2/30第一章反比例函數(shù)（舉一反三講義）全章題型歸納 【湘教版】TOC\o"1-3"\h\u【培優(yōu)篇】 4【題型1反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征】 4【題型2反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)的運(yùn)用】 7【題型3反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的綜合判斷】 10【題型4反比例函數(shù)k的幾何意義與面積間的關(guān)系】 13【題型5反比例函數(shù)的應(yīng)用】 19【拔尖篇】 23【題型6反比例函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問題】 23【題型7反比例函數(shù)中的存在性問題】 29【題型8反比例函數(shù)中的定值、最值問題】 39【題型9反比例函數(shù)中的幾何變換問題】 47【題型10反比例函數(shù)與其它知識(shí)的交互問題】 54知識(shí)點(diǎn)1反比例函數(shù)的概念定義：一般地，如果兩個(gè)變量x，y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示成y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的形式，那么稱y是x的自變量取值范圍：x≠0，因變量取值范圍：y≠0．反比例函數(shù)的形式：①xy=k；②y=kxk稱為這個(gè)反比例函數(shù)的比例系數(shù)，無(wú)論反比例函數(shù)形式如何，k始終為常數(shù)且k≠0．知識(shí)點(diǎn)2求反比例函數(shù)的表達(dá)式利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)表達(dá)式的一般步驟步驟步驟設(shè)代解寫設(shè)反比例函數(shù)表達(dá)式為y=把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入所設(shè)函數(shù)表達(dá)式，得到關(guān)于k的方程解方程，求出待定系數(shù)k的值寫出函數(shù)表達(dá)式知識(shí)點(diǎn)3反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.描點(diǎn)法做圖步驟解讀圖示①列表自變量通常取原點(diǎn)附近的相反數(shù)，如±1，±2，±3等，然后求出對(duì)應(yīng)的y值②描點(diǎn)以表中的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)③連線用光滑的曲線順次連接各點(diǎn)并延伸，逐漸靠近坐標(biāo)軸，但永不與坐標(biāo)軸相交2.反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)y=x，y的取值范圍x≠0，y≠k的符號(hào)k＞0k＜0圖像圖像的位置兩支曲線分別位于第一、三象限兩支曲線分別位于第二、四象限性質(zhì)在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而減小在每一象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而增大知識(shí)點(diǎn)4比例系數(shù)k的幾何意義過y=kx(k≠0)連接y=kx(k≠0)圖象上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)，并從該點(diǎn)向x軸，y若過反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，已知兩條垂線與兩坐標(biāo)軸圍成圖形的面積，則可得到k的值，進(jìn)而確定函數(shù)表達(dá)式.知識(shí)點(diǎn)5反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題1.反比例函數(shù)y=k1當(dāng)k1k2>2.反比例函數(shù)y=k1聯(lián)立兩函數(shù)的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程k2x2+bx?k1=0．判別式3.觀察反比例函數(shù)y=k1x(k1（1）聯(lián)立兩函數(shù)表達(dá)式，解一元二次方程求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)x1，x（2）觀察圖象，圖象在上面的函數(shù)值大；圖象在下面的函數(shù)值小，對(duì)應(yīng)x的取值范圍即為相應(yīng)不等式的解集．如圖所示，當(dāng)k1>0，k2>0時(shí)，k2x+b>k1知識(shí)點(diǎn)6利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題

1.反比例函數(shù)y=kx(k2.常見反比例關(guān)系舉例（1）矩形面積S一定時(shí)，長(zhǎng)y與寬x的函數(shù)表達(dá)式為y=（2）菱形面積S一定時(shí)，一條對(duì)角線長(zhǎng)y與另一條對(duì)角線長(zhǎng)x的函數(shù)表達(dá)式為y=（3）壓力F一定時(shí)，壓強(qiáng)p與受力面積S的函數(shù)表達(dá)式為p=（4）電壓U一定時(shí)，電流I與電阻R的函數(shù)表達(dá)式為I=（5）汽車油箱內(nèi)汽油量L一定時(shí)，行駛時(shí)間t與平均油耗n的函數(shù)表達(dá)式為t=【培優(yōu)篇】【題型1反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征】【例1】已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，當(dāng)y1﹣y2＝4時(shí)，則m＝．【答案】1【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，﹣4），利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式為y＝12x，再由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出y1＝122m＝6m，y2＝126m＝2m，然后根據(jù)y1﹣y2＝4列出方程6【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y＝kx∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣3，﹣4），∴k＝﹣3×（﹣4）＝12，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝12x∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2m，y1），（6m，y2），∴y1＝122m＝6m，y2＝126m∵y1﹣y2＝4，∴6m﹣2∴m＝1，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝1是原方程的解．故m的值是1，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確求出雙曲線的解析式是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】已知反比例函數(shù)y=kx(k≠0)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨xA．(2,3) B．(?2,3) C．(0,3) D．(?2,0)【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)求出k<0，再根據(jù)k=xy，逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=kx(k≠0)，且在各自象限內(nèi)，y∴k=xy<0，A.∵2×3>0，∴點(diǎn)(2,3)不可能在這個(gè)函數(shù)圖象上，故此選項(xiàng)不符合題意；B.∵?2×3<0，∴點(diǎn)(?2,3)可能在這個(gè)函數(shù)圖象上，故此選項(xiàng)符合題意；C.∵3×0=0，∴點(diǎn)(0,3)不可能在這個(gè)函數(shù)圖象上，故此選項(xiàng)不符合題意；D.∵?2×0=0，∴點(diǎn)(?2,0)不可能在這個(gè)函數(shù)圖象上，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，則下列各點(diǎn)在該函數(shù)圖象上的是（

）A．(?1,?1) B．(1,?1) C．2,12 【答案】B【分析】先根據(jù)點(diǎn)A（-1，1）是反比例函數(shù)y=kxk≠0【詳解】解：∵點(diǎn)A（-1，1）是反比例函數(shù)y=k∴k=?1×1=?1，A、?1×?1=1≠?1，點(diǎn)B、1×?1=?1，點(diǎn)C、2×12=1≠?1D、?2×1=?2≠?1，點(diǎn)(?2,1)不在反比例函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)坐標(biāo)符合k=xy，且k為定值．【變式1-3】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A?2，3，B3，2，A．1 B．-1 C．-6 D．6【答案】B【分析】根據(jù)已知條件得到點(diǎn)A?2,1在第二象限，求得點(diǎn)C?6,m一定在第三象限，由于反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過其中兩點(diǎn)，于是得到反比例函數(shù)y=【詳解】∵A?2,1在第二象限，B3,2在第一象限，且點(diǎn)A、B、又∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為?6，∴C?6,m∵反比例函數(shù)y=k∴B3,2，C∴解得k=6故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，推出點(diǎn)C在第三象限是解題的關(guān)鍵．【題型2反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)的運(yùn)用】【例2】（2025·吉林長(zhǎng)春·二模）已知Am,y1和Bn,y2均在反比例函數(shù)A．y1+y2<0 B．y1【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)的解析式和自變量的取值范圍，確定函數(shù)值的符號(hào)，進(jìn)而分析選項(xiàng)．先明確反比例函數(shù)y=?3x的比例系數(shù)為負(fù)，可知其圖象在第二、四象限；再根據(jù)m<0<n，確定點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B在第四象限，進(jìn)而得出y1>0,y2【詳解】解：對(duì)于反比例函數(shù)y=?3x，比例系數(shù)∵Am,y1和B∴點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B在第四象限．∴y1A選項(xiàng)：y1+y2的正負(fù)無(wú)法確定，因?yàn)椴恢繠選項(xiàng)：y1y2C選項(xiàng)：y1D選項(xiàng)：y1故選：C．【變式2-1】（24-25九年級(jí)上·吉林松原·期末）已知反比例函數(shù)y=m?5x的圖象，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，則m的取值可能為（A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得m?5<0，再解不等式即可．解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)y=kxk≠0的性質(zhì)：（1）k>0，反比例函數(shù)圖象在一、三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減??；（2）k<0，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，在每一象限內(nèi)y【詳解】解：∵當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，∴m?5<0，解得：m<5，∴m的取值可能為4．故選：A．【變式2-2】反比例函數(shù)y1=k1x，y2=k2x，【答案】k【分析】本題考查反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)，由圖可知y3=k3x圖像在第三象限，k3>0；y1=k1x，【詳解】解：由圖可知，y3=k3x圖像在第三象限，k3>0；y取x=1，如圖所示：∴k2綜上所述，k1故答案為：k1【變式2-3】已知反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過第一、三象限，Ax1,y1與Bx2,【答案】2【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，明確圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)適合解析式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到y(tǒng)1=kx1，y2=kx2，變形為1y1=【詳解】解：∵點(diǎn)A(x1，y1)，B(x∴y1=∴1y1=∵1y∴x2∴x2∵x2∴k?1=2解得：k=2或?1，∵反比例函數(shù)y=k∴k=2，故答案為2．【題型3反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的綜合判斷】【例3】（24-25八年級(jí)上·上海楊浦·階段練習(xí)）在同一坐標(biāo)系中，y=(m?1)x與y=?mx的圖象的大致位置不可能的是（A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)以及正比例函數(shù)的性質(zhì)，利用正比例函數(shù)以及反比例函數(shù)圖象分布規(guī)律進(jìn)而分析得出即可．【詳解】解：A、當(dāng)正比例函數(shù)圖象正確，則m?1>0，則m>1，故y=?mx中，B、當(dāng)正比例函數(shù)圖象正確，則m?1<0，則m<1，故y=?mx中，C、當(dāng)正比例函數(shù)圖象正確，則m?1<0，則m<1，故y=?mx中，D、當(dāng)正比例函數(shù)圖象正確，則m?1>0，則m>1，故y=?mx中，故選：A．【變式3-1】在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b（a，b為常數(shù)，且a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=abA． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的綜合判斷，根據(jù)一次函數(shù)圖象所在象限判斷a，b的正負(fù)，進(jìn)而判斷ab的正負(fù)，得出反比例函數(shù)圖象應(yīng)該所在的象限，逐項(xiàng)判斷可得答案．【詳解】解：A，由一次函數(shù)圖象在第一、三、四象限，可得a>0，b<0，進(jìn)而可得ab<0，則y=abB，由一次函數(shù)圖象在第二、三、四象限，可得a<0，b<0，進(jìn)而可得ab>0，則y=abC，由一次函數(shù)圖象在第一、三、四象限，可得a>0，b<0，進(jìn)而可得ab<0，則y=abD，由一次函數(shù)圖象在第一、二、四象限，可得a<0，b>0，進(jìn)而可得ab<0，則y=ab故選C．【變式3-2】（24-25九年級(jí)上·河北滄州·期末）函數(shù)y=kx與y=?kA． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象綜合，根據(jù)函數(shù)圖象分別求出反比例函數(shù)比例系數(shù)的符號(hào)以及正比例函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，看是否一致即可得到答案．【詳解】解：∵當(dāng)k>0時(shí)，y=kx的圖象經(jīng)過第一、第三象限，反比例函數(shù)y=?k當(dāng)k<0時(shí)，y=kx的圖象經(jīng)過第二、第四象限，反比例函數(shù)y=?k∴D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【變式3-3】（24-25九年級(jí)上·湖南永州·期中）函數(shù)y=a(x?3)與y=ax，在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象，從圖象上把握有用的條件，準(zhǔn)確確定圖象位置，正確記憶一次函數(shù)與反比例函數(shù)的區(qū)別是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：對(duì)一次函數(shù)解析式y(tǒng)=a(x?3)進(jìn)行變形，可得y=ax?3a．當(dāng)a>0時(shí)，?3a<0，則反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，一次函數(shù)y=ax?3a一定經(jīng)過第一、三、四象限，故A、C錯(cuò)誤；當(dāng)a<0時(shí)，?3a>0，則反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，一次函數(shù)y=ax?3a一定經(jīng)過第一、二、四象限，故B錯(cuò)誤，D正確．故選：D．【題型4反比例函數(shù)k的幾何意義與面積間的關(guān)系】【例4】（24-25八年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）如圖，點(diǎn)P,Q,R為反比例函數(shù)圖象上從左到右的三個(gè)點(diǎn)，分別過這三個(gè)點(diǎn)作x軸，y軸的垂線，與y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)C,B,A，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次記為S1,S2,S3A．10 B．9 C．8 D．7【答案】A【分析】設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=kx，根據(jù)OA:AB:BC=1:2:3，設(shè)OA=n,AB=2n,BC=3n，得到OB=3n,OC=6n，故xP=k分別表示面積，解答即可．本題考查了反比例函數(shù)的k的幾何意義，熟練掌握定義和意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=k根據(jù)OA:AB:BC=1:2:3，設(shè)OA=n,AB=2n,BC=3n，得到OB=3n,OC=6n，故xP=k6n，S2解得k=12，故xP=2n，故xQ?x故xQ故S2S1故S1=2；故S1故選：A．【變式4-1】（2025·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A是y軸正半軸上一點(diǎn)，以O(shè)A為對(duì)角線作矩形OBAC，且點(diǎn)B，C分別在反比例函數(shù)y=kxk≠0、反比例函數(shù)y=6x的圖象上．若矩形OBAC【答案】?8【分析】本題考查了反比例函數(shù)與k的幾何意義，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)矩形的性質(zhì)證明△ATB≌△ONC，故S△ATB=S△ONC，因?yàn)榫匦蜲BAC的面積為14，即S△ONC+S△OBT=7【詳解】解：分別過點(diǎn)B,C作BT⊥y軸，CN⊥y軸，如圖所示：∵四邊形OBAC是矩形，∴AB=OC，AB∥OC，∴∠BAT=∠CON，∵BT⊥y軸，作CN⊥y軸，∴∠ATB=∠ONC=90°，∴△ATB≌△ONC，即S△ATB∵矩形OBAC的面積為14，則S△ABO即S△ATB∴S△ONC∵點(diǎn)B，C分別在反比例函數(shù)y=kxk≠0∴12∴k=8∵函數(shù)y=k∴k=?8，故答案為：?8．【變式4-2】如圖，B、C分別是反比例函數(shù)y=6xx>0與y=?2xx>0的圖象上的點(diǎn)，且BC∥y軸，過點(diǎn)C作(1)若B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求△ABC的面積；(2)點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，連接CP，且CP∥AB，連接PA、PB．求△ABP的面積．【答案】(1)4(2)4【分析】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，矩形的判定等知識(shí)，掌握反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，如圖，設(shè)BC交x軸于點(diǎn)E，則四邊形DACB、四邊形DOEB、四邊形AOEC都是矩形，由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義、矩形DACB與△ABC的面積關(guān)系即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)平行線間距離處處相等和同底等高的三角形面積相等即可得到答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，如圖，設(shè)BC交x軸于點(diǎn)E，∵BC∥y軸，∴AC⊥y軸，即∠BDA=∠DAC=∠BCA=∠DOE=∠AOE=∠OEB=90°，∴四邊形DACB、四邊形DOEB、四邊形AOEC都是矩形，由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義知：S矩形DOEB=6∴S矩形∵S矩形∴S△ABC（2）如圖，∵CP∥AB且兩平行線間的距離處處相等，∴S【變式4-3】（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，點(diǎn)B是反比例函數(shù)y=8xx>0圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)B分別向坐標(biāo)軸作垂線，垂足為A，C．反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過OB的中點(diǎn)M，與AB，BC分別相交于點(diǎn)D，E．連接DE并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，點(diǎn)G與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)(1)填空：k=；(2)求BDF的面積；(3)求證：四邊形BDFG為平行四邊形．【答案】(1)2(2)3(3)見詳解【分析】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定、面積的計(jì)算等，綜合性強(qiáng)，難度適中．（1）設(shè)點(diǎn)B(s,t),st=8，則點(diǎn)M12s,（2）△BDF的面積=△OBD的面積=S（3）確定直線DE的表達(dá)式為：y=?12m2x+52m【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)B(s,t),st=8，則點(diǎn)M1則k=1故答案為：2；（2）解：連接OD，則△BDF的面積=△OBD的面積=S（3）解：設(shè)點(diǎn)Dm,2m∵點(diǎn)G與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，故點(diǎn)G(8m,0)，則點(diǎn)E4m,設(shè)直線DE的表達(dá)式為：y=px+n，將點(diǎn)D,E的坐標(biāo)代入上式得2m解得p=?1直線DE的表達(dá)式為：y=?1令y=0，則x=5m，故點(diǎn)F(5m,0)，故FG=8m?5m=3m，而BD=4m?m=3m=FG，又∵FG∥故四邊形BDFG為平行四邊形．【題型5反比例函數(shù)的應(yīng)用】【例5】（24-25九年級(jí)上·湖南岳陽(yáng)·階段練習(xí)）化學(xué)實(shí)驗(yàn)中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如圖用四個(gè)點(diǎn)分別描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的濃度（瓶中乙醇的質(zhì)量與酒精質(zhì)量的比值）y與酒精的質(zhì)量x的情況，其中乙、丁兩點(diǎn)恰好在同一反比例函數(shù)的圖象上，則這四瓶酒精中含乙醇質(zhì)量最多的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合實(shí)際含義理解圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)含義是解題的關(guān)鍵．依據(jù)題意，xy的值即為乙醇質(zhì)量，再根據(jù)圖象即可確定甲瓶乙醇質(zhì)量最多，丙瓶乙醇質(zhì)量最少，乙、丁兩瓶乙醇質(zhì)量相同．【詳解】解：根據(jù)題意，可知xy的值即為乙醇質(zhì)量，∵描述乙、丁兩瓶情況的點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，∴乙、丁兩瓶乙醇質(zhì)量相同．∵點(diǎn)甲在反比例函數(shù)圖象上面，點(diǎn)丙在反比例函數(shù)圖象下面，∴甲瓶的xy的值最大，即乙醇質(zhì)量最多，丙瓶的xy的值最小，即乙醇質(zhì)量最少，故答案為：甲．【變式5-1】（2025·安徽蚌埠·三模）圖是新星幼兒園滑梯的側(cè)面圖，建立平面直角坐標(biāo)系．其中BC段可看成是反比例函數(shù)圖象的一段，矩形AOEB為向上攀爬的梯子，梯子高6m，寬1m，出口點(diǎn)C到BE的距離CF為11m．若滑梯BC上有一個(gè)小球Q，Q的高度不高于3m，則Q到BE【答案】1【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意可得反比例函數(shù)的解析式，再列不等式即可解答，熟練求得反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形AOEB是矩形，BE=AO=6m∴B1設(shè)反比例函數(shù)BC段的解析式為y=k∴k=6，∴反比例函數(shù)BC段的解析式為y=6∵Q的高度不高于3m，即y≤3，∴6解得x≥2，∴x?1≥1，∴Q到BE的距離至少為1m故答案為：1．【變式5-2】（2025·寧夏吳忠·二模）小明家飲水機(jī)中原有水的溫度為20℃，通電開機(jī)后，飲水機(jī)自動(dòng)開始加熱[此過程中水溫y℃與開機(jī)時(shí)間x（分）滿足一次函數(shù)關(guān)系]，當(dāng)加熱到100℃時(shí)自動(dòng)停止加熱，隨后水溫開始下降[此過程中水溫y℃與開機(jī)時(shí)間x（分）成反比例關(guān)系]，當(dāng)水溫降至20℃時(shí)，飲水機(jī)又自動(dòng)開始加熱(1)求圖中t的值；(2)若小明在通電開機(jī)后即外出散步，請(qǐng)你預(yù)測(cè)小明散步45分鐘回到家時(shí)，飲水機(jī)內(nèi)的溫度約為多少攝氏度？【答案】(1)40(2)小明散步45分鐘回到家時(shí)，飲水機(jī)內(nèi)的溫度約為70℃．【分析】此題主要考查了一次函數(shù)以及反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確的函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．（1）求出反比例函數(shù)解析式進(jìn)而得出t的值（2）利用待定系數(shù)法求出當(dāng)0≤x≤8時(shí)的函數(shù)解析式，進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)8<x≤t時(shí)，設(shè)水溫y℃與開機(jī)時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系為y=把點(diǎn)8,100代入得：100=m解得：m=800，∴當(dāng)8<x≤t時(shí)，水溫y℃與開機(jī)時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系為y=當(dāng)y=20時(shí)，20=800∴t=40；（2）解：當(dāng)0≤x≤8時(shí)，設(shè)水溫y℃與開機(jī)時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系為：y=kx+b依據(jù)題意，得8k+b=100b=20解得：k=10b=20所以當(dāng)0≤x≤8時(shí)，函數(shù)解析式為：y=10x+20，∵45?40=5<8，當(dāng)x=5時(shí)，y=10×5+20=70，即小明散步45分鐘回到家時(shí)，飲水機(jī)內(nèi)的溫度約為70℃．【變式5-3】在一次煤礦安全事故的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：如圖，從零時(shí)起，井內(nèi)空氣中CO的濃度達(dá)到4mg/L，此后濃度呈直線型增加，在第7小時(shí)達(dá)到最高值46(1)求爆炸前、后空氣中CO的濃度y（mgL）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出相應(yīng)的自變量x(2)當(dāng)空氣中的CO濃度達(dá)到34mgL(3)礦工只有在空氣中CO的濃度降到4mgL【答案】(1)y=6x+4，0≤x≤7；y=322x(2)1.5(3)73.5【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、求函數(shù)值等知識(shí)，理解題意，看懂圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖象形狀和經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求得爆炸前y=34時(shí)的x值即可求解；（3）求得爆炸后y=4時(shí)的x的值即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)爆炸前空氣中CO的濃度ymgL與時(shí)間xh由題圖，可知直線y=k1x+b過點(diǎn)0，∴b=47解得k1∴y=6x+4．此時(shí)自變量x的取值范圍是0≤x≤7，∵爆炸后空氣中CO的濃度下降，且濃度與時(shí)間成反比例，∴可設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=k由題圖，可知函數(shù)y=k2x∴k2解得k2∴y=322此時(shí)自變量x的取值范圍是x>7；（2）解：在y=6x+4中，令y=34，得6x+4=34，解得x=5，∴撤離的最長(zhǎng)時(shí)間為7?5=2h∴撤離的最慢速度為3÷2=1.5km即他們至少要以1.5km（3）解：在y=322x中，令y=4，解得∵80.5?7=73.5h∴礦工至少在爆炸后73.5h【拔尖篇】【題型6反比例函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問題】【例6】如圖，等腰直角三角形ABC在第一象限，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為1,5,1,2，∠B=90°．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB?BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象L經(jīng)過點(diǎn)D，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，下列各點(diǎn)中，圖象A．1,2 B．3,2 C．2,2 D．4,2【答案】C【分析】求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路線，分析得到k的取值范圍公共部分是2≤k≤5，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得到答案．此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵等腰直角三角形ABC在第一象限，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為1,5,1,2，∴AB⊥x軸，BC∥x軸，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為4,2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是1，縱坐標(biāo)的范圍為2≤y≤5，此時(shí)k的取值范圍為2≤k≤5，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是2，橫坐標(biāo)的范圍為1≤x≤4，此時(shí)k的取值范圍為2≤k≤8，∴k的取值范圍公共部分是2≤k≤5，∴點(diǎn)B是線段AB和BC的公共端點(diǎn)，點(diǎn)C4,2是線段BC的端點(diǎn)，∴1,2和4,2只會(huì)被經(jīng)過一次，∵3×2=6，6不在在2≤k≤5內(nèi)，∴圖象L不可能經(jīng)過3,2兩次，∵2×2=4，4在2≤k≤5內(nèi)，且不是線段AB和BC的端點(diǎn)，∴圖象L經(jīng)過兩次的是2,2，故選：C【變式6-1】（24-25八年級(jí)下·浙江溫州·期末）如圖1，在菱形ABCD中，E為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥DE于點(diǎn)F，設(shè)CF=y，DE=x．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為【答案】y=【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，求反比例函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．連接AC,BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G，連接CE，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及CF⊥DE，可得到xy=S菱形ABCD為定值，從而得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)是反比例函數(shù)關(guān)系，結(jié)合圖2可得CD=AD=6，AC=2OC=8，然后在Rt△COD中，利用勾股定理可得OD=25，從而得到BD=2OD=45，進(jìn)而得到【詳解】解：如圖，連接AC,BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G，連接CE，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=AD，BD=2OD，AC=2OC,AC⊥BD，CD∥∴S△CDE∵CF⊥DE，∴S△CDE∴xy=S∴y關(guān)于x的函數(shù)是反比例函數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意得：當(dāng)x=6時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，當(dāng)y=4時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，點(diǎn)F與點(diǎn)O重合，∴CD=AD=6，OC=4，∴AC=2OC=8，在Rt△COD中，OD=∴BD=2OD=45∴y關(guān)于x的函數(shù)圖象過點(diǎn)45設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=k把點(diǎn)45,4代入得：∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=16故答案為：y=16【變式6-2】如圖，點(diǎn)A是雙曲線y=6x在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點(diǎn)C在第二象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C【答案】y=?【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．連接OC，作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)“AAS”可判定△COD≌△OAE，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為a,6a），得出OD=AE=6【詳解】解：如圖，連接OC，作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，∵A點(diǎn)、B點(diǎn)是正比例函數(shù)圖象與雙曲線y=6∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA=OB，∵△ABC為等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，∵在△COD和△OAE中，∠DCO=∠AOB∠ODC=∠AEO∴△COD≌∴OD=AE，CD=OE，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為a,6a，則OD=AE=6∴C點(diǎn)坐標(biāo)為?6∵?6∴點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=?6x（故答案為：y=?6x（【變式6-3】（24-25八年級(jí)下·江蘇泰州·期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為m，點(diǎn)A,C分別在x軸、y軸的正半軸上P,Q兩點(diǎn)從點(diǎn)O,B處同時(shí)出發(fā)，分別沿著O→C和B→A的方向運(yùn)動(dòng)a個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)到C,A兩點(diǎn)處同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ．其中a,m均為常數(shù)且am≠0。(1)求證：在運(yùn)動(dòng)過程中線段PQ經(jīng)過一定點(diǎn)，記作M，并直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(用含有m的代數(shù)式表示)(2)如圖2，點(diǎn)M′與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱．過點(diǎn)M作雙曲線y1=kx(k為常數(shù)，k≠0)與AB交于點(diǎn)D，作直線DM＇與x軸、①求證：ME②若四邊形MEDQ是平行四邊形，求出a與m之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)m≠2時(shí)，在（2）中②的條件下，延長(zhǎng)ME交雙曲線y2=?ax(x>0)于G，將直線DE沿y軸向下平移經(jīng)過點(diǎn)G【答案】(1)見解析，m(2)①見解析；②a=(3)當(dāng)0<m<2時(shí)，m2<x<1；當(dāng)m>2【分析】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)與不等式的關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握并能夠靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，應(yīng)用方程思想和分類討論思想是解題關(guān)鍵．（1）運(yùn)用待定系數(shù)法得出直線PQ的解析式，得出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可；（2）①根據(jù)中心對(duì)稱得出點(diǎn)M′的坐標(biāo)，再求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線M②由平行四邊形性質(zhì)可得MQ∥ED，即（3）先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，再求得直線DE平移后的直線解析式，聯(lián)立方程求得兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求得答案．【詳解】（1）證明：由題意得：P(0,a)，設(shè)直線PQ的解析式為y=nx+b，則b=a解得：b=an=m?2am，則直線PQ當(dāng)x=m2時(shí)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為m2,m2，即線段（2）①證明：由（1）知：Mm∵點(diǎn)M′與點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O∴M′∵雙曲線y1=kx(k∴k=m∵雙曲線y1與AB交于點(diǎn)D∴Dm,設(shè)直線M′D的解析式為y=k解得：k1=12b令y=0，得12解得：x=m∴Em∴E∴ME⊥x軸，∵AB⊥x軸，∴ME∥②解：四邊形MEDQ是平行四邊形，∴MQ∥ED，即∴∴m=4a,即a=1（3）解：由（2）②知，ME⊥x軸，Em∴∴G∵將直線DE沿y軸向下平移經(jīng)過點(diǎn)G得到直線y3∴y3=12x+t解得：t=?1∴聯(lián)立得：12解得：x1當(dāng)0<m<2時(shí)，不等式?ax>sx+t當(dāng)m>2時(shí)，不等式?ax>sx+t綜上，當(dāng)0<m<2時(shí)，不等式?ax>sx+t的解集為m2<x<1；當(dāng)m>2【題型7反比例函數(shù)中的存在性問題】【例7】（24-25九年級(jí)上·河北石家莊·期末）如圖，一次函數(shù)y=k1x+1的圖象與反比例函數(shù)y=k2x的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D1,?2，連接OB、OA、OD(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍；(3)設(shè)點(diǎn)P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使S△OAP=1【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為y=x+1；反比例函數(shù)的解析式為y=(2)x<?2或0<x<1(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為?3,?2或5,6【分析】此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用函數(shù)圖象解不等式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握反比例函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（1）由菱形的性質(zhì)可知A、D關(guān)于x軸對(duì)稱，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，把A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入兩函數(shù)解析式可求得k1和k（2）先聯(lián)立直線和雙曲線求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)圖象求解即可；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，可求得菱形面積，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為a,a＋1，根據(jù)條件可得到關(guān)于a的方程，可求得【詳解】（1）如圖，連接AD，交x軸于點(diǎn)E，

∵四邊形AODC是菱形，∴AD⊥OC,AE=DE,EC=OE，∵D1,?2∴OE=1,ED=2，∴AE=DE=2,EC=OE=1，∴A1,2將A1,2代入直線y=k1解得k1將A1,2代入反比例函數(shù)y=k2解得：k2∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1；反比例函數(shù)的解析式為y=2（2）聯(lián)立y=x+1y=解得：x1=1y∴A1，由圖象可知，反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍為x<?2或0<x<1；（3）∵OC=2OE=2,AD=2DE=4，∴S菱形∵S△OAP∴S△OAP設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為a,a＋則F0,1∴OF=1，∵S△OAF當(dāng)P在A的左側(cè)時(shí)，S△FOP∴a=?3,a+1=?2，∴P?3,?2當(dāng)P在A的右側(cè)時(shí)，S△FOP∴a=5,a+1=6，∴P5,6綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為?3,?2或5,6．【變式7-1】（24-25九年級(jí)上·湖南益陽(yáng)·期中）如圖，已知直線y=?x+4與反比例函數(shù)y=3x的圖象交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)N在x軸正半軸上，點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=3x（x>0）的圖象上的一個(gè)點(diǎn)，若△AMN是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形時(shí)，求所有滿足條件的點(diǎn)【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,3(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,(3)2,32【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，是解題的關(guān)鍵：（1）聯(lián)立解析式，進(jìn)行求解即可；（2）作點(diǎn)B的關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′?1,3，連接AB′，得到當(dāng)點(diǎn)P在線段AB′上時(shí)，（3）分點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)和點(diǎn)M在點(diǎn)A右側(cè)，兩種方法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：聯(lián)立y=?x+4y=3x，解得：x=3∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,3；（2）作點(diǎn)B的關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′?1,3，連接設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A3,1得：1=3k+b3=?x+b，解得：k=?12∴直線AB′的解析式為y=?12x+∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,52時(shí)，PA+PB有最小值，此時(shí)（3）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為x,3①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為點(diǎn)D，過點(diǎn)M作y軸的垂線，與DA相交于點(diǎn)C，則：∠ACM=∠ADN=90°，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，∵△AMN為等腰直角三角形，∴AM=AN，∠MAC+∠DAN=∠AMC+∠MAC=90°，∴∠DAN=∠AMC，∴△ACM≌△NDAAAS∴CM=AD，∴3?x=1，解得：x=2，∴點(diǎn)M坐標(biāo)為2,3②如圖3，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)M，N作y軸的平行線與過點(diǎn)A作y軸的垂線交于點(diǎn)E，F(xiàn)；同理可證：△AEM≌△NFA，可得：AE=NF，即：x?3=1，解得：x=4．∴點(diǎn)M坐標(biāo)為4,3綜上所述：點(diǎn)M坐標(biāo)為2,32和【變式7-2】（24-25九年級(jí)下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知，矩形OCBA在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,4，反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖象經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，且與BC交于點(diǎn)E，順次連接O，D(1)求m的值和E的坐標(biāo)；(2)在線段OD上存在一點(diǎn)M，當(dāng)△MOE的面積等于34時(shí)，求點(diǎn)M(3)平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)N，使得O、D、E、N四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形？若存在，請(qǐng)計(jì)算N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)m=4，E2,2(2)14(3)存在，N的坐標(biāo)為1,?2或?1,2或3,6．【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出D的坐標(biāo)，確定出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出DE的長(zhǎng)；（2）根據(jù)D坐標(biāo)確定出直線OD與直線OE解析式，過點(diǎn)M作MN∥y軸交OE于點(diǎn)N，設(shè)Mt,4t,Nt,t，三角形MOE面積=三角形NOM面積+三角形MNE面積，把已知面積代入求出t（3）分三種情況考慮，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式確定出N的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,4，D為AB中點(diǎn)，∴D1,4∵反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖象經(jīng)過AB∴m=1×4=4，∴反比例函數(shù)解析式為y=4把x=2代入反比例函數(shù)解析式中，得：y=2，∴E2,2（2）解：由D1,4，得到直線OD解析式為y=4x由E2,2，得到直線OE解析式為y=x過點(diǎn)M作MN∥y軸交OE于點(diǎn)N，設(shè)Mt,4t，則Nt,t，∵==3t，∴3t=3解得：t=1∴點(diǎn)M坐標(biāo)為14（3）解：存在，理由如下：由題意得：O0,0如圖：設(shè)Nx,y分三種情況考慮：當(dāng)四邊形ON可得0+2=1+x，0+2=4+y，解得：x=1，y=?2，∴N1當(dāng)四邊形OEDN可得0+1=2+x，0+4=2+y，解得：x=?1，y=2，∴N2當(dāng)四邊形OEN可得1+2=0+x，4+2=0+y，解得：x=3，y=6，∴N3綜上，N的坐標(biāo)為1,?2或?1,2或3,6．【變式7-3】（24-25八年級(jí)下·四川樂山·階段練習(xí)）如圖，已知直線y=12x與雙曲線y=kxk>0交于(1)求k的值；(2)若雙曲線y=kxk>0上一點(diǎn)C，縱坐標(biāo)為8(3)若C2,a是反比例函數(shù)y=kxk>0圖象上的點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)M使得【答案】(1)k=8；(2)△AOC的面積為15；(3)M103,0，此時(shí)△MAC【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對(duì)稱性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，割補(bǔ)法求面積，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．（1）先求出A4,2（2）求出C1,8，過A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，由S△AOC=（3）求出C2,4，如圖，作A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，交x軸于點(diǎn)M，則有AM+MC=A′M+MC=A′C，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知M即為所求，直線【詳解】（1）解：∵直線y=12x圖象上點(diǎn)A∴A4,2∵點(diǎn)A在雙曲線y=k∴k=4×2=8；（2）解：由（1）得k=8，∴反比例解析式為y=8∵雙曲線y=kxk>0上一點(diǎn)C∴C1,8如圖，過A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，∴ED=3，∴S△AOC∵S梯形∴S△AOC∴△AOC的面積為15；（3）解：∵C2,a是反比例函數(shù)y=∴a=4，∴C2,4如圖，作A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，交x∴AM+MC=A′M+MC=∴根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知M即為所求，∵A4,2設(shè)直線A′C解析式為∴2m+n=44m+n=?2，解得m=?3∴直線A′C解析式為當(dāng)y=0時(shí)，x=10∴M10此時(shí)△MAC的周長(zhǎng)最小為A′【題型8反比例函數(shù)中的定值、最值問題】【例8】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，且四邊形OABC是邊長(zhǎng)為3的正方形，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像與BC，AB邊分別交于E，D兩點(diǎn)，△DOE的面積為4，點(diǎn)PA．3 B．25 C．32【答案】B【分析】由正方形OABC的邊長(zhǎng)是3，得到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)和點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3，求得D(3,k3)，E(k3，3)，根據(jù)三角形的面積列方程得到D(3,2)，E(2,3)，作E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接DE′交y軸于P【詳解】∵正方形OABC的邊長(zhǎng)是3，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)和點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3，∴D(3,k3)，E(∴BE=3?k3，∵△ODE的面積為4，∴3×3?1∴k=3或?3（舍去），∴D(3,1)，E(1,3)，作E關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接DE′交y軸于P，則DE′的長(zhǎng)=PD+PE的最小值，∵CE=CE′=1=AD，∴BE′=4，BD=2，∴DE'=BE即PD+PE的最小值為25故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，軸對(duì)稱中最小距離問題，勾股定理，正方形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是5,0，點(diǎn)B是函數(shù)y=6xx>0圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC⊥y軸交函數(shù)y=?2xx<0的圖像于點(diǎn)C，點(diǎn)D在x軸上（D在A的左側(cè)），且AD=BC，連接AB，CD．有如下四個(gè)結(jié)論：①四邊形ABCD可能是菱形；②四邊形ABCD可能是正方形；③四邊形【答案】①④【分析】①由BC⊥y軸得到AD∥BC，結(jié)合AD=BC，得到四邊形ABCD是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)Ba,6a，則C?a3,②當(dāng)x=5時(shí)，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后判斷四邊形ABCD是否為正方形；③任取兩個(gè)點(diǎn)B的坐標(biāo)，求得AB和BC的長(zhǎng)，然后判斷四邊形ABCD的周長(zhǎng)是否為定值；④過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為四邊形EFBC的面積，進(jìn)而利用反比例系數(shù)k的幾何意義判斷四邊形ABCD的面積是否為定值．【詳解】①如圖，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，∴∠BFA=90°，∵BC⊥y軸，∴AD∥BC，又∵AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵點(diǎn)B在函數(shù)y=6x圖像上，點(diǎn)C在函數(shù)設(shè)Ba,6a∴BC=a??又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是5,0，在Rt△BFA中，AB=A當(dāng)a=5時(shí)，BC=203，此時(shí)，AB<BC，∴四邊形ABCD可能是菱形，∴①符合題意；②由①得，當(dāng)a=5時(shí)，BC=203，∴BC≠AB，此時(shí)B5,∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是5,0，∴AB⊥x軸，∴∠BAD=90°，由①知，四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)a=5時(shí)，四邊形ABCD是矩形，但BC≠AB，∴四邊形ABCD不為正方形，∴②不符合題意；③由①得，當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為5時(shí)，BC=203，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：2BC+AB當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1時(shí)，B1,6，則C∴BC=43，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：2BC+AB∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)不為定值，∴③不符合題意；④如圖，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，又∵BF⊥x，∴∠CEF=∠BFE=90°∵BC⊥y軸，∴AD∥BC，∴∠EFB=180°?90°=90°，∴四邊形ABCD為矩形，∴S四邊形∴四邊形ABCD的面積為定值，∴④符合題意．故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是熟知反比例函數(shù)圖像_上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【變式8-2】（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=kx（x>0）圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，已知(1)求k的值．(2)若過點(diǎn)A的直線y=x+bb>0與x軸交于點(diǎn)C，如圖2．①求證：AB=BC．②OA與OC的平方差是不是定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)k=2(2)①證明見解析；②是定值，4【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)一定滿足反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A（m,n）（m>0,n>0）（2）①根據(jù)題意得到AB=m+b，求出C?b,0，得到BC=m?②是定值，由題得OA2=m2+n2，繼而得到【詳解】（1）解：設(shè)A（m,n）∵AB⊥x軸，∴B（∴AB=n,OB=m，∴S∴mn=2．∵k=mn，∴k=2．（2）①證明：設(shè)A（m,n）∵點(diǎn)A（m,n）∴n=m+b．∴AB=m+b．當(dāng)y=0時(shí)，0=x+b，∴x=?b．∴C（∵B∴BC=m??b∴AB=BC．②解：是定值．設(shè)A（m,n）∵AB⊥x軸，∴在Rt△AOB中，O∵OA2?O∴OA∴OA∴OA由（1）知mn=2，∴OA【變式8-3】（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，?OABC的邊OC在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為9,3，點(diǎn)C坐標(biāo)為5,0，反比例函數(shù)y=kxk≠0，x>0的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1)求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)G是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接GA，GE，求GA+GE的最小值；(3)連接AE，在反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)E不重合），使得S△OAP=S【答案】(1)y=12(2)101；(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為83【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用．正確的求出反比例函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．（1）利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得點(diǎn)A4,3（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′E交y軸于G，此時(shí)GA+GE（3）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)Pn,12n，求得S△OAP=?【詳解】（1）解：∵?OABC的邊OC在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為9,3，如圖1，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，∴OH=9，BH=3，∵點(diǎn)C坐標(biāo)為5,0，∴OC=5，∴CH=OH?OC=4，∴BC=B∴OC=BC=5，∴?OABC是菱形，∴OA=AB=OC=BC=5，∵BH⊥x軸，AD⊥x軸，∴AD=BH=3，∴OD=4，∴點(diǎn)A4,3∵反比例函數(shù)y=kxk≠0∴k=4×3=12，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=12（2）解：如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′E交y軸于G，此時(shí)GA+GE∵點(diǎn)B坐標(biāo)為9,3，∴直線OB解析式為y=1∵反比例函數(shù)y=12xx>0的圖象與OB∴13∴x=6或x=?6（舍去），∴E6,2∵A4,3∴A′∴A′∴GA+GE的最小值為101；（3）解：反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)E不重合），使得S△OAP如圖3，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，∴EF=2，OF=6，AD=3，OD=4，∴DF=OF?OD=2，設(shè)Pn,∴S==?3∵S==5+6?6=5，∴S△OAP整理得：3n∴n=83或∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為83【題型9反比例函數(shù)中的幾何變換問題】【例9】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)為A(1，1)、B(3，1)．當(dāng)函數(shù)y＝kx（x＞0）的圖象與線段AB有交點(diǎn)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為P（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，以PA、PQ為邊作矩形APQM，若函數(shù)y＝kA．5 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意，分析圖形可得，當(dāng)函數(shù)y＝kx（x＞0）的圖象與矩形APQM的邊AM有公共點(diǎn)為M時(shí)，k取得最大值，設(shè)PB＝a，則Q（k，1+a），根據(jù)四邊形APQM是矩形，可得M（1，1+a），而M在y＝k【詳解】解：分析圖形可知：當(dāng)函數(shù)y＝kx∵P在y＝kx上且yP∴P（k，1），設(shè)PB＝a，則Q（k，1+a），∵四邊形APQM是矩形，∴M（1，1+a），而M在y＝kx∴1+a＝k，∵AP＝MQ，∴2﹣a＝k﹣1，由1+a=k2?a=k?1解得a=1k=2∴0＜k≤2，∴k＝5不符合條件．故答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合，矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意，能夠判斷出當(dāng)反比例函數(shù)圖像和矩形在公共點(diǎn)M處時(shí)k取最大值．【變式9-1】（24-25八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，在以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸的正半軸上，將反比例函數(shù)y=kxk>0的圖像向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后，恰好同時(shí)經(jīng)過矩形對(duì)角線交點(diǎn)和頂點(diǎn)A，且圖像與BC邊交于點(diǎn)D，則CD【答案】1【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)．設(shè)A(a,0)，B(a,b)，則對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(a2,b2)，反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖象向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后的表達(dá)式為y=kx?n，分別將【詳解】解：設(shè)A(a,0)，B(a,b)，則對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(a反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖象向下平移n∴b2解得：k=ab∴反比例函數(shù)y=kx(k>0)的圖象向下平移n設(shè)D(c,b)，則b=ab∴c=a∴D(a∴CDCB故答案為：1【變式9-2】（2025·湖北武漢·三模）如圖，一次函數(shù)y=x+mm>0的圖象與反比例函數(shù)y=12x的圖象交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A位于第三象限），且一次函數(shù)與x軸、y(1)當(dāng)m=1時(shí)，求線段BC的長(zhǎng)；(2)將雙曲線沿直線AB進(jìn)行翻折，翻折后的圖形與x軸和y軸分別相交于P,Q兩點(diǎn)，若S△OPQ=64，求【答案】(1)4(2)m=4【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，兩點(diǎn)間距離公式，折疊的性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，然后求出一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)B，再由兩點(diǎn)間距離公式即可求解；（2）先確定△OCD是等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)S，連接SD，由翻折得：CQ⊥DB，DS=DQ，可得∠QDS=90°，則yS=yD=m，代入y=12x得xS=【詳解】（1）解：當(dāng)m=1時(shí)，一次函數(shù)解析式為y=x+1，當(dāng)y=0時(shí)，x=?1，∴C?1,0聯(lián)立方程組y=12解得x=3y=4或x=?4∴B3,4∴BC=3+1（2）解：如圖，∵一次函數(shù)y=x+mm>0當(dāng)x=0,y=m；當(dāng)y=0,x+m=0，解得：x=?m，∴OD=OC=m，∵∠COD=90°，∴∠QDB=∠ODC=∠OCD=45°，設(shè)點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)S，連接SD，由翻折得：SQ⊥DB，DS=DQ，∴∠DQS=∠DSQ=90°?∠QDB=45°，∴∠QDS=90°，∴yS代入y=12x得∴DS=DQ=12∴OQ=OD+DQ=m+同理可得：OP=m+12∴12∴12解得：m=42【變式9-3】（24-25八年級(jí)下·重慶黔江·期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1=x?2的圖象與反比例函數(shù)y2=kxk≠0的圖象交于A?2,a，Bm,2兩點(diǎn)，直線AB與y(1)求反比例函數(shù)y2(2)求△BOC的面積；(3)如圖2，將直線AB向上平移，過y軸上的點(diǎn)G且經(jīng)過反比例函數(shù)y2=kxk≠0圖象上的點(diǎn)E1,n，F(xiàn)?8,m，過點(diǎn)E作ME⊥y軸于點(diǎn)M，連接OF，動(dòng)點(diǎn)N【答案】(1)y(2)4(3)N點(diǎn)坐標(biāo)為0,0或(0,16)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，兩點(diǎn)距離計(jì)算公式，熟知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y1=x?2中求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再把點(diǎn)（2）求出B、C的坐標(biāo)，根據(jù)S△BOC（3）求出E1,8，F(xiàn)?8,?1，則可得到直線EF的解析式為y=x+7，進(jìn)而可得G0,7，M0,8，證明ME=MG=1，得到∠MEG=∠MGE，則∠MEG=∠2；連接OE，可證明OF=OE，得到∠OEF=∠1，則∠MEO=∠MEG+∠GEO=∠1+∠2，故O點(diǎn)即為點(diǎn)N的一個(gè)位置，在y軸上取點(diǎn)N′滿足N【詳解】（1）解：在y1=x?2中，當(dāng)x=?2時(shí)，∴A?2,?4當(dāng)y1=2時(shí)，∴B4,2將A?2,?4代入y2=∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y（2）解：在y1=x?2中，當(dāng)x=0時(shí)，y1=?2，當(dāng)∴B4,2，C∴S△BOC（3）解：在y2=8x中，當(dāng)∴E1,8當(dāng)x=?8時(shí)，y2∴F?8,?1設(shè)直線EF為y=x+b，將E1,8代入y=x+b中，得b=7∴直線EF的解析式為y=x+7，在y=x+7中，當(dāng)x=0，y=7，∴G∵M(jìn)E⊥y軸，∴M0,8∴ME=MG=1，∴∠MEG=∠MGE，又∵∠MGE=∠2，∴∠MEG=∠2，連接OE，∵OE=1?02∴OF=OE，∴∠OEF=∠1，∴∠MEO=∠MEG+∠GEO=∠1+∠2，∴O點(diǎn)即為點(diǎn)N的一個(gè)位置，在y軸上取點(diǎn)N′滿足N則此時(shí)∠MEN∴N′綜上，N點(diǎn)坐標(biāo)為0,0或(0,16)．【題型10反比例函數(shù)與其它知識(shí)的交互問題】【例10】（2025·北京·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B分別是橫、縱軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形OACB是矩形，函數(shù)y=1xx>0的圖象與邊AC交于點(diǎn)M，與邊BC交于點(diǎn)N（M①△COM與△CON的面積一定相等；②△MON與△MCN的面積可能相等；③△MON一定是銳角三角形；④△MON可能是等邊三角形．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)k的意義即可判斷①②，根據(jù)等邊三角形和反比例函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷④，根據(jù)M,N是反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，可得∠OMN或∠ONM為鈍角，即可判斷③，即可求解．【詳解】解：∵四邊形OACB是矩形，∴S又∵M(jìn),N是反比例函數(shù)y=1xx>0圖象上的動(dòng)點(diǎn)，BN⊥y∴S∴S△OBC?S△OBN=由①可得S當(dāng)△MON與△MCN的面積相等時(shí)，如圖，連接AB，BM∴S∴N在直線BM上，則