水是生命之源，我們常說“每天要喝8杯水”，但如果杯子形狀不同，水量也會變化。今天我們用數(shù)學(xué)知識計算一下，如果使用這種紙杯喝水，每天至少需要喝多少杯才能達到健康飲水量？(成年人每日飲水量大約1500-2500毫升)圓臺的體積創(chuàng)設(shè)情境引出課題

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球

表面積和體積人教A版必修二

第八章立體幾何初步

溫故舊知知識銜接空間幾何體多面體旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征直觀圖斜二測畫法柱體、錐體、臺體球表面積體積現(xiàn)實世界中的物體抽

象多面體棱柱棱臺棱錐幾何體表面積體積

S表=S側(cè)+S底圍成它們的各個面的面積之和

上底面擴大

上底面縮小

溫故舊知知識銜接立體圖形平面化

變化與聯(lián)系問題1：你能畫出圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖嗎？類比棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計算方法，嘗試寫出圓柱、圓錐、圓臺的表面積，完成下表：動手實踐探究發(fā)現(xiàn)圓柱圓錐圓臺底面半徑r，母線長l底面半徑r，母線長l上、下底面半徑r'，r，母線長l底面積：S底=

；側(cè)面積：S側(cè)=

；表面積：S表=

；2πr22πrl2πr（r+l）底面積：S底=

；側(cè)面積：S側(cè)=

；表面積：S表=

；πr2πrlπr（r+l）底面積：S上底=

；S下底=

；側(cè)面積：S側(cè)=

；表面積：S表=

；πr'2πr22πr動手實踐

請大家利用手中的紙杯，將它抽象為圓臺，先去掉紙杯的底面，將紙杯沿著一條母線剪開，你發(fā)現(xiàn)了什么？動手實踐探究發(fā)現(xiàn)扇環(huán)探究發(fā)現(xiàn)建構(gòu)新知問題2：圓臺的側(cè)面積如何計算？表面積：S表＝π(r'2＋r2＋r'l+rl)扇形的面積公式：S扇=lr=αr2（l是扇形弧長,r是半徑）方法：補形法轉(zhuǎn)化為

圓錐由相似可知，所以，S側(cè)=S大錐側(cè)－S小錐側(cè)

=πr（l+l'）－πr'l'=πrl+πl(wèi)'（r－r'）=πrl+π（r－r'）=πrl+πr'l設(shè)小圓錐的母線長為l'，

圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式之間有什么關(guān)系？你能用圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？思考探究發(fā)現(xiàn)建構(gòu)新知圓柱圓臺r=r'上底擴大r'=0上底縮小上底面與下

底面全等上底面縮小為一個點圓錐

變化與聯(lián)系問題3：以前學(xué)習(xí)過圓柱、圓錐的體積，圓柱、圓錐的體積是什么？rlOO'hOSlrh(r是底面半徑，h是高，l是高)探究發(fā)現(xiàn)建構(gòu)新知問題4：圓臺是由圓錐截成的，如何利用圓錐的體積公式推導(dǎo)出圓臺的體積？探究發(fā)現(xiàn)建構(gòu)新知SA'ArO'Or'lhh'(r′、r分別是上、下底面半徑，h是圓臺的高)轉(zhuǎn)化為

圓錐設(shè)h'是小圓錐的高

圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間有什么關(guān)系？你能用圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？思考探究發(fā)現(xiàn)建構(gòu)新知圓柱rlOO'rO'Or'l圓臺OSlr圓錐r=r'上底擴大r'=0上底縮小

上底面與下底面全等上底面縮小為一個點

結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺和圓柱、圓錐、圓臺的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成柱體、錐體、臺體的體積公式嗎？柱體、錐體、臺體的體積公式之間有怎樣的關(guān)系？

思考柱體錐體臺體S=S'S'=0探究發(fā)現(xiàn)建構(gòu)新知事實上，如果球的半徑為R，那么它的表面積是O探究發(fā)現(xiàn)建構(gòu)新知球的表面積公式設(shè)球的半徑為R，它的表面積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù).

小學(xué),我們學(xué)習(xí)了圓的面積公式，你還記得是如何得到圓的面積公式的?思考

我們把一個半徑為R的圓分成若干等分，然后重新拼接起來，圓近似的看成是邊長分別是πR和R的矩形。割圓術(shù)探究發(fā)現(xiàn)建構(gòu)新知割圓術(shù)探究發(fā)現(xiàn)建構(gòu)新知割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無所失矣”。這是世界上最早的“極限”思想?；鸀橹?/p>

類比這種方法，你能用圓面積公式推導(dǎo)過程中應(yīng)用的思想方法，嘗試推導(dǎo)出球的體積公式?思考?分割將球O的表面分成n個小網(wǎng)格，連接球心O和每個小網(wǎng)格的頂點，將整個球體分割成n個“小錐體”．?近似替代．當(dāng)n越大時，每個小網(wǎng)格就越小，每個“小錐體”的底面就越平，就越近似于棱錐，棱錐的高近似于球半徑R．設(shè)O-ABCD是其中一個“小錐體”，則它的體積是探究發(fā)現(xiàn)建構(gòu)新知?近似求和這n個“小錐體”的體積之和是球的體積，而這n個“小錐體”的底面積之和就是球的表面積4πR2．因此球的體積：探究發(fā)現(xiàn)建構(gòu)新知探究發(fā)現(xiàn)建構(gòu)新知球的體積公式在推導(dǎo)球的體積公式過程中經(jīng)歷了“分割、求近似值、再由近似和轉(zhuǎn)化為球體的體積”體現(xiàn)了一種極限思想方法。類比例1

已知圓臺紙杯的上底直徑為8cm，下底直徑為5cm，高為8cm,求這個圓臺紙杯的體積.解:由題知，設(shè)圓臺的上底的半徑為r，下底的半徑為r'，高為h，則r=4，r'=2.5，h=8,rO'Or'h∵∴若π≈3.14，則紙杯體積是270.04cm3，此時，按照人體每日飲水量大約1500毫升，1500÷270.04≈6,每日至少需要喝6杯。運動后需額外補充。應(yīng)用實踐鞏固提升若π≈3.14，每日至少喝多少杯？解：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，則：變式：求球與圓柱的表面積之比.你有什么發(fā)現(xiàn)呢？例2如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比.應(yīng)用實踐鞏固提升圓柱容球定理在圓柱容球中（此時圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑），球的體積恰好是圓柱體積的2/3

，球的表面積也是圓柱表面積的2/3

。

應(yīng)用實踐鞏固提升圓柱、圓錐、圓臺、球表面積柱體、錐體、臺體公式關(guān)系圓柱、圓錐、圓臺、球體積思想與方法知識數(shù)形結(jié)合運動變化特殊到一般類比、極限回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，在推導(dǎo)圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積時蘊含了哪些數(shù)學(xué)思想與方法？應(yīng)用數(shù)學(xué)家的精神——積極探索，勇攀高峰課堂小結(jié)反思升華轉(zhuǎn)