山東省濟南市歷城區(qū)濟南一中2026屆高二上數(shù)學期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓，則圓C關于直線對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.2．已知直線過點，，則該直線的傾斜角是（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，.若存在三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.4．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則A. B.2C.3 D.5．命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是（）A.a≥4 B.a≤4C.a≥5 D.a≤56．已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)n的值是（）A. B.C. D.7．已知直線與平行，則a的值為（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣28．拋物線準線方程為()A. B.C. D.9．已知中，內角所對的邊分別，若，，，則（）A. B.C. D.10．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，已知向量，，且，則A.12 B.10C.5 D.11．若數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.12．設F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為___________.14．已知P，A，B，C四點共面，對空間任意一點O，若，則______.15．拋物線的焦點坐標為_____.16．如圖，在棱長為2的正方體中，E為BC的中點，點P在線段上，分別記四棱錐，的體積為，，則的最小值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的準線方程是，直線與拋物線相交于M、N兩點（1）求拋物線的方程；（2）求弦長；（3）設O為坐標原點，證明：18．（12分）已知點，點為直線上的動點，過作直線的垂線，線段的中垂線與交于點.（1）求點的軌跡的方程；（2）若過點直線與曲線交于，兩點，求與面積之和的最小值.（為坐標原點）19．（12分）已知數(shù)列的首項為，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設，記數(shù)列的前項和為，求，并證明：.20．（12分）如圖，一個湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個點、，并修建兩段直線型道路、.規(guī)劃要求，線段、上的所有點到點的距離均不小于圓的半徑.已知點到直線的距離分別為和（為垂足），測得，，（單位：百米）.（1）若道路與橋垂直，求道路的長；（2）在規(guī)劃要求下，點能否選在處？并說明理由.21．（12分）已知橢圓長軸長為4，A，B分別為左、右頂點，P為橢圓上不同于A，B的動點，且點在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1）求橢圓的標準方程；（2）直線AP與直線（m為常數(shù)）交于點Q，①當時，設直線OQ的斜率為，直線BP的斜率為．求證：為定值；②過Q與PB垂直的直線l是否過定點？如果是，請求出定點坐標；如果不是，請說明理由22．（10分）如圖，正方體的棱長為2，點，分別在棱，上運動，且.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值：（3）當，分別是棱，的中點時，求平面與平面的夾角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】求得圓的圓心關于直線的對稱點，由此求得對稱圓的方程.【詳解】設圓的圓心關于直線的對稱點為，則，所以對稱圓的方程為.故選：B2、C【解析】根據(jù)直線的斜率公式即可求得答案.【詳解】設該直線的傾斜角為，該直線的斜率，即.故選：C3、B【解析】根據(jù)題意，當時，有一個零點，進而將問題轉化為當時，有兩個實數(shù)根，再研究函數(shù)即可得答案.【詳解】解：因為存在三個零點，所以方程有三個實數(shù)根，因為當時，由得，解得，有且只有一個實數(shù)根，所以當時，有兩個實數(shù)根，即有兩個實數(shù)根，所以令，則，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，因為，，，所以的圖象如圖所示，所以有兩個實數(shù)根，則故選：B4、A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，故選A.【點睛】本題考查利用正弦定理求邊，要記得正弦定理所適用的基本類型，考查計算能力，屬于基礎題5、C【解析】先要找出命題為真命題的充要條件，從集合的角度充分不必要條件應為的真子集，由選擇項不難得出答案【詳解】命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題，可化為?x∈[1，2]，恒成立即只需，即命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的的充要條件為，而要找的一個充分不必要條件即為集合的真子集，由選擇項可知C符合題意.故選：C6、C【解析】首先根據(jù)拋物線焦半徑公式得到，從而得到，再根據(jù)曲線的一條漸近線與直線AM平行，斜率相等求解即可.【詳解】由題知：，解得，拋物線.雙曲線的左頂點為，，因為雙曲線的一條漸近線與直線平行，所以，解得.故選：C7、A【解析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因為直線與平行，所以，解得.故選：A.8、D【解析】由拋物線的準線方程即可求解【詳解】由拋物線方程得：．所以，拋物線的準線方程為故選D【點睛】本題主要考查了拋物線的準線方程，屬于基礎題9、B【解析】利用正弦定理可直接求得結果.【詳解】在中，由正弦定理得：.故選：B.10、C【解析】利用數(shù)量積運算性質、等比數(shù)列的性質及其對數(shù)運算性質即可得出【詳解】向量＝（，），＝（，），且?＝4，∴+＝4，由等比數(shù)列的性質可得：＝……＝＝＝2，則log2（?）＝故選C【點睛】本題考查數(shù)量積運算性質、等比數(shù)列的性質及其對數(shù)運算性質，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題11、C【解析】利用前項積與通項的關系可求得結果.【詳解】由已知可得.故選：C.12、A【解析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率【詳解】設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點在圓上，，即，故選A【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求導數(shù)，得出切線斜率，寫出切線方程，然后可求三角形的面積.【詳解】，當時，，所以切線方程為，即；令可得，令可得；所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為.故答案為：.14、【解析】由條件可得存在實數(shù)，使得，再用向量表示出向量，即可得出答案.詳解】P，A，B，C四點共面,則存在實數(shù)，使得所以即所以，解得故答案為：15、【解析】根據(jù)拋物線方程求得p，則根據(jù)拋物線性質可求得拋物線的焦點坐標．解：拋物線方程中p=2，∴拋物線焦點坐標為（-1，0）故填寫考點：拋物線的簡單性質點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質．屬基礎題16、【解析】設，用參數(shù)表示目標函數(shù)，利用均值不等式求最值即可.【詳解】取線段AD中點為F，連接EF、D1F，過P點引于M，于N，則平面，平面，則，∴，設，則，，即，，∴，當且僅當時，等號成立，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）詳見解析.【解析】（1）根據(jù)拋物線的準線方程求解；（2）由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式求解；（3）結合韋達定理，利用數(shù)量積運算證明；【小問1詳解】解：因為拋物線的準線方程是，所以，解得，所以拋物線的方程是；【小問2詳解】由，得，設，則，所以；【小問3詳解】因為，，，所以，即.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義可得軌跡方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)關系結合均值不等式可得最小值【小問1詳解】如圖所示，由已知得點為線段中垂線上一點，即，即動點到點的距離與點到直線的距離相等，所以點的軌跡為拋物線，其焦點為，準線為直線，所以點的軌跡方程為，【小問2詳解】如圖所示：設，點，，聯(lián)立直線與拋物線方程，得，，，，，，所以，當且僅當，即，時取等號，此時，即，所以當直線直線，時取得最小值為.【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式19、（1）證明見解析（2），證明見解析【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）由錯位相減法求得和，再由的單調性可證得不等式成立【小問1詳解】由得又，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）的結論有①②①②得：又為遞增數(shù)列，20、（1）15（百米）（2）點選在處不滿足規(guī)劃要求，理由見解析【解析】（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，得圓及直線的方程，進而得解.（2）不妨點選在處，求方程并求其與圓的交點，在線段上取點不符合條件，得結論.【小問1詳解】如圖，過作，垂足為.以為坐標原點，直線為軸，建立平面直角坐標系.因為為圓的直徑，，所以圓的方程為.因為，，所以，故直線的方程為，則點，的縱坐標分別為3，從而，，直線的斜率為.因為，所以直線的斜率為，直線的方程為.令，得，，所以.因此道路的長為15（百米）.【小問2詳解】若點選在處，連結，可求出點，又，所以線段.由解得或，故不妨取，得到在線段上的點，因為，所以線段上存在點到點的距離小于圓的半徑5.因此點選在處不滿足規(guī)劃要求.21、（1）（2）①證明見解析；②直線過定點；【解析】（1）依題意得到方程組，解得，即可求出橢圓方程；（2）①由（1）可得，，設，，表示出直線的方程，即可求出點坐標，從而得到、，即可求出；②在直線方程中令，即可得到的坐標，再求出直線的斜率，即可得到直線的方程，從而求出定點坐標；【小問1詳解】解：依題意可得，即，解得或（舍去），所以，所以橢圓方程為【小問2詳解】解：①由（1）可得，，設，，則直線的方程為，令則，所以，，所以，又點在橢圓上，所以，即，所以，即為定值；②因為直線的方程為，令則，因為，所以，所以直線的方程為，即又，所以，令，解得，所以直線過定點；22、（1