2025年中考數(shù)學(xué)真題完全解讀（北京卷）

本套“2025年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試”數(shù)學(xué)試卷共包含選擇題、填空題和解答題三大題

型，試卷形式延續(xù)往年北京市中考的基本結(jié)構(gòu)，同時(shí)在情境與考查方式上注重與“中考評價(jià)體

系”及《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的要求相銜接，實(shí)現(xiàn)對學(xué)生知識(shí)與能力、過程

與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀的綜合考查。整卷共設(shè)28道題，卷面滿分100分，考試用時(shí)120

分鐘。從地域特點(diǎn)和近年來北京地區(qū)中考命題規(guī)律來看，本卷題量適中、題型穩(wěn)定，題目覆蓋

面廣，充分體現(xiàn)了北京市中考整體平穩(wěn)、注重基礎(chǔ)與綜合結(jié)合的特點(diǎn)。

首先，本試卷在題型和結(jié)構(gòu)上與前幾年北京市中考保持一致，仍然分為“兩部分、三大題”。

選擇題共8小題，每題2分，總計(jì)16分；填空題共8小題，每題2分，總計(jì)16分；解答題共

12小題，總計(jì)68分。這樣的結(jié)構(gòu)既能保障對重要基礎(chǔ)知識(shí)的覆蓋，也能使不同層次的學(xué)生都

能在卷面上得到體現(xiàn)。從難度上看，前8道選擇題和填空題中的前4題，主要檢測學(xué)生對基礎(chǔ)

概念、運(yùn)算能力和簡單幾何知識(shí)的掌握；而后續(xù)填空和解答題逐步加大對學(xué)生思維深度、綜合

運(yùn)用和數(shù)學(xué)建模能力的考查。就整體而言，試卷難度分配較為合理，易、中、難分布有梯度，

符合北京市近幾年強(qiáng)調(diào)“基礎(chǔ)為主、適度綜合”的命題思路。

再次，試題突出對學(xué)生邏輯思維、空間想象以及運(yùn)算處理的綜合考查。例如，選擇題第8

題通過反比例函數(shù)與矩形結(jié)合，考查空間想象、數(shù)形結(jié)合和方程思想；解答題第22題以京燕

風(fēng)箏的制作情境命題，兼顧北京地區(qū)文化與實(shí)踐知識(shí)，能夠引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注民俗文化、激發(fā)學(xué)習(xí)

興趣。整套試卷對基礎(chǔ)計(jì)算能力要求適中，沒有出現(xiàn)過度繁瑣的計(jì)算情形，但對關(guān)鍵環(huán)節(jié)的簡

化和轉(zhuǎn)換仍需扎實(shí)掌握，如分式方程、二次根式的運(yùn)算、三角函數(shù)與幾何綜合等，都體現(xiàn)了課

程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的“過程性理解與應(yīng)用”要求。

在知識(shí)點(diǎn)覆蓋方面，本卷囊括了數(shù)與代數(shù)（如一次函數(shù)、二次方程、分式方程的應(yīng)用等）、

圖形與幾何（如相似三角形、勾股定理、圓與切線、矩形等）、統(tǒng)計(jì)與概率（如樣本估計(jì)總體、

方差和中位數(shù)等），與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的主要內(nèi)容領(lǐng)域契合度較高。

對于北京市絕大多數(shù)初中學(xué)生而言，本卷能夠本著“貼近學(xué)生實(shí)際、體現(xiàn)社會(huì)生活元素”的方式

兼顧了地區(qū)學(xué)情、教情與校情，難度分層合理，充分考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度和綜合運(yùn)

用能力。

總體來看，這份試卷保持了北京中考數(shù)學(xué)一貫的規(guī)范與穩(wěn)健，注重對基礎(chǔ)知識(shí)的全面覆

蓋，兼顧適當(dāng)?shù)乃季S深度和實(shí)踐應(yīng)用。它在計(jì)算量方面適度、有序，邏輯結(jié)構(gòu)清晰，對學(xué)生

的審題能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力以及運(yùn)算細(xì)心程度都有一定要求。通過試卷，能更好地檢測學(xué)生

對數(shù)學(xué)主干知識(shí)的掌握深度，也能對培育學(xué)生創(chuàng)新思維與解決問題能力起到引導(dǎo)作用，較好

地實(shí)現(xiàn)了對教學(xué)與學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)考查的有效性。

在對比近兩年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)真題后發(fā)現(xiàn)，2025年試卷在大體結(jié)構(gòu)上保持穩(wěn)定：

第一部分仍為8道選擇題（共16分），題量與分值與往年一致；

第二部分填空題8道（共16分），數(shù)量與往年相同；

第三部分解答題12題（含作圖、綜合運(yùn)算與證明，共68分），形式與前一年相同。

1.情境素材更貼近實(shí)際

出現(xiàn)了關(guān)于“天問二號(hào)探測器”與近地小行星的話題，彰顯時(shí)代特色，強(qiáng)調(diào)將數(shù)學(xué)

知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)科學(xué)探索。

2.綜合幾何考查更突出

多題中融合了函數(shù)、三角形、相似與幾何變換等知識(shí)，要求學(xué)生在綜合情境下靈

活調(diào)度多種幾何方法，注重對圖形變換與函數(shù)性質(zhì)的融會(huì)貫通。

3.函數(shù)與統(tǒng)計(jì)的融合更顯復(fù)雜

填空題與解答題中，考查了用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體、利用函數(shù)模型進(jìn)行實(shí)際問題分

析等，進(jìn)一步提升了對學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力和信息獲取能力的要求。

4.注重思維層次與溝通表達(dá)

部分大題不僅需要運(yùn)算與證明，更要求過程條理與表達(dá)清晰，對學(xué)生的邏輯思維

和語言表達(dá)提出了更高要求。

綜合來看，雖然題型表面保持穩(wěn)定，但在考查方向上更加重視對現(xiàn)實(shí)問題、數(shù)據(jù)分析、幾

何與代數(shù)的綜合運(yùn)用，促使學(xué)生在解題時(shí)更加注重?cái)?shù)學(xué)模型的建構(gòu)能力與多學(xué)科知識(shí)的交匯融

通。

下面從整體結(jié)構(gòu)、各題考查內(nèi)容及難易程度來分析本套試卷。

本試卷共分為兩大部分、三道大題，共8道小題，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘。整體結(jié)構(gòu)

如下：

1.第一部分（選擇題）：第1～8題，共8題，每題2分，滿分16分。

2.第二部分（非選擇題）

填空題：第9～16題，共8題，每題2分，滿分16分。

解答題：第17～28題，共12題，滿分68分，其中：

第17～19題，每題5分，共15分；

第20題6分；

第21題5分；

第22題6分；

第23題5分；

第24題6分；

第25題5分；

第26題6分；

第27～28題，每題7分，共14分。

下面的表格按題號(hào)順序?qū)γ康李}的分值、題型、考查內(nèi)容和難易程度進(jìn)行匯總。

題號(hào)分值題型考查內(nèi)容難易分析

1選擇題軸對稱圖形、中心對稱圖形的識(shí)別較易

22選擇題數(shù)軸上實(shí)數(shù)位置、絕對值、不等式判斷較易

32選擇題多邊形內(nèi)角和、正多邊形知識(shí)較易

2

題號(hào)分值題型考查內(nèi)容難易分析

4選擇題基本概率及其計(jì)算較易

52選擇題二次方程判別式、實(shí)數(shù)根的條件較易

62選擇題科學(xué)記數(shù)法表示大數(shù)較易

72選擇題幾何作圖思想、等邊三角形判定較易

82選擇題反比例函數(shù)與幾何性質(zhì)綜合中等

92填空題二次根式有意義的條件、不等式求解較易

102填空題因式分解（提公因式與平方差公式）較易

112填空題分式方程的解及檢驗(yàn)較易

122填空題由樣本估計(jì)總體、抽樣方法及應(yīng)用較易

132填空題命題、反例證明命題為假中等

142填空題幾何角度、平行線與三角形內(nèi)角和（地理背景：地較易

2軸與光線）

15填空題正方形性質(zhì)、直角三角形綜合、三角函數(shù)中等

162填空題簡單分配方案與利潤最大化（列表法、增量分析）中等

172解答題特殊角三角函數(shù)值運(yùn)算、絕對值與指數(shù)較易

185解答題一元一次不等式組的解集較易

195解答題分式化簡求值、因式分解與替換較易

205解答題矩形判定、三角形中位線、勾股定理及應(yīng)用中等

216解答題一次函數(shù)待定系數(shù)、函數(shù)不等式條件判斷中等

225解答題一元一次方程的應(yīng)用（風(fēng)箏骨架）較難

236解答題數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與分析（平均數(shù)、中位數(shù)、方差、折線圖）中等

245解答題圓的切線、切線長定理、圓周角定理、相似三角形中等

256解答題函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用（模擬練習(xí)與試制關(guān)系、表格、圖較難

5象分析）

26解答題二次函數(shù)待定系數(shù)、圖象與性質(zhì)、分類討論較難

276解答題旋轉(zhuǎn)幾何、全等三角形、平行四邊形判定等綜合較難

287解答題新定義函數(shù)（關(guān)聯(lián)點(diǎn)、關(guān)聯(lián)角度）、圓與直線的綜較難

7合問題

難度比例

從題目難易度分布看，本試卷易、中、難題目大約占比為：

易：約40%（如第1～7、9～12、14、17～19等）；

中：約30%（如第8、13、15、16、20、21、23、24等）

難：約30%（如第22、25、26、27、28等）。

不同難度題目的典型特點(diǎn)

易（例如第1題和第2題）：考查內(nèi)容基礎(chǔ)、運(yùn)算量小，注重對基礎(chǔ)概念和基本

技能的考查。

中（例如第20題）：往往需要多步推理或綜合多種知識(shí)點(diǎn)，要求考生對概念的

理解較為深入。

難（例如第27題和第28題）：一般涉及多知識(shí)點(diǎn)融合，往往需要構(gòu)造輔助線或

進(jìn)行分類討論，對邏輯思維和綜合應(yīng)用能力要求較高。

整體來看，試卷結(jié)構(gòu)合理，考查全面，既突出對基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的測驗(yàn)，也注重對綜合能

力與創(chuàng)新思維的考核，難度層級分配相對均衡，適合作為初中畢業(yè)升學(xué)的重要評價(jià)依據(jù)。

在備戰(zhàn)2025年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)科時(shí)，同學(xué)們需結(jié)合本試卷中呈現(xiàn)的知識(shí)重點(diǎn)和

題型分布，進(jìn)行有針對性的復(fù)習(xí)和訓(xùn)練。以下從知識(shí)板塊、易錯(cuò)易混點(diǎn)、答題方法、心理調(diào)適

以及命題趨勢幾方面，給出備考建議，幫助同學(xué)們在后續(xù)復(fù)習(xí)中更好地查漏補(bǔ)缺、穩(wěn)步提升：

基礎(chǔ)知識(shí)階段：

代數(shù)部分：復(fù)習(xí)整式與分式、一次方程（組）、一次不等式（組）、二次方程和

函數(shù)（包括一次函數(shù)與反比例函數(shù)）的基礎(chǔ)概念，牢記運(yùn)算規(guī)則與常用公式。例

如，二次根式有意義需滿足，反比例函數(shù)圖象的對稱中心和函數(shù)性

?

質(zhì)等。??≥0?=?

幾何部分：重點(diǎn)掌握三角形、四邊形（尤其是矩形、正方形、平行四邊形、菱形

等）的性質(zhì)與判定；圓及與切線、弦相關(guān)的定理；全等、相似三角形的判定和性

質(zhì)。記住常用定理和結(jié)論，如切線長定理、三角形中位線定理、圓周角定理等。

專題強(qiáng)化階段：

函數(shù)與圖象：熟練掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象形狀及其幾何意

義，包括與坐標(biāo)幾何結(jié)合出現(xiàn)的面積、斜率、截距計(jì)算，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思

想。

平面幾何綜合：鞏固與旋轉(zhuǎn)、對稱相關(guān)的幾何問題；注重分類討論與輔助線作圖

技巧；對涉及“平移、軸對稱、中心對稱”以及“幾何位置與函數(shù)方程”相聯(lián)系的試

題要反復(fù)演練。

數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)：關(guān)注樣本數(shù)據(jù)與總體估計(jì)，方差、極差、中位數(shù)、平均數(shù)的比較判

定，能夠運(yùn)用統(tǒng)計(jì)思維解決簡單的概率、抽樣推斷問題。

真題模擬階段：

將近幾年的北京市中考真題與本份模擬試卷進(jìn)行對比，梳理命題風(fēng)格、難度分布；

在保證基礎(chǔ)題不失分的前提下，提高中檔與壓軸題的得分率。

做題時(shí)規(guī)范書寫、合理安排時(shí)間，力求在120分鐘內(nèi)完成答卷并分配出檢查時(shí)間。

代數(shù)運(yùn)算與不等式：

去分母過程易忽視分母不為零的檢驗(yàn)，例如方程

12

在去分母前，要明確且+。=3

???1

解不等式組?≠時(shí)0，如?若≠合1并不當(dāng)，會(huì)出現(xiàn)區(qū)間錯(cuò)誤或遺漏邊界。

2??1>0

幾何證明思路：

5?3?>2

與旋轉(zhuǎn)相關(guān)的題目常需重點(diǎn)關(guān)注角度和邊的對應(yīng)關(guān)系，例如證明平行四邊形、矩

形時(shí)，要結(jié)合旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等等信息。

切線長定理：若從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則。許多

同學(xué)在證明時(shí)容易只記結(jié)論?，忘記加上圓外點(diǎn)到圓的兩條?,切?線長?度?相=等??的幾何依

據(jù)。

函數(shù)圖象交點(diǎn)與面積：

反比例函數(shù)與矩形、三角形面積綜合時(shí)，常出現(xiàn)符號(hào)正負(fù)不一致的問題；

?

一定要先明?確=自?變量所在區(qū)間，以及圖形在坐標(biāo)系第一象限、第二象限等實(shí)際

分布情況。?

二次函數(shù)頂點(diǎn)與對稱軸的理解要到位，判斷開口方向時(shí)需要看二次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)；

進(jìn)行“最大值或最小值”討論時(shí)，要注意頂點(diǎn)在定義域內(nèi)還是在定義域外。

統(tǒng)計(jì)與概率：

樣本與總體的關(guān)聯(lián)：估計(jì)總體時(shí)，切記使用(抽取樣本中某等級占比)×(總體總數(shù))

進(jìn)行推斷，不要直接套用錯(cuò)誤比例。

方差、中位數(shù)等統(tǒng)計(jì)量易混，尤其是在比較多組選手成績離散程度時(shí)，要嚴(yán)格區(qū)

分“平均數(shù)”衡量穩(wěn)定水平、“方差”比較波動(dòng)大小。

選擇題：

學(xué)會(huì)快速排除：在遇到選項(xiàng)分布明顯（如正負(fù)、幾何位置等）時(shí)，可用數(shù)形結(jié)合

或簡單估算排除干擾項(xiàng)。

對于坐標(biāo)位置或幾何位置判定的選擇題，可先快速畫簡圖，避免純粹文字分析帶

來失誤。

填空題：

要仔細(xì)審題，分析是不是需要檢驗(yàn)（如分式方程的解可能是增根），或者是否需

滿足“”等限制；寫答案時(shí)保持結(jié)果簡潔且符號(hào)規(guī)范，如絕不可省略成1.4

或其他?近≥似0。2

注意單位換算、結(jié)果保留形式（例如用最簡分?jǐn)?shù)或根式表示），防止失分。

解答題：

答題步驟要規(guī)范，特別是幾何證明，需先“證”后“得出”結(jié)論，保證邏輯清楚；代

數(shù)綜合題也應(yīng)先列方程或函數(shù)表達(dá)式，再做求解，結(jié)論處明確寫出答案。

看清加括號(hào)、絕對值、指數(shù)等運(yùn)算細(xì)節(jié)；在書寫過程中的關(guān)鍵步驟，可適當(dāng)添加

簡要文字說明，以方便自查和保證邏輯通順。

心理調(diào)適：

面對難題：先把自己熟悉、會(huì)做的題目完成，保證基本分?jǐn)?shù)不丟。遇到卡殼時(shí)，

不要急躁，可先在草稿紙做簡單嘗試或跳過此處，先把時(shí)間留給后面更有把握的

題。

適度放松：中考前需通過適當(dāng)?shù)姆潘苫顒?dòng)或體育鍛煉減緩壓力，考試前一晚保證

足夠睡眠，臨場專注即可。

綜合化與情境創(chuàng)新：

數(shù)學(xué)試題越來越多地結(jié)合現(xiàn)實(shí)背景，例如第6題中關(guān)于天問二號(hào)探測器與月球遠(yuǎn)

地點(diǎn)距離等，體現(xiàn)科學(xué)記數(shù)法與現(xiàn)實(shí)科技應(yīng)用的結(jié)合。平時(shí)復(fù)習(xí)中要留意社會(huì)熱

點(diǎn)與數(shù)學(xué)知識(shí)的融合。

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與概率問題經(jīng)常運(yùn)用真實(shí)調(diào)查場景或樣本估計(jì)模式，需能靈活判定方差、

平均數(shù)、頻數(shù)分布等。

幾何與函數(shù)聯(lián)動(dòng)：

命題常將一次函數(shù)或反比例函數(shù)和幾何圖形相結(jié)合，考查三角形或矩形的面積，

“幾何+方程”是高頻熱點(diǎn)。建議在二次函數(shù)與圓、直線綜合的題型上多下功夫，

訓(xùn)練旋轉(zhuǎn)、全等、相似等幾何關(guān)系的轉(zhuǎn)化與表達(dá)。

不同坐標(biāo)象限下的函數(shù)值正負(fù)判定，配合長度、角度知識(shí)是可能的考查方向。

思維開放題：

有些題目會(huì)要求在給定條件下進(jìn)行多種情形的討論或選優(yōu)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的深度

與靈活度。同學(xué)們平時(shí)要多積累分類討論的思路，留意如何根據(jù)參數(shù)限制去劃分

情形。

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：

建議在最后階段，仍需緊抓“三大板塊”：代數(shù)運(yùn)算與方程(組)、幾何圖形性質(zhì)、

函數(shù)綜合與統(tǒng)計(jì)。鞏固?？贾R(shí)點(diǎn)（如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、圓周角定理、相

似三角形、切線長定理、概率統(tǒng)計(jì)等）。

針對容易忽視的細(xì)節(jié)如：二次根式的定義域、平方差公式正確運(yùn)用、分式方程可

能出現(xiàn)增根等，都要保持高度敏感。

通過上述分階段、針對重點(diǎn)的復(fù)習(xí)規(guī)劃，同學(xué)們不僅能強(qiáng)化對基礎(chǔ)知識(shí)的理解與應(yīng)用，更能在

實(shí)踐中體會(huì)到巧思妙解與思維升華。希望各位在接下來的備考中，穩(wěn)扎穩(wěn)打、堅(jiān)持不懈，同時(shí)

注意勞逸結(jié)合、調(diào)適心態(tài)，以最佳狀態(tài)迎接即將到來的考試，拔得頭籌、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)！祝大家備

考順利，加油！

2025年北京市中考數(shù)學(xué)真題

考生須知

1．本試卷共6頁，共兩部分，三道大題，28道小題．滿分100分．考試時(shí)間120分鐘．

2．在試卷和草稿紙上準(zhǔn)確填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)．

3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．

4．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．

5．考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回．

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）

第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．

1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，

一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，

把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做

中心對稱圖形．

據(jù)此即可求解．

【詳解】解：A、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；

D、該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意，

故選：D．

2.實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）

A.a1B.ab0C.ab>0D.ab

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)，絕對值的意義，利用數(shù)軸表示有理

數(shù)的大小，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．

先由數(shù)軸得，2a10b1，且ba，再逐項(xiàng)分析即可．

【詳解】解：由數(shù)軸得，2a10b1，且ba

∴a+b<0，ab0，

故A，B，C均錯(cuò)誤，不符合題意，D正確，符合題意，

故選：D．

3.若一個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是x，則x的值為（）

A.60B.90C.120D.150

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，即n2180，其中n為邊數(shù)，利用多邊形內(nèi)角和

公式及正多邊形的性質(zhì)求解即可．

【詳解】解：∵一個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是x，

∴每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：x621806120，

故選：C．

4.一個(gè)不透明的袋子中僅有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別．從

袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球是白球的概率是（）

1115

A.B.C.D.

6326

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)

果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．

【詳解】解：∵袋子中僅有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，

11

∴摸出的球是白球的概率是．

3216

故選：A．

5.若關(guān)于x的一元二次方程ax22x10有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.4B.1C.1D.4

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到0，進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：由題意，得：Δ224a0，

解得：a1；

故選C．

6.2025年5月29日，行星探測工程天問二號(hào)探測器在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，開啟對近

地小行星2016HO3的探測與采樣返回之旅．已知該小行星與地球的最近距離約為月球遠(yuǎn)地點(diǎn)

距離的45倍，月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離約為4105km，則該小行星與地球的最近距離約為（）

A.1.8105kmB.1.8106kmC.1.8107kmD.1.81010km

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)．根據(jù)題意，小行星與地球的最近距離為月球遠(yuǎn)

地點(diǎn)距離的45倍，月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離已知為4105km，直接計(jì)算兩者的乘積并用科學(xué)記數(shù)法表

示即可．

【詳解】解：月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離為4105km，小行星的距離是該值的45倍，即：

4541051801051.8107km．

故選：C

7.如圖，MON100，點(diǎn)A在射線OM上，以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑畫弧，交射線ON于

點(diǎn)B．若分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧在MON內(nèi)部交于點(diǎn)C，連接AC，

則OAC的大小為（）

A.80B.100C.110D.120

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和

定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

連接AB,AC,BC，則由作圖可得OAOB,ACBCAB，那么ABC為等邊三角形，可證明

OAC≌OBCSSS，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和△定理即可求解OAC．

【詳解】解：如圖，連接AB,AC,BC，

由作圖可得，OAOB,ACBCAB，

∴ABC為等邊三角形，

∴△ACB60，

∵OCOC，

∴OAC≌OBCSSS，

1111

∴12ACB6030，34AOB10050，

2222

∴OAC180131803050100，

故選：B．

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B分別是橫、縱軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形OACB是

1

矩形，函數(shù)yx0的圖象與邊AC交于點(diǎn)M，與邊BC交于點(diǎn)N（M，N不重合）．給

x

出下面四個(gè)結(jié)論：

①△COM與CON的面積一定相等；

②△MON與△MCN的面積可能相等；

③△MON一定是銳角三角形；

④△MON可能是等邊三角形．

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌

握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)k的意義即可判斷①

②，根據(jù)等邊三角形和反比例函數(shù)的對稱性即可判斷④，根據(jù)M,N是反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)

點(diǎn)，可得OMN或ONM為鈍角，即可判斷③，即可求解．

【詳解】解：∵四邊形OACB是矩形，

∴SOBCSAOC

1

又∵M(jìn),N是反比例函數(shù)yx0圖象上的動(dòng)點(diǎn)，BNy軸，MAx軸，

x

1

∴SS

OBNOAM2

∴SOBCSOBNSAOCSAOM，即△COM與CON的面積一定相等；故①正確，

1

由①可得SS

OBNOAM2

當(dāng)△MON與△MCN的面積相等時(shí)，如圖，連接AB，BM

1

∴SSSSS矩形SS

NCMOAMMONOBN2OACBABOBOM

∴N在直線BM上，則M,N重合，

∴△MON與△MCN的面積不可能相等，故②不正確，

∵等邊三角形和反比例函數(shù)都是軸對稱圖形，當(dāng)NOM60且對稱軸都為直線yx，

△MON可能是等邊三角形，故④正確,

如圖

當(dāng)M,N在yx的同側(cè)時(shí)，△MON可能是鈍角三角形，故③錯(cuò)誤

綜上，①④正確、②③錯(cuò)誤.

故選：B．

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每題2分）

9.若3x3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_______．

【答案】x1

【解析】

【分析】本題主要考查二次根式有意義的條件以及解一元一次不等式，熟練掌握二次根式有意

義的條件是解題的關(guān)鍵．

此題可根據(jù)二次根式有意義的條件“被開方數(shù)要為非負(fù)數(shù)”得到不等式求解．

【詳解】解：∵3x3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

∴3x30，

解得：x1，

故答案為：x1．

10.分解因式：7m228_______．

【答案】7m2m2

【解析】

【分析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)

鍵．

原式提取7，再利用平方差公式分解即可．

【詳解】解：7m228

7m24

7m2m2，

故答案為：7m2m2．

21

11.方程0的解為_______．

x6x

【答案】x2

【解析】

【分析】本題主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化為整式方程，再解方程并檢驗(yàn)即可

得到答案．

21

【詳解】解：0

x6x

去分母得：2xx60，

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：3x6，

系數(shù)化為1得：x2，

檢驗(yàn)，當(dāng)x2時(shí)，xx622680，

∴x2是原方程的解，

故答案為：x2．

12.某地區(qū)七年級共有2000名男生．為了解這些男生的體重指數(shù)（BMI）分布情況，從中隨

機(jī)抽取了100名男生，測得他們的BMI數(shù)據(jù)（單位：kg/m2），并根據(jù)七年級男生體質(zhì)健康標(biāo)

準(zhǔn)整理如下：

等級低體重正常超重肥胖

BMI≤15.415.5~22.122.2~24.9≥25.0

人數(shù)675154

根據(jù)以上信息，估計(jì)該地區(qū)七年級2000名男生中BMI等級為正常的人數(shù)是_______．

【答案】1500

【解析】

【分析】本題考查了由樣本估計(jì)總體，用2000乘以樣本中BMI等級為正常的人數(shù)所占的比例

即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用解此題的關(guān)鍵．

【詳解】解：由題意可得：該地區(qū)七年級2000名男生中BMI等級為正常的人數(shù)是

75

20001500人，

100

故答案為：1500．

13.能說明命題“若a24b2，則a2b”是假命題的一組實(shí)數(shù)a，b的值為a_______，

b_______．

【答案】①.3（答案不唯一）②.1（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題主要考查了命題與定理、反證法等知識(shí)點(diǎn)，掌握判斷一個(gè)命題是假命題的時(shí)候可

以舉出反例是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)舉反例的方法找到a，b滿足a24b2，但是不滿足a2b即可解答．

【詳解】解：當(dāng)a3，b1時(shí)，a24b2，但是a2b．

故答案為：3，1（答案不唯一）．

14.如圖，O是地球的示意圖，其中AB表示赤道，CD，EF分別表示北回歸線和南回歸線，

DOBFOB23.5．夏至日正午時(shí)，太陽光線GD所在直線經(jīng)過地心O，此時(shí)點(diǎn)F處的太

陽高度角IFH（即平行于GD的光線HF與O的切線FI所成的銳角）的大小為_______°．

【答案】43

【解析】

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，讀懂題意并熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的

關(guān)鍵．設(shè)FI與OG交于點(diǎn)K，先由三角形內(nèi)角和定理求出OKF43，再根據(jù)平行線的性質(zhì)

求解即可．

【詳解】解：如圖，設(shè)FI與OG交于點(diǎn)K，

∵DOBFOB23.5，

∴KOFDOBFOB23.523.547，

在OFK中，F(xiàn)OKOFKOKF180，OFK90，

∴OKF43，

∵FHOG，

∴IFHOKF43，

故答案為：43．

15.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，CFBE，垂足為F．若AB1，EBC30，

則△ABF的面積為_______．

3

【答案】##0.375

8

【解析】

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，熟練

掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)F分別作FMBC,FNAB，垂足為M，N，連接AM，則

FMC90，先根據(jù)平行線間的距離處處相等得出FNBM，繼而得出SABFSABM，通過

3

解直角三角形得出BMBCCM，即可求解．

4

【詳解】解：過點(diǎn)F分別作FMBC,FNAB，垂足為M，N，連接AM，則FMC90，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴ABC90，

∴∠ABC∠FMC，

∴AB∥FM，

∴FNBM，

11

∵SABFN,SABBM,

ABF2ABM2

∴SABFSABM，

∵CFBE，垂足為F，AB1BC，EBC30，

11

∴BFC90,BCF60,CFBC，

22

∴CFM90BCF30，

11

∴CMCF，

24

3

∴BMBCCM，

4

133

∴SS1，

ABFABM248

3

故答案為：．

8

16.某企業(yè)研發(fā)并生產(chǎn)了一種新設(shè)備，計(jì)劃分配給A，B，C，D四家經(jīng)銷商銷售．當(dāng)一家經(jīng)銷

商將分配到的n臺(tái)設(shè)備全部售出后，企業(yè)從該經(jīng)銷商處獲得的利潤（單位：萬元）與n的對應(yīng)

關(guān)系如下：

n1n2n3n4n5n6…

A4060

B30557590100105

C204060708090…

D14386286110134…

（1）如果企業(yè)將5臺(tái)設(shè)備分配給這四家經(jīng)銷商銷售，且每家經(jīng)銷商至少分配到1臺(tái)設(shè)備，為

使5臺(tái)設(shè)備都售出后企業(yè)獲得的總利潤最大，應(yīng)向經(jīng)銷商_______分配2臺(tái)設(shè)備（填“A”“B”“C”

或“D”）；

（2）如果企業(yè)將6臺(tái)設(shè)備分配給這四家經(jīng)銷商中的一家或多家銷售，那么6臺(tái)設(shè)備都售出后，

企業(yè)可獲得的總利潤的最大值為_______萬元．

【答案】①.B②.157

【解析】

【分析】本題考查列舉等可能的結(jié)果，根據(jù)表格列舉出增長量的變化是解題關(guān)鍵．

（1）分別計(jì)算各經(jīng)銷商銷售完第2臺(tái)比第1臺(tái)的利潤的增長量，比較即可得答案；

（2）分別求出一家分配時(shí)、四家分配時(shí)、三家分配時(shí)、兩家分配時(shí)的最大利潤，比較即可得

答案．

【詳解】解：（1）當(dāng)n2時(shí)，

A經(jīng)銷商的利潤為60，比n1時(shí)增加604020（萬元），

B經(jīng)銷商的利潤為55，比n1時(shí)增加553025（萬元），

C經(jīng)銷商的利潤為40，比n1時(shí)增加402020（萬元），

D經(jīng)銷商的利潤為38，比n1時(shí)增加381424（萬元），

∵252420，

∴應(yīng)向經(jīng)銷商B分配2臺(tái)設(shè)備．

（2）當(dāng)給這四家經(jīng)銷商中的一家分配時(shí)，最大利潤為D經(jīng)銷商的134萬元，

當(dāng)分配給多家銷售時(shí)：

當(dāng)分配四家時(shí)，最大利潤為40552038153（萬元），

當(dāng)分配給三家時(shí)，最大利潤為405562157（萬元），

當(dāng)分配給兩家時(shí)，最大利潤為6090150（萬元）或40110150（萬元），

綜上所述：企業(yè)可獲得的總利潤的最大值為157萬元．

故答案為：B，157

三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20題6分，第21題5分，第22題6分，第

23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文

字說明、演算步驟或證明過程．

1

1

17.計(jì)算：3272sin30．

2

【答案】433

【解析】

【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

分別計(jì)算絕對值，化簡二次根式，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，代入特殊角的三角函數(shù)值并進(jìn)行乘法計(jì)

算，再進(jìn)行加減計(jì)算即可．

1

1

【詳解】解：3272sin30

2

1

33322

2

433．

2x1x1

18.解不等式組：x5

3x

2

【答案】3x1

【解析】

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，

同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．

2x1x1①

【詳解】解：x5

3x②

2

解不等式①得：x3，

解不等式②得：x1，

∴原不等式組的解集為3x1．

4ab8b

19.已知ab30，求代數(shù)式的值．

a22abb2

4

【答案】

3

【解析】

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

先對分式的分子分母進(jìn)行因式分解，化至最簡分式，再將ab30變形，進(jìn)行整體代入求值．

4a4b8b

【詳解】解：原式2

ab

4ab

2

ab

4

，

ab

∵ab30，

∴ab3，

4

∴原式．

3

20.如圖，在VABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，DFBC，垂足為F，點(diǎn)G在DE的

延長線上，DGFC．

（1）求證：四邊形DFCG是矩形；

（2）若B45，DF3，DG5，求BC和AC的長．

【答案】（1）見解析（2）BC8，AC210

【解析】

【分析】本題主要考查了矩形的判定，三角形中位線定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相

關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

（1）由三角形中位線定理可得DE∥CF，即DGCF，則可證明四邊形DFCG是平行四邊形，

再由DFBC，即可證明平行四邊形DFCG是矩形；

（2）求出CF5，解Rt△BDF得到BD32，BF3，則BCBFCF8；由線段中點(diǎn)的

定義可得AB2BD62；過點(diǎn)A作AHBC于H，解Rt△ABH得到AH6，BH6，則

CHBCBH2，再利用勾股定即可求出AC的長．

【小問1詳解】

證明：∵D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，

∴DE是VABC的中位線，

∴DE∥CF，即DGCF，

∵DGFC，

∴四邊形DFCG是平行四邊形，

又∵DFBC，

∴平行四邊形DFCG是矩形；

【小問2詳解】

解：∵DG5，

∴CFDG5；

∵DFBC，

∴DFB90，

在Rt△BDF中，B45，DF3，

DF3DF3

∴BD32，BF3，

sinBsin45tanBtan45

∴BCBFCF8；

∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

∴AB2BD62；

如圖所示，過點(diǎn)A作AHBC于H，

在Rt△ABH中，AHABsinB62sin456，BHABcosB62cos456，

∴CHBCBH2，

在RtAHC中，由勾股定理得AC2AH2CH26222210．

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)ykxbk0的圖象經(jīng)過點(diǎn)1,3和2,5．

（1）求k，b的值；

（2）當(dāng)x1時(shí)，對于x的每一個(gè)值，函數(shù)ymxm0的值既小于函數(shù)ykxb的值，也小

于函數(shù)yxk的值，直接寫出m的取值范圍．

k2

【答案】（1）

b1

（2）2m3

【解析】

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，熟知

一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）由（1）可得函數(shù)ykxbk0的解析式為y2x1，函數(shù)yxk的解析式為yx2，

當(dāng)mx2x1時(shí)，則m2x1，當(dāng)mxx2時(shí)，則m1x2，根據(jù)當(dāng)x1時(shí)，兩個(gè)不等

1

式都成立可得m≥2；當(dāng)m2，x1時(shí)，2x2x1和x2恒成立；當(dāng)m2時(shí)，則x

m2

2122121

且x，再分當(dāng)時(shí)，則1，當(dāng)時(shí)，則1，兩種情

m1m2m1m1m2m1m2

況分別解不等式即可得到答案．

【小問1詳解】

解：∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)ykxbk0的圖象經(jīng)過點(diǎn)1,3和2,5，

kb3

∴，

2kb5

k2

解得；

b1

【小問2詳解】

解：由（1）可得函數(shù)ykxbk0的解析式為y2x1，函數(shù)yxk的解析式為yx2，

當(dāng)mx2x1時(shí)，則m2x1，

當(dāng)mxx2時(shí)，則m1x2，

∵當(dāng)x1時(shí)，對于x的每一個(gè)值，函數(shù)ymxm0的值既小于函數(shù)ykxb的值，也小于

函數(shù)yxk的值，

∴m20，且m10，

∴m≥2，

當(dāng)m2，x1時(shí)，2x2x1和x2恒成立，故m2符合題意；

12

當(dāng)m2時(shí)，則x且x，

m2m1

122

當(dāng)時(shí)，則1，

m2m1m1

12

解不等式得m3，解不等式m3，

m2m1

∴2m3；

121

當(dāng)時(shí)，則1，

m2m1m2

121

解不等式得m3，解不等式1得m3，此時(shí)不符合題意；

m2m1m2

綜上所述，2m3．

22.北京風(fēng)箏制作技藝是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．為制作一只京燕風(fēng)箏，小明準(zhǔn)備了五根直竹

條（如圖1）：一根門條、兩根等長的膀條和兩根等長的尾條．他將門條和膀條分別烤彎后與

尾條一起扎成風(fēng)箏的骨架（如圖2），其頭部高、胸腹高與尾部高的比是1:1:2．已知單根膀

5

條長是胸腹高的5倍，門條比單根膀條短10cm，圖1中BC的長是門條長的，AB，CD的長

9

均等于胸腹高．求這只風(fēng)箏的骨架的總高．

【答案】80cm

【解析】

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清量之間的關(guān)系、列出一元一次方程是解題

的關(guān)鍵．

5

設(shè)胸腹高為xcm，則單根膀條長為5xcm，門條AD的長度為5x10cm，BC5x10cm，

9

ABCDx，頭部高為x，尾部高為2x，這只風(fēng)箏的骨架的總高為4x；由ADABBCCD

列方程求出x=20，進(jìn)而求出風(fēng)箏的骨架的總高即可．

【詳解】解：設(shè)胸腹高為xcm，則單根膀條長為5xcm，門條AD的長度為5x10cm，

5

BC5x10cm，ABCDx，頭部高為x，尾部高為2x，這只風(fēng)箏的骨架的總高為4x，

9

5

由ADABBCCD，可得：5x10x5x10x，解得：x=20；

9

所以這只風(fēng)箏的骨架的總高4x80cm．

答：這只風(fēng)箏的骨架的總高80cm．

23.校田徑隊(duì)教練選出甲、乙、丙、丁四名運(yùn)動(dòng)員參加100米比賽．對這四名運(yùn)動(dòng)員最近10

次100米跑測試成績（單位：s）的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．

a．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員10次測試成績的折線圖：

b．丙運(yùn)動(dòng)員10次測試成績：12.412.412.512.712.812.812.812.812.912.9

c．四名運(yùn)動(dòng)員10次測試成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差：

甲乙丙丁

平

均12.512.5p12.5

數(shù)

中

位m12.512.812.45

數(shù)

方

0.056n0.0340.056

差

（1）表中m的值為_______；

（2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）；

（3）根據(jù)這10次測試成績，教練按如下方式評估這四名運(yùn)動(dòng)員的實(shí)力強(qiáng)弱：首先比較平均數(shù)，

平均數(shù)較小者實(shí)力更強(qiáng)；若平均數(shù)相等，則比較方差，方差較小者實(shí)力更強(qiáng)；若平均數(shù)、方差

分別相等，則測試成績小于平均數(shù)的次數(shù)較多者實(shí)力更強(qiáng)．

評估結(jié)果：這四名運(yùn)動(dòng)員按實(shí)力由強(qiáng)到弱依次為_______．

【答案】（1）12.5

（2）

（3）乙、丁、甲、丙

【解析】

【分析】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，計(jì)算方差，中位數(shù)，平均數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意是解題

的關(guān)鍵．

（1）根據(jù)中位數(shù)定義即可求解m；

（2）根據(jù)方差計(jì)算公式求解，再比較即可；

（3）根據(jù)中位數(shù)、方差、平均數(shù)，結(jié)合題意分析即可．

【小問1詳解】

解：甲的10次測試成績排列為：12.1,12.1,12.5,12.5,12.5,12.5,12.5,12.7,12.7,12.9，

12.512.5

∴中位數(shù)m12.5，

2

故答案為：12.5；

【小問2詳解】

解：乙的10次測試成績平均數(shù)為：

12.612.612.312.512.512.712.512.712.412.2

12.5，

10

∴方差為：

1222222

n12.612.5212.312.512.512.5312.712.5212.412.512.212.50.024

10

∴n0.056，

故答案為：；

【小問3詳解】

12.412.412.512.712.812.812.812.812.912.9

解：丙的平均數(shù)p12.7，

10

∴丙的平均數(shù)最大，則實(shí)力最弱，

∵方差0.0240.0340.056，

∴乙實(shí)力最強(qiáng)，

∵丁的測試成績中位數(shù)為12.45，

∴第5,6次成績和為24.9，

∴前5次測試成績小于平均數(shù)，

∵甲測試成績小于平均數(shù)12.5的次數(shù)有2次，

∴丁比甲強(qiáng)，

∴這四名運(yùn)動(dòng)員按實(shí)力由強(qiáng)到弱依次為：乙、丁、甲、丙，

故答案為：乙、丁、甲、丙．

24.如圖，過點(diǎn)P作O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接OA，OB，OP，取OP的中點(diǎn)

C，連接AC并延長，交O于點(diǎn)D，連接BD．

（1）求證：ADBAOP；

1

（2）延長OP交DB的延長線于點(diǎn)E．若AP10，tanAOP，求DE的長．

2

【答案】（1）見解析；

（2）DE長為44．

【解析】

1

【分析】（1）利用切線長定理得OP平分AOB，利用圓周角定理得ADBAOB，等量

2

代換即可證明；

（2）延長AO交O于點(diǎn)F，連接DF，利用條件求出線段長，再利用角度轉(zhuǎn)換證明三角形相

似，最后根據(jù)相似求得DE長．

【小問1詳解】

證明：AP，BP分別切O于A點(diǎn)，B點(diǎn)，

OP平分AOB，

1

AOPAOB，

2

又ABAB，

1

ADBAOB，

2

ADBAOP．

【小問2詳解】

延長AO交O于點(diǎn)F，連接DF，則∠ADF=90°，

AP，BP分別切O于A點(diǎn)，B點(diǎn)，

PAOA，

C為OP的中點(diǎn)，

PCOC，

1

ACOCOP，

2

1

又AP10，tanAOP，

2

AP

AO