專題37軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)【十二大題型】

?題型梳理

【題型1軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的識(shí)別】......................................................1

【題型2與坐標(biāo)系有關(guān)的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題】..................................................4

【題型3與幾何圖形有關(guān)的折疊問題】............................................................7

【題型4與拋物線有關(guān)的折疊問題】..............................................................14

【題型5利用軸對(duì)稱求最值】...................................................................23

【題型6根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積、長(zhǎng)度、角度】...............................................33

【題型7與軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)芍關(guān)的規(guī)律探究問題】............................................43

【題型8用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱作圖】................................................48

【題型9旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之線段問題】.......................................................53

【題型10旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之面積問題】.......................................................65

【題型11旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之角度問題】.......................................................81

【題型12利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案】..........................................91

軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)】

1.平移

（1）定義：把一個(gè)圖形沿著某一直線方向移動(dòng)，這種圖形的平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱為平移。

（2）平移的性質(zhì)：平移后的圖形與原圖形全等；對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一條直線上）

且相等。

（3）坐標(biāo)的平移：點(diǎn)（x,y）向右平移。個(gè)單位長(zhǎng)度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁+o,y）；

點(diǎn)（x,y）向左平移。個(gè)單位長(zhǎng)度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁-a,y）；

點(diǎn)（x,y）向上平移。個(gè)單位長(zhǎng)度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁,y+o）；

點(diǎn)（x.y）向下平移。個(gè)單位長(zhǎng)度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁.k。）.

2.軸對(duì)稱

（1）軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)

于這條直線成軸對(duì)稱。這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)。

（2）軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸

對(duì)稱圖形。這條宜線叫做它的對(duì)稱軸。

（3）軸對(duì)稱的性質(zhì)：關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形是全等形。

經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。

如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。軸對(duì)稱圖形

的對(duì)稱軸，是任何?對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

(4)線段垂直平分線的性質(zhì)

線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；

與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上。

(5)坐標(biāo)與軸對(duì)稱：點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(X,-y)；

點(diǎn)、(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-x,y)；

3.旋轉(zhuǎn)

⑴旋轉(zhuǎn)

定義：把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。點(diǎn)。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)

動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P',那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③

旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

⑵中心對(duì)稱

定義：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這

個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)?稱。這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。這兩個(gè)圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)

稱點(diǎn)。

中心對(duì)稱的性質(zhì)：①中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分；

②中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。

(3)中心對(duì)稱圖形

定義：如果一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后能與自身重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。這個(gè)點(diǎn)叫

做它的對(duì)稱中心。

(4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為PY-x,-必。

【題型1軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的識(shí)別】

【例1】(2023?廣東東莞?一模)如所示圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是()

【答案】A

【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可,

如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)

圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形,

這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心.掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的判斷是解題的關(guān)犍.

【詳解】解：A.原圖既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

B.原圖是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C.原圖不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意：

D.原圖不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：A.

【變式1-1]（2023?安徽合肥??？家荒＃┤绻粋€(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)至少旋轉(zhuǎn)72度才能與它本身重合，則下

列說法正確的是（）

A.這個(gè)圖形一定是中心對(duì)稱圖形.

B.這個(gè)圖形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.

C.這個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)216度后能與它本身重合.

D.這個(gè)圖形既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形.

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，至少旋轉(zhuǎn)72。，旋轉(zhuǎn)72度可以與原圖形重合，則圖形可以平分成5個(gè)全等的部分，

因而是軸對(duì)稱圖形，不可能是中心對(duì)稱圖形，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：???旋轉(zhuǎn)72?？梢耘c原圖形重合，則圖形可以平分成5個(gè)全等的部分，因而可能是軸對(duì)稱圖形，不

可能是中心對(duì)稱圖形，故A,B,D錯(cuò)誤.

由于216。+72。=3,這個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)216。后能與它本身重合，故C選項(xiàng)正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，要明確，旋轉(zhuǎn)某一個(gè)角度后，圖形與原圖形重合，這樣的圖形稱為旋轉(zhuǎn)

對(duì)稱圖形.

【變式1-2]2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如所示的四個(gè)交通標(biāo)忐圖中，為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的是（）

AAAA

【答案】DBcD

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義對(duì)四個(gè)圖形進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：題中所示的四個(gè)交通標(biāo)志圖中，只有選項(xiàng)D旋轉(zhuǎn)120。與原圖形重合，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種

圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角.

【變式1-3］（2023?山東青島?統(tǒng)考三模）下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的有（）

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】本題考查中心勸稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念；根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】解：左起第一和第二兩個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)?稱圖形；

第三個(gè)圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形：

第四個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形.

所以既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的有1個(gè).

故選：A.

【題型2與坐標(biāo)系有關(guān)的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題】

【例2】（2023?江蘇無錫?統(tǒng)考二模）如圖，在ABDE中,LBDE=90°,5。=4或，點(diǎn)。的坐標(biāo)是（4遍,0）,

tan^BDO=將aBOE旋轉(zhuǎn)到△的位置.，點(diǎn)C在B。上，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（）

A.（2V5,yV5）B.（3通卷灼C.傳遍2灼D.傳遍譚灼

【答案】D

【分析】設(shè)旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)2連接P0,過點(diǎn)。作PF1%軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作P//1BD于”，并延長(zhǎng)交x軸于

G,如圖，根據(jù)題意得：/W,8。的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P,再由點(diǎn)C在3。上，可得PH=DH=

2灰，并求出PD的長(zhǎng)，解直角三角形求出。G的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出。AP尸的長(zhǎng)，再求出。戶的長(zhǎng)即

可得到答案.

【詳解】解：設(shè)旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)P,連接PD,過點(diǎn)P作尸F(xiàn)ix軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)P作PH1BD于“，并延長(zhǎng)交x

軸于G,如圖，

根據(jù)題意得：力8,80的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P,

???點(diǎn)C在80上，

???點(diǎn)尸到4B,BD的距離相等,都是扔D,即「，=0"=卜4交=2式,

APD=V2x2V2=4,

VtanzFDO=—=-

DH3

3

：.PG=—,DG=y/GH2+DH2=—.

33

設(shè)。F=%,則GF=這一%,

3

由勾股定理得P『2=PG2-GF2=PD2-DF2,

解獻(xiàn)=w，

??."=竽,

:.PF=>JPD2-DF2=W

VD（4V5,0）,即0。=4倔

：.0F=OD-DF=—,

5

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（當(dāng)逐,|遮）

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，勾股定理等等，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定出

旋轉(zhuǎn)中心的位置是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1】（2023?廣東潮州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，線段4B平移得到線段CD,點(diǎn)4（-1,4）的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)C（l,2）,則點(diǎn)B（2,1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.（4,-1）B.（0,3）C.（4,1）D.（-4,1）

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)確定出平移規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律解答即可.

【詳解】解：???點(diǎn)力（一1，4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,2）,

，平移規(guī)律為向右平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，

???B（2,1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,-1）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移

加，下移減.

【變式2-2］（2023?吉林長(zhǎng)春,二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知力（2,1）,現(xiàn)將A點(diǎn)繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到則4的坐標(biāo)是（）

A.（-1,2）B.（2,-1）C.（1,-2）D.（-2,1）

【答案】A

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行判斷作答即可.

【詳解】解：如圖，過4作軸于3,過久作為當(dāng)J.y軸于8】,

???將4點(diǎn)繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到公,

???由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,OBi=OB=2,A1B1=AB=1,

?,"]（-1,2）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的點(diǎn)的坐標(biāo).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活

運(yùn)用.

【變式2-3]（2023?四川眉山??？既＃┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)M0/）,已知心），滿足"7率1+（5丫-2）2=

0,則點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)N在第象限.

【答案】一

【分析】根據(jù)757不1+（5丫-2）2=0得到％=-：/=：,確定M的位置，后確定對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，解答即可.

【詳解】W4x+3+（5y-2）2=0,

故點(diǎn)N在第一象限，

故答案為：一.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的非負(fù)性，關(guān)于y軸對(duì)稱縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變相反數(shù)，熟練掌握對(duì)稱點(diǎn)的確定是

解題的關(guān)鍵.

【題型3與幾何圖形有關(guān)的折疊問題】

【例3】（2023?廣西南寧??？级＃┤鐖D，已知平行四邊形紙片ABCD（/W>/W）,將平行四邊形紙片沿過

點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)8落在邊4）上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸，折痕為AE,點(diǎn)E在邊8C上，連接8凡若AE=

4,DF=8,則四邊形/WE"的面積為（）

D

A.64B.48C.32D.16

【答案】D

【分析】先證明四邊形48EF為菱形，再根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???平行四邊形紙片將平行四邊形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)4落在邊40

上，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為R折痕為4E,

：.AF||BE,AB=AF,BE=EF,LBAE=匕FAE,

：.LFAE=￡BEA,

=^BEA,

??AB=BE,

：.AB=AF=BE=EFt

???四邊形/BEF為菱形，

:.四邊形A8EF1的面積為.FF=^x8x4=16；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是證明四邊形/WEF為

菱形.

【變式3-1】（2023?河南?統(tǒng)考中考模擬）將三角形紙片S/BC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上,

記為點(diǎn)B',折痕為EF,已知4B=4C=3,BC=4.若以點(diǎn)B、八C為頂點(diǎn)的三角形與△/BC相似，則的

長(zhǎng)度是.

【答案】3或2

【分析】本題考查折挖的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì).利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵.結(jié)合折會(huì)的性

質(zhì)可設(shè)BF=B'F=x,fflCF=4-x.分類討論：①當(dāng)乙4BC=4B'FC時(shí)，此時(shí)△ABCB'FC,得出"=《

/?ISc

代入數(shù)據(jù)，即得出關(guān)于八?的方程，解之即可：②當(dāng)8C=Z_FB'C時(shí)，此時(shí)△ABC?△FB'C,同理求解即可.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知BF=B'F,

設(shè)8尸=B'F=x,則Cr=BC-BF=4-x.

'：LACB=LB'CF,

???可分類討論：①當(dāng)乙48C=時(shí)，則此時(shí)△AHC8'卜（,

耳晦，即：牛

解得：x=￡

???此時(shí)8"的長(zhǎng)度是孩:

②當(dāng)/A8C=4尸8￡時(shí)，則此時(shí)△RBC?△FB'C,

B'FCFx4-x

行=就,即nn廣三'

解得：x=2,

???此時(shí)BF的長(zhǎng)度是2.

故答案為：手或2.

【變式3-2］（2023?山西大同?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形/WC0EF內(nèi)接于半徑為8cm的。。中，連接CE,

AC,AE,沿直線CE折疊，使得點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，則圖中陰影部分的面積為（）

A.32限B.875cm2C.8ncm2D.（竽+3n）cm2

【答案】A

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，折直的性質(zhì)以及圓的對(duì)稱性可得出OM=M。=［。。=4cm,再根據(jù)直角三

角形的邊角關(guān)系求出CM,進(jìn)而求出CE,由圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系可得S陰影部分=2S?C°E，根據(jù)三

角形的面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，連接。0,交CE于點(diǎn)M,則OO_LCE,

由折疊可知。M=MD=^OD=|0C=4(cm),

乙COM=—=60°,

6

在Rt/kCOM中,

CM=V3OM=4V3(cm),

CE=2CM=8V3(cm),

由題意可知，△ACE是等邊三角形，陰影部分面積等于S四邊形“OF，

連接04點(diǎn)。為△ACE的內(nèi)心，到三邊的距離相等，

S&OAC=^AO/iE=$△（）EC?

AS陰影部分=2sKOE

1廠

=2x-x8V3x4

乙

=32x^3（cm2）,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，翻折的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握正六邊形和圓的性質(zhì)以及直

角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提.

【變式3-3］（2023?河南周口?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開

展實(shí)踐活動(dòng).

DA

圖(1)圖(2)圖(3)圖(*W(5)

（I）操作判斷

操作一：如圖（1）,正方形紙片ABCO,點(diǎn)￡1是8。邊上（點(diǎn)E不與點(diǎn)8,C重合）任意一點(diǎn)，沿力E折疊△48E到

△XFE,如圖（2）所示;

操作二：將圖＜2）沿過點(diǎn)廣的直線折疊，使點(diǎn)小的對(duì)稱點(diǎn)G落在從？上，得到折痕MN,點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)記為〃，

如圖（3）所示；

操作三：將紙片展平，連接8M,如圖（4）所示.

根據(jù)以上操作，問答下列問題：

①B,M,N三點(diǎn)一（填“在”或“不在”）一條直線上；

②/1E和BN的位置關(guān)系是數(shù)量關(guān)系是_；

③如圖（5）,連接力N,改變點(diǎn)E在BC上的位置，_（填“存在”或“不存在”）點(diǎn)E,使4N平分〃力￡

（2）遷移探究

蘇銃同學(xué)將正方形紙片換成矩形紙片F(xiàn)BCD,力8=4,BC=6,按照（1）中的方式操作，得到圖（6）或圖

（7）.請(qǐng)完成下列探究：

①當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí)，如圖（6）,8E和CN有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

②當(dāng)。N的長(zhǎng)為1時(shí)，請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng).

【答案】（1）①在，②/EJ.BN,相等；③不存在；

（2）噂=：理由見解析；②BE=2或當(dāng)

【分析】（1）①￡的對(duì)稱點(diǎn)為E',BFMFLEE",即可判斷；②由①4E1BN,由同住的余角相等

得上BAE="BN,由AAS可判定&A8E三ABCN,由全等三角形的性質(zhì)即可得證；③由AAS可判定△D4N三

△MAN,由全等三角形的性質(zhì)得=40,等量代換得48=4M,與/4BA/4M矛盾，即可得正；

（2）①由（1）中的②可判定△ABE?△8CN,由三角形相似的性質(zhì)即可求解；②當(dāng)N在CD上時(shí)，△ABE?

△ECN,由三角形相似的性質(zhì)即可求解；當(dāng)N在力0上時(shí)，同理可判定由三角形相似的性

質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解：①E的對(duì)稱點(diǎn)為E'，

:.BF1EE，,MF1EEL

：.B、F、M共線，

故答案為：在；

②由①知：B、F、M共線，N在尸M上，

^AE1BN,

:.乙AMB=90°,

:.乙ABM+Z.BAE=90°,

???四邊形/WC。是正方形，

Z.ABC=乙BCN=90°,

AB=BC,

???/CBN+匕ABM=90°,

:.Z.BAE=Z.CBN,

在ZM8E和△8CN中

Z.BAE=乙CBN

Z.ABC=乙BCN,

AB=BC

:.&ABE6BCN（AAS）,

AE=BN,

故答案為：相等；

③不存在，理由如下：

假如存在，

???4N平分NOAE,

:.乙DAN=乙MAN,

???四邊形力8CD是正方形，

AM1BN,

LD=Z,AMN=90°,

在AD4N和△M/1N中

ZD=Z.AMN

Z.DAN=/.MAN

AN=ANN

DAN三ZiMAMAAS）,

AM=AD,

AD=AB,

:.AB=AM,

???是Rt/k/lBM的斜邊，

:.AB>AM,

:.AB=AM^AB>4M矛盾，

故假設(shè)不成立，所以答案為：不存在;

（2）解：①券=￡理由如卜：

由（1）中的②得：

乙BAE=（CBN,

Z.ABE=Z-C=90°,

:4ABE—△BCN,

EE_AB_2

二嬴二就=1

②當(dāng)N在CD上時(shí)，

CN=CD-DN=3,

由①知：2ABE八BCN,

—BE=—AB=—2,

CNBC3

ABE=-CN=2,

3

當(dāng)N在4D上時(shí)，

AN=AD-DN=S,

vZ.BAE=乙CBN=乙ANB,

/-ABE=乙BAN=90°,

???△ABENAB,

EE_AB

AB-AN'

?，.BE=”，

綜上所述：BE=2或冷.

【點(diǎn)睛】本題考行了折疊的性質(zhì)，用形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形相似的判

定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，“十字架”典型問題的解法是解題的關(guān)鍵.

【題型4與拋物線有關(guān)的折疊問題】

【例4】(2023?廣西貴港?統(tǒng)考三模)拋物線y=—+c與x軸交于A、8兩點(diǎn)，且點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè),

與)，軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)0(3,2)為拋物線上?點(diǎn)，且直線CDh軸，點(diǎn)M是拋物線上的?動(dòng)點(diǎn).

(I)求拋物線的解析式與A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0,且以4E,D,M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)過點(diǎn)M作直線CO的垂線，垂足為N,若將ACMN沿CM翻折，點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N7,則是否存在點(diǎn)M,使

點(diǎn)M則恰好落在x軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明段理由.

【答案】(1%=一；/+,%+2：/(-1,0),8(4,0)

(2)M(0,2)或(一,一2)或(手,一2)

(3)存在,河(1,3)或(5,-3)

【分析】(1)可先求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式求得c的值，令y=0,求得為的值，進(jìn)而求得

點(diǎn)48的坐標(biāo)；

(2)分為4。為邊和4。為對(duì)角線兩種情形，當(dāng)人。為邊時(shí)，分為目ADME,回A0EM,前者觀察點(diǎn)M和點(diǎn)C重合,

后者點(diǎn)M的縱坐標(biāo)和點(diǎn)。坐標(biāo)互為相反數(shù)，進(jìn)而求得結(jié)果，點(diǎn)為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)C重合；

(3)證明CNMW是正方形，求得CM的解析式為：丁二工+2和丫=一％+2,進(jìn)一步求得結(jié)果.

【詳解】(1)解：???CDIIx軸，0(3,2),

二。(0,2),

把x=0,y=2代入y=—+gx+。得c=2,

12,3「

???丫=一乙/+乙/+2，

由一步+1x+2=0解得=-l,x2=4,

.??4(-l,0).B(4,0);

(2)如圖1,

當(dāng)HD為邊時(shí),回力E1MW，此時(shí)M］和點(diǎn)C重合,%（0,2）,

團(tuán)4M時(shí)，點(diǎn)M2的縱坐標(biāo)和點(diǎn)。的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即為2=-2,

13

二--x294--%+2=-2,

22

3±V41

:，x=-,

乙

/3-V41\/3+V41\

.?“（1-，習(xí)“卜丁一）

當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M和點(diǎn)C重合，

綜上所述：時(shí)（0,2）或（手,-2）或（手,-2）;

(3)如圖2,

由折售知，乙CNM=cCN'M=90°,

■:乙NCN，=90°,

??.四邊形GVMN'是矩形，

■:CN=CN'時(shí)，

???矩形CNMN'是正方形，

平分ZNCN，，

當(dāng)CMI平分乙NCNJ時(shí)，

直線CM】的解析式為：y=x+2,

由一：/+|x+2=%+2得，%=I,%?=0（舍去），

當(dāng)％=1時(shí)，y=1+2=3,

AAfi（1,3）,

當(dāng)。例2平分iNzCN?'時(shí)，

直線CM?的解析式為：y=-x+2,

由一12++2=-x+2得，x3=5,X4=0（舍去），

當(dāng)x=5時(shí)，y=-5+2=-3,

???用2（5,-3）,

綜上所述:M（l,3）或（5,-3）.

【點(diǎn)睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了求二次函數(shù)的解析式，求一次函數(shù)的解析式，解一元二次方程，平

行四邊形的分類，正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形.

【變式4-1］（2023?山東棗莊??？寄M預(yù)測(cè)）已知：如圖，拋物線y=-/+從；+。經(jīng)過原點(diǎn)。，它的對(duì)稱軸

為直線％=2,動(dòng)點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)4出發(fā)，在對(duì)稱軸上以每秒1個(gè)單位的速度向下運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)

間為t秒，連接OP并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)氏連接。4AB.

(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)三點(diǎn)4。，B構(gòu)成以為。8為斜邊的直角三角形時(shí)，求t的值；

(3)將沿直線戶8折疊后，那么點(diǎn)力的對(duì)稱點(diǎn)兒能否恰好落在坐標(biāo)軸上？若能，請(qǐng)直接寫出所有滿足條

件的￡的值；若不能，請(qǐng)說明理由，

【答案】(Dy=一-+4#；(2,4)

⑵1秒

⑶能，(5->/5)秒或2通秒或(5+V5)秒

【分析】(I)根據(jù)拋物線過原點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線％=2,待定系數(shù)求解析式即可求解；

(2)設(shè)8(%,-X2+4X).三點(diǎn)、A,。，B構(gòu)成以為。8為斜邊的直角三角形，勾股定理得出。/^+力”=0#,

5(|,y).繼而得出直線。8的解析式為y=-x,當(dāng)％=2時(shí),y=3,得出/P=4-3=1,進(jìn)而即可求

解；

(3)分三種情況討論，①點(diǎn)4在%軸正半軸上；②點(diǎn)4在)，軸負(fù)半軸上，③點(diǎn)4在％軸負(fù)半軸上，分別畫出

圖形，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理即可求解.

c=0

【詳解】(1)解：由題意得二^=2，

>2x(-1)

解此二:，

二拋物線的解析式為y=-%2+4x：

vy=-x24-4%=-(x-2)2+4,

???頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4)；

(2)如圖1,

設(shè)8(%,-X2+4X).

???三點(diǎn)A,0,B構(gòu)成以08為斜邊的直角三角形，

OA2+AB2=?！?，

即2?+42+(x-2)2+(-%2+4x-4)2=x2+(-%2+4x)2,

整理，得2/—9%+10=0,

解得“1=%2=2(舍去)，

設(shè)直線08的解析式為y=kx,則:k=*

3

解得k=-,

2

3

y=-x.

2

當(dāng)才=2時(shí)，y=3,

/IP=4-3=1,

?"=1+1=1(秒)；

(3)分三種情況：

①若點(diǎn)①在％軸正半軸上，如圖2,

圖2

可得P/)2+&。2=p&2,

即(4一￡)2+(2V5—2)2=產(chǎn),

解得t=5-V5；

②若點(diǎn)兒在y軸負(fù)半軸上，如圖3,連接441交08于E.

可得041=0A=2遙，

???z.0AxA=z.0AAr,

???OAJAP,

:.z.0A1A=z.A1AP,

:.z.0AA1=Z-AXAPt

vAAr1OP,

LOEA=/.PEA=90°.

在AONE與中，

(Z.OAE=Z.PAE

AE=AE,

(^OEA=乙PEA

???△04E空△PAE(ASA),

:.0A=PA=2圾,

t=2VS：

③若點(diǎn)必在工軸負(fù)半軸上，如圖4.

可得PZ)2+4"=p42,

即(七一4)2+(2遮+2)2=d,

解得t=5+V5；

綜上所述，所有滿足條件的t的值為(5-V5)秒或2百秒或(5+V5)秒.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，特殊三角形問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2](2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=：/-弓％-4與不軸交于4B兩點(diǎn)(點(diǎn)8在點(diǎn)A的右側(cè))，與y軸交

了?點(diǎn)C.將△力沿BC所在的直線折疊，得到△OBC,點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D.

(備用圖)

(I)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo).

(2)求直線80的函數(shù)表達(dá)式.

⑶在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使NPC8=N4BC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴4(一2,0),3(8,0)((0,-4)

(2)y=“4—?32

⑶存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,-4)或(?,個(gè))

【分析】(1)根據(jù)當(dāng)'=0時(shí)，可得;/一,工一4二0,解一元二次方程即可得出點(diǎn)48的坐標(biāo)，根據(jù)當(dāng)x=0

時(shí)，y=-4即可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)。作DElx軸于點(diǎn)E,先利用勾股定理的逆定理判斷出/4CB=90。，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形

中位線定理可得OC為△ADE的中位線，從而可得。(-2,8),然后利用待定系數(shù)法求解即可得；

(3)分兩種情況：①點(diǎn)〃在.8C下方和②點(diǎn)〃在8C上方，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的三線合一分別求

出與PC平行的直線，然后結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】(1)解：當(dāng)y=0時(shí)，^%2-|x-4=0,

解得％1=—2,x2=8,

???點(diǎn)8在點(diǎn)力的右側(cè)，

???義-2,0),8(8,0),

當(dāng)x=0時(shí)，y=-4,

???C(0,-4).

(2)解：如圖，過點(diǎn)。作DE1/軸于點(diǎn)作

V71(-2,0),B(8,0),C(0,-4),

：,OA=2,OB=8,OC=4,

：.AB=8-(-2)=10,AC=yj'2.2+42=25BC=V42+82=4近,

：.AC2+BC2=AB2,

：,LACB=90°,

又?.?將△力BC沿BC所在的直線折疊得到△。，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D,

三點(diǎn)在一條直線上，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：CD=AC,BD=AB,

'：0C1AB,DELAB,

:.DE||OC,

為△ADE的中位線，AO=0E=2,

:.DE=20C=8,

???D(2,-8),

設(shè)直線BD的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,

將點(diǎn)8(8,0),。(2,-8)代入得：解得b

則直線BO的函數(shù)表達(dá)式為y=：x—?.

(3)解：在拋物線上存在點(diǎn)P,使乙PCB=418C,

①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時(shí)，

■:乙PCB=乙ABC,

：.PC||AB,

???點(diǎn)C,P的縱坐標(biāo)相等，

，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為一4,

令y=-4,則2工2-%-4=-4,解得匕=6,x=0(舍去)，

422

...P(6,-4)；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在8C上方時(shí)，

由（2）可知，4,C,。三點(diǎn)在一條直線上，BD=AB,41cB=90。,

：.LABC=乙DBC,

'：LPCB=乙ABC,

:“PCB=Z-DBC,

，PC||BD,

則可設(shè)直線PC的函數(shù)表達(dá)式為y=[%+c，

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-4）,

??c=—4,

???直線尸。的函數(shù)表達(dá)式為y=^%-4,

當(dāng)白-4=J/__4時(shí)，解得％i=?,x2=0（舍去），

???點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為?，

、1,341434.100

當(dāng)X=一時(shí)，V=-X4=一,

3,339

.”管芳），

綜上，在拋物線上存在點(diǎn)P,使NPC8-2AC,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6,-4）或管,一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合、折直的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的三線合一

等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3）,正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

【變式4-3]（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，拋物線=/+以+c經(jīng)過

點(diǎn)41,0）和點(diǎn)8（3,0）,與），軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)A的直線/與），軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)。，與拋物線吊交于點(diǎn)E,

且0。=0A.

(2)如圖②，點(diǎn)P是拋物線a上位于x軸下方的一動(dòng)點(diǎn)，連接CP、EP,CP與直線/交于點(diǎn)。，設(shè)ZkEPQ和AECQ

的面積為S1和S2,求m的最大值;

(3)如圖③，將拋物線K沿直線％=7H翻折得到拋物線Fz，且直線【與拋物線F?有且只有?個(gè)交點(diǎn)，求機(jī)的值.

【答案】(1),=%2-4%+3；

(2*的最大值為弓;

(3)m=O

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)結(jié)合(1)求得直線/的解析式為y=》一1,過點(diǎn)P作PM_L無軸，交/1E于點(diǎn)M,則PMIICO,易得△MPQ?

△"Q即意=患，由4“。和4￡CQ的底在同一直線上，且有相同的高，故合監(jiān)二募由(1)可知CO=4,

設(shè)尸(Q,Q2-4Q+3),則M(Q,Q-1),則PM=-(Q-()+；,因?yàn)镻M的最大值為三代入即可求解；

(3)求得拋物線y=/—4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),將(2,-1)沿直線％=m翻折得(2m-2,-1),故將拋

物線Fi：y=x2-4x+3沿直線x=m翻折得到拋物線F2為y=[x-(2m-2)]2-1,即y=爐一

2

(4m-4)x+47n2-8m+3,令/-(4m-4)x+4m-8m4-3=x-1即％?_(47n_3)x+4m2-8zn+

4=0,由直線/與拋物線f2有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則△=()，即可求解.

【詳解】(1)解：將點(diǎn)力(1,0)和點(diǎn)8(3,0)代入y=%2+b%+c得：

Cl+6+c=0

(9+3b+c=0'

解得

拋物線F1的解析式為:y=x2-4x+3；

(2)'：0D=OA,71(1,0),

則D(0,—1),

設(shè)直線/的解析式為y=k%+n,

[A+n=0

tn=—1

H二,

可得直線/的解析式為：y=x-l,

過點(diǎn)P作PMlx軸，交4E于點(diǎn)M,

則PM||CD,

A4MPQDCQ,

?.?-P-Q=--P-M-,

CQCD

△￡P(guān)Q和aECQ的底在同一直線上，且有相同的高,

則邑=也理=竺，

SlS&ECQCQ

?,?Si—_PQ—_PM,

S2CQCD

由⑴可知C(0,3),0(0,—1),

：,CD=4,

設(shè)P(Q,Q2—4a+3),

則M(a,a—1),

二PM=(a—1)—(a2—4Q+3)

=_(。一丁+￡

???PM的最大值為三

貝晦的最大值%=:=總

???部勺最大值為3;

J'A

(3)拋物線y=X2-4X+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：

(2,-1)，

將(2,-1)沿直線％=m翻折得：(27九-2,-1),

故將拋物線吊：y=/-4%+3沿直線％=m翻折,

得到拋物線尸2：y=[x-(2m-2)]2-l,

即：y=x2-(4m-4)x+4m2-8m+3,

令f-(4m-4)x+47n2-8m+3=x-l,

即好一(4m-3)x+4m2-8m+4=0

A=(4m—3)2—4(4m2—8m+4)

=8m—7,

又?,?直線/與拋物線F?有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

:.87n—7=0,

??m=-

【點(diǎn)睛】本題考查了代入法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，相似三角形的判定和

性質(zhì)，翻折問題，交點(diǎn)情況即一元二次方程解的情況；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，靈活求解.

【題型5利用軸對(duì)稱求最值】

【例5】（2023?遼寧盤錦?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形48。是矩形，=4。=4或，點(diǎn)。是邊4。上

一點(diǎn)（不與點(diǎn)人，。重合），連接尸B,PC.點(diǎn)M,N分別是PB,PC的中點(diǎn)，連接MN,AM,ON,點(diǎn)E在

邊力。上，MEIIDN,則力M+ME的最小值是（）

A.2V3B.3C.3A/2D.4V2

【答案】C

【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得工M=：8P,DN="P,通過證明四邊形MNDE是平行四邊形,

2z

可得ME=CN,則4M+ME=AM+DN=^(BP+CP),作點(diǎn)C關(guān)于直線力。的對(duì)稱點(diǎn)M,則BP+CP=BP+

PM，點(diǎn)B，P,M三點(diǎn)共線時(shí)，BP+PM的值最小，最小值為6M.

【詳解】解：???四邊形是矩形，

LBAP=乙CDP=90°,ADWBC,

?.點(diǎn)M,N分別是P8,PC的中點(diǎn)，

AM=^BP,DN=/P,MN=；BC,MNWBC,

???ADWBC,MNWBC,

:.MNII8C,

又；MEIIDN,

二四邊形MND￡是平行四邊形，

:.ME=DN,

???AM+ME=AM+DN=：(BP+CP),

如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線力。的對(duì)稱點(diǎn)M,連接PM,BM,

則BP+CP=8P+PM,

當(dāng)點(diǎn)8,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，8P+PM的值最小，最小值為BM,

在Rt△8CM中，MC=2CD=2A3=2<10,BC=AD=4vL

???BM=y/BC2+MC2=J（4&y+（2V10）2=65/2,

:.AM+ME的最小值==372,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸

對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用等量代換思想.

【變式5-1］（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，等邊中，/IF=6,將△48C沿力。翻折，得

到A/1OC,連接交力C于。點(diǎn)，E點(diǎn)在。。上，且DE=2OE,尸是BC的中點(diǎn)，P是4C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

|PF-PE|的最大值為.

【答案】V3

【分析】由折疊可證四邊形48CD為菱形，8。是4c邊上的中線，如圖，連接力E、AF.PM,交BD于M,4F是

BC邊上的中線，48AC的角平分線，則BM=2OM,AM=2MF,LCAF=30°,由OE=2OE,可得OM=OE,

則PE=PM,AE=AM,|PF—尸E|=I尸F(xiàn)-PM|,可知當(dāng)點(diǎn)夕運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，|PF—尸E|最大，最大為FM,

勾股定理求4F=VAC?-CF?=3百,則計(jì)算求解即可.

【詳解】解：ABC為等邊三角形,AB=6,

???AB=AC=BC=6,

???將△48C沿AC翻折，得到△ADC,

???AD=CD=BC=AB=6,

???四邊形48C0為菱形，

：.DO=BO,AO=CO=3,BD1AC,

???8。是AC邊上的中線，

如圖,連接4E、AF.PM,交BD于M,

DA

C、B

???尸是BC的中點(diǎn),

??//是8。邊上的中線，的角平分線,

：.BM=20M,AM=2MF,Z-CAF=30°,

*：DE=2OE,

：.OM=OE,

?:BD1AC,

：.PE=PM,AE=AM,

：.|PF-PE\=\PF-PM\f

???當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，IPF-PEI最大，最大為廣M,

?：“AF=30°,

：,CF=3,

由勾股定理得，AF=>/AC2-CF2=373,

：,FM=^AF=V3,

故答案為：V5.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，

等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形等知識(shí).根據(jù)題意確定最大值的情況是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模）如圖，菱形4BCD的邊長(zhǎng)為10,tanA=%點(diǎn)M為邊AD上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)且不與點(diǎn)4和點(diǎn)。重合，點(diǎn)A關(guān)于直線8M的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)4,點(diǎn)N為線段C4的中點(diǎn)，連接DM則線段DN

長(zhǎng)度的最小值是.

【答案】A/65-5

【分析】根據(jù)4A關(guān)于直線對(duì)稱，得到84=10,取BC的中點(diǎn)K,NK是△4BC的中位線，則NK=5,

作DH1BC,根據(jù)tanA=士可求出。H=8,CH=6,在Rt△DHK中,由勾股定理求得。K的值，再根據(jù)三角

3

形的三邊關(guān)系即可求出答案.

【詳解】解：如圖，連接BA,取EC的中點(diǎn)K,連接NK,作。"J.BC于".

???四邊形48CD是菱形，

??AB=BC=CD=AD=10,Z.A=Z.DCB,

???點(diǎn)A關(guān)于直線BM的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)片,

???84=BA=10,

???點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)K是BC的中點(diǎn)，

???NK是△48C的中位線，

：,

.NK=-2BA=5,

VtanA=tanz.DCH=7^=-?

CH3

：,DH=4x,CH=3x,

在中，由勾股定理得。"2+C〃2=CO2,

/.16x2+9x2=100,

解得％=2（負(fù)值舍去），

：.CH=6,DH=8,

*：CK=0=5,

：.HK=CH-CK=1,

:,DK=y/DH2+KH2=V65,

■:DN>DK—NK,

：.DN>V65-5,

???ON的最小值為夜—5,

故答案為：V65-5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形中位線定理，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，三

角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2023?浙江?統(tǒng)考二模）如圖，在正方形48CC中，點(diǎn)E為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于4E的對(duì)

稱點(diǎn)8’，連接并延長(zhǎng)。夕，交4f延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡連接38',BF.

⑴求證：BF=B'F.

⑵求匕BB'D的度數(shù).

（3）若4B=2.在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)尸到8C距離的最大值.

【答案】（1）證明見解析

(2)135°

(3)^/2-1

【分析】（I）根據(jù)題意可得/E垂直平分/?夕，則B尸二夕F；

（2）如圖所示，連接力9，證明A8=A/T=A〃，得至ijNAy”=418'乩Z-ADBf=Z-ABrD,根據(jù)四邊形內(nèi)

角和定理求出匕/8夕+Z-AB'B+LADB'+乙AB'D=270°,即可得到48夕0=MB'B+^AB,D=135°；

（3）如圖所示，連接4C、8。交于。，設(shè)B1與力尸交于從先求出4”0=45。，則點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心，V2

為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，即劣弧8C上運(yùn)動(dòng)；過點(diǎn)。作。M18C交BC于N,交。。于M,則點(diǎn)尸到BC距離的

最大值即為EM的長(zhǎng)，由此求出答案即可.

【詳解】（1）證明：???點(diǎn)B關(guān)于HE的對(duì)稱點(diǎn)為8',

垂直平分8夕,

：.BF=B'F；

（2）解:如圖所示，連接力8',

??YE垂直平分BB',

：.AB=AB,,

???四邊形/BCD是正方形，

：.AB=AD,/.BAD=90°,

：.AB=ABf=AD,

：.LABB'=Z.AB'B,Z.ADBr=/.AB'D,

+乙AB'B+/.ADB'+乙AB'D+匕BAD=360°,

"ABB'+乙AB'B+Z.ADB'+乙AB'D=270°,

:?乙BB'D=十乙AB'D=135°；

（3）解：如圖所示，連接4GBD交于O,設(shè)BB'與AF交于H,

由（2）得N尸8'H=180°-乙BB'D=45°,

?：FH1BB',

：.LAFD=45°,

???四邊形48。。是正方形，

：.OA=OD=-AC=—AB=V2Z.AOD=90°,

22f

???點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心，魚為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，即劣弧BC上運(yùn)動(dòng)，

過點(diǎn)。作0Ml8c交夙?于N,交00于M,則點(diǎn)r到8C距離的最大值即為EM的長(zhǎng),

在RtAOBN中，BN=-BC=1,0B=瓜

：,0N=y/OB2-BN2=1,

：,ME=V2-1,

???點(diǎn)/到BC距離的最大值為四-1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，垂徑定理，等腰二角形的性質(zhì)

與判定等等，正確確定點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

【題型6根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積、長(zhǎng)度、角度】

【例6】(2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△力8。的頂點(diǎn)4、。分別是直線了=一,％+4

與坐標(biāo)軸的