湖南省長沙市瀏陽市2025年數(shù)學高二上期末調研試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，直三棱柱的所有棱長均相等，P是側面內一點，設，若P到平面的距離為2d，則點P的軌跡是（）A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.拋物線的一部分 D.雙曲線的一部分2．函數(shù)的圖象如圖所示，是f(x)的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A B.C. D.3．設，直線與直線平行，則（）A. B.C. D.4．函數(shù)極小值為（）A. B.C. D.5．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P是橢圓上一點且的最大值為，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列的前項和，且，則（）A. B.C. D.7．接種疫苗是預防控制新冠疫情最有效的方法，我國自2021年1月9日起實施全民免費接種新冠疫苗并持續(xù)加快推進接種工作．某地為方便居民接種，共設置了A、B、C三個新冠疫苗接種點，每位接種者可去任一個接種點接種．若甲、乙兩人去接種新冠疫苗，則兩人不在同一接種點接種疫苗的概率為（）A. B.C. D.8．已知一個圓錐體積為，任取該圓錐的兩條母線a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側面積為（）A. B.C. D.9．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C， D.，10．若橢圓的短軸為,一個焦點為,且為等邊三角形的橢圓的離心率是A. B.C. D.11．在等比數(shù)列中，，是方程的兩個實根，則（）A.-1 B.1C.-3 D.312．某地區(qū)高中分三類，A類學校共有學生2000人，B類學校共有學生3000人，C類學校共有學生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則A類學校中的學生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題P：對于任意，使不等式為真命題，則實數(shù)的取值范圍是___________.14．設拋物線的準線方程為__________.15．設拋物線C：的焦點為F，準線l與x軸的交點為M，P是C上一點，若|PF|＝5，則|PM|＝__.16．設直線，直線，若，則_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）經觀測，某種昆蟲的產卵數(shù)y與溫度x有關，現(xiàn)將收集到的溫度和產卵數(shù)的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如下圖的散點圖及一些統(tǒng)計量表.275731.121.71502368.3630表中，（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為y與x之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù).試求y關于x回歸方程.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.18．（12分）某情報站有．五種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周末使用的四種密碼中等可能地隨機選用一種．設第一周使用密碼，表示第周使用密碼的概率（1）求；（2）求證：為等比數(shù)列，并求的表達式19．（12分）已知正三棱柱底面邊長為，是上一點，是以為直角頂點的等腰直角三角形（1）證明：是中點；（2）求點到平面的距離20．（12分）如圖，四棱錐中，，且，（1）求證：平面平面；（2）若是等邊三角形，底面是邊長為3的正方形，是中點，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列前項和.22．（10分）已知點，，雙曲線C上除頂點外任一點滿足直線RM與QM的斜率之積為4.（1）求C方程；（2）若直線l過C上的一點P，且與C的漸近線相交于A，B兩點，點A，B分別位于第一、第二象限，，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】取的中點，得出平面，作，在直角中，求得，以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，求得點的軌跡方程，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點，連接，得到平行于平面且過點的平面，如圖（1）（2）所示，作，則P1與E重合，則，在直角中，可得，在圖（3）中，設直三棱柱的所有棱長均為，且，以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，則，所以，即所以，整理得，所以點P的軌跡是橢圓的一部分.故選：B.2、A【解析】結合導數(shù)的幾何意義確定正確選項.【詳解】，表示兩點連線斜率，表示在處切線的斜率；表示在處切線的斜率；根據(jù)圖象可知，.故選：A3、C【解析】根據(jù)直線平行求解即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以，即，經檢驗，滿足題意.故選：C4、A【解析】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，可求得該函數(shù)的極小值.【詳解】對函數(shù)求導得，令，可得或，列表如下：減極小值增極大值減所以，函數(shù)的極小值為.故選：A.5、A【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，從而得到，則，其中，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質求出，即可得到方程，從求出橢圓的離心率；【詳解】解：依題意，所以，又，所以，因為在上單調遞減，所以當時函數(shù)取得最大值，即，即所以，即，所以，解得或（舍去）故選：A6、C【解析】由an=Sn-Sn-1,【詳解】解：因為，所以，，兩式相減可得，即，因為，，所以，即，時，也滿足上式，所以，所以，故選：C.7、C【解析】利用古典概型的概率公式可求出結果【詳解】由題知,基本事件總數(shù)為甲、乙兩人不在同一接種點接種疫苗的基本事件數(shù)為由古典概型概率計算公式可得所求概率故選:8、B【解析】設圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據(jù)體積公式計算可得，利用扇形的面積公式計算即可求得結果.【詳解】如圖，設圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側面積為.故選：B9、A【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結合已知條件，即可求得結果.【詳解】因為命題p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.10、B【解析】因為為等邊三角形,所以.考點：橢圓的幾何性質.點評：橢圓圖形當中有一個特征三角形，它的三邊分別為a,b,c.因而可據(jù)此求出離心率.11、B【解析】由韋達定理可知，結合等比中項的性質可求出.【詳解】解：在等比數(shù)列中，由題意知：，，所以，，所以且，即.故選：B.12、D【解析】利用抽樣的性質求解【詳解】所有學生數(shù)為，所以所求概率為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意，結合指數(shù)函數(shù)不等式，將原問題轉化為關于的不等式，對于任意恒成立，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，知對于任意，恒成立，即，化簡得，令，，則恒成立，即，解得，故.故答案為：.14、【解析】由題意結合拋物線的標準方程確定其準線方程即可.【詳解】由拋物線方程可得，則，故準線方程為.故答案為【點睛】本題主要考查由拋物線方程確定其準線方法，屬于基礎題.15、【解析】根據(jù)拋物線的性質及拋物線方程可求坐標，進而得解.【詳解】由拋物線的方程可得焦點，準線，由題意可得，設，有拋物線的性質可得：，解得x＝4，代入拋物線的方程可得，所以，故答案為：.16、##0.5【解析】根據(jù)兩直線平行可得，，即可求出【詳解】依題可得，，解得故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，即可判斷；(2)令，利用最小二乘法即可求出y關于x的線性回歸方程.【小問1詳解】根據(jù)散點圖判斷，看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為y與x之間的回歸方程模型；【小問2詳解】令，則，；，∴；∴y關于x的回歸方程為.18、（1），，，（2）證明見解析，【解析】(1)根據(jù)題意可得第一周使用A密碼，第二周使用A密碼的概率為0，第三周使用A密碼的概率為，以此類推；(2)根據(jù)題意可知第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為，進而可得，結合等比數(shù)列的定義可知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可求出結果.【小問1詳解】，，，【小問2詳解】第周使用A密碼，則第周必不使用A密碼（概率為），然后第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為故，即故為等比數(shù)列且，公比故，故19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明出平面，可得出，再利用等腰三角形的幾何性質可證得結論成立；（2）計算出三棱錐的體積以及的面積，利用等體積法可求得點到平面的距離.【小問1詳解】證明：在正三棱柱，平面，平面，則，因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，，則平面，平面，所以，，因為為等邊三角形，故點為的中點.【小問2詳解】解：因為是邊長為的等邊三角形，則，平面，平面，則，即，所以，，，，設點到平面的距離為，，，解得.因此，點到平面距離為.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，結合面面垂直的判定定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式，結合線面角定義進行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面【小問2詳解】∵平面平面，交AD于點F，平面，平面平面，∴平面，以為原點，，的方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的法向量為，則，求得法向量為，由，所以直線與平面所成角的正弦值為.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意求出首項和公比即可得出通項公式；（2）可得是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項和公式即可求出.【詳解】解：（1）設等比數(shù)列的公比為，則，由題意得，解得，因此，；（2），則，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，首項，記數(shù)列前項和為，則.2