廣西桂林市龍勝中學2025年數(shù)學高二第一學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．記為等差數(shù)列的前n項和，有下列四個等式，甲：；乙：；丙：；?。海绻挥幸粋€等式不成立，則該等式為（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁2．已知直線l與圓交于A，B兩點，點滿足，若AB的中點為M，則的最大值為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（）A B.C. D.4．已知中，內(nèi)角所對的邊分別，若，，，則（）A. B.C. D.5．函數(shù)的導數(shù)記為，則等于（）A. B.C. D.6．已知集合，，則A. B.C. D.7．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積是（）A B.C. D.8．如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，，是雙曲線右支上的一點，，直線與軸交于點，的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.9．橢圓的焦點坐標為（）A. B.C. D.10．已知圓：，點是直線：上的動點，過點引圓的兩條切線、，其中、為切點，則直線經(jīng)過定點（）A. B.C. D.11．若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為，如.如圖所示的程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的“中國剩余定理”.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.1612．變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：若，之間的線性回歸方程為，則的值為（）45678.27.86.65.4A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線恒過定點，則定點坐標為________14．某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一個容量為280的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為____________.15．經(jīng)過點，的直線的傾斜角為___________.16．點到直線的距離為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸且焦點在軸上，拋物線：，若拋物線的焦點在橢圓上，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知斜率存在且不為零的直線滿足：與橢圓相交于不同兩點、，與直線相交于點.若橢圓上一動點滿足：，，且存在點，使得恒為定值，求的值.18．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.19．（12分）已知命題；命題.（1）若p是q的充分條件，求m的取值范圍；（2）當時，已知是假命題，是真命題，求x的取值范圍.20．（12分）已知圓，圓.（1）試判斷圓C與圓M的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若過點的直線l與圓C相切，求直線l的方程.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若點在棱上，且平面，求線段的長22．（10分）已知，以點為圓心圓被軸截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若過點的直線與圓相切，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分別假設甲、乙、丙、丁不成立，驗證得到答案【詳解】設數(shù)列的公差為，若甲不成立，則，由①，③可得，此時與②矛盾；A錯，若乙不成立，則，由①，③可得，此時；與②矛盾；B錯，若丙不成立，則，由①，③可得，此時；與②矛盾；C錯，若丁不成立，則，由①，③可得，此時；，D對，故選：D.2、A【解析】設，，則、，由點在圓上可得，再由向量垂直的坐標表示可得，進而可得M的軌跡為圓，即可求的最大值.【詳解】設，中點，則，，又，，則，所以，又，則，而，，所以，即，綜上，，整理得，即為M的軌跡方程，所以在圓心為，半徑為的圓上，則.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由點圓位置、中點坐標公式及向量垂直的坐標表示得到關(guān)于的軌跡方程.3、B【解析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，可得，再結(jié)合焦距為2和，求得，即可得解.【詳解】解：因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因為，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：B.4、B【解析】利用正弦定理可直接求得結(jié)果.【詳解】在中，由正弦定理得：.故選：B.5、D【解析】求導后代入即可.【詳解】，.故選：D.6、B【解析】由交集定義直接求解即可.【詳解】集合，，則.故選B.【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎題.7、B【解析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出切線方程，求出切線和橫截距a和縱截距b，面積為【詳解】由題意可得，所以，則所求切線方程為令，得；令，得故所求三角形的面積為故選：B8、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與邊長的關(guān)系求出雙曲線實半軸長a，再利用離心率公式計算作答.【詳解】依題意，，的內(nèi)切圓半徑，由直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)知：，由雙曲線對稱性知，，于是得，即，又雙曲線半焦距c=2，所以雙曲線的離心率.故選：D【點睛】結(jié)論點睛：二直角邊長為a，b，斜邊長為c的直角三角形內(nèi)切圓半徑.9、B【解析】根據(jù)方程可得，且焦點軸上，然后可得答案.【詳解】由橢圓的方程可得，且焦點在軸上，所以，即，故焦點坐標為故選：B10、D【解析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合圓的標準方程、圓與圓的位置關(guān)系進行求解即可.【詳解】因為、是圓的兩條切線，所以，因此點、在以為直徑的圓上，因為點是直線：上的動點，所以設，點，因此的中點的橫坐標為：，縱坐標為：，，因此以為直徑的圓的標準方程為：，而圓：，得：，即為直線的方程，由，所以直線經(jīng)過定點，故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：由圓的切線性質(zhì)得到點、在以為直徑的圓上，運用圓與圓的位置關(guān)系進行求解是解題的關(guān)鍵.11、C【解析】根據(jù)“中國剩余定理”，進而依次執(zhí)行循環(huán)體，最后求得答案.【詳解】由題意，第一步：，余數(shù)不為1；第二步：，余數(shù)不為1；第三步：，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個判斷框，余數(shù)不為2；第四步：，執(zhí)行第一個判斷框，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個判斷框，余數(shù)為2.輸出的i值為13.故選：C.12、C【解析】本題先求樣本點中心，再利用線性回歸方程過樣本點中心直接求解即可.【詳解】解：，，所以樣本點中心：，線性回歸方程過樣本點中心，則解得：，故選：C【點睛】本題考查線性回歸方程過樣本點中心，是簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】解方程組可求得定點坐標.【詳解】直線方程可化為，由，可得.故直線恒過定點.故答案為：.14、160【解析】∵某個年級共有980人，要從中抽取280人，∴抽取比例為，∴此樣本中男生人數(shù)為，故答案為160.考點：本題考查了分層抽樣的應用點評：掌握分層抽樣的概念是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎題15、【解析】根據(jù)兩點間斜率公式得到斜率，再根據(jù)斜率確定傾斜角大小即可.【詳解】根據(jù)兩點間斜率公式得：，所以直線的傾斜角為：.故答案為：16、【解析】應用點線距離公式求點線距離.【詳解】由題設，點到距離為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先求得橢圓的，代入公式即可求得橢圓的方程；（2）以設而不求的方法得到兩根和，再由條件，得到四邊形為平行四邊形，并以向量方式進行等價轉(zhuǎn)化，再與恒為定值進行聯(lián)系，即可求得的值.【小問1詳解】由條件可設橢圓：，因為拋物線：的焦點為，所以，解得因為橢圓離心率為，所以，則，故橢圓的方程為【小問2詳解】設直線：，，，把直線的方程代入橢圓的方程，可得，所以，因為，，所以四邊形為平行四邊形，得，即，得由在橢圓上可得，，即因為，又所以，所以將代入得，所以，即.【點睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。18、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為和；（2）；.【解析】（1）求出導函數(shù)，令，求出單調(diào)遞增區(qū)間；令，求出單調(diào)遞減區(qū)間.（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】1函數(shù)的定義域是R，，令，解得令，解得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和；2由在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，而，，故最大值是.19、（1）；（2）.【解析】（1）解不等式組即得解；（2）由題得p、q一真一假，分兩種情況討論得解.【小問1詳解】解：由題意知p是q的充分條件，即p集合包含于q集合，有；【小問2詳解】解：當時，有，由題意知，p、q一真一假，當p真q假時，，當p假q真時，，綜上，x的取值范圍為20、（1）圓C與圓M相交，理由見解析（2）或【解析】（1）利用圓心距與半徑的關(guān)系即可判斷結(jié)果；（2）討論，當直線l的斜率不存在時則方程為，當直線l的斜率存在時，設其方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑計算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】把圓M的方程化成標準方程，得，圓心為，半徑.圓C的圓心為，半徑，因為，所以圓C與圓M相交，【小問2詳解】①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為到圓心C距離為2，滿足題意；②當直線l的斜率存在時，設其方程為，由題意得，解得，故直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.21、（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）．（Ⅲ）.【解析】第一問根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)得出線線垂直的結(jié)論，注意在書寫的時候條件不要丟就行；第二問建立空間直角坐標系，利用法向量所成角的余弦值來求得二面角的余弦值；第三問利用向量共線的關(guān)系，得出向量的坐標，根據(jù)線面平行得出向量垂直，利用其數(shù)量積等于零，求得結(jié)果.（Ⅰ）證明：因為平面⊥平面，且平面平面，因為⊥，且平面所以⊥平面因為平面，所以⊥.（Ⅱ）解：在△中，因為，，，所以，所以⊥.所以，建立空間直角坐標系，如圖所示所以，，，，，，.易知平面的一個法向量為.設平面的一個法向量為，則，即，令，則.設二面角的平面角為，可知為銳角，則，即二面角的余弦值為（Ⅲ）解：因為點在棱，所以，因為，所以，.又因為平面，為平面的一個法向量，所以，即，所以所以，所以.22、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)