC=10千米，CH=8千米，BH=6千米.

⑴判斷的形狀，并說明理日；

（2）求原路線4C的長.

【考點17利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實際問題】

【例17】（2022?山東德州?八年級期末）如圖，某自動感應(yīng)門的:E上方4處裝著一個感應(yīng)器，離地面的高度

48為2.5米，一名學(xué)生站在C處時，感應(yīng)門自動打開了，此時這名學(xué)生離感應(yīng)門的距離8c為1.2米，頭頂

離感應(yīng)器的距離AO為1.5米，則這名學(xué)生身高CO為（）米.

A.0.9B.1.3C.1.5D.1.6

【變式17-1】（2022?青海?大通回族土族自治縣東峽民族中學(xué)八年級期中）如圖，一根長18cm的牙刷置于

底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的長度為阮m,則〃的取值范圍是（）

B.5</2<6C.5</?<6D.4<//<5

【變式17-2】（2022?全國?八年級課時練習(xí)）如圖，在水塔。的東北方向24加處有一抽水站A,在水塔的東

南方向18〃[處有一建筑工地B,在AB間建一條直水管，則水管4B的長為（）

北

45mC.30/〃D.35，〃

【變式17-3]（2022?遼寧?沈陽市第七中學(xué)八年級期中）如圖，商場（點M）距公路（直線I）的距離（MA）

為3km.在公路上有一車站（點N）,車站距商場（NM）為4km.公交公司擬在公路上建一個公交車站停

靠站（點P）,要求?？空镜缴虉雠c到車站的距離相等，則?？空镜杰囌镜木嚯x（NP）的長為

【考點18利用勾股定理確定在幾何體中的最短距離】

【例16]（2022?貴州?興仁市屯腳鎮(zhèn)屯腳中學(xué)八年級階段練習(xí)）

⑴如圖1,長方體的長、寬、高分別為3m,2m,1m,如果用一根細(xì)線從點4開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到

達(dá)點C，那么所用細(xì)線最短需要m：

圖1

（2）如圖2,長方體的棱長分別為AB=8C=6cm,AAr=14cm,假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點G開始以lcm/s的

速度在盒子的內(nèi)部沿棱GC向下爬行，同時昆蟲乙從盒內(nèi)頂點/以相同的速度在盒內(nèi)壁的側(cè)面上爬行，那么

昆蟲乙至少需要多長時間才能捕捉到昆蟲甲？

圖2

【變式18-1】（2022?山東煙臺?七年級期末）如圖，在一個長為:18〃?，寬人。為的長方形草坪ABC。

上，放著一根長方體的木塊，已知木塊的較長邊與AQ平行，橫截是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點

A爬過木塊到達(dá)C處需要走的最短路程是米.

【變式18-2】（2022?新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)八年級期中）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）

的高為12cm,底面周長為10cm,在容器內(nèi)壁離容器底部2cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器

外壁，且離容器上沿2cm的點A處，則螞蚊吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）

A.13cmB.2V61cmC.2百cmD.2V41cm

【變式18-3】（2022?甘肅?北京師范大學(xué)慶陽實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）圖，長方體的長為8,寬為10,高

為6,點4離點C的距離為2,一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點8,需要爬行的最短距離是

A.2聞B.2病C.6\/5D.872

專題2L2勾股定理十八大必考點

【人教版】

【考點1勾股數(shù)1..................................................................................................................1

【考點2勾股樹】...............................................................................2

【考點3利用勾股定理求兩點間距離】...........................................................3

【考點4利用勾股定理求線段長度】.............................................................4

【考點5勾股定理中的分類討論】................................................................4

【考點6勾股定理中的規(guī)律探究】...............................................................5

【考點7以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】...................................................6

【考點8利用勾股定理求兩條線段的平方和(差)】...............................................7

【考點9利用勾股定理證明兩條線段的平方和(差)】............................................9

【考點10利用勾股定理求面積】.................................................................10

【考點11勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用】.............................................................10

【考點12勾股定理在翻折中的應(yīng)用】.............................................................12

【考點13利用勾股定理求最值】.................................................................13

【考點14勾股定理的證明】.....................................................................14

【考點15勾股定理與無理數(shù)】...................................................................17

【考點16判斷是否是直角三角形】...............................................................18

【考點17利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實際問題】..................................................19

【考點18利用勾股定理確定在幾何體中的最短距離】.............................................20

審*三

【考點1勾股數(shù)】

【例I】(2022?遼寧?興城市第二初級中學(xué)八年級階段練習(xí))下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是

(填序號).

①6,8,10；(2)1.5,2,2.5；@32,42,52；④7,24,25；⑤V5,4,V5

【答案】①④##④①

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的特點判斷即可.

【詳解】①.62+82=102,是勾股數(shù)；

②.1.5,2,2.5中，152.5不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)；

③.(32)2+(42)2^(52)2,不是勾股數(shù)；

④.72+242=252,是勾股數(shù)；

⑤.(V3)2+(V4)2=(V5)2,且次，石不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù).

故答案為：①④.

【點睛】本題考查了勾股數(shù)，解答此題要深刻理解勾股數(shù)的定義，并能夠熟練運用.必須根

據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證較小兩數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方.

【變式1-1］（2022?黑龍江?肇東市第十中學(xué)八年級期中）若3,4,〃是一組勾股數(shù)，則a

*

【答案】5

【分析】分。為最長邊，4為最長邊兩種情況討論，根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩

小邊的平方和是否等于最長邊的平方.

【詳解】解：①。為最長邊，所所彳=5,三邊是整數(shù)，能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意.

②4為最長邊,a際二孕二5，不是正整數(shù)，不符合題意：

故答案為5.

【點睛】此題考查勾股數(shù)，解題關(guān)鍵在于掌握勾股定理的運算公式.

【變式1-2］（2022?河南安陽?八年級階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)〃的知識時，小明發(fā)現(xiàn)了一組

有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中.

a68101214???

b815243548???

c1017263750.??

則當(dāng)Q=24時，b+c的值為（）A.162B.200C.242D.288

【答案】D

【分析】先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出b、c的值，再求出答案即可.

【詳解】解：從表中可知:a依次為6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,即24=

2x（10+2）,

匕依次為8,15,24,35,48,...?即當(dāng)a=24時，b=122-l=143,

c依次為10,17,26,37.50,...?即當(dāng)a=24時，c=122+1=145,

所以當(dāng)a=24時，b+c=143+145=288.

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股數(shù)，能根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出6=8+2）2-1,c=S+2）2+l是解

此題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2022?全國?八年級專題練習(xí)）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、

弦五

觀察：3、4、5：5、12、13；7、24、25；9、40、41：發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，

且從3起就沒有間斷過.

（1）請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：；

（2）若第一個數(shù)用字母（〃為奇數(shù)，且〃23）表示，那么后兩個數(shù)用含〃的代數(shù)式分別表

示為?

【答案】11,60,61。和子

【分析】（1）分析所給四組的勾股數(shù)團(tuán)3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41,可

得下一組勾股數(shù)：11、60、61；

（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之

【詳解】解：（1）EH2+602=3721=612,

團(tuán)下一組勾股數(shù)為：11、60、G1；

故答案為：11，60,61.

（2）后兩個數(shù)表小為"21和"J，

2./n2-l\22.n4-2n2+ln4+2n2+l

/n2+l\2n4+2n2+l

（—J

甌2+"）2=

X0n>3,且九為奇數(shù)，

團(tuán)由〃，早，哼1三個數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù).

故答案為：子和子.

【點睛】此題考查了勾股數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進(jìn)

行猜想、證明即可.

【考點2勾股樹】

【例2】（2022?北京?前門外國語學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所

有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形人、8、C、。的邊長分

別是5、3、2、3,則最大正方形E的面積是（）

A.13B.26C.47D.94

【答案】C

【分析】設(shè)正方形A,C。的邊長依次為〃.h,ad.鄰近人的正方形邊長為。,鄰近

。的正方形邊長為了,最大正方形的邊長為g,根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理依次汁算

即可.

【詳解】如圖，設(shè)正方形A,B,C,。的邊長依次為小b,c,d,鄰近4的正方形邊長為

e,鄰近。的正方形邊長為力最大正方形的邊長為g,且。=5,b=3,c=2,d=3,所有的三

角形都是直角三角形.

所以a?+b2=e2,c2+d2=f2,e2+f2=g2?

所以g?=a2+b2+c2+d2

=52+32+22+32

=47,

故選C.

【點睛】本題考查了正方形的面積和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2022?山東荷澤?八年級階段練習(xí))閱讀材料：

分析探索題：細(xì)心觀察如圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題.

OA1=(2尸+4=85=2；

QA|=(V8)2+4=12,S?==V8=2^2；

OAj=(V12)2+4=165=^=V12=2V3……

(1)請用含有n(n為正整數(shù)〕的等式Sn=；

(2)推算出OAio=；

(3)求出S存+S,+S々+…...S，。的值.

【答案】(1)2Vn；(2)2V10；(3)220.

【分析】(1)S1=2,S2=2V2,S3=2V3,觀察規(guī)律得出Sn即可；

(2)0A1=(2)2+4=8.QA]=(2&『+4=12,0A：=(26『+4=16,觀察規(guī)律得

出OAfo,在算出OA10即可;

(3)根據(jù)上面Sn的規(guī)律，分別算出平方加起來即可.

【詳解】(1)0St=2,S2=25/2,S3=2V3,

團(tuán)觀察規(guī)律得出Sn=2VE；

(2)aOAj-(2)2+4-8；

2

QA專=(2V2)+4=12；

OA%=(2⑹2+4=16；

2

則OAK=(2百)+4=40,OAlo=2\/10

(3)由上面Sn=2?,

則S：+S9+S/+…...SK

222

二22十<2夜)+(2\f3)十……<2^10；

=4+8+12+…...40

=(4+40)X104-2

=220

【點睛】此題考查了勾股定理、算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是觀察題中給出的結(jié)論，由此結(jié)論

找出規(guī)律進(jìn)行計算，千萬不可盲目計算.

【變式2?2】(2022?湖北隨州市曾都區(qū)教學(xué)研究室八年級期末)如圖，正方形48。。的邊長

為1,其面積為5],以CO為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊

向外作正方形，其面積記為S2…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則I。。的值為()

A.囹9