2025年北京市19中高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為比較甲、乙兩地某月時的氣溫狀況，隨機選取該月中的天，將這天中時的氣溫數(shù)據(jù)（單位：℃）制成如圖所示的莖葉圖（十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）.考慮以下結(jié)論：①甲地該月時的平均氣溫低于乙地該月時的平均氣溫；②甲地該月時的平均氣溫高于乙地該月時的平均氣溫；③甲地該月時的氣溫的標準差小于乙地該月時的氣溫的標準差；④甲地該月時的氣溫的標準差大于乙地該月時的氣溫的標準差.其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為（）A.①③ B.①④C.②③ D.②④2．已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示，若y關(guān)于x的線性回歸方程為，則m＝（）x1234y0.11.8m4A.3.1 B.4.3C.1.3 D.2.33．已知拋物線過點，點為平面直角坐標系平面內(nèi)一點，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點，則點與原點間的距離的最小值為（）A. B.C. D.4．方程表示的曲線是A.兩條直線 B.兩條射線C.兩條線段 D.一條直線和一條射線5．拋物線的準線方程是，則a的值為（）A.4 B.C. D.6．按照小李的閱讀速度，他看完《三國演義》需要40個小時.2021年12月20日，他開始閱讀《三國演義》，當天他讀了20分鐘，從第二天開始，他每天閱讀此書的時間比前一天增加10分鐘，則他恰好讀完《三國演義》的日期為（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日7．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，頭部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若該金杖從頭到尾每一尺重量構(gòu)成等差數(shù)列，其中重量為，則的值為（）A.4 B.12C.15 D.188．已知直線平分圓C：，則最小值為（）A.3 B.C. D.9．已知拋物線：，焦點為，若過的直線交拋物線于、兩點，、到拋物線準線的距離分別為3、7，則長為A.3 B.4C.7 D.1010．f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0則不等式f（x）g（x）＜0的解集為A.（﹣1，0）∪（1，+∞） B.（﹣1，0）∪（0，1）C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）11．拋物線的焦點坐標是A. B.C. D.12．如圖在平行六面體中，與的交點記為．設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是一個邊長為2的正方體的平面展開圖，在這個正方體中，則下列說法中正確的序號是___________.①直線與直線垂直；②直線與直線相交；③直線與直線平行；④直線與直線異面；14．設(shè)橢圓標準方程為，則該橢圓的離心率為______15．曲線在處的切線斜率為___________.16．已知函數(shù)，___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓與x軸交于A，B兩點，P是該圓上任意一點，AP，PB的延長線分別交直線于M，N兩點.（1）若弦AP長為2，求直線PB的方程；（2）以線段MN為直徑作圓C，當圓C面積最小時，求此時圓C的方程.18．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和19．（12分）已知等比數(shù)列的前n項和為，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這n個數(shù)之和為，求數(shù)列的前n項和20．（12分）已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若為的極值點，求的單調(diào)區(qū)間和最大值；（2）是否存在實數(shù)，使得的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別是，點P是橢圓C上任一點，若面積的最大值為，且離心率（1）求C的方程；（2）A，B為C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線交C于M，N兩點，證明：直線與的交點在一條定直線上22．（10分）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，短軸長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)左、右頂點分別為、，點在橢圓上（異于點、），求的值；（3）過點作一條直線與橢圓交于兩點，過作直線的垂線，垂足為.試問：直線與是否交于定點？若是，求出該定點的坐標，否則說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)求出平均數(shù)及標準差即可【詳解】由莖葉圖知甲地該月時的平均氣溫為，標準差為由莖葉圖知乙地該月時的平均氣溫為，標準差為則甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫，故①正確，乙平均氣溫的標準差小于甲的標準差，故④正確，故正確的是①④，故選：B2、A【解析】先求得樣本中心，代入回歸方程，即可得答案.【詳解】由題意得，又樣本中心在回歸方程上，所以，解得.故選：A3、B【解析】將點的坐標代入拋物線的方程，求出的值，可求得拋物線的方程，求出的坐標，分析可知點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，利用圓的幾何性質(zhì)可求得點與原點間的距離的最小值.【詳解】將點的坐標代入拋物線的方程得，可得，故拋物線的方程為，易知點，由中垂線的性質(zhì)可得，則點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，故點的軌跡方程為，如下圖所示：由圖可知，當點、、三點共線且在線段上時，取最小值，且.故選：B.4、D【解析】由，得2x+3y?1=0或.即2x+3y?1=0(x?3)為一條射線，或x=4為一條直線.∴方程表示的曲線是一條直線和一條射線.故選D.點睛：在直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線在求解方程時要注意變量范圍.5、C【解析】先求得拋物線的標準方程，可得其準線方程，根據(jù)題意，列出方程，即可得答案.【詳解】由題意得拋物線的標準方程為，準線方程為，又準線方程是，所以，所以.故選：C6、B【解析】由等差數(shù)列前n項和列不等式求解即可.【詳解】由題知，每天的讀書時間為等差數(shù)列，首項為20，公差為10，記n天讀完.則40小時=2400分鐘，令，得或（舍去），故，即第21天剛好讀完，日期為2022年1月9日.故選：B7、C【解析】先求出公差，再利用公式可求總重量.【詳解】設(shè)頭部一尺重量為，其后每尺重量依次為，由題設(shè)有，，故公差為.故中間一尺的重量為所以這5項和為.故選：C.8、D【解析】根據(jù)直線過圓心求得，再利用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】根據(jù)題意，直線過點，即，則，當且僅當，即時取得最小值.故選：D.9、D【解析】利用拋物線的定義，把的長轉(zhuǎn)化為點到準線的距離的和得解【詳解】解：拋物線：，焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，、到拋物線準線的距離分別為3、7，則故選D【點睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.10、A【解析】構(gòu)造函數(shù)h（x）＝f（x）g（x），由已知得當x＜0時，h（x）＜0，所以函數(shù)y＝h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得函數(shù)y＝h（x）為R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)y＝h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集【詳解】設(shè)h（x）＝f（x）g（x），因為當x＜0時，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，所以當x＜0時，h（x）＜0，所以函數(shù)y＝h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以函數(shù)y＝h（x）為R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)y＝h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，因為f（﹣1）＝0，所以函數(shù)y＝h（x）的大致圖象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞）故選A【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)乘法法則、導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；奇函數(shù)的單調(diào)性在對稱區(qū)間上一致，屬于中檔題11、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點坐標為可知，拋物線即的焦點坐標為，故選D.考點：拋物線的標準方程及其幾何性質(zhì).12、B【解析】利用空間向量的加法和減法法則可得出關(guān)于、、的表達式.【詳解】故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①④【解析】畫出正方體，，，故，①正確，根據(jù)相交推出矛盾得到②錯誤，根據(jù)，與相交得到③錯誤，排除共面的情況得到④正確，得到答案.【詳解】如圖所示的正方體中，，，故，①正確；若直線與直線相交，則四點共面，即在平面內(nèi)，不成立，②錯誤；，與相交，故直線與直線不平行，③錯誤；，與不平行，故與不平行，若與相交，則四點共面，在平面內(nèi)，不成立，故直線與直線異面，④正確；故答案為：①④.14、##【解析】求出、的值，即可求得橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，則，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.15、##【解析】首先求得的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率.【詳解】因為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以可得在處的切線斜率，故答案為：16、【解析】直接利用分段函數(shù)的解析式即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：-1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進行求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式和圓的標準方程進行求解即可.【小問1詳解】在方程中，令，解得，或，因為AP，PB的延長線分別交直線于M，N兩點，所以，圓心在x軸上，所以，因為，，所以有，當P在x軸上方時，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，當P在x軸下方時，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，因此直線PB的方程為或；【小問2詳解】由（1）知：，，所以設(shè)直線的斜率為，因此直線的斜率為，于是直線的方程為：，令，，即直線的方程為：，令，，即，因為同號，所以，當且僅當時取等號，即當時取等號，于是有以線段MN為直徑作圓C，當圓C面積最小時，此時最小，當時，和，中點坐標為：，半徑為，所以圓的方程為：，同理當時，和，中點坐標為：，半徑為，所以圓的方程為：，綜上所述：圓C的方程為.18、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項相消法可求得.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，，【小問2詳解】解：，.19、（1）；（2）【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列公比為q，利用與關(guān)系可求q，在中令n＝1可求；(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式可求，分析{}的通項公式，利用錯位相減法求其前n項和.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由己知，可得，兩式相減可得，即，整理得，可知，已知，令，得，即，解得，故等比數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】由題意知在與之間插入n個數(shù)，這個數(shù)組成以為首項的等差數(shù)列，∴，設(shè){}前n項和為，①①×3：②①－②：20、（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；最大值為；（2）存在，.【解析】（1）利用為的極值點求得，進而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值；（2）對導(dǎo)函數(shù)，分與進行討論，得函數(shù)的單調(diào)性進而求得最值，再由最大值是求出的值.【詳解】解：.（1）∵，，∴，由，得.∴，∴，，，，∴的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；的極大值為；也即的最大值為.（2）解：∵，∴，①當時，單調(diào)遞增，得的最大值是，解得，舍去；②時，由，即，當，即時，∴時，；時，；∴的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，又在上的最大值為，∴，∴；當，即時，在單調(diào)遞增，∴的最大值是，解得，舍去；綜上：存在符合題意，此時.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)的單調(diào)性及求解函數(shù)的最值中的應(yīng)用，還考查了函數(shù)的最值求解與分類討論的應(yīng)用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的條件.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+1，設(shè),用“設(shè)而不求法”表示出.由直線AM的方程為，直線BN的方程為，聯(lián)立，解得：，即可證明直線AM與BN的交點在直線上.【小問1詳解】由題意可得：，解得：,所以C的方程為.【小問2詳解】由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),設(shè)直線MN的方程為x=my+1.設(shè),由，消去y得：，所以.所以.因為直線AM的方程為，直線BN的方程為，二者聯(lián)立，有，所以，解得：，直線AM與BN的交點在直線上.【點睛】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標準方程；（2）"設(shè)而不求"是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.22、（1）；（2）；（3）是，.【解析】（1）由題意，列出所滿足的等量關(guān)系式，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，求得，從而求得橢圓的方程；（2）寫出，設(shè)，利用斜率坐標公式求得兩直線斜率，結(jié)合點在橢圓上，得出，從而求得結(jié)果；（3）設(shè)直線的方程為：，，