第二十七章圓27.4正多邊形和圓1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念.2.理解并掌握正多邊形半徑、中心角、邊心距、邊長之間的關(guān)系.(重點)3.會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識解決實際問題.（難點）

問題1

什么叫做正多邊形？各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.問題2

矩形是正多邊形嗎？為什么？

菱形是正多邊形嗎？為什么？矩形不是正多邊形，因為矩形不符合各邊相等；菱形不是正多邊形，因為菱形不符合各角相等.注意正多邊形各邊相等各角相等缺一不可正多邊形的對稱性問題3

正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形都是軸對稱圖形嗎？都是中心對稱圖形嗎？

正

n邊形都是軸對稱圖形，都有

n條對稱軸，只有邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形才是中心對稱圖形.問題3

正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形都是軸對稱圖形嗎？都是中心對稱圖形嗎？歸納OABCD問題1

以正方形為例，根據(jù)對稱軸的性質(zhì)，你能得出什么結(jié)論？EFGH∵EF是邊

AB、CD的垂直平分線，∴

OA=OB，OD=OC.同理，OA=OD，OB

=

OC.∴OA

=

OB

=

OC

=

OD.∴正方形

ABCD有一個以點

O為圓心的外接圓.正多邊形的性質(zhì)OABCDEFGH∵AC是∠DAB和∠DCB的平分線，BD是∠ABC和∠ADC的平分線，∴

OE=OH

=OF

=OG.∴

正方形

ABCD還有一個以點

O為圓心的內(nèi)切圓.OABCDERr正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心，叫做正多邊形的中心外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距正多邊形每一條邊所對的圓心角，叫做正多邊形的中心角.每個中心角都等于

正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角外角346n60°120°120°90°90°90°120°60°60°正多邊形的外角

=中心角完成下面的表格：練一練如圖，已知半徑為

4的圓內(nèi)接正六邊形

ABCDEF：①

它的中心角等于

度；②

OC

BC(填＞、＜或＝）；③

△OBC是

三角形；

④

圓內(nèi)接正六邊形的面積是

△OBC面積

的

倍.⑤

圓內(nèi)接正

n邊形面積公式：___________________.CBDOEFAP60=等邊6S正多邊形

=正多邊形的有關(guān)計算例1

如圖27.4-1，三角形AOB

是正三角形，以點O

為圓心，OA為半徑作⊙O，直徑FC∥AB，AO，BO

的延長線交⊙O

于點D，E，求證：六邊形ABCDEF為⊙O

的內(nèi)接正六邊形.證明：∵三角形AOB

是正三角形，∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°，OB=OA.∴點B在⊙O

上.∵FC∥AB，∴∠

FOA=∠OAB=60°，∠COB=∠OBA=60°.例1

如圖27.4-1，三角形AOB

是正三角形，以點O

為圓心，OA為半徑作⊙O，直徑FC∥AB，AO，BO

的延長線交⊙O

于點D，E，求證：六邊形ABCDEF為⊙O

的內(nèi)接正六邊形.∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°.∴AB=BC=CD=DE=EF=FA.∴六邊形ABCDEF

為⊙O的內(nèi)接正六邊形.1-1.下列圖形：(1)正三角形；(2)正方形；(3)正五邊形；(4)正六邊形；(5)線段；(6)圓；(7)菱形；(8)平行四邊形.其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是______________(填序號)(2)(4)(5)(6)(7)1-2.若一個四邊形的外接圓與內(nèi)切圓是同心圓，則這個四邊形一定是()A.

矩形 B.

菱形C.

正方形 D.

不能確定C例2

已知正六邊形ABCDEF

的半徑為6，求這個正六邊形的邊長a6，周長l6和面積S6.解：如圖27.4-2，設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為點O，過點O

作OG⊥AB

于點G，連結(jié)OA，OB.

D2-2如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點M在AB上，則∠CME的度數(shù)為()A.30°B.36°C.45°D.60°D正多邊形的畫法正n

邊形的畫法：將圓n等分，然后順次連結(jié)各等分點，即得到所要作的正n邊形.畫正多邊形的原理是在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等.

2.用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正n

邊形，如正方形、正八邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.如圖27.4-3②.在⊙O

中，用直尺和圓規(guī)作兩條互相垂直的直徑，就可把圓周四等分，從而作出正方形，若再逐次平分各邊所對的弧，就可以作邊數(shù)逐次倍增的正多邊形，如正八邊形、正十六邊形等.例3

作一個正三角形，使其半徑為0.9cm.解：作法一(1)作半徑為0.9cm的⊙O；(2)用量角器畫∠AOB=∠BOC=120°，其中A，B，C均為圓上的點；(3)連結(jié)AB，BC，CA，則△ABC為所求作的正三角形,如圖27.4-4．作法二(1)作半徑為0.9cm的⊙

O；(2)作⊙O

的任一直徑AB；(3)以B

為圓心，以0.9cm為半徑作弧，交⊙O于D，E；(4)連結(jié)AD，DE，EA，則△ADE

為所求作的正三角形，如圖27.4-5.B2.如圖，點P1～P8是⊙O的八等分點．若△P1P3P7，四邊形P3P4P6P7的周長分別為a，b，則下列正確的是(

)A．a(chǎn)＜bB．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)＞bD．a(chǎn)，b大小無法比較AC4.蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標系中，點P，Q，M均為正六邊形的頂點．A5.如圖①，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：作法如圖②：1.作直徑AF;2.以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點M，N;3.連結(jié)AM，MN，NA．(1)求∠ABC的度數(shù)．(2)△AMN是正三角形嗎？請說明理由．【解】△AMN是正三角形．理由：連結(jié)ON，NF，如圖所示．由題意可得FN＝ON＝OF，∴△FON是等邊三角形，∴∠NFA＝60°.∴∠NMA＝60°.同理可得