第10講函數(shù)的單調(diào)性和最值【人教A版】模塊一模塊一函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減：名稱定義圖形表示幾何意義單調(diào)遞增一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果?x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是上升的.單調(diào)遞減一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果?x1,x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的圖象從左到右是下降的.(2)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間：①當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增(減)時，我們就稱它是增(減)函數(shù).②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)常見函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)a>0時，在R上單調(diào)遞增；a<0時，在R上單調(diào)遞減.a>0時，單調(diào)遞減區(qū)間是(∞,0)和(0,+∞)；a<0時，單調(diào)遞增區(qū)間是(∞,0)和(0,+∞).二次函數(shù)y=a(xm)2+n(a≠0)a>0時，單調(diào)遞減區(qū)間是(∞,m]，單調(diào)遞增區(qū)間是[m,+∞)；a<0時，單調(diào)遞減區(qū)間是[m,+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(∞,m].(4)單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：①f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.②若a為常數(shù)，則當(dāng)a>0時，f(x)與af(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a<0時，f(x)與af(x)具有相反的單調(diào)性.⑤在f(x)，g(x)的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結(jié)論：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)g(x)增增增不能確定單調(diào)性增減不能確定單調(diào)性增減減減不能確定單調(diào)性減增不能確定單調(diào)性減⑥當(dāng)f(x)，g(x)在區(qū)間D上都是單調(diào)遞增(減)的，若兩者都恒大于零，則f(x)·g(x)在區(qū)間D上也是單調(diào)遞增(減)的；若兩者都恒小于零，則f(x)·g(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減(增).(5)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定：對于復(fù)合函數(shù)f(g(x))，設(shè)t=g(x)在(a,b)上單調(diào)，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也單調(diào).t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增減減減增減減減增2．函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性.(2)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的原則.【題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解】【例1】（2425高一上·廣東廣州·期中）函數(shù)y=1x2?2xA．(?∞,1) B．(?∞,0) C．【變式1.1】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）設(shè)fx=x，gxA．fx+gxB．fx+gxC．fx?gxD．fx?gx【變式1.2】（2526高一上·全國·單元測試）已知函數(shù)fx=2x+ax+1，且(1)求函數(shù)gx(2)用定義法判斷gx【變式1.3】（2425高一上·重慶·期中）已知函數(shù)f(x)=(1)求實數(shù)a值；(2)判斷函數(shù)f(x)在(1,+∞(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．【題型2利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例2】（2425高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2024?axa?1在[0,1]上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

A．(?∞,0)∪(1,2024] C．(?∞,0)∪(1,+∞【變式2.1】（2425高一上·安徽·期中）函數(shù)fx=a+3x+a+3,x>1?A．?3,?2 B．?3,?1C．?2,?1 D．?2,?1【變式2.2】（2025高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)f(x)=x(1)若函數(shù)f(x)的單減區(qū)間是(?∞,4]，求實數(shù)(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(?∞,4]上是單減函數(shù)，求實數(shù)【變式2.3】（2425高一上·上海·課堂例題）（1）函數(shù)fx=?x2+2（2）已知函數(shù)fx=x+mx?1【題型3利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例3】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)fx在?∞,?1上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（A．f?32C．f?2<f?1【變式3.1】（2425高一上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知f2?x=fx+2，且fx在0,2上單調(diào)遞減，則f1，fA．f52<fC．f72<f【變式3.2】（2425高一上·江蘇蘇州·期中）設(shè)a=20222+12021×2023A．c>b>a B．a(chǎn)>b>c C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b【變式3.3】（2025高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=4?x2，若0<x1<xA．fx1xC．fx3x【題型4利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式】【例4】（2425高一上·山西·期中）已知定義域為0,+∞的增函數(shù)fx滿足fx+y=fx+fy，且A．?3,?2∪2,+∞C．?3,?2 D．?3,?2【變式4.1】（2425高一上·江西鷹潭·期中）已知定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足對?x1,x2∈0,+A．2023,+∞ B．2024,+∞ C．2025,+∞【變式4.2】（2425高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù)，滿足(1)求f(1)和f(9)的值(2)解關(guān)于x的不等式f(3x+6)+f(x)<2．【變式4.3】（2425高一上·重慶·期末）已知函數(shù)fx滿足對一切實數(shù)x1,x2都有fx1(1)求f0，f(2)判斷并證明fx在R(3)解不等式fx模塊二模塊二函數(shù)的最值1．函數(shù)的最大（?。┲?1)函數(shù)的最大（小）值：名稱定義幾何意義函數(shù)的最大值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：(1)?x∈1，都有f(x)≤M；(2)?x0∈1，使得f(x0)=M.那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.函數(shù)的最大值對應(yīng)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).函數(shù)的最小值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)m滿足：(1)?x∈1，都有f(x)≥m；(2)?x0∈1，使得f(x0)=m.那么，我們稱m是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)的最小值對應(yīng)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).(2)利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結(jié)論：①如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減，那么函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最大值f(b)，如圖(1)所示；②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增，那么函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最小值f(b)，如圖(2)所示.2．求函數(shù)最值的三種基本方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.【題型5求函數(shù)的最值或值域】【例5】（2425高一上·北京·期末）若x>0，則fx=2?x?4xA．最大值為6 B．最小值為?6 C．最大值為?2 D．最小值為2【變式5.1】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx滿足fx+2=x+b，若fx在區(qū)間A．0 B．1 C．3 D．6【變式5.2】（2425高一上·安徽銅陵·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2x+1(1)用定義法判斷fx在區(qū)間?2,+(2)求出該函數(shù)在區(qū)間1,4上的最大值和最小值.【變式5.3】（2425高一上·貴州貴陽·期中）已知函數(shù)f(x)=2x+bax+1，點(diǎn)A(1,?(1)求a,?(2)用定義判斷函數(shù)f(x)在1,3上的單調(diào)性，并求該函數(shù)的最大值和最小值.(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+x,?x∈0,+【題型6根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)】【例6】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)fx=x+ax+1在區(qū)間0,1內(nèi)的最大值為3，則a=A．3 B．4 C．5 D．3或5【變式6.1】（2425高一上·河南鄭州·期中）若函數(shù)y=ax2+1在1,2上的最大值與最小值的差為3，則實數(shù)aA．1 B．?1 C．1或?1 D．0【變式6.2】（2425高一上·湖北孝感·開學(xué)考試）（1）求二次函數(shù)y=2x2?3x+5在?2≤x≤2（2）已知函數(shù)y=ax2+2ax+1在區(qū)間?3≤x≤2【變式6.3】（2425高一上·內(nèi)蒙古·期中）已知函數(shù)fx(1)若fx+2≥0恒成立，求(2)若fx在?1,5上單調(diào)，求a(3)求fx在1,3上的最小值為?54【題型7根據(jù)函數(shù)圖象判斷單調(diào)性、最值】【例7】（2526高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)r=fp的圖象如圖所示，則該函數(shù)的定義域和單調(diào)遞增區(qū)間分別是（

）A．定義域為?5,0,2,6B．定義域為?5,0∪2,6；單調(diào)遞增區(qū)間為?5,0C．定義域為?5,0,2,6D．定義域為?5,0∪2,6【變式7.1】（2025高三下·全國·專題練習(xí)）函數(shù)y=fx的圖象如圖所示，其單調(diào)遞增區(qū)間是（

A．?4,4 B．?4,?3∪1,4 C．?3,1 【變式7.2】（2425高一上·河南·期中）已知函數(shù)fx的圖象由如圖所示的兩條曲線組成，則（

A．ff?3=5 C．fx的定義域是?∞,0∪2,3【變式7.3】（2425高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）如圖是函數(shù)y=fx,x∈?4,3A．fx在?4,?1和1,3B．fx在區(qū)間?1,3上的最大值為3，最小值為C．fx在?4,1上有最大值2，有最小值D．當(dāng)直線y=m與函數(shù)y=fx,x∈【題型8復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和最值】【例8】（2425高一上·上海·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=?x(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間1,5的最大值和最小值.【變式8.1】（2425高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）討論函數(shù)ft=5t【變式8.2】（2425高一上·湖北黃石·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx（1）求函數(shù)fx（2）設(shè)Fx=m1?x2【變式8.3】（2425高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=1時，求fx(2)設(shè)fx在區(qū)間0,2上最大值為ga，求一、單選題1．（2526高一上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=?x2+2x+3A．?∞,1 B．1,+∞ C．?2．（2526高一上·山東德州·開學(xué)考試）若函數(shù)fx的圖象如圖所示，則其單調(diào)遞增區(qū)間是（

A．?4,?1∪1,4 C．?2,2 D．?4,?13．（2526高一上·浙江溫州·階段練習(xí)）函數(shù)y=x1+x在區(qū)間[2,4]上的最大值?最小值分別為（A．最大值為54，最小值為23 B．最大值為4C．最大值為1，最小值為13 D．最大值為454．（2526高一上·河南南陽·階段練習(xí)）已知fx=a?1x+1，x<13?2aA．1，32 B．1，+∞5．（2526高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)fx=3?x+x+3的最大值為M，最小值為mA．2 B．3 C．2 D．36．（2425高一上·湖北·期末）若函數(shù)fx=ax2+2x?1在A．?1,+∞ B．?1,+∞ C．0,+∞7．（2425高一上·江蘇宿遷·期中）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(?x)=f(x)，且f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，則f(?3)，f(5A．f(52)<f(?3)<f(C．f(72)<f(?3)<f(8．（2526高一上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知f(x)是定義在0,+∞上的減函數(shù)，若f(2a2+a+1)<f(3aA．0,5 B．1,5 C．13,5 二、多選題9．（2425高一上·黑龍江雞西·期中）下列關(guān)于函數(shù)fx的結(jié)論正確的是（

A．fx=x?1x在B．fx=x+2x?1在C．fx=xD．fx=x10．（2425高一上·浙江溫州·期中）下列為真命題的是（

）A．函數(shù)y=x+1xB．函數(shù)y=x+1C．函數(shù)y=3x?4xD．函數(shù)y=x11．（2526高三上·重慶渝北·階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意的x，y，均有f(x+y)=f(x)+f(y)?1，且當(dāng)x>0時，f(x)>1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．f(0)=1 B．若f(4)=5，則f(1)=2C．f(x)是R上的減函數(shù) D．若f(4)=9，則不等式fx2三、填空題12．（2526高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）若函數(shù)fx=4x?a+3在區(qū)間1,+∞上不單調(diào)，則a13．（2526高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）函數(shù)y=3x+2在區(qū)間0,5上的最大值與最小值的和為14．（2526高一上·天津西青·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域為0,+∞，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則使得不等式f2x<fx+1成立的x四、解答題15．（2526高一上·重慶·階段練習(xí)）函數(shù)fx=ax+b1+x2滿足對于(1)求fx(2)證明fx在?1,116．（2425高一上·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)fx(1)函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)fx在?1,+(2)求函數(shù)fx在