2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末重難點歸類及真題訓(xùn)練（人教A版2019必修第二冊）訓(xùn)練01平面向量的線性運算及其數(shù)量積一、單選題1．（2023·24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）向量（

）A． B． C． D．2．（2023·24高一下·北京昌平·期中）已知為正三角形的中心，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．（2023·24高一下·陜西西安·期末）已知向量的模長為2，向量在向量上的投影向量為，則（

）A．8 B．4 C．2 D．14．（2024·25高三上·湖南長沙·期末）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．25．（2023·24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）設(shè)平面向量，，則（

）A． B． C． D．6．（2023·24高一下·山東濟南·期中）下列各式正確的個數(shù)為（

）①|(zhì)a|2＝a2；②；③(a·b)2＝a2b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.A．1 B．2 C．3 D．47．（2023·24高一下·湖北·階段練習(xí)）已知單位向量的夾角為，與垂直，則（

）A． B． C． D．8．（2023·24高一下·河北保定·階段練習(xí)）已知向量，，，則（

）A．5 B．10 C． D．9．（2023·24高三上·貴州安順·期末）已知平面向量，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．10．（2023·24高一下·山東聊城·期中）已知向量，滿足，且，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．11．（2024·25高三下·江蘇淮安·開學(xué)考試）正三角形中是線段上的點，，則（

）A． B．6 C． D．1212．（2023·24高一下·福建龍巖·期中）設(shè)向量與的夾角為，定義與的“向量積”：是一個向量，它的模，若，則（

）A．5 B． C． D．13．（2023·24高一下·四川涼山·期中）已知O為內(nèi)一點，且，則與面積比為（

）A． B． C． D．14．（2023·24高一下·云南曲靖·期末）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．15．（2023·24高一下·浙江杭州·期中）平行四邊形ABCD，點E滿足，，則（

）A． B． C． D．116．（2023·24高二下·湖南·期末）若非零向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．17．（2023·24高一下·四川巴中·階段練習(xí)）如圖，在中，，P是線段BD上一點，若，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C．2 D．18．（2023·24高一下·天津·期中）如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）A． B． C． D．19．（2023·24高二下·北京海淀·期末）已知A，B，C是單位圓上不同的三點，，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．20．（2023·24高三上·天津北辰·期中）在四邊形中，，若是線段上的動點，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．21．（2023·24高三上·浙江紹興·階段練習(xí)）對中國文人來說，折扇既是一種身份的象征，又寄寓著個人的文化趣味．折扇開合自如，開之則用，合之則藏，進退自如，逍遙自在，如下左圖．其平面圖如下右圖的扇形AOB，其中，，點在弧上，則的最小值是（

）

A． B． C．1 D．322．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，在等腰梯形中，是線段上一點，且，動點在以為圓心，1為半徑的圓上，則的最大值為（

）A． B． C． D．23．（2023·24高一下·浙江·期中）正方形ABCD的邊長為2，O是正方形ABCD的中心，過中心O的直線l與邊AB交于點M，與邊CD交于點N，P為平面內(nèi)一點，且滿足，則·的最小值為（）A． B． C． D．二、多選題24．（2023·24高一下·甘肅·階段練習(xí)）下列四個等式中，正確的是（

）A． B．C． D．25．（2023·24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）給出下列命題正確的是（

）A．平面內(nèi)所有的單位向量都相等B．長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量C．若，滿足，且，同向，則D．力、速度和位移都是向量26．（2024·25高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）若向量，則（

）A． B．C．在上的投影向量為 D．與的夾角為27．（2023·24高一下·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知向量，，且是直角三角形，則k的值可以是（

）A．或 B．1或2 C． D．28．（2024·遼寧·二模）的重心為點，點O，P是所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足，則（

）A．三點共線 B．C． D．點在的內(nèi)部29．（2023·24高二下·湖南·階段練習(xí)）如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量．若，則把有序?qū)崝?shù)對叫做向量在斜坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)，記作．則下列說法正確的是（

）

A．若，則B．若，則A，B，C三點共線C．若，則D．若，，則四邊形OACB的面積為30．（2023·24高一下·重慶·階段練習(xí)）重慶市第一中學(xué)校是一所歷史悠久的全國名校，校園安靜，環(huán)境優(yōu)美，有大量的綠植，同學(xué)們?nèi)胄：笥橙胙酆煹木褪且黄瑯淞?，樹木排列整齊，高大挺拔，枝繁葉茂，形成一道天然屏障，為夏日添一份涼爽.如圖是重慶一中入校小樹林的樹木排列圖，其中每一個點代表一棵樹木，五角星處是一個鳥類觀測點，圓圈處為鄧小平雕塑，圖中形成一個“心形”區(qū)域.據(jù)此，下列說法正確的有（

）本題中圖形和數(shù)據(jù)如下：米，把看成是以，為直角邊的等腰直角三角形，為的中點，米，K為BD的中點，//A．B．若為心形區(qū)域內(nèi)任意一點，那么有最小值C．若對兩棵樹的樹頂仰角均為45°，那么兩棵樹的樹頂之間距離為米D．I為四邊形內(nèi)任意一點（包含邊界），，那么的范圍為三、填空題31．（2023·浙江臺州·二模）已知平面向量，，若，則實數(shù).32．（2023·24高一下·北京朝陽·期中）如圖，在中，D，E分別是AB，AC上的點，F(xiàn)為線段DE延長線上一點，，連接CD，那么；.33．（2023·24高一下·新疆喀什·期中）已知向量，，則與的夾角為.34．（2023·24高一下·北京大興·期中）已知平面向量滿足，，且與的夾角為，則．35．（2024·湖南衡陽·一模）已知三角形中，，是上中線的三等分點滿足，記，則.36．（2023·24高一下·江西贛州·期末）如圖，在單位同格中，向量在向量上的投影向量與向量的夾角為．

37．（2023·24高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知，若對任意實數(shù)，點P都滿足，則的最小值為.38．（2023·24高一下·上海松江·期中）菱形的邊長為，，若為菱形內(nèi)任意一點（含邊界），則的最大值為．四、解答題39．（2023·24高一下·江西撫州·期中）化簡下列各式：(1)．(2)．40．（2023·24高一下·廣東云浮·期中）如圖，已知平行四邊形的三個頂點??的坐標(biāo)分別是??，

(1)求向量；(2)求頂點的坐標(biāo).41．（2023·24高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知，是兩個單位向量，其夾角為60°，，．(1)求，；(2)求與的夾角．42．（2023·24高二上·廣東江門·期中）已知點，向量．(1)若，求實數(shù)k的值；(2)求向量與向量所成角的余弦值．43．（2023·24高一下·廣西賀州·階段練習(xí)）（1）若向量，求與的夾角；（2）已知，求與夾角的余弦值.44．（2023·24高一下·河北唐山·期末）已知平面向量與的夾角為，且，.(1)求；(2)若與垂直，求的值.45．（2023·24高一下·山東聊城·期中）已知與的夾角為．(1)求的值；(2)設(shè)，求的夾角．46．（2023·24高一下·廣西欽州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．(1)求點B的坐標(biāo)；(2)求證：．47．（2023·24高一下·云南楚雄·期末）已知平面向量滿足．(1)若，求的值；(2)若，求向量與夾角的大?。?8．（2023·24高一下·河北滄州·期中）已知向量，．(1)若，求；(2)若，，求與的夾角的余弦值．49．（2023·24高一下·山東臨沂·期中）已知向量．(1)若向量與共線，求實數(shù)的值；(2)若向量與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．50．（2023·24高一下·貴州黔東南·期中）已知向量，．(1)若，且，求；(2)若，