二〇二五年綏化市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試題考生注意：1．考試時間120分鐘2．本試題共三道大題，28個小題，總分120分3．所有答案都必須寫在答題卡上所對應的題號后的指定區(qū)域內(nèi)一、單項選擇題（本題共12個小題，每小題3分，共36分）請在答題卡上用2B鉛筆將你的選項所對應的方框涂黑1．下列數(shù)學符號是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．據(jù)統(tǒng)計，2025年端午期間，我國民航客運累計發(fā)送旅客萬人次，把萬用科學記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（

）A．圓柱 B．長方體 C．圓錐 D．四棱柱4．如圖，是的平分線，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．下列計算中，結果正確的是（

）A． B． C． D．6．兩個相似三角形的最長邊分別是和，并且它們的周長之和為，那么較小三角形的周長是（

）A． B． C． D．7．小新同學參加某次詩朗誦比賽，七位評委的打分是：，工作人員根據(jù)評委所打的分數(shù)對平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)進行了統(tǒng)計，如果去掉一個最高分和一個最低分，那么下列統(tǒng)計量中一定不發(fā)生變化的是（

）A．平均數(shù) B．方差 C．眾數(shù) D．中位數(shù)8．一個矩形的一條對角線長為10，兩條對角線的一個交角為，則這個矩形的面積是（

）A．25 B． C． D．9．在中，如果的圓心角所對的弧長是，那么的半徑是（

）A． B． C． D．10．用A，兩種貨車運輸化工原料，A貨車比貨車每小時多運輸15噸，A貨車運輸450噸所用時間與貨車運輸300噸所用時間相等．若設貨車每小時運輸化工原料噸，則可列方程為（

）A． B． C． D．11．如圖，反比例函數(shù)經(jīng)過、兩點，過點作軸于點，過點作軸于點，連接、、．若，，則的值是（

）A． B． C． D．12．如圖，二次函數(shù)與軸交于點、，與軸交于點，其中．則下列結論：①；②方程沒有實數(shù)根；③；④．其中錯誤的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本題共10個小題，每小題3分，共30分）請在答題卡上把你的答案寫在所對應的題號后的指定區(qū)域內(nèi)13．計算：．14．若式子有意義，則的取值范圍是．15．分解因式：．16．已知，是關于的一元二次方程的兩個根，則．17．在平面直角坐標系中，把以原點為位似中心放大，得到．若點和它的對應點的坐標分別為，，則與的相似比為．18．計算：．19．如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的斜面坡度（斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），堤壩高，則迎水坡面的長度是．20．如圖，在菱形中，，對角線，點是邊的中點，點是對角線上的一個動點，連接、．則的最小值是．21．觀察下圖，圖（1）有2個三角形，記作；圖（2）有3個三角形，記作；圖（3）有6個三角形，記作；圖（4）有11個三角形，記作；按此方法繼續(xù)下去，則（結果用含的代數(shù)式表示）．22．在邊長為7的等邊三角形中，點在上，．點是直線上的一個動點，連接，以為邊在的左側作等邊三角形，連接，當為直角三角形時，則的長是．三、解答題（本題共6個小題，共64分）請在答題卡上把你的答案寫在所對應的題號后的指定區(qū)域內(nèi)23．尺規(guī)作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）[初步嘗試]如圖（1）用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條經(jīng)過圓心的直線，使扇形的面積被直線平分．[拓展探究]如圖（2），若扇形的圓心角為，請你用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條以點為圓心的弧，交于點，交于點，使扇形的面積與扇形的面積比為．24．2025年1月，哈爾濱亞冬會舉辦前，亞冬會組委會為使參與服務的志愿者隊伍整齊一致，隨機抽取部分志愿者，對其身高情況進行了調(diào)查，將身高（單位：）數(shù)據(jù)分為、、、、五組，并制成了如下不完整的統(tǒng)計圖表．組別身高分組人數(shù)54129根據(jù)以上信息回答：(1)這次抽查的志愿者共有________人，扇形統(tǒng)計圖中的圓心角度數(shù)是________，請補全條形統(tǒng)計圖．(2)若組的4人中，男女志愿者各有2人，從中隨機抽取2人擔任組長，請用列表法或畫樹狀圖法，求出剛好抽中兩名女志愿者擔任組長的概率．25．自主研發(fā)和創(chuàng)新讓我國的科技快速發(fā)展，“中國智造”正引領世界潮流．某科技公司計劃投入一筆資金用來購買、兩種型號的芯片．已知購買顆型芯片和2顆型芯片共需要元，購買顆型芯片和顆型芯片共得要元．(1)求購買顆型芯片和顆型芯片各需要多少元．(2)若該公司計劃購買、兩種型號的芯片共頻，其中購買型芯片的數(shù)量不少于型芯片數(shù)量的倍．當購買型芯片多少顆時，所需資金最少，最少資金是多少元．(3)該公司用甲、乙兩輛芯片運輸車，先后從地出發(fā)，沿著同一條公路勻速行駛，前往目的地，兩車到達地后均停止行駛．如圖，、分別是甲、乙兩車離地的距離與甲車行駛的時間之間的函數(shù)關系．請根據(jù)圖象信息解答下列問題：①甲車的速度是________．②當甲、乙兩車相距時，直接寫出的值________．26．如圖．，與相切于點、連接，與相交于點，過點作，垂足為，交于點，連接交于點．(1)求證：是的切線．(2)當，時，求線段的長．27．綜合與實踐如圖，在邊長為8的正方形中，作射線，點是射線上的一個動點，連接，以為邊作正方形，連接交射線于點，連接．（提示：依題意補全圖形，并解答）【用數(shù)學的眼光觀察】（1）請判斷與的位置關系，并利用圖（1）說明你的理由．【用數(shù)學的思維思考】（2）若，請你用含的代數(shù)式直接寫出的正切值________．【用數(shù)學的語言表達】（3）設，正方形的面積為．請求出與的函數(shù)解析式．（不要求寫出自變量的取值范圍）28．綜合與探究如圖，拋物線交軸于A、兩點，交軸于點．直線經(jīng)過、兩點，若點，．點是拋物線上的一個動點（不與點A、重合）．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式．(2)過點作直線軸于點，交直線于點，當時，求點坐標．(3)若點是直線上的一個動點．請判斷在點右側的拋物線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形．若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．1．D【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，熟知軸對稱圖形的概念是解題的關鍵；根據(jù)軸對稱圖形的定義：如果將一個圖形沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形，即可解答.【詳解】解：選項中的數(shù)學符號是軸對稱圖形的是，其它的都不是；故選：D.2．C【分析】本題主要考查了科學記數(shù)法，將數(shù)據(jù)表示成形式為的形式，其中，n為整數(shù)，正確確定a、n的值是解題的關鍵．將萬寫成其中，n為整數(shù)的形式即可．【詳解】解：萬．故選C．3．A【分析】本題考查了由幾何體的三視圖還原幾何體，熟知常見幾何體的三視圖是解題的關鍵；由題目給出的三視圖可知，這個幾何體是圓柱，即得答案.【詳解】解：根據(jù)題意可得：這個幾何體是圓柱；故選：A.4．C【分析】本題主要考查了平行線的性質、角平分線的定義等知識點，靈活運用平行線的性質成為解題的關鍵．由平行線的性質可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，最后根據(jù)等量代換即可解答．【詳解】解：∵，，∴，∵是的平分線，∴，∴．故選C．5．B【分析】本題考查整式乘法運算、算術平方根等知識點，熟練掌握相關運算法則成為解題的關鍵．根據(jù)整式乘法運算、算術平方根逐項判斷即可．【詳解】解：A．，故該選項錯誤，不符合題意；B．，故該選項正確，符合題意；C．，故該選項錯誤，不符合題意；D．，故該選項錯誤，不符合題意．故選B．6．B【分析】本題考查相似三角形的性質，根據(jù)最長邊分別為和確定相似比，相似三角形的周長比等于相似比，再根據(jù)周長之和為即可求解．【詳解】解：兩個相似三角形的最長邊分別為和，相似比為，較大三角形與較小三角形的周長比為：，它們的周長之和為，較小三角形的周長為：，故選：B．7．D【分析】本題考查了統(tǒng)計量的選擇，解題的關鍵是了解中位數(shù)的定義，難度不大．根據(jù)中位數(shù)的定義（位于中間位置或中間兩數(shù)的平均數(shù)可以得到去掉一個最高分和一個最低分不影響中位數(shù)）解答即可．本題考查數(shù)據(jù)統(tǒng)計量的變化情況，需逐一分析平均數(shù)、方差、眾數(shù)和中位數(shù)在去掉極端值后的變化．【詳解】解：原數(shù)據(jù)去掉最高分10和最低分（其中一個）后，剩余數(shù)據(jù)為．原平均數(shù)總和為，平均數(shù)為．去掉后總和為，平均數(shù)為，則平均數(shù)變化，故A選項不符合題意．方差與每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差值有關．因平均數(shù)改變，所有數(shù)據(jù)的離差平方和必然變化，方差隨之改變，故B選項不符合題意．原眾數(shù)為（出現(xiàn)2次）．去掉一個后，剩余數(shù)據(jù)中所有數(shù)均出現(xiàn)1次，眾數(shù)消失或變?yōu)闊o眾數(shù)，故眾數(shù)變化，故C選項不符合題意．原數(shù)據(jù)中位數(shù)為第4個數(shù)即．去掉一個最高分和一個最低分，剩余5個數(shù)的中位數(shù)為第3個數(shù)（仍為），故中位數(shù)不變．故選：D．8．B【分析】本題主要考查了矩形的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，正確畫出圖形并靈活運用相關知識是解題的關鍵．如圖：根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等求出，然后判斷出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質求出，再利用勾股定理列式求出，然后根據(jù)矩形的面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，由勾股定理得，，∴矩形的面積．故選：B．9．A【分析】本題考查弧長公式，根據(jù)圓心角對應的弧長公式，代入已知條件求解半徑即可．【詳解】解：根據(jù)弧長公式：，其中，代入得：解得：故選：A．10．C【分析】本題考查了分式方程的應用．熟練掌握工作量與工作效率和工作時間的關系，是解題的關鍵．設B貨車每小時運輸x噸，則A貨車每小時運輸噸．根據(jù)A運輸450噸的時間等于B運輸300噸的時間，列方程．【詳解】解：設B貨車每小時運輸x噸，則A貨車每小時運輸噸．∵A貨車運輸450噸的時間為，B貨車運輸300噸的時間為，∴，即．故選：C．11．D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，矩形的判定與性質，熟練掌握值幾何意義是關鍵．延長交于點E，設，則，求出，，進而得到，證明四邊形是矩形，再求出，得到，根據(jù)，建立方程求解即可．【詳解】解：延長交于點E，設，∵，∴，∵軸，軸，∴點的縱坐標為，點的縱坐標為，∴，∴，∴，，∵反比例函數(shù)經(jīng)過、兩點，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，故選：D．12．A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質，掌握二次函數(shù)圖象開口，對稱軸直線，最值的計算方法是關鍵．根據(jù)題意得到圖象開口向上，對稱軸直線為，，則，當時，代入計算可判定①；根據(jù)二次函數(shù)與直線的位置關系可判定②；根據(jù)題意得到，可判定③；根據(jù)函數(shù)最小值的大小可判定④；由此即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)與軸交于點、，圖象開口向上，∴對稱軸直線為，，∴，當時，，∴，即，∴，∴，故①正確；圖象開口向上，對稱軸直線為，∴當時，函數(shù)有最小值，最小值軸的下方，∴拋物線與直線兩個不同的交點，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故②錯誤；∵二次函數(shù)與軸交于點，其中，∴當，，∴，∵，∴，∴，解得，，故③正確；當時，函數(shù)有最小值，最小值為，，∴，∴，故④正確；綜上所述，正確的有①③④，錯誤的有②，∴錯誤的有1個，故選：A．13．0【分析】此題考查了乘方和零指數(shù)冪，根據(jù)乘方和零指數(shù)冪計算后再計算加法即可．【詳解】解：故答案為：014．【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于零．分式有意義的條件：分母不為零．根據(jù)二次根式以及分式有意義，得出關于x的不等式，解出即可得出x的取值范圍．【詳解】解：要使式子有意義，即，∴．故答案為：．15．【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關鍵．先提公因式，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：．16．【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系以及代數(shù)式求值，先求出根與系數(shù)的關系，將代數(shù)式變形后代入計算即可．【詳解】解：，是關于的一元二次方程的兩個根，，，故答案為：．17．【分析】本題考查的是位似變換，熟知在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或是解答此題的關鍵．根據(jù)坐標與圖形的性質進行解答即可．【詳解】解：把以原點為位似中心縮小得到，點和它的對應點的坐標分別為，，則與的相似比為，故答案為：．18．【分析】本題考查分式混合運算，熟練掌握運算法則是解決問題的關鍵．先將分式的分子分母因式分解，再由分式混合運算法則求解即可得到答案．【詳解】解：故答案為：．19．##米【分析】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，掌握坡度的概念，熟記勾股定理是解題的關鍵．根據(jù)坡度的概念求出，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：∵坡的斜坡坡度，∴，而，即，解得，，經(jīng)檢驗符合題意，由勾股定理得，（米），故答案為：．20．【分析】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質和判定，連接，根據(jù)兩點之間線段最短可知的最小值為，再結合菱形的性質得，然后根據(jù)勾股定理得，可得，結合等腰三角形的性質得，，接下來根據(jù)勾股定理得，此題可解．【詳解】解：如圖，連接，作點P關于直線的對稱點，則，點是的中點，∴．根據(jù)兩點之間線段最短，可知的最小值為，∵四邊形是菱形，∴，根據(jù)勾股定理，得，∴．∵點是的中點，∴，．在中，．所以的最小值為．故答案為：．21．【分析】本題考查了圖形的變化類問題，解決此類探究性問題，關鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的共同規(guī)律以及與第一個圖形的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．仔細觀察圖形變化，找到圖形的變化規(guī)律，利用規(guī)律解題即可．【詳解】解：第一個圖形中有個三角形；第二個圖形中有個三角形；第三個圖形中有個三角形；第四個圖形中有個三角形；；第n個圖形中有個三角形．故答案為：22．6或8或9【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，含角的直角三角形，正確作出輔助線是解題的關鍵．過點D作交于點E，分類討論，逐個分析，即可解答．【詳解】解：過點D作交于點E，①當時，如圖（1），∵是等邊三角形，，∴，，即是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，即，∴．②當時，如圖（2）同理可得，，∴，即，∴，∴．③當時，如圖（3）同理可證，∴∴．∴．④當時，如圖（4）同理可證，∴，∴，∴．綜上所述，的長是6或8或9．故答案為：6或8或9．23．[初步嘗試]見解析；[拓展探究]見解析【分析】本題主要考查了扇形的面積，基本作圖，熟練掌握扇形的面積公式和尺規(guī)作圖是解題的關鍵．[初步嘗試]經(jīng)過圓心的直線平分扇形的面積，作圓心角的角平分線或作扇形弧對應弦的垂直平分線；[拓展探究]根據(jù)扇形面積公式，扇形面積之比等于扇形半徑的平方之比，從而得到扇形的面積與扇形半徑之比為，只要畫出或的中點即可．方法一：作扇形半徑的垂直平分線找到中點，然后以為半徑作弧交半徑于點．方法二：扇形的圓心角為，根據(jù)含的直角三角形是斜邊的一半，過點作出的垂線，構造直角三角形，取垂線段的長度為半徑，以為圓心畫弧即可．【詳解】解：[初步嘗試]作法一：如圖所示①連接，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，標注出點②畫直線③直線即為所求作法二：如圖所示①以為圓心，適當長為半徑畫弧，交于點，交于點，②分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，標注出點.③畫直線，直線即為所求[拓展探究]扇形的面積與扇形的面積比為，設扇形的半徑為，扇形的半徑為扇形的面積∶扇形的面積只要畫出或的中點即可作法一：①作的垂直平分線交于點，標注出點②以為圓心長為半徑畫弧，交于點，標注出點③弧即為所求．（同理作的垂直平分線也可得分）作法二：過點作出的垂線或者過點作的垂線，取垂線段的長度為半徑，以為圓心畫弧即可．（依據(jù)：含的直角三角形是斜邊的一半）24．(1)40，，見解析(2)見解析，【分析】此題考查了扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的信息關聯(lián)，樹狀圖或列表法求概率，準確理解題意是解題的關鍵．（1）先根據(jù)D組的人數(shù)和百分比求出抽查的總人數(shù)，再利用乘以組的的百分比即可求出扇形統(tǒng)計圖中的圓心角度數(shù)，再求出C組的人數(shù)并補全統(tǒng)計圖即可；（2）畫出樹狀圖或列表法得到所有等可能情況，用概率公式求出答案即可．【詳解】（1）解：這次抽查的志愿者共有：（人），扇形統(tǒng)計圖中的圓心角度數(shù)是，C組的人數(shù)為（人），補全條形統(tǒng)計圖如下：故答案為：40，（2）解：設2名男志愿者分別記作、，2名女志愿者分別記作、根據(jù)題意可以畫出如下的樹狀圖列表法如下圖由樹狀圖法或列表法可以看出共有12種結果出現(xiàn)的可能性相等，選中的2名女志愿者擔任組長的是和的情況有兩種.25．(1)購買顆型芯片和顆型芯片分別需要元和元(2)當該公司購買型芯片顆，所需資金最少，最少資金是元(3)①；②或或【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及一次函數(shù)最優(yōu)化問題：（1）根據(jù)題意列方程組求解即可；（2）結合不等式約束條件，將問題轉化為求函數(shù)最小值即可；（3）求出解析式代入計算即可；求出甲乙兩車的函數(shù)解析式，分類討論即可．【詳解】（1）設：購買顆型芯片和顆型芯片分別需要元和元由題意得解得答：購買顆型芯片和顆型芯片分別需要元和元（2）設購買型芯片顆，則購買型芯片顆，所需資金為元由題意得：隨的增大而減小購買型芯片的數(shù)量不少于型芯片數(shù)量的3倍，解得取正整數(shù)當時，取最小值，（元）此時答：當該公司購買型芯片顆，所需資金最少，最少資金是元（3）①設的解析式為將點，代入得解得所以，的解析式為，當時，所以，甲車的速度為②的解析式為將點代入得，解得所以的解析式為當函數(shù)的圖象在函數(shù)上方時可列方程解得當函數(shù)的圖象在函數(shù)下方時可列方程解得當甲車到達地，乙離目的地時，可列方程解得綜上所述，的值為：或或．26．(1)見解析(2)【分析】（1）方法一：過點作于點，證明，則，由為的半徑得到為的半徑，由即可證明是的切線；由角平分線的性質定理得到，由為的半徑得到為的半徑，由即可證明是的切線；（2）證明，則，求出，則，在中，求出，得到，，證明，則，設，則，即可求出答案．【詳解】（1）方法一：證明：過點作于點，，，與相切于點，，，，，，，為的半徑，為的半徑，，是的切線；方法二：證明：過點作于點，與相切于點，，，是的平分線，，為的半徑，為的半徑，，是的切線；（2），為半徑，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，，，，設，則，，解得，．【點睛】此題考查了切線的判定和性質、垂徑定理、相似三角形的判定和性質、勾股定理、角平分線性質定理、全等三角形的判定和性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質、切線的判定和性質是關鍵．27．（1），理由見解析；（2）；（3）與的函數(shù)解析式為．【分析】（1）由正方形的性質，得出線段之間的數(shù)量關系和角之間的數(shù)量關系，綜合應用全等三角形的判定和性質即可確定與的位置關系；（2）由正方形的性質，可得線段之間的位置關系，綜合應用相似三角形的判定和性質，可得邊之間的比例關系，化簡整理即可；（3）根據(jù)點的位置變化，進行分類討論，應用勾股定理即可得出每