專題8填空題壓軸題之動點問題（原卷版）

模塊一2022中考真題訓練

類型一用函數(shù)觀點描述幾何圖形

1.（2023?煙臺）如圖1,ZVIBC中，N48C=60°,。是8c邊上的一個動點（不與點8,。重合），DE//

AB,交AC于點、E,EF//BC,交AB于點F.設8D的長為以四邊形BDEF的面積為y,y與x的函數(shù)

圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點P的坐標為（2,3）,則4B的長為.

2.（2023?營口）如圖1,在四邊形48CD中，BC//AD,ZD=90°,ZA=45°,動點P,。同時從點A

出發(fā)，點P以或C77而的速度沿A8向點B運動（運動到B點即停止），點。以2cm/s的速度沿折線AD-

DC向終點C運動，設點Q的運動時間為x（$）,2X4。。的面積為），（。層），若），與工之間的函數(shù)關系的

圖象如圖2所示，當A-（$）時，則y=cni1.

3.（2023?湖北）如圖1,在△ABC中，/8=36°,動點P從點A出發(fā)，沿折線C勻速運動至點C

停止.若點尸的運動速度為15心，設點P的運動時間為f（s）,AP的長度為y（cm）,y與/的函數(shù)圖象

如圖2所示.當八戶恰好平分/MCH'J/的值為

類型二三角形、多邊形上的動點問題

4.（2023?遵義）如圖，在等腰直角三角形A8C中，N/MC=90°,點M,N分別為8C,AC上的動點，且

AN=CM,AB=V2.當AM+8V的值最小時，CM的長為

5.（2U23?黃石）如圖，等邊△AHC中，A8=l。，點七.為高上的一動點，以6片為邊作等邊△打上?，連

接。F,CF,則N5C/=,尸B+尸。的最小值為.

6.（2023?廣州）如圖，在矩形46co中，8c=2AB,點〃為邊A。上的一個動點，線段8。繞點8順時針

旋轉(zhuǎn)60°得到線段8P',連接PP',CP'.當點P'落在邊BC上時，ZPP'C的度數(shù)為；當

線段CP'的長度最小時，/尸P'C的度數(shù)為.

7.（2023?柳州）如圖，在正方形A8CO中，A8=4,G是BC的中點，點E是正方形內(nèi)一個動點，且EG=

2,連接。E,將線段OE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段。F,連接C凡則線段C尸長的最小值為.

8.（2023?遼寧）如圖，在RtZXA5c中，ZACB=90°,ZB=60°,3c=2,點夕為斜邊A4上的一個動點

（點。不與點A、3重合），過點。作PO_LAC,PELBC,垂足分別為點。和點￡,連接PC交于

點Q，連接AQ，當△4PQ為直角三角形時，AP的長是.

9.（2023?陜西）如圖，在菱形A8C。中，AB=4,80=7.若M、N分別是邊A。、8C上的動點，且AM=

BN,作MELB。,NF工BD,垂足分別為E、F,則ME+NF均值為

10.（2023?盤龍區(qū)）如圖，已知四邊形4BCD中,AB=lOcw,BC=8cm,CD=\2cm,NB=NC,點E為

4B的中點.如果點P在線段BC上以3cm/s的速度沿B-C-B運動，同時，點。在線段C。上由C點

向D點運動.當點Q的運動速度為cm/s時，能夠使△BPE與△CQP全等.

類型三有關圓的動點問題

11.（2023?寧波）如圖，在△A8C=，AC=2,BC=4,點。在8c上，以。8為半徑的圓與AC相切于點A.D

是BC邊上的動點，當△AC。為直角三角形時，人D的長為.

12.（2023?東城區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系xO.y中，點A與點8的坐標分別是（1,0）與（7,0）.對

于坐標平面內(nèi)的一動點P,給出如下定義：若NAP8=45°,則稱點P為線段A8的“等角點”.

①若點P為線段AB在笫一象限的“等角點”，且在直線x=4上，則點。的坐標為：

②若點P為線段43的“等角點”，并且在），軸正半軸上，則點P的坐標為.

模塊二2023中考押題預測

13.（2023?駐馬店二模）如圖，四邊形A8C。中，AB//CD,ZABC=60°,AO=8C=CO=4,點M是四

邊形48CQ內(nèi)的一個動點，滿足/4"。=90°,則點M到直線8c的距離的最小值為.

14.（2023?普定縣模擬）如圖，點M是/AOB平分線上一點，/AO8=60°,MELOATE,OE=巫,如

果〃是（小上一動點，則線段仞產(chǎn)的取值范圍是.

15.（2023?徐州二模）如圖，在等邊三角形A8C中，48=2,點。，E,F分別是邊8C,AB,AC邊上的動

點，則△/）￡：/周長的最小值為.

16.（2023?仁懷市模擬）如圖，在RtZXA3c中，ZC=90°,NA=30°,A4=8,點。為邊A3的中點,

點P為邊AC上的動點，則尸。+尸。的最小值為.

17.（2023?亭湖區(qū)校級三模）在平面直角坐標系中，A（3,3）,B（6,0）,點￡>、E是OB的三等分點，點

P是線段上的一個動點，若只存在唯一一個點P使得P/>PE=m則。需滿足的條件是：.

18.（2023?夏邑縣校級模擬）如圖，在等腰三角形/WC中，ZA=3（）°,8C=2,點。為八。的中點，點、E

為邊48上一個動點，連接?！挈cA關于直線?！甑膶ΨQ點為點凡分別連接OREF,當E凡LAC時，

AE的長為.

c

19.（2023?新昌縣模擬）在△ABC中，NA=60°,點P和點。分別是邊AC和8c上的兩個動點，分別連

結(jié)BP和尸Q.把△ABC分割成三個三角形.若分割成的這三個三角形都是等腰三角形，則NABC的度數(shù)

20.（2023?新化縣一模）已知在RiZkABC中，NC=90°,ZABC=15°,A8=5.點￡為邊AC上的動點,

點尸為邊A8上的動點，則線段/E+E8的最小值是.

21.（2023?順城區(qū)模擬）如圖，在□△ABC中，N4CB=90°,NA=30°,AC=6,點M是射線AC上的

一個動點，MC=l,連接8M,以A8為邊在A8的上方作直線BE交AC的延長線于點

F,則CF=.

23.（2023?碧江區(qū)一模）如圖，在△ABC中，48=6,BC=7,AC=4,直線/〃是△ABC中8c邊的垂直平

AC1

24.（2023?撫順縣二模）如圖，在RtZXAB。中，NO84=90°,A（4,4）,點C在邊A3上，且九=不

CB3

點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當點P在04上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P

的坐標為

25.（2023?德?？h二模）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB是邊長為4的等邊三角形，。。是A8邊上的

高，點P是0。上的一個動點，若點C的坐標是（0,-V3）,則以+PC的最小值是.

26.（2023?元寶區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，NC=90°,AC=6,8c=8,動點戶從點8出發(fā)以每秒

1個單位長度的速度沿B-A勻速運動；同時點Q從點A出發(fā)以同樣的速度沿A-C-8勻速運動.當點

P到達點A時，P、。同時停止運動，設運動時間為，秒，當f為時，以3、P、。為頂點的三角

形是等腰三角形.

27.（2023?大理州二模）如圖，RlZ\ACB中，NACB=90°,4B=13cm,AC=5c/n,動點尸從點B出發(fā)沿

射線以2o〃/$的速度運動，設運動時間為當△人P“為等腰三角形時，/的值為.

28.（2023?錫山區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，ZC=90°,BC=6,/ABC的平分線與線段AC交于點。，

且有AQ=8Z）,點E是線段AB上的動點（與A、8不重合），連結(jié)。E,當aBDE是等腰三角形時，則

AE的長為.

29.（2023?衡南縣校級二模）等腰△48C的底邊8c=8cm,腰長A/?=5c〃?，一動點尸在底邊上從點B開始

向點C以0.25c、"?/秒的速度運動，當點P運動到PA與腰垂直的位置時，點戶運動的時間應為秒.

30.（2023?大冶市校級模擬）如圖，已知四邊形A8C。是正方形A4=2或，點E為對角線AC上一動點，

連接過點笈作E"LQE,交射線8c于點R以。￡瓦為鄰邊作矩形QEFG,連CG.

（1）CE+CG=；

（2）若四邊形OEFG面積為5時，貝UCG=.

A

BFCH

31.（2023?玉樹市校級一模）如圖，菱形A8CO中，ZA=60°.AD=4,尸是48邊一個動點，E、尸分別

是DP、BP的中點，則線段Er的長為.

32.（2023?浙河區(qū)校級模擬）如圖，在矩形紙片48C。中，AB=4,AO=5,點r是48的中點，點￡為A。

上一動點，作aAE尸關于直線E尸的對稱圖形，點力的對應點為點A',作E/關于直線4'E的對

稱圖形，點尸的對應點為產(chǎn).當點尸落在矩形ABC。的邊上對，AE的長為.

33.（2023?嵩縣模擬）如圖，四邊形A8C。和AEFG都是正方形，點E是48邊上一個動點，點G在AO邊

上，AB=y[2cm,連接BF,CF,若△8CF'恰為等腰三角形，則AE的長為cm.

34.（2023?贛州模擬）如圖，矩形A8C。中，AB=6,AO=2,點E是邊CO的中點，點P在A8邊上運動,

點尸為。尸的中點；當尸為等腰三角形時，則AP的長為.

35.（2023?華龍區(qū)校級模擬）如圖，正方形A4CD中，A3=6,點石為對角線AC上的動點，以OE為邊作

正方形DEFG,點H是CD上一點,且短〃=會D,連接G兄則GH的最小值為.

AD

36.（2023?柘城縣校級二模）如圖，在矩形A8CQ中，AB=\,BC=點E為射線4。上的動點（不與

點A,。重合），點A關于直線8E的對稱點為連接A石，A,D,AC,當△A5C是以8C為底邊的等

接二角形時，A七的長為

37.（2023?武漢模擬）如圖，菱形48CO中，AB=5,8。=4次，動點、E、尸分別在邊A。、BC1.,且AE

=CF,過點B作BP上EF于P,當E點從4點運動到。點時，線段CP的長度的取值范闈為

38.（2023?保亭縣二模）如圖1,在矩形4BCO中，點E在CD上,NAEB=90°,點P從點A出發(fā)，沿A

一七一B的路徑勻速運動到點B停止，作PQJLC7）于點Q,設點P運動的路程為x,PQ長為戶若y與x

之間的函數(shù)關系圖象如圖2,則8c的長為；當x=6時，PQ的長為.

39.（2023?丹江口市模擬）已知定點P（a,。），且動點Q（x,））到點P的距離等于定長r,根據(jù)平面內(nèi)兩

點間距離公式可得（X-。）2+（）,?“）2=凡這就是到定點P的距離等于定長「圓的方程.已知一次函數(shù)

的y=-2x+10的圖象交），軸于點4,交x軸于點8,C是線段人區(qū)上的一個動點，則當以。。為半徑的OC

的面積最小時，OC的方程為

40.（2023?香洲區(qū)校級三模）如圖正方形ABCO的邊長為3,E是8c上一點且C￡=1,r是線段?！晟系?/p>

動點.連接CR將線段繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG連接EG,則EG的最小值是

41.（2023?韶關模擬）如圖，已知正方形ABCQ中，AB=2,點E為BC邊上一動點、（不與點B、。重合），

連接AE,將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90得到ER連接。凡連接A尸與CQ相交于點G,連接OF,當DF

最小時，四邊形CEGF的面積是.

42.（2023?珠海校級二模）如圖，在矩形A3CO中，A3=4,3。=6,點尸是線段3C上一動點，將線段出

燒點〃順時針轉(zhuǎn)90°得到線段PA,,連接D4',則D41的最小值為

43.（2023?仁懷市模擬）如圖，在等邊△/WC中,AO是邊上的高，點石是上一動點，連接CE,將

線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)6（），得到線段FE,連接A兄若A4=4,AF=V19,則C廠的長為

44.（2023?大慶二模）如圖是邊長為2的等邊三角形ABC,。為△ABC內(nèi)（包括△ABC的邊）一動點，且

滿足C￡>2=A￡>2+8D2,則co的長度〃?的取值范圍為

45.（2023?雁塔區(qū)校級模擬）如醫(yī)，正方形ABCO中，A3=4,點E為邊上一動點，將點A繞點E順時

針旋轉(zhuǎn)90。得到點尸，則。F的最小值為

46.（2023?沈陽二模）如圖，在矩形A8CO中，AB=5,BC=6,點E（不與點8重合）是8。邊上一個動

點,將線段EB繞點引II頁時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段石尸，當△。尸。是直角三角形時，那么8E的長是.

47.（2023?臺山市校級一模）△ABC中，A8=AC=13,。。=24,點。為△A8C的對稱軸上一動點，過點

D作。0與8C相切，B。與。。相交于點E,那么AE的最大值為.

48.（2023?蓬江區(qū)校級一模）矩形ABCO中，AB=2,8C=6,點P為矩形內(nèi)一個動點.且滿足NPBC=N

PCD,則線段PD的最小值為.

49.（2023?蕪湖二模）如圖，在RCABC中，NACB=90°,AC=6,BC=4.點尸為射線CB上一動點,

過點C作CM_LA/于交AB于E。是AB的中點，則。M長度的最小值是.

50.（2023?周至縣一模）如圖，在RlAABC中，NB=90°,NC=30°,4。平分NB4C,BC=6,點。為

線段上的動點，若以點O為圓心，1為半徑的OO在△ABC內(nèi)（。0可以與△ABC的邊相切），則點

D到OO上的點的距離最大值為.

A

51.（2023?丹東模擬）在平面直角坐標系中，已知點A（-4,0）,B（2,0）,點M是），軸上的一個動點,

當NBM4=30°時，點M的坐標為.

52.（2023?常山縣模擬）如圖，在矩形4BC。中，4B=6,BC=8,E為AD上一月,且4E=2,F為BC邊

53.（2023?元寶區(qū)校級模擬）如圖，四邊形A8CQ中，AB//CD,ZABC=60°,AD=8C=CO=4,點M

是四邊形ABC。內(nèi)的一個動點，滿足NAMQ=90°,則△M8C面積的最小值為.

54.（2023?亭湖區(qū)校級一模）如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點，過8點的切線交AC的延長線于

點。E為弦4c的中點，4D=6,BD=4,若點尸為直徑上的一個動點，連接EP,若△AEP與4

相似，4P的長.

55.（2023?柯橋區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系中，M、N、。三點的坐標分別為（1,2）,（6,2）,（6,

0）.點A為線段MN上的一個動點，連接AC,過點A作4B_LAC交），軸于點艮當點A從M運動到N

時，點B隨之運動，點B經(jīng)過的路徑長是.

專題8填空題壓軸題之動點問題（解析版）

模塊一2022中考真題訓練

類型一用函數(shù)觀點描述幾何圖形

1.（2023?煙臺）如圖1,△A8C中，ZABC=60°,。是8C邊上的一個動點（不與點8,

。重合），OE〃/W,交AC于點E,EF//BC,交A8于點E設8。的長為工，四邊形

的面積為乃y與X的函數(shù)圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點P的坐標為（2,3）,

則A8的長為.

思路引領：根據(jù)拋物線的對稱性知，BC=4,作"7,8。于從當B/）=2時，回的

面積為3,則此時6尸=百，AB=2BF,即可解決問題.

解：???拋物線的頂點為（2,3）,過點（0,0）,

，x=4時，y=0,

ABC=4,

作"7_L4c于〃，當以）=2時，團8OE戶的面積為3,

?：3=2FH,

；.FH=/

VZABC=60°,

3

'"=71^=后

'：DE//AB,

:.AB=2BF=2?

故答案為：2V3.

總結(jié)提升：本題主要考查J'動點的函數(shù)圖象問題，拋物線的對稱性，平行四邊形的性質(zhì)，

特殊角的三角函數(shù)值等知識，求出8c=4是解題的關鍵.

2.（2023?營口）如圖1,在四邊形ABCD中，BC//AD,ZD=90°,/4=45°,動點尸,

Q同時從點A出發(fā)，點P以Niemis的速度沿AB向點B運動（運動到B點即停止〕，點

Q以2cMs的速度沿折線AD-DC向終點C運動，設點Q的運動時間為x（5）,^APQ

的面積為），（。帝），若y與x之間的函數(shù)關系的圖象如圖2所示，當x=:（s）時，則y

35

=—rrr?r.

圖1圖2

思路引領：根據(jù)題意以及函數(shù)圖像可得出△AEQS^APQ,則點。在A。上運動時，△

人PQ為等腰直角三角形，然后根據(jù)三角形面積公式得出當面積最大為9時，此時x=3,

則AO=2x=6cm,當3VxW4時，過點P作PF_L4）于點尸，結(jié)合面積公式，分別表示

出相關線段可得y與x之間的函數(shù)解析式，最后代入求解即可.

解：過點。作OE_LA8,垂足為E,

VZAED=90°,ZEAD=45°,

tAEy/2

??—,

AD2

???點P的速度為點Q的速度為2cm!s,

：.AP=V2.v,AQ=2x,

.APy[2xV2

AQ2x2

在△APQ和△A￡O中，

AEAPy/2

—=—=—,ZA=45a，

ADAQ2

???XAEOsXAPQ、

???點。在AO上運動時，^人尸。為等腰直角三角形，

：.AP=PQ=V2x,

???當點Q在4。上運動時，），=8尸?AQ=1xV2xxV2.v=?,

由圖像可知，當），=9此時面積最大，x=3或-3（負值舍去）,

.\AD=2x=6cm,

當3<xW4時，過點P作夕凡1_4加于點凡如圖：

止匕時S、A-Q=SvV>F+S內(nèi)邊VQQF-S/.ADQ,

在RtZ\APF中，AP=42X,ZPAF=45°,

：?AF=PF=x,FD=6-x,QD=2x-6t

11

(x+2x-6)*(6-x)—5X6義(Zt-6),

2

即y=-W+6x,

當時，y=-(()2+6X：=苧，

故答案為：—.

4

總結(jié)提升：本題考查了動點問題的函數(shù)圖像，注意分類討論，求出各段函數(shù)的函數(shù)關系

式是解答本題的關鍵.

3.（2023?湖北）如圖I,在△/WC中，/B=36°,動點P從點A出發(fā)，沿折線人一8->。

勻速運動至點C停止.若點P的運動速度為\cmls,設點P的運動時間為t（S）,AP的

長度為y（cm）,y與/的函數(shù)圖象如圖2所示.當AP恰好平分NBAC時t的值為

275+2.

思路引領,rh圖象可得48=區(qū)。=%〃］，通過證明△<PCSA84。，可求4P的長，即可

求解.

解：如圖，連接AP，

由圖2可得AI3=BC=^cm,

VZ5=36°,AB=BC,

：.ZBAC=ZC=12°,

尸平分N8AC,

AZBAP=^PAC=Z5=36°,

:,AP=BP,ZAPC=12°=ZC,

：.AP=AC=BP,

?.?/^C=NB,ZC=ZC,

/.△APCS/\BAC,

APPC

?t■=9

ADAC

：,AP2=AB*PC=4（4-AP）,

??.八夕=2花-2=3。，（負值舍去），

???/=4+2f_2=2遙+2,

故答案為：2遍+2.

總結(jié)提升：本題是動點問題的函數(shù)圖象，考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定

和性質(zhì)，證明三角形桿似是解題的關犍.

類型二三角形、多邊形上的動點問題

4.（2023?遵義）如圖，在等腰直角三角形A4C中，N3AC=90°,點M,N分別為BC,

AC上的動點，且4N=CM,AB=V2.當AM+8N的值最小時，CM的長為」一夜.

BM

思路引領：過點4作AH1BC于點H.設AN=CM=x.AM+BN=712+(l-x)2+

J(V2)24-x2,欲求AM+8N的最小值，相當于在x軸上尋找一點0),至ljE(l,I),

F(0,V2)的距離和的最小值，如圖1中，作點廠關于x軸的對稱點尸，當E,P,F'

共線時，尸E+P廣的值最小，此時直線EF的解析式為y=(V2+1)A-V2,求出點P的

坐標，可得結(jié)論.

解：過點4作于點H.設AN=CM=x.

HMC

a：AB=AC=>/2,N84C=90°,

：.BH=AH=},

：.AH=BH=CH=\,

???AM+BN=Vl2+(l-x)2+(V2)2+x2,

欲求AM+BN的最小值，相當于在k軸上尋找一點P(x,0),到E(I,1),F(0,V2)

的距離和的最小值，如圖1中，

作點尸關于x軸的對稱點F',當E,P,F共線時，PE+P尸的值最小，

此時直線的解析式為y=(V2+I)x-V2,

當)，=0時，x=2一企，

???AM+BN的值最小時，CM的值為2-

解法二：過點。作。及LC6,使得C￡=AC,連接過點片作4。_14。于點。.

'：AB=AC=CE,NBAN=/ECM=9&,AN=CM,

???△BAN之ZXECM(SAS),

:.BN=EM,

：.AM+BN=AM+ME,

，當A,M,七共線時，AM+8N的值最小，

'：AD//EC.

CMCE

:.—=—=<2r,

DMAD

CM=—~~7=x1=2—V2.

1+72

故答案為：2-夜.

總結(jié)提升：本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對稱最短問題，?次函數(shù)的性質(zhì)等知識，

解題的關鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬「中考?？碱}型.

5.(2023?黃石)如圖，等邊△4BC中，A8=10,點E為高AZ)上的一動點，以8E為邊作

等邊△HER連接。凡CF,則NBC/=30°,-8+少。的最小值為5b.

思路引領：首先證明(SAS),推出NB4E=N4C尸=30°,作點。關于

Cr的對稱點G,連接CG,DG,BG,BG交CF千點、F',連接。尸，此時B尸+DF'

的值最小，最小值=線段BG的長.

解：如圖，

???△ABC是等邊三角形，ADLCB,

??.NBAE=」N8AC=3D。,

?.?△加卯是等邊三角形，

AZ￡BF=ZABC=609,BE=BF,

：.NABE=NCBF,

在△BAE和中,

BA=BC

乙ABE=乙CBF,

BE=BF

:.ABAE@ABCF(SAS),

：.^BAE=^BCF=W,

作點D關于CF的對稱點G,連接CG,DG,BG,BG交CF的延長線于點尸，連接

。尸，此時B尸+DF'的值最小，最小值=線段BG的長.

VZDCF=ZFCG=30°,

/.ZDCG=60°,

VCD=CG=5,

???△CQG是等邊三角形，

：.DB=DC=DG,

???NCG8=90°,

?,.BG=VZ?C?-CG7=V107-5?=5x/3,

???"+Qb的最小值為56，

故答案為：30°,5A/3.

總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱最短問題等知識，解題的

關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬「中考常考題型.

6.(2023?廣州)如圖，在矩形4BC。中，8c=2A8,點尸為邊A。上的一個動點，線段8P

繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段8P',連接PP',CP'.當點P'落在邊BC上時，

思路引領：如圖，以為邊向右作等邊△ABE,連接EP'.利用全等三角形的性質(zhì)證

明N8EP'=90°,推出點P'在射線EP'上運動，如圖1中，設EP'交BC于點O,

再證明△BE。是等腰直角三角形，可得結(jié)論.

解：如圖，以AB為邊向右作等邊△4BE,連接EP'.

???△8PP'是等邊三角形，

:?NABE=NPBP'=60°,BP=BP',BA=BE,

???/ABP=NEBP',

在aAB尸和△E8P'中,

(BA=BE

Z.ABP=乙EBP',

BP=BP'

???&BPg△EBP'(SAS),

；?/BAP=NBEP'=90°,

???點、P'在射線￡P'上運動,

圖1

當點P落在8c上時，點P'與O重合，此時/PPC=180°-60°=120°,

當CP'±EP'時，CP'的長最小，此時NE30=N0CP'=30°,

：?EO=OB,OP'=^OC,

:?EP'=EO+OP,=IOB+\OC=ifiC,

LLL

*：BC=2AB,

:,FP=AR=ER,

:./EBP'=NEP'"45°,

：?/BP'C=45°+90°=135°,

:./PP'C=NBP'C-ZBP'0=135°-60°=75°.

故答案為：120°,75c.

總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定

和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)

造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

7.（2023?柳州）如圖，在正方形A8C。中，AB=4,G是BC的中點，點E是正方形內(nèi)一個

動點，且EG=2,連接DE,將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF,連接CF,

則線段長的最小值為2V5-2.

思路引領：連接DG,將DG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DM,連接MG,CM,MF,作

MH工CD于H,利用SAS證明得MF=EG=2,再說明△OGCg/\DM”

CAAS）,得CG=DH=2,MH=CD=4,求出CM的長，再利用三角形三邊關系可得答

案.

解：連接。G,將。G繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得。M,連接MG,CM,MF,

作MHLCD于H,

:?/EDG=NFDM,

;DE=D3DG=DM,

???△EQG絲△MO/（SAS）,

:.MF=EG=2,

'：/GDC=NDMH,NDCG=NDHM,DG=DM,

:.△DGC/AMDH（A4S）,

:.CG=DH=2,MH=CD=4,

：.CM=V42+22=2瓜

???CF2CM-MF,

.??cr的最小值為2遙-2,

故答案為：2V5-2.

總結(jié)提升：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾

股定理，三角形三邊關系等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關鍵.

8.（2023?遼寧）如圖，在中，NACB=90°,ZB=60°,BC=2,點P為斜邊

4B上的一個動點（點P不與點4、8重合），過點P作PO_LAC,PELBC,垂足分別為

點。和點E,連接。EPC交于點Q,連接AQ,當△APQ為直角三角形時，AP的長是

3或20.

思路引領：由己知求出AB=4,AC=2g,再分NAPQ=90°和NAQP=90°兩種情況

進行討論，即可求出答案.

解：在中，NACB=90°,NB=60°,BC=2,

???NB4C=30°，

.\AB=2BC=2X2=4,

：.AC=>JAB2-BC2=V42-22=28，

當NA尸Q=90°時,如圖I,

圖1

在RlaABC中，NACB=90°,NB=60°,BC=2,

AZBAC-30°,

；?AB=2BC=2X2=4,

：.AC=y/AB2-BC2=V42-22=2>/3,

VZAPQ=ZACB=^,ZCAP=ZBAC,

：./\CkPsXBkC,

—=—,即---=—尸,

APACAP273

???AP=3,

當NAQP=90°時，如圖2,

VPD1AC,PEA.BC,N4C8=90°,

???四邊形QPEC是矩形，

ACQ=QP.

VZAQP=W,

???AQ垂直平分CP,

：.AP=AC=2V3,

綜上所述，當△APQ為直角三角形時，AP的長是3或2遍，

故答案為：3或2y/T

總結(jié)提升：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握含3（）度角的

直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的

判定與性質(zhì)，分類討論的數(shù)學思想是解決問題的關鍵.

9.（2023?陜西）如圖，在菱形A8CD中，44=4,40=7.若M、N分別是邊A。、±

的動點，且AM=BN,作MELBD,NFLBD,垂足分別為E、F,則ME+NF的值為

V15

2一.

思路引領：連接AC交B。于。，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BO_L4C,OB=OD=LOA=OC,

根據(jù)勾股定理求出0A,證明△OEMSAQOA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，用

含AM的代數(shù)式表示ME、NF,計算即可.

解：連接AC交于。，

???四邊形ABCD為菱形，

：.BD±AC,OB=OD=*7OA=OC,

由勾股定理得：0A=函2-082=@2-弓）2=苧，

???MEtBD,AOA.BD,

:.MEaAO,

:.ADEMsADOA,

MEDM“ME4-AM

:.----=------,BP-7=-=---------,

OAAD2114

2

解得：ME=--------g--------,

同理可得：N尸=也件

O

:.ME+NF=組

故答案為：

總結(jié)提升：本題考杳的是相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理，掌握相似

三角形的判定定理是解題的關鍵.

10.(2023?盤龍區(qū)二模)如圖，已知四邊形ABC。中，A8=10c，〃，BC=8cm,CD=\2cm,

/B=/C,點E為AB的中點.如果點P在線段BC上以3cMs的速度沿B?C-B運動，

同時，點Q在線段CO上由C點向。點運動.當點0的運動速度為2或3或:或停

—1344

crn/s時，能夠使ABPE與△CQP全等.

思路引領：設點。在線段8c上運動的時間為/s,分兩種情況討論，①點。由3向C運

動時，△BPE^△CQP?△BPE^△CPQ，③點P由C向B運動時，ABPE/ACQP,

④△BPEg^CPQ,根據(jù)全等三角形的對應邊相等列方程解出即可.

解：設點P在線段4c上運動的時間為巴

①點P由8向。運動時，BP=3t(cvn),CP=(8-3/)cm,

■:4BPE"/\CQP,

：.BE=CP=5,

，5=8-3t,

解得f=L

：,BP=CQ=3,

此時，點Q的運動速度為3+1=3(cm/s)；

②點尸由B向C運動時，

:,BP=CP,

A3/=8-31,

t=q,

此時，點。的運動速度為：5+H。威s）：

③點P由。向8運動時，CP=3f-8,

?：4BPEq/\CQP,

:?BE=CP=5,

???5=3L8,

解得/=塔

：.BP=CQ=3,

此時，點Q的運動速度為3+苧=與（c〃?/s）；

④點P由C向8運動時，

,:△BPE02CPQ,

：.BP=CP=4,

3t-8=4,

7=4,

*：BE=CQ=5,

此時，點Q的運動速度為5+4=1（c加s）；

9515

綜上所述：點Q的運動速度為石山?；?cm/s或或7-5而；

故答案為：77或3或:或

1344

總結(jié)提升：本題考查三角形全等的判定，掌握動點問題在解決全等三角形時邊長的表示

及分情況討論，它們也是解決問題的關鍵.

類型三有關圓的動點問題

11.（2023?寧波）如圖，在△ABC中，AC=2,8C=4,點。在3c上，以08為半徑的圓

與AC相切于點A.。是8C邊上的動點，當△ACO為直角三角形時，A。的長為_|或

6

思路引領：根據(jù)切線的性質(zhì)定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可.

解：連接OA，過點A作AO_L8C于點。，

???圓與AC相切于點A.

：，OAA.AC,

由題意可知：。點位置分為兩種情況，

①當NCA。為90°時，此時。點與。點重合，設圓的半徑=r,

：.OA=rfOC=4-r,

?；AC=2,

在RtZXAOC中，根據(jù)勾股定理可得：7+4=（4-r）2,

解得：，=家

即AD=AO=去

②當NAOC=90°時，AD=^^-,

35

-_

20C=4-r=

AC=2,2?

：.AD=f,

36

綜上所述，4。的長為二或二,

25

36

故答案為：￡或g.

B

總結(jié)提升：本題主要考查了切線的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解決本題

的關鍵.

12.（2023?東城區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系xQy中，點A與點B的坐標分別是

（1,0）與（7,0）.對于坐標平面內(nèi)的--動點P,給出如下定義：若N4PB=45°,則

稱點夕為線段4/6的“等角點”.

①若點尸為線段48在第一象限的“等角點”,且在直線x=4上，則點P的坐標為（4,

3V2+3）；

②若點P為線段A4的“等角點”，并且在），軸正半軸二，則點P的坐標為（0,3±x/2）

或（0,?3士&）.

思路引領：①根據(jù)P在直線x=4上畫圖1,作△APB的外接圓C,連接AC,BC,可知

48=6,。。的半徑為3魚，最后計算出）的長可得點P的坐標；

②同理根據(jù)作輔助線，計算0P和0P的長，可得點尸的坐標，注意不要丟解.

解：①如圖1,作AAPB的外接圓，設圓心為C,連接AC,BC,

???點A與點8的坐標分別是（1,0）與（7,0）,

：.AB=1-1=6,

???/AP8=45°,

，N4CB=90°,

?：AC=BC,

???△A4C是等腰直角三角形，

：,AC=BC=3V2,

：.PC=3^2,

丁點尸在直線％=4上，

：.AD=4-1=3,

:?AD=BD,

VCDlAfi,

：,CD=AD=3,

:.P（4,3迎+3）,

故答案為：（4,3&+3）；

②如圖2所示，同理作△AP8的外接圓，設圓心為C,過。作CQJ_x軸于。，作CE_L

OP于E,連接PC,P1C,

在），軸上存在NAP8=NAPi8=45°,

則①知：CD=OE=3,OD=CE=4,PC=3孱,

由勾股定理得：PE=1（3或y—42=企，

???尸。=3+也

同理得：OP\=3-五,

:.P（0,3±V2）,

綜上分析，點戶的坐標為（0,3±V2）.

故答案為：（0,3±V2）.

總結(jié)提升：本題主要考查了坐標和圖形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識，解題關

鍵是作aAPB的外接圓.

模塊二2023中考押題預測

13.(2023?駐馬店二模)如圖，四邊形4BC。中，AB//CD,NA8C=60°,AD=BC=CD

=4,點M是四邊形ABCQ內(nèi)的一個動點，滿足NAMQ=9(T,則點M到直線8c的距

離的最小值為3V3-2

思路引領：取A。的中點O,連接OM,過點M作ME_L8C交4c的延長線于E,過點O

作0F_L8C于F,交CZ)于G,則0M+ME20F.求出。M,。尸即可解決問題.

解：取AO的中點O,連接0M,過點M作ME_L8C交8c的延長線于E,過點。作。尸

±BC于F,交CD于G,則OM+ME2OF.

VZAMD=90°,AD=4,OA=OD,

1

OM=^AD=2,

,:AB〃CD,

???NGCF=NB=60°,

：,ZDGO=ZCGF=30U,

?；AD=BC,

???ND4B=N8=60°,

/.ZADC=ZBCD=120°,

AZDOG=30°=ZDGO,

：.DG=DO=2,

VCD=4,

???CG=2,

???OG=2OO?cos30°=2x/3,GF=瓜。/=3百，

???ME力OF-OM=3V3-2,

???當。，M,七共線時，ME的值最小，最小值為3遙一2.

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形，垂線段最短，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，

解題的關鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型.

14.(2023?普定具模擬)如圖，點M是440/3平分線上一點，ZA()B=6(Y),ME_LQA于

E,OE=正,如果P是OB上一動點，則線段MP的取值范圍是MPN泮.

-------3-

0'B

思路引領：過M點作MRLOB于F,如圖，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到ME=MF,ZAOM

=30°,再利用含30度角的直角三角形三邊的關系得到"￡=單，所以MF=隼，然

后根據(jù)垂線段最短可確定線段MP的取值范圍.

解：過M點作于F,如圖,

???。”平分/4。8,"￡_104,“尸_108,

11

:,ME=MF,ZAOM=^ZAOB=x60°=30°,

在RlZSOME中，VZA7OE=30°，

:.ME=*