2025年中考數(shù)學(xué)真題完全解讀（河北卷）

本套試卷作為河北中考“兩考合一”（畢業(yè)與升學(xué)考試合并）改革后的首卷，緊扣《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》

核心理念，兼顧地區(qū)教學(xué)差異，總體難度穩(wěn)中有調(diào)：基礎(chǔ)題占比擴大（約60%），壓軸題思維深度提升、計

算復(fù)雜度增加，凸顯選拔功能。題型結(jié)構(gòu)有所改變（選擇題12題/36分、填空題4題、解答題8題），解答題

雖增1題，但因基礎(chǔ)題計算量精簡，學(xué)生仍有充足時間展示推理與建模能力。全卷通過分層設(shè)題（易:中:難

≈5:3:2），兼顧畢業(yè)達(dá)標(biāo)與升學(xué)選拔需求。

1、契合課標(biāo)

本試卷在命制充分體現(xiàn)了對《課程標(biāo)準(zhǔn)》的尊重。整套試題延續(xù)多年以來河北試題全部原創(chuàng)和創(chuàng)新的特色，

有效的避免了主觀上的刷題、押題、堵題，引導(dǎo)師生面向基礎(chǔ)、更關(guān)注數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。試題覆蓋數(shù)與代數(shù)、

幾何、統(tǒng)計概率等多板塊內(nèi)容，對常見的知識點如軸、軸坐標(biāo)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)值以及

相似、全等、多邊形性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)等都有所涉x及。卷y面既包含對基礎(chǔ)知識的直接測評，也融入了思維能

力、解決實際問題能力以及數(shù)學(xué)建模能力的考查。幾何綜合題與代數(shù)綜合題分別將所屬板塊的知識充分融合，

能夠考查學(xué)生對數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的理解與運用，對學(xué)生計算能力提出了更高的要求。

2、兼顧學(xué)情、校情

針對河北教育不均衡現(xiàn)狀，設(shè)置三類適應(yīng)性設(shè)計：

基礎(chǔ)保障：選擇/填空前10題及解答題17–19題側(cè)重單一技能（如合并同類項、全等三角形證明），降低薄弱

校學(xué)生應(yīng)試焦慮；

區(qū)分提升：壓軸題（如第23–24題）結(jié)合跨模塊知識（函數(shù)平移、動態(tài)幾何），要求多步推理；

情境創(chuàng)新：融入“榫卯結(jié)構(gòu)”“無人機測距”等生活與科技場景，強化閱讀理解與建模能力。

3、知識覆蓋面

從試卷細(xì)目表來看，該試卷知識內(nèi)容覆蓋面較廣，緊扣必備知識，注重考查初中數(shù)學(xué)各部分的核心要點。

數(shù)與代數(shù)部分涉及有理數(shù)加減、分式運算、不等式、函數(shù)等內(nèi)容；圖形與幾何部分涉及到平行線、三角形、四

邊形、圓、三視圖與簡單組合體；統(tǒng)計與概率部分則結(jié)合實際問題，出現(xiàn)條形圖、概率與扇形統(tǒng)計圖等形式。

這樣的布局能夠讓學(xué)生對主干知識有較系統(tǒng)、綜合的展示機會。新增“一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系”等課標(biāo)調(diào)整

內(nèi)容。

同時，卷面還考察了如“圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與折疊”“三角形相似判定”“二次函數(shù)圖像與性質(zhì)”、“隱

圓”等中考常考熱點，強調(diào)學(xué)生對概念原理的深刻理解與運用。

4、難度適中、區(qū)分度合理

在難度分布上，本卷依然遵循由易到難、分層設(shè)題的原則：前面的選擇題、填空題多數(shù)注重基礎(chǔ)與直接應(yīng)

用，如有理數(shù)加減、多項式運算、勾股定理等，學(xué)生需扎實掌握基本運算與幾何推理即可得分；而后續(xù)的解答

題在綜合性方面有明顯提高，出現(xiàn)對平面幾何、坐標(biāo)幾何、統(tǒng)計檢索等綜合運用的要求，考查學(xué)生對多知識點

交叉的掌握程度，有一定區(qū)分度。整體而言，本卷的思維層次多元，包括對邏輯思維、空間想象、幾何推理及

統(tǒng)計分析的不同要求，既能體現(xiàn)出尖子生的拔尖能力，也能檢測中等生的扎實程度。

具體來講：全卷易：中：難的大體比例約為5:3:2。-易：如第1、2、3、13、14、17、18題等，主要考查基

礎(chǔ)概念、基礎(chǔ)運算或直接幾何性質(zhì)，解題方法簡單明了；-中：如第5、7、9、10、15、19、20、22題等，側(cè)

重對知識的理解與綜合運用，需要靈活運用公式、定理或方法；-難：如第23、24題（尤其第24題結(jié)合二次

函數(shù)、幾何作圖、函數(shù)平移等多種知識點），多步推理與綜合分析要求較高，適合區(qū)分度的考察。

易、中、難各級題目的設(shè)置較為合理，能夠有效區(qū)分不同水平的學(xué)生，實現(xiàn)較強的選拔與診斷功能。綜合來看，

此卷難度適中偏稍難，注重基礎(chǔ)又不失綜合與創(chuàng)新，適合中考評價的要求。

5、命題背靠廣闊的文化背景

從命題背景上看，試卷突出了數(shù)學(xué)應(yīng)用、學(xué)科素養(yǎng)、跨學(xué)科知識、傳統(tǒng)文化以及人文思想的滲透。如應(yīng)用

“溫度變化”“榫卯結(jié)構(gòu)”“三葉蟲化石測量”“幾何折疊”等情境，強調(diào)數(shù)學(xué)與實際生活、傳統(tǒng)文化之間的

關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生在真實背景下體驗運用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程。此類題目對閱讀理解與信息提取的能力也提出

較高要求，達(dá)到對學(xué)生綜合素養(yǎng)的考核。對計算量的控制整體適中：中低難度題多為較短路徑、簡易運算或常

見幾何推理；高難度題雖需一定的運算與推理，但也注重思路簡潔，不會一味堆砌繁瑣運算。

值得一提的是，本卷能夠較好地體現(xiàn)分層要求及對中考改革趨勢的追隨：無論是強調(diào)學(xué)生對幾何作圖、函

數(shù)思想的掌握，還是對數(shù)據(jù)分析與概率統(tǒng)計能力的培養(yǎng)，都與現(xiàn)階段課程標(biāo)準(zhǔn)的加強實踐與綜合應(yīng)用的理念相

契合。同時又兼顧河北省多年中考的統(tǒng)一要求與學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣，保證通過適量基礎(chǔ)、中檔題來檢測學(xué)生基本素

質(zhì)，再用綜合性題設(shè)立梯度區(qū)分。在邏輯周密與試題素養(yǎng)方面，本卷可謂條理清晰、前后銜接自然，對于反映

學(xué)生真實水平、引導(dǎo)學(xué)校教學(xué)也有積極作用。

總的來看，本次試卷緊扣《課程標(biāo)準(zhǔn)》核心理念，兼顧了河北各地初中教學(xué)實際。題型、難度及內(nèi)容分布

合理，既關(guān)注絕大多數(shù)學(xué)生的基礎(chǔ)達(dá)成，又適度強調(diào)拔尖學(xué)生的思維深度，在難易度與思維深度上做到了層層

遞進(jìn)、重點突出。試卷對學(xué)生的基本計算能力、數(shù)學(xué)建模思維與幾何推理能力進(jìn)行了較全面的檢測。整卷導(dǎo)向

明確，強調(diào)數(shù)學(xué)的實用性與思維邏輯性，對引導(dǎo)初中教學(xué)夯實基礎(chǔ)、提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)

素養(yǎng)、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣與提升問題解決能力，均具有顯著的導(dǎo)向價值?？梢灶A(yù)見，本套試題對于數(shù)學(xué)教學(xué)精準(zhǔn)把

握學(xué)科主干知識、落實新課標(biāo)要求、提升學(xué)生核心素養(yǎng)具有積極的指導(dǎo)意義。

考查范圍：數(shù)與式、圖形的性質(zhì)、圖形的變化、方程與不等式、函數(shù)、統(tǒng)計與概率

題號難度知識點

一、單選題

1較易有理數(shù)加法在生活中的應(yīng)用

2較易平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用

3較易二次根式的混合運算

4較易相似圖形

5較易判斷簡單組合體的三視圖

6適中一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,判斷點所在的象限

7較易已知概率求數(shù)量

8較易分式化簡求值

9較易根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明,選擇或補充條件使兩個三角形相似

10較易判斷反比例函數(shù)的增減性,比較反比例函數(shù)值或自變量的大小

11適中三角形的外角的定義及性質(zhì),矩形與折疊問題,三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

12適中求一次函數(shù)解析式,由平移方式確定點的坐標(biāo),一次函數(shù)圖象平移問題

二、填空題

13容易合并同類項

14較易求一元一次不等式組的整數(shù)解,確定第三邊的取值范圍,利用平行四邊形的性質(zhì)求解

15較易已知式子的值，求代數(shù)式的值,其他問題(一元一次方程的應(yīng)用)

16適中利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解,等邊對等角,三線合一,解直角三角形的相關(guān)計算

三、解答題

17適中求一元一次不等式的解集,求不等式組的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集

18適中有理數(shù)四則混合運算,實數(shù)的混合運算

19適中全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）,等腰三角形的性質(zhì)和判定

20適中條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián),已知平均數(shù)求未知數(shù)據(jù)的值,統(tǒng)計表,求中位數(shù)

21適中根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定求角度,用勾股定理解三角形,利用菱形的性質(zhì)求線段長,求弧長

22適中用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù),其他問題(一元一次方程的應(yīng)用)

23困難用勾股定理解三角形,切線的性質(zhì)定理,作線段(尺規(guī)作圖),根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長

待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,其他問題(二次函數(shù)綜合),一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,

24較難

已知二次函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值

在復(fù)習(xí)本套中考數(shù)學(xué)試卷時，同學(xué)們需要兼顧知識體系全面梳理、答題思路科學(xué)規(guī)劃和心理素質(zhì)穩(wěn)定提升。

以下建議從知識板塊、復(fù)習(xí)規(guī)劃、答題技巧、心理調(diào)適以及命題趨勢五個方面進(jìn)行闡述，幫助大家在最后備考

階段高效復(fù)習(xí)，取得理想成績。

1.有理數(shù)與代數(shù)基礎(chǔ)

?熟練掌握有理數(shù)的運算，尤其是帶負(fù)號的加減法，如本試卷第1題對“傍晚氣溫”的計算即要求熟悉

等負(fù)數(shù)減法。

?代數(shù)式運算要注意合并同類項、乘方法則、完全平方公式等常見易錯點，比如選擇題中涉及到與

不是同類項，不能直接合并。xy

2

xy建議通過專題訓(xùn)練，整理常見的可化簡表達(dá)式，掌握等典型公式。

222

2.函數(shù)與圖形(x?y)=x?2xy+y

?重點關(guān)注一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)，對其圖象的形狀、增減性、與坐標(biāo)軸或其他函數(shù)相交點

的求解方法要熟練掌握。如第10題反比例函數(shù)的性質(zhì)、第12題一次函數(shù)的平移、24題二次函數(shù)性質(zhì)的綜合

應(yīng)用。

?在閱讀圖表時，要熟悉如何從“時間—距離”或“坐標(biāo)系”中快速判讀出斜率、截距、面積等信息。

3.平面幾何和三視圖

?多關(guān)注圓、正方形、菱形、平行四邊形及其對角線、中心對稱等性質(zhì)，如11題矩形的折疊、21題正方

形性質(zhì)、23題矩形的性質(zhì)、平行四邊形的對角線”等。

?三視圖考查在圓柱、圓錐、球、棱柱等常見立體幾何體中的判斷，常出現(xiàn)主視圖、俯視圖不一致的干擾

項。同學(xué)們需牢記：球的主視圖與俯視圖均為圓。

?推薦針對常見的立體圖形，多畫圖、對比、記憶關(guān)鍵特征，減少在考場中出現(xiàn)“想當(dāng)然”的失誤。

4.解直角三角形與綜合應(yīng)用

?解直角三角形涉及到三角函數(shù)、勾股定理、坡度和俯角等概念，通常與實際應(yīng)用場景結(jié)合，需靈活運用

θ、θ等知識。

sin?做ta題n時要特別注意給定的傾角或俯角所對應(yīng)的幾何圖形，警惕畫圖時忽略水平距離或高差而導(dǎo)致計算錯

誤。

?建議在復(fù)習(xí)時挑選一部分工程測量、建筑高度測量、斜坡問題等題目進(jìn)行專項訓(xùn)練。

5.概率與統(tǒng)計

?既要掌握求平均數(shù)、方差、極差等基本數(shù)據(jù)分析手段，也要會解釋統(tǒng)計圖（如扇形圖、折線圖、莖葉圖

等）。

?本試卷中出現(xiàn)概率計算時，常需要列表或樹狀圖列舉法，復(fù)雜的還要用到分類計數(shù)。對“有實數(shù)根的概

率”之類題型，要熟悉一元二次方程根的判別式Δ。

?建議結(jié)合題目類型熟悉不同的方法，哪一種最≥有0效、最快捷，并注重表達(dá)過程的完整性。

1.第一階段：系統(tǒng)梳理與歸納（考前約1個月）

?建議用一周左右時間進(jìn)行書本知識的概念復(fù)習(xí)與題型分塊整理，制作本學(xué)期知識框架圖，涵蓋基礎(chǔ)概念、

公式和定理。

?每天可以安排半小時針對薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行專項突破，如幾何輔助線添加技巧、方程不等式綜合運用等。

?通過模擬題或真題限時自測，重點檢驗知識點的掌握程度，并將錯題按知識類別及時歸納。

2.第二階段：強化問題與查漏補缺（考前約2~3周）

?通過精練近幾年真題或高質(zhì)量模擬題，結(jié)合本試卷解析，針對反復(fù)出現(xiàn)的“易錯點”進(jìn)行二次強化。如

判斷圖象象限位置、掌握三視圖特征、熟悉角平分線與相似三角形等綜合問題。

?對于錯題或難題，要做到及時反思：是理解不深，還是運算不熟？從思維和計算兩方面分別提升。

?每天留出適當(dāng)時間訓(xùn)練運算速度與書寫規(guī)范度，模擬考場環(huán)境，提高應(yīng)試狀態(tài)。

3.第三階段：綜合沖刺與穩(wěn)定心態(tài)（考前1周及考前最后幾天）

?進(jìn)行整套試題的限時模擬演練，鍛煉審題速度、答題順序安排及對時間的把控。

?整理常用公式、小結(jié)論，將易忘記的公式（如平方差公式，正六邊形對角線長

22

度等）匯總在小冊子中，臨考前快速翻閱。a?b=(a?b)(a+b)

1.選擇題“速排+穩(wěn)算”結(jié)合

?先進(jìn)行排除，注意：若題意與平時學(xué)過的定理矛盾，或明顯不符合語言表述，可快速剔除。

?對于簡單的數(shù)值替換法，積極運用，如將等帶入驗證，提高準(zhǔn)確率。

?必要時對剩余選項求精準(zhǔn)計算結(jié)果，確保答x案=正1,2確。

2.填空題“公式+巧思”并重

?一般先嘗試代入數(shù)值、運用對應(yīng)公式進(jìn)行快速運算，若不能立刻求解，可結(jié)合幾何思路或構(gòu)造輔助線。

?遇到統(tǒng)計、概率類填空時，建議第一步先列表、分類，可避免漏數(shù)。

3.解答題“步驟規(guī)范+過程清晰”

?尤其注意幾何證明中“先畫圖再敘述”，先寫“已知”“求證”再進(jìn)行論證過程。如證明平行，可采用

“內(nèi)錯角相等”或“同位角相等”；證明相似三角形可用“角角對應(yīng)相等”。

?代數(shù)題需寫清關(guān)鍵推導(dǎo)步驟。若是整式運算或分式方程等，過程要體現(xiàn)關(guān)鍵運算細(xì)節(jié)，如“系數(shù)相乘”

“同底數(shù)冪相加”等，防止因漏寫中間過程失分。

1.合理預(yù)期，減少焦慮

?在復(fù)習(xí)中若遇到瓶頸，不必過度焦躁，可適當(dāng)與同學(xué)、老師交流或放松。

?給自己設(shè)定適合的目標(biāo)范圍，如目標(biāo)分?jǐn)?shù)區(qū)間，清晰地明白自己在哪些方面還可以再突破，從而獲得動

力。

2.平衡作息，輕松迎戰(zhàn)

?科學(xué)安排作息時間，每天保障約7~8小時睡眠。

?考前保持適度運動和娛樂以舒緩壓力，保證大腦在答題時保持清醒狀態(tài)。

3.自我暗示，積極鼓舞

?考試臨近時要提醒自己“題目再難也有思路”“按步驟逐一解決”，把注意力轉(zhuǎn)移到題目的分析上。

?考場上初見新題要沉住氣，可將其分解為子問題逐步擊破。

1.關(guān)注學(xué)科融合與情景化應(yīng)用

?近年來中考數(shù)學(xué)注重應(yīng)用場景，本卷中出現(xiàn)的如：跨學(xué)科融合：物理測量、生態(tài)統(tǒng)計等場景將持續(xù)滲透；

傳統(tǒng)文化載體：沿用“榫卯”“古籍?dāng)?shù)學(xué)”等文化元素；探究開放性：或增加條件猜想類半開放題。后續(xù)續(xù)命題依

然可能聚焦于科技、工程或社會熱點，如“碳排放”、“5G運用”等。

需加強對文字材料題的理解能力，練習(xí)先轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，再運用所學(xué)知識求解的思路。

2.函數(shù)與幾何交匯綜合

?一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的綜合常見于考查數(shù)形結(jié)合，如一次函數(shù)與二次函數(shù)求交點、動點幾何問

題等。此類題型具有一定的綜合性，一直是中考的重頭戲，建議重點關(guān)注。

?在后續(xù)復(fù)習(xí)中加大類似創(chuàng)新題型的練習(xí)，培養(yǎng)見圖能列方程、見方程能作圖的思維習(xí)慣。

3.基礎(chǔ)運算及探究性問題并重

?雖然難題比例不會大幅上升，但基礎(chǔ)的準(zhǔn)確性非常重要，要避免基礎(chǔ)失分。

?同時也要當(dāng)心“探究型題目”或“開放題”，如令取不同值預(yù)測圖象變化，或需要同學(xué)們對結(jié)論進(jìn)行猜

想與論證。平時要多做一些拓展題培養(yǎng)綜合視野。k

綜合以上建議，祝同學(xué)們在最后的復(fù)習(xí)階段能有條不紊、穩(wěn)步前進(jìn)。踏實打牢基礎(chǔ)、認(rèn)真反思錯題、科

學(xué)安排練習(xí)與休息、保持良好心態(tài)，定能在中考中取得滿意的成績！預(yù)祝大家順利發(fā)揮，圓夢中考！

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．）

1.從5℃上升了5℃后的溫度，在溫度計上顯示正確的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)的加法的應(yīng)用，根據(jù)題意計算得出550，找到顯示為0℃的即可

求解．

【詳解】解：550

故選：B．

2.榫卯結(jié)構(gòu)是兩個構(gòu)件采取凹凸結(jié)合的連接方式．如圖是某個構(gòu)件的截面圖，其中AD∥BC，

ABC70，則BAD（）

A.70B.100C.110D.130

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得DABABC180，結(jié)合題意，

即可求解．

【詳解】解：∵AD∥BC，

∴DABABC180，

∵ABC70，

∴BAD110，

故選：C．

3.計算：(106)(106)（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，利用平方差公式直接計算，即可求解．

【詳解】解：(106)(106)(10)2(6)21064

故選：B．

4.“這么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘濟橋游覽，發(fā)現(xiàn)青石橋面上有三葉蟲化石，

他想了解其長度，在化石旁放了一支筆拍下照片（如圖）．回家后量出照片上筆和化石的長度分

別為7cm和4cm，筆的實際長度為14cm，則該化石的實際長度為（）

A.2cmB.6cmC.8cmD.10cm

【答案】C

【解析】

74

【分析】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，設(shè)該化石的實際長度為xcm，根據(jù)題意得出，即可

14x

求解．

【詳解】設(shè)該化石的實際長度為xcm，依題意，

74

，

14x

解得：x8

故選：C．

5.一個幾何體由圓柱和正方體組成，其主視圖、俯視圖如圖所示，則其左主視圖視圖為（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)畫三視圖的方法，發(fā)揮空間想象能力，結(jié)合主視圖和俯視圖，從左側(cè)看下方是一個

長方形，上面中間是一個小正方形，據(jù)此即可求解．

【詳解】解：從左側(cè)看下方是一個長方形，上面中間是一個小正方形，

故選：A．

6.若一元二次方程x(x2)30的兩根之和與兩根之積分別為m，n，則點(m,n)在平面直角坐

標(biāo)系中位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，點的坐標(biāo)；將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，利用根

與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與積，再根據(jù)點的坐標(biāo)判斷所在象限．

【詳解】解：原方程xx230展開并整理為標(biāo)準(zhǔn)形式：x22x30

其中a1，b2，c3．

b2c3

∴m2，n3．

a1a1

∴點m,n即2,3的橫、縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)，故位于平面直角坐標(biāo)系的第三象限．

故選：C．

7.拋擲一個質(zhì)地均勻的正方體木塊（6個面上分別標(biāo)有1，2，3中的一個數(shù)字），若向上一面出

11

現(xiàn)數(shù)字1的概率為，出現(xiàn)數(shù)字2的概率為，則該木塊不可能是（）

23

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了根據(jù)概率求數(shù)量，根據(jù)題意得出數(shù)字1有3個，數(shù)字2有2個，則數(shù)字3只有

1個，結(jié)合選項，即可求解．

11

【詳解】解：正方體共6個面，向上一面出現(xiàn)數(shù)字1的概率為，出現(xiàn)數(shù)字2的概率為，

23

∴數(shù)字1有3個，數(shù)字2有2個，則數(shù)字3只有1個

選項A中數(shù)字3有2個，符合題意

故選：A．

a212a36

8.若a3，則（）

a26a

A.3B.1C.3D.6

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了分式的化簡求值，將分式化簡后代入求值，即可求解．

2

a212a36a6a6

【詳解】解：

a26aaa6a

36

當(dāng)a3時，原式1

3

故選：B．

9.如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，延長BA，BC，分別交直線DE于點M，N．若添

加下列一個條件后，仍無法判定△MAE∽△DCN，則這個條件是（）

A.B4180B.CD∥ABC.14D.23

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，平行線的性質(zhì)與判定，當(dāng)B4180時，可證

明CD∥BM，由平行線的性質(zhì)得到∠CDN∠AME，∠AEM=∠CND，則可證明

△MAE∽△DCN，據(jù)此可判斷A、B；由平行線的性質(zhì)可得1B180，則B4180，

同理可判斷C；D中條件結(jié)合已給條件不能證明△MAE∽△DCN．

【詳解】解：A、∵B4180，

∴CD∥BM，

∴∠CDN∠AME，

∵AE∥BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故A不符合題意；

B、∵CD∥AB，

∴∠CDN∠AME，

∵AE∥BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故B不符合題意；

C、∵AE∥BC，

∴1B180，

∵14，

∴B4180，

∴CD∥BM，

∴∠CDN∠AME，

∵AE∥BC，

∴∠AEM=∠CND，

∴△MAE∽△DCN，故C不符合題意；

D、根據(jù)23結(jié)合已知條件不能證明△MAE∽△DCN，故D符合題意；

故選：D．

4

10.在反比例函數(shù)y中，若2y4，則（）

x

1

A.x1B.1x2C.2x4D.4<x<8

2

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了反比例數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的范圍求解．

4

【詳解】解：∵y，40，當(dāng)x0時，y隨x的增大而減小，

x

4

當(dāng)y2時，x2，

2

4

當(dāng)y4時，x1

4

∴當(dāng)2y4時，1x2，

故選：B．

11.如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，點A落在A處，AD交BC于點E．將CDE沿DE

折疊，點C落在VBDE內(nèi)的C處，下列結(jié)論一定正確的是（）

A.145B.1C.290D.22

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了矩形的折疊問題，三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握折

疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；結(jié)果矩形的性質(zhì)的可得AD∥BC，C90，則ADB1，進(jìn)而根

據(jù)折疊的性質(zhì)得出2190，22，即可求解．

【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，C90

∴ADB1

∵折疊

∴ADBADB

∴1ADB

∵DEC90，即2190

1

∴145，故A不正確

2

∵BDECDE

∴1，故B不正確

∵折疊，

∴CEDCED

∵21802CED1802902，故C不正確，D選項正確

故選：D．

12.在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點．如圖，正方形EFGH與正方形

OABC的頂點均為整點．若只將正方形EFGH平移，使其內(nèi)部（不含邊界）有且只有A，B，C

三個整點，則平移后點E的對應(yīng)點坐標(biāo)為（）

711823339

A.,B.,C.,2D.,

55510224

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖象，一次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求得直線FG的解析式為

y2x1，根據(jù)選項判斷平移方式，結(jié)合題意，即可求解．

【詳解】解：設(shè)直線FG的解析式為ykxb，代入1,1,0,1

1kb

∴

1b

k2

∴

b1

∴直線FG的解析式為y2x1

∵E1,2，

71121

A.當(dāng)E為,時，平移方式為向右平移個單位，向上平移個單位，

5555

21

∴直線FG平移后的解析式為y2x12x，此時經(jīng)過原點，對應(yīng)的EH經(jīng)過整點

55

2,1，符合題意，

82333

B.當(dāng)E為,時，平移方式為向右平移個單位，向上平移個單位，

510510

331

∴直線FG平移后的解析式為y2x12x，此時原點在FG下方，對應(yīng)的EH

5102

在整點2,1上方，不符合題意，

31

C.當(dāng)E為,2時，平移方式為向右平移個單位，，

22

1

∴直線FG平移后的解析式為y2x12x，此時點E在正方形內(nèi)部，不符合題意，

2

3911

D.當(dāng)E為,時，平移方式為向右平移個單位，向上平移個單位，

2424

1

∴直線FG平移后的解析式為y2x12x，此時點E和2,1在正方形內(nèi)部，不符合題

2

意，

故選：A．

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）

13.計算：2a24a2______．

【答案】6a2

【解析】

【分析】本題考查了合并同類項，掌握合并同類項法則是解題的關(guān)鍵．

直接根據(jù)合并同類項法則計算即可．

【詳解】解：2a24a26a2，

故答案為：6a2．

14.平行四邊形的一組鄰邊長分別為3，4，一條對角線長為n．若n為整數(shù)，則n的值可以為

______．（寫出一個即可）

【答案】2（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，不等式組的整數(shù)解，根據(jù)題意得出

1n7，進(jìn)而寫出一個整數(shù)解即可求解．

【詳解】解：依題意，43n43

∴1n7，

∵n為整數(shù)，

∴n可以是2，3，4，5，6

故答案為：2（答案不唯一）．

12

15.甲、乙兩張等寬的長方形紙條，長分別為a，b．如圖，將甲紙條的與乙紙條的疊合在

35

一起，形成長為81的紙條，則ab______．

【答案】99

【解析】

【分析】本題主要考查了已知式子的值求代數(shù)式的值，一元一次方程的應(yīng)用，由題意可知：重疊

125

部分為：ab，設(shè)疊部分的長度為k，則a3k，bk，根據(jù)重疊后的總長度為81為等

352

量關(guān)系列出關(guān)于k的一元一次方程，求解即可得出答案．

12

【詳解】解：由題意可知：重疊部分為：ab，

35

5

設(shè)重疊部分的長度為k，則a3k，bk，

2

重疊后的總長度為：akbkk81，即abk81，

55

代入a3k，bk得：3kkk81，

22

解得：k18，

5

a31854，bk45，

2

∴ab99，

∴故答案為：99．

16.2025年3月是第10個全國近視防控宣傳教育月，活動主題為“抓早抓小抓關(guān)鍵，更快降低

近視率”，圖是一幅眼肌運動訓(xùn)練圖，其中數(shù)字112對應(yīng)的點均勻分布在一個圓上，數(shù)字0對

應(yīng)圓心．圖中以數(shù)字012對應(yīng)的點為端點的所有線段中，有一條線段的長與其他的都不相

62

等．若該圓的半徑為1，則這條線段的長為______．（參考數(shù)據(jù)：sin15，

4

62

sin75）

4

【答案】62

2

【解析】

【分析】如圖所示，設(shè)數(shù)字0記為圓心O，數(shù)字6記為A，數(shù)字7記為B，過點O作ODAB于

點D，首先得到線段AB的長與其他的都不相等，然后求出BOD75，解直角三角形求出

62

BD，然后利用三線合一求解即可．

4

【詳解】如圖所示，設(shè)數(shù)字0記為圓心O，數(shù)字6記為A，數(shù)字7記為B，過點O作ODAB于

點D

由圖可得，線段AB的長與其他的都不相等，

∵其中數(shù)字112對應(yīng)的點均勻分布在一個圓上，

∴3601230

∴相鄰兩個數(shù)字與圓心O組成的圓心角為30

∴AOB305150

1

∴OABOBA180AOB15

2

∵ODAB

∴BOD75

BD62BD

∴sinBODsin75，即

OB41

62

∴BD

4

∵OAOB，ODAB

62

∴AB2BD．

2

∴這條線段的長為62．

2

故答案為：62．

2

【點睛】此題考查了圓心角，解直角三角形，等邊對等角，三線合一性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

掌握以上知識點．

三、解答題（本大題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．

17.（1）解不等式2x6，并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；

（2）解不等式3x5，并在如圖所給的數(shù)軸上表示其解集；

2x6

（3）直接寫出不等式組的解集．

3x5

【答案】（1）x3，見解析；（2）x2，見解析；（3）2x3

【解析】

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，求不等式組的解集，

熟知解不等式和解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．

（1）把不等式兩邊同時除以2求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示不等式的解集即可；

（2）按照移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示不等式的

解集即可；

（3）先求出每個不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找

不到（無解）”求出不等式組的解集即可．

【詳解】解：（1）2x6

不等式兩邊同時除以2得x3，

數(shù)軸表示如下所示：

（2）3x5

移項得：x53，

合并同類項得：x2，

系數(shù)化為1得：x2，

數(shù)軸表示如下所示：

2x6①

（3）

3x5②

解不等式①得：x3，

解不等式②得：x2，

∴原不等式組的解集為2x3．

18.（1）一道習(xí)題及其錯誤的解答過程如下：請指出在第幾步開始出現(xiàn)錯誤，并選擇你喜歡的方

法寫出正確的解答過程．

125

計算：(6)．

236

125

解：(6)

236

125

666第一步

236

345第二步

4．第三步

211

（2）計算：|22|(2)

24

【答案】（1）原計算第一步開始出錯；2；（2）12

【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)混合運算，實數(shù)的混合運算，掌握運算法則是解題的關(guān)鍵；

（1）第一步計算分配律時符號出錯；

（2）按照實數(shù)的混合運算法則進(jìn)行，先計算括號里面的，再從左到右依次計算乘除．

【詳解】解：（1）原計算第一步開始出錯；

125

(6)

236

125

666

236

345

2；

211

（2）|22|(2)

24

1

224

4

12

19.如圖．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，ACAD，DACB=DADB，點F在

ED上，BAFEAD．

（1）求證：ABC≌AFD；

（2）若BEFE，求證：ACBD．

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)；

（1）先證明BACFAD，結(jié)合ACAD，DACB=DADB，即可得到結(jié)論；

（2）先證明ABAF，結(jié)合BEFE即可得到結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：∵BAFEAD，

∴BACFAD，

∵ACAD，DACB=DADB，

∴ABC≌AFD；

【小問2詳解】

證明：∵ABC≌AFD，

∴ABAF，

∵BEFE，

∴AEBF，即ACBD.

20.某工廠生產(chǎn)A，B，C，D四種產(chǎn)品．為提升產(chǎn)品的競爭力，該工廠計劃對部分種類的產(chǎn)品

優(yōu)化生產(chǎn)流程，降低成本；對其他種類的產(chǎn)品增加研發(fā)投入，提升品質(zhì)．經(jīng)研究，該工廠做出了

甲、乙兩種調(diào)整方案，這兩種方案將對四種產(chǎn)品的成本產(chǎn)生不同的影響．下面是該工廠這四種產(chǎn)

品的部分信息：a．調(diào)整前，各產(chǎn)品年產(chǎn)量的不完整的條形統(tǒng)計圖（圖1）和扇形統(tǒng)計圖（圖

2）．b．各產(chǎn)品單件成本的核算情況統(tǒng)計表及說明．說明：對于統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)，方案甲的平均

數(shù)與調(diào)整前的相同，方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同．根據(jù)以上信息，解答下列問題：

產(chǎn)品

AB

CD

數(shù)據(jù)類別

調(diào)整前單價成本（元/件）18262036

方案

1322m40

調(diào)整后單價成本（元甲

/件）方案

16n1832

乙

（1）求調(diào)整前A產(chǎn)品的年產(chǎn)量；

（2）直接寫出m，n的值；

（3）若調(diào)整后這四種產(chǎn)品的年產(chǎn)量均與調(diào)整前的相同，請通過計算說明甲、乙兩種方案哪種總

成本較低．

【答案】（1）60萬件

（2）m25，n28

（3）甲種方案總成本較低

【解析】

【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)，求平均數(shù)與中位數(shù)，從統(tǒng)計圖表中獲取

信息是解題的關(guān)鍵；

（1）先求得總產(chǎn)量，然后求得C的年產(chǎn)量，最后求得A產(chǎn)品的年產(chǎn)量；

（2）根據(jù)方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同，即可求解；

（3）分別計算甲、乙兩種方案的成本，比較大小，即可求解．

【小問1詳解】

4020%200萬件，

C產(chǎn)品的年產(chǎn)量為：20015%30萬件，

∴調(diào)整前A產(chǎn)品的年產(chǎn)量為：20070304060萬件

【小問2詳解】

∵方案甲的平均數(shù)與調(diào)整前的相同，

∴18262036132240m

解得：m25，

2026

∵方案乙的中位數(shù)與調(diào)整前的相同，調(diào)整前，中位數(shù)為23

2

18n

調(diào)整后為23，

2

∴n28

【小問3詳解】

解：方案甲的總成本為：13602270253040404670（萬元）

方案乙的總成本為：16602870183032404740（萬元）

46704740

∴甲種方案總成本較低

21.如圖1，圖2，正方形ABCD的邊長為5．扇形OEF所在圓的圓心O在對角線BD上，且不與

點D重合，半徑OE2，點E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，DEDF(DE2)，扇形OEF的弧交

線段OB于點M，記為EMF．

（1）如圖1，當(dāng)AE3時，求EMF的度數(shù)；

（2）如圖2，當(dāng)四邊形OEMF為菱形時，求DE的長；

（3）當(dāng)EOF150時，求EMF的長．

【答案】（1）45

（2）6

5π7π

（3）或

33

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意證明出四邊形EOFD是正方形，得到EOF90，然后利用圓周角定理

求解即可；

（2）首先證明出△OEM是等邊三角形，如圖所示，連接EF交BD于點G，求出

1

MGOGEM1，EGEM2MG23，然后得到EGD是等腰直角三角形，進(jìn)而求解

2

即可；

（3）分兩種情況，根據(jù)弧長公式求解即可．

【小問1詳解】

∵正方形ABCD的邊長為5．

∴ADCD5

∵當(dāng)AE3時

∴EDDF2

∵OEOF2

∴EDDFOEOF

∴四邊形EOFD是菱形

∵EDF90

∴四邊形EOFD是正方形

∴EOF90

1

∴EMFEOF45；

2

【小問2詳解】

∵四邊形OEMF為菱形

∴EMMFOEOF

∵扇形OEF所在圓的圓心O在對角線BD上，

∴OEOMEM2

∴△OEM是等邊三角形

如圖所示，連接EF交BD于點G

∴EFBD

1

∴MEGMEO30

2

1

∴MGOGEM1

2

∴EGEM2MG23

∵EDG45

∴EGD是等腰直角三角形

∴EGDG3

∴EDEG2DG26；

【小問3詳解】

如圖所示，當(dāng)EMF是劣弧時，

∵EOF150，半徑OE2

150π25π

∴EMF；

1803

如圖所示，當(dāng)EMF是優(yōu)弧時，

∵EOF150，半徑OE2

∴360150210

210π27π

∴EMF．

1803

5π7π

綜上所述，EMF的長為或．

33

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，求弧長，勾股定理，菱形的性質(zhì)，等腰直角三

角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．

22.一般固體都具有熱脹冷縮的性質(zhì)，固體受熱后其長度的增加稱為線膨脹．在0~100℃（本題

涉及的溫度均在此范圍內(nèi)），原長為lm的銅棒、鐵棒受熱后，伸長量y(m)與溫度的增加量

x℃之間的關(guān)系均為ylx，其中為常數(shù)，稱為該金屬的線膨脹系數(shù)．已知銅的線膨脹系數(shù)

53

Cu1.710（單位：/℃）；原長為2.5m的鐵棒從20℃加熱到80℃伸長了1.810m．

（1）原長為0.6m的銅棒受熱后升高50℃，求該銅棒的伸長量（用科學(xué)記數(shù)法表示）．

4

（2）求鐵的線膨脹系數(shù)Fe；若原長為1m的鐵棒受熱后伸長4.810m，求該鐵棒溫度的增加

量．

（3）將原長相等的銅棒和鐵棒從0℃開始分別加熱，當(dāng)它們的伸長量相同時，若鐵棒的溫度比

銅棒的高20℃，求該鐵棒溫度的增加量．

【答案】（1）5.1104m

5

（2）Fe1.210/℃，40℃

（3）68℃

【解析】

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)ylx，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可求解；

（2）根據(jù)定義求得鐵的線膨脹系數(shù)Fe，進(jìn)而設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x1，根據(jù)題意列出一元

一次方程，解方程，即可求解；

（3）設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x2，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程，即可求解．

【小問1詳解】

解：0.6501.71055.1104m，

答：該銅棒的伸長量5.1104m．

【小問2詳解】

3

解：2.5Fe80201.810，

5

解得：Fe1.210/℃，

設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x1，根據(jù)題意得，

44

11.210x14.810，

℃

解得：x140，

5

答：鐵的線膨脹系數(shù)Fe1.210/℃，該鐵棒溫度的增加40℃．

【小問3詳解】

解：設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x2，根據(jù)題意得，

55

1.710x2201.210x2，

℃

解得：x268，

答：該鐵棒溫度的增加量為68℃．

23.綜合與實踐

［情境］要將矩形鐵板切割成相同的兩部分，焊接成直角護(hù)板（如圖1），需找到合適的切割線．

［模型］已知矩形ABCD（數(shù)據(jù)如圖2所示）．作一條直線MN，使MN與BC所夾的銳角為

45，且將矩形ABCD分成周長相等的兩部分．

［操作］嘉嘉和淇淇嘗試用不同方法解決問題．

［探究］根據(jù)以上描述，解決下列問題．

［拓展］操作和探究中蘊含著一般性結(jié)論，請繼續(xù)研究下面的問題．

如圖3，嘉嘉的思路如下：

①連接AC，BD交于點O；如圖4，淇淇的方法如下：

②過點O作EFBC，分別交BC，①在邊BC上截取BGAB，連接

AD于點E，F(xiàn)AG；

……②作線段GC的垂直平分線l，交

BC于點M；

③在邊AD上截取ANGM，作直

線MN．

（1）圖2中，矩形ABCD的周長為______；

（2）在圖3的基礎(chǔ)上，用尺規(guī)作圖作出直線MN（作出一條即可，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（3）根據(jù)淇淇的作圖過程，請說明圖4中的直線MN符合要求．

（4）如圖5，若直線PQ將矩形ABCD分成周長相等的兩部分，分別交邊AD，BC于點P，Q，

過點B作BHPQ于點H，連接CH．

①當(dāng)PQC45時，求tanBCH的值；

②當(dāng)BCH最大時，直接寫出CH的長．

【答案】（1）10；（2）見解析；

3

（3）；

13

3

（4）；②22．

13

【解析】

【分析】1根據(jù)矩形的周長公式計算即可；

2以點E為圓心EO為半徑畫弧，交BC于點M，延長MO交AD于點N，連接MN，由作圖

可知OME是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證NMC45，根據(jù)矩形的性質(zhì)

可證AON≌COM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證ANCM，DNBM，從而可證直線MN把

矩形分成了周長相等的兩部分，所以線段MN即為所求；

3根據(jù)矩形的性質(zhì)可證四邊形AGMN是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可證

NMGAGB45，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可以證明書ANCM，BMDN，

所以可以證明ANABBMCMCDDN，所以直線MN把矩形ABCD分成了周長相等的兩

部分，從而可證直線MN符合要求；

4①過點H作HGBC，連接AC交PQ于點O，過點P作PKBC于點K，過點O作

OTBC，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：APCQ，PDBQ，ABDCPK1，根據(jù)勾股定理可

2

以求出PQ2，利用AAS可證AOP≌COQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得：POQO，

2

1533

OTQT，從而可得：CQ，BQ，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得：HG，

2224

13

CG，根據(jù)正切的定義可以求出BCH的正切；

4

②連接AC交PQ于點O，PQ把矩形ABCD分成了周長相等的兩部分，點O為AC和PQ的中點，

17

利用勾股定理可以求出AC17，LH，過點L作LTBC，則BLT∽BDC，根據(jù)相

4

1

似三角形的性質(zhì)可以求出LT，BT1，CT3，在RtCLT中，利用勾股定理可得：

4

145

CL2，在RtCLH中，利用勾股定理即可求出CH的長度．

16

【小問1詳解】

解：四邊形ABCD是矩形，

ABCD，ADBC

AB1，AD4，

ABCD1，ADBC4，

矩形ABCD的周長為2ABCD21410，

故答案為：10；

【小問2詳解】

解：如下圖所示，

以點E為圓心EO為半徑畫弧，交BC于點M，延長MO交AD于點N，線段MN即為所求，

EFBC，

BEF90，

EMEO，

EOM是等腰直角三角形，

OME45，

矩形ABCD的對角線交于點O，

AOCO，

四邊形ABCD是矩形，

ADBC，ADBC，

AONCOM，

OANOCM

在AON和COM中，AOCO，

AONCOM

AON≌COM，

ANCM，

DNBM，

ANABBMCMCDDN，

直線MN把矩形ABCD分成周長相等的兩部分；

【小問3詳解】

證明：四邊形ABCD是矩形，

B90，ADBC，

BGAB，

AGB45，

ANMG，

四邊形AGMN是平行四邊形，

MNAG，

NMGAGB45，

直線l是GC的垂直平分線，

GMCM，

GMCMAN，

BMBCCM，DNADAN，

BMDN，

ANABBMCMCDDN，

MN把矩形ABCD分成了周長相等的兩部分，

直線MN符合要求；

【小問4詳解】

①解：如下圖