試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁四川省巴中市南江縣實驗中學2025-2026學年高二上學期入學考試數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若向量，，且，則（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)z滿足，則z的共軛復數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．3．在正方體中，，P、Q分別為棱，BC的中點，則從點P出發(fā)，沿正方體表面到達點Q的最短路徑的長度為（

）A． B． C．3 D．4．為提高學生學習數(shù)學的熱情，實驗中學舉行高二數(shù)學競賽，以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學競賽決賽的10人的成績：（單位：分）78，70，72，86，79，80，81，84，56，83，則這10人成績的第80百分位數(shù)是（

）A．83 B．83.5 C．84 D．705．已知，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知鈍角的三邊為，，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍（

）A． B． C． D．8．中國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”，但劉徽未能求得牟合方蓋的體積，約200年后，祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢既同，則積不容異”，后世稱為祖暅原理，即：兩等高立體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立體體積相等．圖1為棱長為r的正方體截得的“牟合方蓋”的八分之一，圖2為棱長為r的正方體的八分之一，圖3是底面邊長為r的正方體的一個底面和底面以外的頂點作的正四棱錐，由祖暅原理計算知，牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為（

）A． B． C． D．二、多選題9．在中，為邊的中點，則（

）A． B． C． D．10．若復數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當或時，z為實數(shù)B．若z為純虛數(shù)，則或C．若復數(shù)z對應(yīng)的點位于第二象限，則D．若復數(shù)z是方程的解，則11．如圖，在邊長為1的正方體中，點P在線段上運動，下列命題中正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．異面直線與直線所成角為定值C．在點P運動過程中，平面BPD截該正方體的截面形狀為三角形或矩形D．直線與平面所成角的余弦值的范圍是三、填空題12．計算．13．已知球的半徑為，則它的表面積為，體積為.14．已知向量，，的模長分別為2，1，1，記向量與的夾角為θ，，則的最大值為．四、解答題15．已知向量，若，與的夾角為．(1)求；(2)求與夾角的余弦值．16．為了提高市民的環(huán)保意識，某市舉行了環(huán)保知識競賽，為了解全市參賽者的成績情況，從所有參賽者中隨機抽取了100人的成績（均為整數(shù)）作為樣本，將其整理后分為6組，并作出了如圖所示的頻率分布直方圖（最低40分，最高100分）．(1)求a的值；(2)從頻率分布直方圖中，估計本次競賽成績的眾數(shù)和平均數(shù)；(3)認定成績位于前百分之六十的考生為良好，請你估計良好認定的分數(shù)線是多少．（保留整數(shù)）17．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.18．已知函數(shù)圖象上相鄰的一個最高點和一個最低點分別為，.(1)求的解析式；(2)求在上的單調(diào)增區(qū)間；(3)設(shè)，證明：函數(shù)在上必有零點.19．如圖，已知四棱錐中，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，，O為AD中點，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為．

(1)證明平面PBO；(2)求點P到平面ABCD的距離；(3)求二面角的余弦值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《四川省巴中市南江縣實驗中學2025-2026學年高二上學期入學考試數(shù)學試題》參考答案題號12345678910答案ADDBBBBBABACD題號11答案AB1．A【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標表示求解可得.【詳解】由，得，解得.故選：A.2．D【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，再由共軛復數(shù)的概念以及虛部概念求解.【詳解】由，則，則，其虛部為.故選：D.3．D【分析】將正方體沿著不同的方向展開，得到展開圖，化曲（折）為直，再利用勾股定理計算可得.【詳解】如圖，在正方體中，P、Q分別為棱，BC的中點，按照下列方式展開，；按照下列方式展開，；按照下列方式展開，.綜上所述，最短路徑.故選：D.4．B【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可.【詳解】將10個數(shù)據(jù)從小到大排列得，56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，，故其第80百分位數(shù)是，故選：B.5．B【分析】根據(jù)二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡求解即可.【詳解】由，則.故選：B.6．B【分析】根據(jù)三角形三邊長關(guān)系，結(jié)合余弦定理列不等式組即可得解.【詳解】由鈍角的三邊為a，，，則，解得，則實數(shù)a的取值范圍是.故選：B.7．B【分析】由題意可得，利用單調(diào)性計算求出參數(shù)范圍.【詳解】因為，所以，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以當時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍.故選：B.8．B【分析】根據(jù)題意，列等式，套用正方體，錐體體積公式求解.【詳解】設(shè)正方體的邊長為，則，由，則，所以牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為.故選：B．9．AB【分析】根據(jù)平面向量的加減法運算法則及數(shù)乘運算計算求解.【詳解】在中，，A選項正確；，B選項正確；在中，為邊的中點，則，C選項錯誤；，所以D選項錯誤；故選：AB.10．ACD【分析】根據(jù)復數(shù)的類型、幾何意義，復數(shù)方程的解，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對于A，當時，；當時，，故或時，均為實數(shù)，A正確；對于B，若為純虛數(shù)，則，解得，故B錯誤；對于C，復數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限，則，解得，故C正確；對于D，由，則，則，即，因為復數(shù)z是方程的解，所以，解得，故D正確.故選：ACD.11．AB【分析】根據(jù)三棱錐的體積，可判斷A；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可判斷B；舉特例判斷C；易得為直線與平面所成角，進而求解判斷D.【詳解】對于A，由，其中的面積為定值，在正方體中，，因為平面，平面，所以直線平面，所以當點在線段上運動時，點到平面的距離也為定值，所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，連接，在正方體中，平面，因為平面，所以，又由，，平面，所以平面，又因為平面，所以，所以異面直線與直線所成的角為，故B正確；對于C，設(shè)分別為的中點，連接，，，則，設(shè)為與的交點，在正方體中，，則，且，則此時平面BPD截該正方體的截面為梯形，故C錯誤；對于D，在正方體中，平面，則為直線與平面所成角，當與重合時，最大，此時平面，則，當與重合時，最小，而，此時，所以直線與平面所成角的余弦值的范圍是，故D錯誤.故選：AB.12．【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】.故答案為：.13．【分析】將球的半徑代入球的表面積公式和體積公式計算即可.【詳解】①球的半徑為，則它的表面積為，故答案為：；②球的半徑為，則它的體積為，故答案為：，14．【分析】先根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義及運算律求得，進而結(jié)合向量三角不等式求解即可.【詳解】由題意，，則，所以，當且僅當方向相反時等號成立，則的最大值為.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）先應(yīng)用平面向量的數(shù)量積定義計算得，再結(jié)合模長及數(shù)量積公式計算求解；（2）應(yīng)用夾角余弦公式結(jié)合數(shù)量積公式及模長公式計算求解.【詳解】（1）因為，與的夾角為，所以，∴，∴．（2）由（1）可知，∴．∵，設(shè)與的夾角為，∴．16．(1)(2)眾數(shù)為65分，平均數(shù)為71.8分(3)68分【分析】（1）在頻率分布直方圖中，所有直方圖面積之和為1，可求出的值；（2）根據(jù)眾數(shù)和平均數(shù)的定義求解即可；（3）根據(jù)頻率分布直方圖計算出第40百分位數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）在頻率分布直方圖中，所有直方圖面積之和為1，可得，解得，（2）估計本次競賽成績的眾數(shù)為分，估計本次競賽成績的平均數(shù)為分.（3）由題意，成績位于前百分之六十的考生為良好，則良好認定的分數(shù)線是第40百分位數(shù)，前兩個矩形面積之和為，前三個矩形面積之和為，設(shè)第40百分位數(shù)為，則，則，解得，因此，估計良好認定的分數(shù)線為68分.17．（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理將邊化角，再利用正弦的和角公式轉(zhuǎn)化，然后解方程即可求得；（2）利用正弦定理，得到關(guān)于的函數(shù)，再求該函數(shù)的值域，結(jié)合面積公式即可求得.【詳解】（1）由正弦定理有，又由，代入上式得，，由，有，上式可化為：，得，由，有，故有，故；（2）由（1）知，，由正弦定理有，由為銳角三角形，有，得，有，可得，故面積的取值范圍為.【點睛】本題考查利用正弦定理將邊化角，以及利用正弦定理求解三角形面積的范圍，涉及正弦的和角公式，屬解三角形中的經(jīng)典重點題型.18．(1)(2)和(3)證明過程見解析【詳解】（1）因為圖象上相鄰的一個最高點和一個最低點分別為，，所以該函數(shù)的最小正周期為，且，又因為，所以由，把代入解析式中，得，又因為，所以令，即，因此；（2）由，因為，所以令，得，即，而，所以；令，得，即，而，所以所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為，和；（3），當時，，則，且在上的圖象為一條連續(xù)不間斷的曲線，所以根據(jù)函數(shù)零點存在原理，函數(shù)在上必有零點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是在利用函數(shù)零點存在原理時特殊點的選取.19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）連接PO，BO，BD，先證明，，進而求證即可；（2）易得是二面角的平面角，即，過P作的延長線于H，進而證明平面，進而求解即可；（3）取PB中點E，連OE，取PC中點F，連EF，AE，DF，進而得到為二面角的平面角，進而求解即可.【詳解】（1）連接PO，BO，BD，如圖，因是邊長為2的正三角形，則，在菱形ABC