專題23.1圖形的旋轉(zhuǎn)（舉一反三講義） 【人教版】TOC\o"13"\h\u【題型1生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】 2【題型2旋轉(zhuǎn)三要素】 4【題型3利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷結(jié)論正誤】 6【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解】 12【題型5利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明】 18【題型6畫(huà)旋轉(zhuǎn)后的圖形】 23【題型7求旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)】 30【題型8利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案】 34【題型9坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)規(guī)律問(wèn)題】 37知識(shí)點(diǎn)1旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念1.把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)．點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角．如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P'，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．2.旋轉(zhuǎn)三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向．知識(shí)點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)1.對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．2.對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．3.旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．知識(shí)點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)作圖將△ABC繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△DEF的步驟：（1）定：確定旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)M，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針，旋轉(zhuǎn)角為120°．（2）找：尋找構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點(diǎn)A，B，C，連接關(guān)鍵點(diǎn)A和旋轉(zhuǎn)中心M，即線段AM．（3）轉(zhuǎn)：以旋轉(zhuǎn)中心M為頂點(diǎn)，過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)A的射線MA為一邊，按順時(shí)針?lè)较蜃饕粋€(gè)120°的角．（4）截：在角的另一邊上取一點(diǎn)D,使MD＝MA，得到點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，以此作法，可得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F．（5）連：按原圖順序連接D，E，F(xiàn)，得到△DEF，如圖所示．【題型1生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】【例1】（2425七年級(jí)下·江蘇南京·期中）電影《哪吒之魔童鬧?！返臒嵊?，推動(dòng)了我國(guó)國(guó)產(chǎn)動(dòng)畫(huà)電影發(fā)展，提升了中國(guó)文化影響力．對(duì)下列哪吒圖片的變換順序描述正確的是（

）A．軸對(duì)稱，平移，旋轉(zhuǎn) B．旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱，平移C．軸對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)，平移 D．平移，旋轉(zhuǎn)，軸對(duì)稱【答案】A【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形“如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形”和圖形的旋轉(zhuǎn)“把一個(gè)平面圖形繞平面內(nèi)某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)”、平移“某一基本的平面圖形沿著一定的方向移動(dòng)，這種圖形的平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱為平移”，熟記圖形的旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱圖形、平移的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱圖形、平移的定義進(jìn)行判斷即可得．【詳解】解：由圖可知，第一次為軸對(duì)稱，第二次為平移，第三次為旋轉(zhuǎn)，故選：A．【變式11】（2425七年級(jí)上·上?！て谀┰隗w育課上，當(dāng)老師下達(dá)口令“向右轉(zhuǎn)”時(shí)，右腳正確的動(dòng)作應(yīng)是以（填“腳跟”或“腳尖”）為旋轉(zhuǎn)中心，沿著（填“順”或“逆”）時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)度．【答案】腳跟順90【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念，掌握旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)即可解答．【詳解】解：在體育課上，當(dāng)老師下達(dá)口令“向右轉(zhuǎn)”時(shí)，右腳正確的動(dòng)作應(yīng)是以腳跟為旋轉(zhuǎn)中心，沿著順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90度．故答案為：腳跟；順；90．【變式12】（2425八年級(jí)下·廣東佛山·期末）如圖1，魔術(shù)師把4張撲克牌放在桌面上，然后蒙住眼睛，請(qǐng)一位觀眾把其中1張牌旋轉(zhuǎn)180°．魔術(shù)師睜開(kāi)眼睛后，看到4張牌如圖2所示，則被旋轉(zhuǎn)過(guò)的牌是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形的概念及識(shí)別，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)且結(jié)合圖1和圖2的變化，找出中心對(duì)稱圖形，即可作答．【詳解】解：4張撲克牌中，只有方塊6是中心對(duì)稱圖形，觀察圖1和圖2，它們都沒(méi)有改變，因此被旋轉(zhuǎn)過(guò)的牌是方塊6，故選：D【變式13】（2425七年級(jí)下·江蘇南京·期中）如圖，A、B、C、D、O均在格點(diǎn)上，△CDO是由△AOB經(jīng)過(guò)兩次圖形的變換（平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)）得到的．下列結(jié)論：①1次旋轉(zhuǎn)和1次平移；②2次軸對(duì)稱；③1次平移和1次軸對(duì)稱；④1次軸對(duì)稱和1次旋轉(zhuǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】③④/④③【分析】本題主要考查了圖形的平移，旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱，平移和旋轉(zhuǎn)不會(huì)改變△AOB中三個(gè)內(nèi)角字母的排列順序（例如A、O、B順時(shí)針排列），那么經(jīng)過(guò)平移或者旋轉(zhuǎn)得到的△CDO是按照C，D，O順時(shí)針排列，一次軸對(duì)稱會(huì)改變△AOB中三個(gè)內(nèi)角字母的排列順序（例如A、O、B順時(shí)針排列），那么經(jīng)過(guò)1次軸對(duì)稱得到的【詳解】解：∵旋轉(zhuǎn)和平移都不會(huì)改變△AOB中三個(gè)內(nèi)角字母的排列順序（例如A、O、B順時(shí)針排列），那么經(jīng)過(guò)平移或者旋轉(zhuǎn)得到的△CDO是按照C，∴△CDO不能由△AOB經(jīng)過(guò)1次旋轉(zhuǎn)或者1次平移，故①不符合題意；∵1次軸對(duì)稱一定會(huì)改變變△AOB中三個(gè)內(nèi)角字母的排列順序（例如A、O、B順時(shí)針排列），那么經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)1次軸對(duì)稱得到的△CDO是按照C，∴軸對(duì)稱的次數(shù)一定要滿足奇數(shù)次，故②不符合題意，③④符合題意，故答案為；③④【題型2旋轉(zhuǎn)三要素】【例2】（2425九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，教室內(nèi)地面有個(gè)傾斜的畚箕，箕面AB與水平地面的夾角∠CAB為62°，小明將它扶起（將畚箕繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）后平放在地面，箕面AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為．【答案】118°/118度【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平角的定義，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平角的定義計(jì)算即可得出答案，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵箕面AB與水平地面的夾角∠CAB為62°，∴∠BAB′=180°?∠CAB=118°，即箕面AB繞點(diǎn)A故答案為：118°．【變式21】（2425七年級(jí)下·河南周口·期末）如圖，將△AOB按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后成為△COD，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)O B．旋轉(zhuǎn)角等于∠AODC．OA=OC D．△AOB【答案】B【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析即可得出答案．【詳解】解：A：因?yàn)椤鰽OB繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到△COD，所以旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)O，該選項(xiàng)正確，不符合題意；B：旋轉(zhuǎn)角是對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角，△AOB旋轉(zhuǎn)到△COD，旋轉(zhuǎn)角應(yīng)該是∠AOC或∠BOD，而不是∠AOD，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C：由于旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，OA與OC是對(duì)應(yīng)邊，所以O(shè)A=OC，該選項(xiàng)正確，不符合題意；D：旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，所以△AOB≌故選：B．【變式22】如圖，格點(diǎn)三角形甲經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后得到格點(diǎn)三角形乙，則其旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)．【答案】M【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是確定旋轉(zhuǎn)中心的關(guān)鍵所在．判斷哪個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離相等，且?jiàn)A角也相等，即可求解．【詳解】解：如圖，連接M和兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到點(diǎn)M的距離相等，且?jiàn)A角都是90°，因此格點(diǎn)M就是所求的旋轉(zhuǎn)中心．故答案為：M．【變式23】（2425七年級(jí)下·江蘇常州·期中）如圖，由兩個(gè)正方形組合成一個(gè)長(zhǎng)方形，若將正方形ABCD繞旋某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度與正方形DCFE重合，則這樣的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了找旋轉(zhuǎn)中心，根據(jù)正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得C，D以及DC的中點(diǎn)，可以作為旋轉(zhuǎn)中心，據(jù)此即可求解．【詳解】解：把正方形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度可使得正方形ABCD與正方形DCFE重合，把正方形ABCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度可使得正方形ABCD與正方形DCFE重合，把正方形ABCD繞DC的中點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度可使得正方形ABCD與正方形DCFE重合，∴一共有3個(gè)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，故選：C．【題型3利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷結(jié)論正誤】【例3】（2025·天津南開(kāi)·三模）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D，E，連接BD，BE，若∠BED=80°，下列結(jié)論一定正確的是（

）A．∠CBE=20° B．∠CAD=120°C．AC∥BD 【答案】A【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵；由旋轉(zhuǎn)得△ABD是等邊三角形，從而有∠ADB=∠ABD=60°，由三角形內(nèi)角和即可判斷A；由∠CAD=120°+∠EAB可判斷B，由∠CAD+∠ABD=180°+∠EAB可判斷C；∠ADE，【詳解】解：∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，∴∠ABC=∠ADE，∠BAD=60°，AB=AD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB=∠ABD=60°；∵∠ABC=∠CBE+∠ABE，∴∠BDE=∠ADB?∠ADE=60°?∠CBE?∠ABE；又∵∠BDE+∠DBE=180°?∠BED=100°，∠DBE=∠ABD+∠ABE=60°+∠ABE，∴60°?∠CBE?∠ABE+60°+∠ABE=100°，∴∠CBE=20°；故A正確；∵∠CAD=∠CAE+∠EAB+∠BAD=120°+∠EAB，∴當(dāng)∠EAB=0°時(shí)，∠CAD=120°，否則不正確；故B不正確；∵∠CAD+∠ABD=180°+∠EAB，∴AC，∵AD=BD，當(dāng)∠ADE=∠BDE時(shí)，則有△ADE≌△BDE，從而有AE=BE，∴AC=BE；否則AC≠BE；故D錯(cuò)誤；故選：A．【變式31】（2425七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)E落在AB上，延長(zhǎng)DE交BC于點(diǎn)F，連結(jié)BD．給出下面四個(gè)結(jié)論：①△ABC≌△ADE；②DF<BC+EF；③∠DFB=∠DAB；④若BC=2，AB=4，則△ABD的面積是4．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是【答案】①③④【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABC≌△ADE，可判斷①；再由全等三角形的性質(zhì)可得DE=BC,∠AED=∠C=90°,AE=AC，∠ADE=∠ABC，從而得到DF=DE+EF=BC+EF，可判斷②；再由余角的性質(zhì)可得∠DFB=∠DAB，可判斷③；根據(jù)三角形的面積公式可判斷④．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△ADE，故①正確；∴DE=BC,∠AED=∠C=90°,AE=AC，∠ADE=∠ABC，∴∠BEF=90°，∴DF=DE+EF=BC+EF，故②錯(cuò)誤；∵∠BEF=∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAB=90°=∠ABC+∠DFB，∵∠ADE=∠ABC，∴∠DFB=∠DAB，故③正確；∵BC=2，∴DE=BC=2，∵AB=4，∴△ABD的面積是12綜上，所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．故答案為：①③④【變式32】（2025·吉林長(zhǎng)春·二模）如圖，將?ABCD的邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段AE，將邊CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段CF，連結(jié)BE、DF、EF．點(diǎn)G、H分別是EF、AD的中點(diǎn)，連結(jié)GH．給出下面五個(gè)結(jié)論：①∠DAE=∠BCF；②AE∥CF；③當(dāng)AB=2時(shí)，S△ABE=2；④AD=1【答案】①②⑤【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用．利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠BAD=∠BCD，∵∠BAE=∠DCF=30°，∴∠BAD+∠BAE=∠BCD+∠DCF，即∠DAE=∠BCF，故①正確，符合題意；②如圖，連接AC，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，由①得∠DAE=∠BCF，∴∠DAE?∠CAD=∠BCF?∠ACB，∴∠CAE=∠ACF，∴AE∥故②正確，符合題意；③如圖，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥AE交AE于點(diǎn)K，∵∠BAE=30°，AB=2，∴AE=AB=2，∴S故③錯(cuò)誤，不符合題意；④根據(jù)給出的條件無(wú)法證明AD=1故④錯(cuò)誤，不符合題意；⑤如圖，連接AC,AF,CE，由②得AE∥CF，且AE=AB=CD=CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，∵點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，∴點(diǎn)G為?AECF對(duì)角線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)G為線段AC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)H為線段AD的中點(diǎn)，∴GH=1故⑤正確，符合題意；故答案為：①②⑤．【變式33】（2425八年級(jí)下·北京房山·期末）如圖，矩形ABCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形A′B′C′D，連接BB′交CD于點(diǎn)E，F(xiàn)為BB′的中點(diǎn)，連接DF交A′B′于點(diǎn)G上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③【答案】A【分析】連接BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可以確定∠BDB′=90°，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論①；根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)證明△BCE≌△DA′GAAS從而得出結(jié)論②；證明△DFE≌△【詳解】解：如圖，連接BD，∵矩形ABCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形A′∴∠BDB∵F為BB∴DF=1∵矩形ABCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到矩形A′∴∠C=∠DA′B∴∠CA∴∠CBE=∠A∵DB=DB′，F(xiàn)為∵∠DFE=∠B∴∠A∴∠A∴∠CBE=∠A又∵∠C=∠DA′B∴△BCE≌△DA∴CE=A∵DF=12BB′∴△DFE≌△B∴EF=FG，∴△EFG為等腰直角三角形，∴EG=E如圖，延長(zhǎng)EG交DB′于點(diǎn)∵DF=BF，∠DFB=90°，∴∠DBF=45°，∵EF=FG，∴∠GEF=45°，即∠DBF=∠GEF，∴EH∥∴∠EHB∴EG⊥B故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理為解題關(guān)鍵．【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解】【例4】（2025·遼寧盤(pán)錦·模擬預(yù)測(cè)）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，連結(jié)BM，則BM的長(zhǎng)度是（A．3+1 B．3 C．2+1【答案】A【分析】本題考查了圖形的變換﹣旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定，準(zhǔn)確把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，連接AM，由題意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM為等邊三角形，根據(jù)AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=12AC=1，OM=【詳解】解：如圖，連接AM，由題意得：CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM為等邊三角形，∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=2∴AC=2=CM，∵AB=BC，CM=AM，∴BM垂直平分AC，∴BO=CO=AO=12∴CM=2OC=2，OM=C∴BM=OM+BO=3故選：A．【變式41】（2025·江蘇揚(yáng)州·三模）已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D為BC邊一點(diǎn)，且BD:DC=1:2，以D為一個(gè)頂點(diǎn)作正方形DEFG，且DE=BC，連接AE，將正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE取得最大值時(shí)【答案】2【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決此題的關(guān)鍵是明確當(dāng)點(diǎn)A、D、E在同一條直線上時(shí)，AE有最大值．當(dāng)點(diǎn)E在線段AD延長(zhǎng)線上時(shí)，AE取得最大值，畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，求出BC的長(zhǎng)度，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AG的長(zhǎng)．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)E在線段AD延長(zhǎng)線上時(shí)，AE取得最大值．過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，如圖所示：∵∠BAC=90°，AB=AC=6，∴BC=A∴BM=CM=32∴AM=32∵BD:DC=1:2，DE=BC，∴BD=22，DE=EF=DG=FG=6∴DM=BM?BD=32∴在Rt△ADM中，AD=在Rt△ADG中，AG=故答案為：223【變式42】（2425八年級(jí)下·陜西榆林·期末）如圖，點(diǎn)A為直線l上方一點(diǎn)，AB⊥l于點(diǎn)B，點(diǎn)P為直線l上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACQ（點(diǎn)B、P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、Q），連接PC并延長(zhǎng)，交AQ于點(diǎn)D．若PD⊥AQ，AB=42，則PC的長(zhǎng)為【答案】4【分析】先證明△APQ是等邊三角形，得到AP=PQ，再證明PD垂直平分AQ．得到AC=CQ．求得AQ=AP=AB2+BP2=8【詳解】解：如圖，連接PQ．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AQ=AP，∠PAQ=60°,∠ACQ=∠ABP=90°．∴△APQ是等邊三角形．∴AP=PQ，∠PAD=60°，∵PD⊥AQ∴AD=DQ，∴PD垂直平分AQ，∴AC=CQ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=AB,CQ=BP，∴BP=AB=42∵AB⊥l，∴∠ABP=90°．∴AP=A∴AQ=8=AP．由旋轉(zhuǎn)可得：∠ACQ=∠ABP=90°，∵AD=DQ，∴AD=CD=1∴PD=A∴PC=PD?CD=43故答案為：43【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2425七年級(jí)下·湖北武漢·期中）將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH∥MN，現(xiàn)將三角板ABC繞點(diǎn)A以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒4°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)時(shí)間為t秒，如圖2，∠BAH=2t°，∠FDM=45°，且0≤t≤110，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時(shí)，則所有滿足條件的t的值為【答案】15或105或60【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：（1）當(dāng)DE∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)P，分兩種情況討論：①DE在MN上方時(shí)，②DE在MN下方時(shí)，∠FDP=4t°?180°，列式求解即可；（2）當(dāng)DF∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)I，①DF在MN上方時(shí)，∠FDN=180°?4t°，②DF在【詳解】解：由題意得，∠HAC=∠BAH+∠BAC=2t°+30°，∠FDM=4t°，如圖1，當(dāng)DE∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)

①DE在MN上方時(shí)，∵DE∥BC，DE⊥DF，∴AP∥∴∠FDM=∠MPA，∵M(jìn)N∥∴∠MPA=∠HAC，∴∠FDM=∠HAC，即4t°=2t°+30°，∴t=15；②DE在MN下方時(shí)，∠FDP=4t°?180°，∵DE∥BC，DE⊥DF，∴AP∥∴∠FDP=∠MPA，∵M(jìn)N∥∴∠MPA=∠HAC，∴∠FDP=∠HAC，即4t°?180°=2t°+30°，∴t=105；當(dāng)DF∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)

DF在MN上方時(shí)，∠FDN=180°?4t°，∵DF∥BC，∴AI⊥DF，∴∠FDN+∠MIA=90°，∵M(jìn)N∥∴∠MIA=∠HAC，∴∠FDN+∠HAC=90°，即180°?4t°+2t°+30°=90°，∴t=60；②DF在MN下方時(shí)，∠FDN=4t°?180°，∵DF∥BC，AC⊥BC，∴AC∥∴∠AIM=∠MDE，∵M(jìn)N∥∴∠MIA=∠HAC，∴∠MDE=∠HAC，即4t°?180°?90°=2t°+30°，∴t=150（不符合題意，舍去），綜上，所有滿足條件的t的值為15或60或105，故答案為：15或60或105．【題型5利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明】【例5】（2425八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC,?BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形．線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接(1)求證：AE=BD；(2)若∠ADC=30°，AD=6，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)DE=8【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與證明，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵；（1）由等邊三角形的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△BCD≌△ACE即可；（2）由旋轉(zhuǎn)知△CDE是等邊三角形，則∠CDE=60°，可得∠ADE=90°，在直角三角形中利用勾股定理即可求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∵線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，∴DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，即∠BCD=∠ACE，∴△BCD≌△ACE(SAS∴AE=BD；（2）解：旋轉(zhuǎn)知CD=CE，∴△CDE是等邊三角形，∴∠CDE=60°；∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°；∵AE=BD=10，∴由勾股定理得：DE=A【變式51】如圖，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△ADE，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在BC邊上，連接BD．(1)求證：DE⊥BC；(2)若AC=22，BC=6，求線段BD【答案】(1)見(jiàn)解析(2)BD=2【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AE，∠CAE=90°，∠AED=∠C，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)AC=22，∠EAC=90°，再結(jié)合AE=AC=22，即可求出EC=4．BE=BC?EC=2，由旋轉(zhuǎn)可知【詳解】（1）解：將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△ADE，∴AC=AE，∠CAE=90°，∠AED=∠C，∴∠C=∠AEC=45°=∠AED，∴∠DEC=∠DEA+∠AEC=90°，∴DE⊥BC；（2）解：∵AC=22∴根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：AE=AC=22∴在Rt△AEC中，EC=∴BE=BC?EC=2，由旋轉(zhuǎn)可知DE=BC=6，∴BD=B【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，充分利用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式52】（2425九年級(jí)上·遼寧大連·期末）數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，老師要求學(xué)生探究如下問(wèn)題：如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形AGFE，當(dāng)點(diǎn)E落在BD上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，EF交AB于點(diǎn)H．(1)連接BF，請(qǐng)判斷BC和BF是否在同一條直線上，并說(shuō)明理由．(2)求證：AH=FH．【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得CD=AB，∠DAB=∠ADC=∠ABC=90°，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠ABE+∠ADB=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得EF=CD=AB，AE=AD，∠AEF=∠ADC=90°，進(jìn)而可得∠AED+∠FEB=180°?∠AEF=90°，由等邊對(duì)等角可得∠ADB=∠AED，進(jìn)而可得∠ABE=∠FEB，利用SAS可證得△ABE≌△FEB，于是可得∠AEB=∠FBE，即∠AEF+∠FEB=∠FBA+∠ABE，進(jìn)而可得∠FBA=∠AEF=90°，然后由（2）由（1）得AB=EF，∠ABE=∠FEB，由等角對(duì)等邊可得BH=EH，進(jìn)而可得AB?BH=EF?EH，于是結(jié)論得證．【詳解】（1）解：BC和BF是在同一條直線上，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠DAB=∠ADC=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠ADB=90°，∵矩形AGFE是由矩形ABCD旋轉(zhuǎn)得到的，∴EF=CD=AB，AE=AD，∠AEF=∠ADC=90°，∴∠AED+∠FEB=180°?∠AEF=180°?90°=90°，∠ADB=∠AED，∴∠ABE=∠FEB，在△ABE和△FEB中，AB=EF∠ABE=∠FEB∴△ABE≌∴∠AEB=∠FBE，即：∠AEF+∠FEB=∠FBA+∠ABE，∴∠FBA=∠AEF=90°，∴∠FBA+∠ABC=90°+90°=180°，∴BC和BF是在同一條直線上；（2）證明：由（1）得：AB=EF，∠ABE=∠FEB，∴BH=EH，∴AB?BH=EF?EH，∴AH=FH．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余等知識(shí)點(diǎn)，利用矩形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABE≌【變式53】在等邊三角形ABC的內(nèi)部有一點(diǎn)D，連接BD，CD，以點(diǎn)B為中心，把BD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BD′，連接AD′，DD′．以點(diǎn)C為中心，把CD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到(1)判斷∠D′BA(2)求證：D′(3)求證：四邊形AD【答案】(1)∠D(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DBD′=60°，BD=BD′，則可判斷△BDD′（2）通過(guò)證明△ABD′≌（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DCD″=60°，DC=D″C，則可判斷△DCD″為等邊三角形，于是得到DD″=DC【詳解】（1）解：∠D理由如下：∵以點(diǎn)B為中心，把BD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BD∴∠DBD′=60°∴△BDD∴BD=DD∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=60°，BA=BC，∵∠DBD∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°，∴∠D（2）證明：在△ABD′和BA=BC∠∴△ABD∴D（3）證明：∵以點(diǎn)C為中心，把CD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CD∴∠DCD″=60°∴△DCD∴DD∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=60°，CA=CB，∵∠DCD∠ACB=∠ACD+∠DCB=60°，∴∠D在△ACD″和CA=CB∠∴△ACD∴AD由（1）可知：BD=D∴AD由（2）可知：D′又∵DD∴D∴四邊形AD【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【題型6畫(huà)旋轉(zhuǎn)后的圖形】【例6】（2425八年級(jí)下·四川成都·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中xOy，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1,3(1)畫(huà)出△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A1B1C1；寫(xiě)出(2)在y軸上取點(diǎn)P，使△ABP的面積是△ABC面積的32倍，求點(diǎn)P【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，A(2)(0,?1)或(0,5)【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，坐標(biāo)與圖形：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1（2）設(shè)AB交y軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D(0,2)，先求出S△ABC=2，可得S△ABP【詳解】（1）解：如圖，△A1B（2）解：設(shè)AB交y軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D(0,2)，則S△ABC∵△ABP的面積是△ABC面積的32∴S∴1∴DP=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,?1)或(0,5)．【變式61】（2425九年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)谒o直角坐標(biāo)系中按要求畫(huà)圖和解答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A(2)若△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C(3)若將△ABC繞某點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A3【答案】(1)見(jiàn)解析(2)C(3)D【分析】本題考查畫(huà)中心對(duì)稱圖形，找旋轉(zhuǎn)中心，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．（1）找出△ABC各頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1（2）找出△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B（3）作線段AA3和BB3的垂直平分線，其交點(diǎn)【詳解】（1）解：如圖，△A（2）由旋轉(zhuǎn)作圖可知，C2（3）解：如圖，連接AA3，BB3，作線段AA∴由圖可知旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)D0,?1【變式62】（2425八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(?2,2),B(?1,4)，C(?4,5)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)若△ABC經(jīng)過(guò)平移后得到△A1B1C1，已知點(diǎn)(2)將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△AB2C2，請(qǐng)作出(3)在平面上是否存在點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的所有點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，(2)作圖見(jiàn)解析，(1,4)(3)(?5,3)或(?3,7)或(1,1)【分析】此題考查了平移和旋轉(zhuǎn)的作圖、平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的作圖是關(guān)鍵．（1）已知C(?4,5)平移得到點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(1,?1)，即可得到平移規(guī)律為向右平移5個(gè)單位，向下平移6個(gè)單位，據(jù)此得到A、B經(jīng)過(guò)平移后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1，再順次連接A（2）作出B、C繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B2、C2，順次連接A、B（3）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)找到所求的點(diǎn)即可．【詳解】（1）解：如圖，△A（2）如圖，△AB2C故答案為：(1,4)（3）如圖，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(?5,3)或(?3,7)或(1,1)．【變式63】（2425八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A?1,1(1)若△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)Pa,?，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P1a?3,?+1，將△ABC作同樣的平移得到△A1B1C1，點(diǎn)A，B(2)將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B(3)在所給的網(wǎng)格圖中確定一個(gè)格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）D，畫(huà)射線BD交AC于點(diǎn)E，使BE平分△ABC的面積，并直接寫(xiě)出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析，D1,0【分析】本題考查了畫(huà)圖形的平移，畫(huà)圖形的旋轉(zhuǎn)，網(wǎng)格畫(huà)三角形的中線，平移的確定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可確定平移是向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度；將點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別按此平移得到A1，B1，（2）確定點(diǎn)A，B，C繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2（3）取格點(diǎn)D，作射線BD交AC于點(diǎn)E，可得點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，則BE平分△ABC的面積，根據(jù)點(diǎn)D的位置可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)Pa,?平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P∴平移是向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度；將△ABC作同樣的平移得到△A（2）解：將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A（3）解：取格點(diǎn)D，作射線BD交AC于點(diǎn)E，則BE平分△ABC的面積；由圖知，D1,0【題型7求旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)】【例7】（2025·山東青島·一模）如圖，△ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，其中A2,0，B4,4，C1,3．將△ABC先向左平移4個(gè)單位得到△A1B1C1，再繞點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)A．?6,2 B．?2,0 C．2,?3 D．2,?2【答案】D【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，正確作出圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，根據(jù)平移變換，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫(huà)出圖像即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖所示：觀察圖像可知：B故選：D．【變式71】在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，3），B（4，0），把△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A，B分別落在點(diǎn)A′，B′處，若A′B′∥x軸，點(diǎn)B′在第一象限，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A．（?95,125） B．（?125,9【答案】A【分析】設(shè)A′B′交y軸于T′，利用勾股定理可求出A′B′的長(zhǎng)度，再利用三角形面積公式求出OT的長(zhǎng)度，最后再利用勾股定理即可求出A′T′的長(zhǎng)度，即可求出A′點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，設(shè)A′B′交y軸于T′．∵A（0，3），B（4，0），∴OA＝3，OB＝4，∵∠A′OB′＝90°，OT'⊥A′B′，OA＝OA′＝3，OB＝OB′＝4，∴AB＝A′B′＝OA2+O∵S△A′OB′=12?OA′?OB′＝∴OT′＝125∴A′T′＝OA′2∴A′（95，12故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化旋轉(zhuǎn)，熟練利用勾股定理解直角三角形以及三角形的面積公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式72】（2025·江蘇常州·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，D4,?2，DC⊥x軸，垂足為C，將Rt△OCD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△OAB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是【答案】2,4【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由題意可得CD=2，OC=4，∠OCD=90°，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得解，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，D4,?2，DC⊥x軸，垂足為C∴CD=2，OC=4，∠OCD=90°，∵將Rt△OCD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△OAB∴AB=CD=2，OA=OC=4，∠BAO=∠OCD=90°，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是2,4，故答案為：2,4．【變式73】（2425八年級(jí)下·山東青島·期末）如圖，Rt△OCB的斜邊OB在y軸上，OC=3，∠BOC=30°，直角頂點(diǎn)C在第二象限，將Rt△OCB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC′B′【答案】3【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)求得角和線段相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，先利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得BC=12OB，再根據(jù)已知條件及勾股定理求得BC的長(zhǎng)，根據(jù)已知BC⊥OC，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知B′C【詳解】解：如圖，∵△OCB是直角三角形，∴∠C=90°，∵∠COB=30°，∴BC=1∴CO=O∵OC=3∴BC=1，OB=2，由旋轉(zhuǎn)可知，∠B∠COC∵∠COB=30°，∴∠BO∴C′在∴B∴B故答案為：3,?1【題型8利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案】【例8】相信同學(xué)們都玩過(guò)萬(wàn)花筒，如圖是某個(gè)萬(wàn)花筒的造型，圖中的小三角形均是全等的等邊三角形，那么圖中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A為旋轉(zhuǎn)中心（

）A．順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到 B．順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到C．逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到 D．逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的意義，找出圖中菱形AEFG和菱形ABCD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的變化情況，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可選擇答案．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的意義，觀察圖片可知，菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化，解題的關(guān)鍵是要看清是順時(shí)針還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)多少度，難度不大，但易錯(cuò)．【變式81】一塊竹條編織物，先將其按如圖所示繞直線MN翻轉(zhuǎn)180°，再將它按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，所得的竹條編織物是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：先將其按如圖所示繞直線MN翻轉(zhuǎn)180°，再將它按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，所得的竹條編織物是B，故選B．考點(diǎn)：利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案．【變式82】為了靈活地拼接書(shū)桌以舉行各種活動(dòng)，某學(xué)校閱覽室特意設(shè)計(jì)了一種書(shū)桌，桌面形狀如圖所示．（1）將4張這樣的書(shū)桌拼接成一個(gè)圖案，并與同伴交流；（2）你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)桌面是如何設(shè)計(jì)的嗎？請(qǐng)仿照這個(gè)桌面設(shè)計(jì)一個(gè)可以隨意拼接的桌面．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）利用平移旋轉(zhuǎn)作圖求解即可；（2）根據(jù)鑲嵌的知識(shí)設(shè)計(jì)的，利用平移旋轉(zhuǎn)作圖求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，（2）桌面的設(shè)計(jì)：當(dāng)閱覽室人數(shù)少時(shí)，每張桌子可以單獨(dú)成立，把正方形變成圓形，當(dāng)閱覽室人數(shù)多時(shí)，就可以把中間變成正方形，周圍是圓形，幾張桌子拼接在一起．設(shè)計(jì)如圖所示：【點(diǎn)睛】此題考查了平面圖形的鑲嵌的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)D形的鑲嵌．【變式83】七巧板又稱智慧板，是中國(guó)民間流傳的智力玩具，它是由七塊板組成（如圖1），用這七塊板可拼出許多圖形（1600種以上），例如：三角形、平行四邊形、以及不規(guī)則的多邊形，它還可以拼出各種人物、動(dòng)物、建筑等．請(qǐng)你用七巧板中標(biāo)號(hào)為①②③的三塊板（如圖2經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)拼出下列圖形（相鄰兩塊板之間無(wú)空隙，無(wú)重疊；示意圖的頂點(diǎn)畫(huà)在小方塊頂點(diǎn)上）：（1）拼成長(zhǎng)方形，在圖3中畫(huà)出示意圖；（2）拼成等腰直角三角形，在圖4中面出示意圖．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）利用網(wǎng)格結(jié)合矩形的性質(zhì)得出答案；（2）利用網(wǎng)格結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】（1）如圖3所示：長(zhǎng)方形即為所求；（2）如圖4所示：等腰直角三角形即為所求．【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)變換，正確利用已知圖形面積不變是解題關(guān)鍵．【題型9坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)規(guī)律問(wèn)題】【例9】（2025·河北邯鄲·二模）如圖，在Rt△ABC