蘇教版高二數(shù)學(xué)寶典_等比數(shù)列要點梳理與解題技巧深度解析一、引言在蘇教版高二數(shù)學(xué)的知識體系中，等比數(shù)列是數(shù)列這一板塊的重要內(nèi)容，它與等差數(shù)列共同構(gòu)成了數(shù)列知識的核心框架。等比數(shù)列不僅在數(shù)學(xué)理論中有著重要的地位，而且在實際生活和其他學(xué)科領(lǐng)域中也有廣泛的應(yīng)用。深入理解等比數(shù)列的概念、性質(zhì)和解題技巧，對于高二學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，提升邏輯思維能力和解決實際問題的能力都有著至關(guān)重要的作用。本文將對蘇教版高二數(shù)學(xué)中等比數(shù)列的要點進(jìn)行全面梳理，并深度解析其解題技巧。二、等比數(shù)列的定義與基本概念（一）定義如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母\(q\)表示（\(q\neq0\)）。用數(shù)學(xué)語言表示為：對于數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)，若\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q\)（\(n\inN^{}\)，\(q\)為常數(shù)且\(q\neq0\)），則\(\{a_{n}\}\)是等比數(shù)列。例如，數(shù)列\(zhòng)(2,4,8,16,32,\cdots\)，因為\(\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\frac{16}{8}=\frac{32}{16}=2\)，所以該數(shù)列是公比\(q=2\)的等比數(shù)列。（二）等比中項如果在\(a\)與\(b\)中間插入一個數(shù)\(G\)，使\(a\)，\(G\)，\(b\)成等比數(shù)列，那么\(G\)叫做\(a\)與\(b\)的等比中項。根據(jù)等比數(shù)列的定義可得\(\frac{G}{a}=\frac{G}\)，即\(G^{2}=ab\)（\(ab\gt0\)），所以\(G=\pm\sqrt{ab}\)。例如，\(2\)和\(8\)的等比中項\(G=\pm\sqrt{2\times8}=\pm4\)。需要注意的是，只有同號的兩個數(shù)才有等比中項，且等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)。三、等比數(shù)列的通項公式與性質(zhì)（一）通項公式設(shè)等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的首項為\(a_{1}\)，公比為\(q\)，則其通項公式為\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)（\(n\inN^{}\)）。推導(dǎo)過程如下：根據(jù)等比數(shù)列的定義，\(a_{2}=a_{1}q\)，\(a_{3}=a_{2}q=a_{1}q\cdotq=a_{1}q^{2}\)，\(a_{4}=a_{3}q=a_{1}q^{2}\cdotq=a_{1}q^{3}\)，以此類推，可得\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)。通項公式的變形：\(a_{n}=a_{m}q^{n-m}\)（\(n,m\inN^{}\)），這一變形在已知等比數(shù)列中某一項和公比，求其他項時非常有用。例如，已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=12\)，\(q=2\)，則\(a_{5}=a_{3}q^{5-3}=12\times2^{2}=48\)。（二）性質(zhì)1.若\(m+n=p+q\)（\(m\)，\(n\)，\(p\)，\(q\inN^{}\)），則\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)證明：設(shè)等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的首項為\(a_{1}\)，公比為\(q\)，則\(a_{m}=a_{1}q^{m-1}\)，\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)，\(a_{p}=a_{1}q^{p-1}\)，\(a_{q}=a_{1}q^{q-1}\)。所以\(a_{m}a_{n}=a_{1}^{2}q^{m+n-2}\)，\(a_{p}a_{q}=a_{1}^{2}q^{p+q-2}\)，因為\(m+n=p+q\)，所以\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)。例如，在等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{2}a_{6}=16\)，因為\(2+6=4+4\)，所以\(a_{2}a_{6}=a_{4}^{2}=16\)，則\(a_{4}=\pm4\)。2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，每隔\(k\)項取出一項，按原來的順序排列，所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為\(q^{k+1}\)例如，等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的公比為\(q\)，則\(a_{1}\)，\(a_{k+1}\)，\(a_{2k+1}\)，\(\cdots\)構(gòu)成的新數(shù)列，其公比為\(\frac{a_{k+1}}{a_{1}}=\frac{a_{1}q^{k}}{a_{1}}=q^{k}\)。3.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)與\(\{b_{n}\}\)均為等比數(shù)列，則\(\{a_{n}b_{n}\}\)與\(\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}\)（\(b_{n}\neq0\)）也為等比數(shù)列設(shè)數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的公比為\(q_{1}\)，數(shù)列\(zhòng)(\{b_{n}\}\)的公比為\(q_{2}\)，則\(\frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_{n}b_{n}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\cdot\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=q_{1}q_{2}\)，所以\(\{a_{n}b_{n}\}\)是公比為\(q_{1}q_{2}\)的等比數(shù)列；同理\(\frac{\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}}{\frac{a_{n}}{b_{n}}}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\cdot\frac{b_{n}}{b_{n+1}}=\frac{q_{1}}{q_{2}}\)（\(q_{2}\neq0\)），所以\(\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}\)是公比為\(\frac{q_{1}}{q_{2}}\)的等比數(shù)列。四、等比數(shù)列的前\(n\)項和公式（一）公式推導(dǎo)設(shè)等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的首項為\(a_{1}\)，公比為\(q\)，其前\(n\)項和為\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}\)。當(dāng)\(q=1\)時，\(a_{n}=a_{1}\)，則\(S_{n}=a_{1}+a_{1}+\cdots+a_{1}=na_{1}\)。當(dāng)\(q\neq1\)時，\(S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots+a_{1}q^{n-1}\)①\(qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots+a_{1}q^{n-1}+a_{1}q^{n}\)②由①-②得：\(S_{n}-qS_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}\)，即\(S_{n}(1-q)=a_{1}(1-q^{n})\)，所以\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}\)（\(q\neq1\)）。綜上，等比數(shù)列的前\(n\)項和公式為\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},&q=1\\\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1-q},&q\neq1\end{cases}\)（二）公式應(yīng)用例如，求等比數(shù)列\(zhòng)(1\)，\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{4}\)，\(\cdots\)的前\(5\)項和。已知\(a_{1}=1\)，\(q=\frac{1}{2}\)，\(n=5\)，因為\(q\neq1\)，所以根據(jù)\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}\)可得：\(S_{5}=\frac{1\times\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\right]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1-\frac{1}{32}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{31}{32}}{\frac{1}{2}}=\frac{31}{16}\)五、等比數(shù)列的解題技巧深度解析（一）利用定義和性質(zhì)解題在解決等比數(shù)列的問題時，要充分利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)。例如，已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}a_{7}=64\)，\(a_{4}+a_{6}=20\)，求\(a_{10}\)。根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)\(a_{3}a_{7}=a_{4}a_{6}=64\)，又\(a_{4}+a_{6}=20\)，則\(a_{4}\)，\(a_{6}\)是方程\(x^{2}-20x+64=0\)的兩個根。解這個方程\((x-4)(x-16)=0\)，得\(x=4\)或\(x=16\)。當(dāng)\(a_{4}=4\)，\(a_{6}=16\)時，\(q^{2}=\frac{a_{6}}{a_{4}}=4\)，則\(q=\pm2\)。若\(q=2\)，\(a_{10}=a_{6}q^{4}=16\times16=256\)；若\(q=-2\)，\(a_{10}=a_{6}q^{4}=16\times16=256\)。當(dāng)\(a_{4}=16\)，\(a_{6}=4\)時，\(q^{2}=\frac{a_{6}}{a_{4}}=\frac{1}{4}\)，則\(q=\pm\frac{1}{2}\)。若\(q=\frac{1}{2}\)，\(a_{10}=a_{6}q^{4}=4\times\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\)；若\(q=-\frac{1}{2}\)，\(a_{10}=a_{6}q^{4}=4\times\frac{1}{16}=\frac{1}{4}\)。（二）錯位相減法求前\(n\)項和當(dāng)?shù)缺葦?shù)列與等差數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的新數(shù)列求前\(n\)項和時，通常使用錯位相減法。例如，求數(shù)列\(zhòng)(\{n\cdot2^{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}\)。\(S_{n}=1\times2^{1}+2\times2^{2}+3\times2^{3}+\cdots+n\times2^{n}\)①\(2S_{n}=1\times2^{2}+2\times2^{3}+\cdots+(n-1)\times2^{n}+n\times2^{n+1}\)②由①-②得：\(-S_{n}=2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}-n\times2^{n+1}\)其中\(zhòng)(2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}\)是首項為\(2\)，公比為\(2\)的等比數(shù)列的前\(n\)項和，根據(jù)等比數(shù)列前\(n\)項和公式可得\(2^{1}+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{n}=\frac{2(1-2^{n})}{1-2}=2^{n+1}-2\)。所以\(-S_{n}=2^{n+1}-2-n\times2^{n+1}=(1-n)2^{n+1}-2\)，則\(S_{n}=(n-1)2^{n+1}+2\)。（三）方程思想的應(yīng)用在等比數(shù)列中，通常涉及到首項\(a_{1}\)、公比\(q\)、項數(shù)\(n\)、第\(n\)項\(a_{n}\)和前\(n\)項和\(S_{n}\)這五個基本量，只要知道其中的三個量，就可以通過等比數(shù)列的通項公式和前\(n\)項和公式列出方程（組），求出另外兩個量。例如，已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=2^{n}+k\)，求\(k\)的值。當(dāng)\(n=1\)時，\(a_{1}=S_{1}=2+k\)；當(dāng)\(n\geq2\)時，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2^{n}+k-(2^{n-1}+k)=2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}\)。因為\(\{a_{n}\}\)是等比數(shù)列，所以\(n=1\)時也應(yīng)滿足\(a_{n}=2^{n-1}