第二十六章二次函數(shù)1.二次函數(shù)的概念：一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x的二次函數(shù).它的定義域為一切實數(shù)．2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)①函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)：拋物線y=ax2（其中a是常數(shù)，且a≠0）的對稱軸是y軸，即直線x=0；頂點是(0,0)．拋物線的開口方向由a的符號決定，當a>0時，拋物線開口向上，頂點是拋物線的最低點，代表有最小值；當a<0時，拋物線開口向下，頂點是拋物線的最高點，代表有最大值．表格表示如下：a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a>0向上(0,0)y軸x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨x的增大而減小；x=0時，y有最小值0．a(chǎn)<0向下(0,0)y軸x>0時，y隨x的增大而減小；x<0時，y隨x的增大而增大；x=0時，y有最大值0．②y=ax2+c的性質(zhì)：拋物線y=ax2+c（其中a、c是常數(shù)，且a≠0）的對稱軸是y軸，即直線x=0；頂點坐標是（0，c）.拋物線的開口方向由所取之的符號決定，當a>0時，拋物線開口向上，頂點是拋物線的最低點，即有最小值；當a<0時，拋物線開口向下，頂點是拋物線的最高點，即有最大值．表格表示如下：a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a>0向上(0,c)y軸x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，y隨x的增大而減小；x=0時，y有最小值c．a(chǎn)<0向下(0,c)y軸x>0時，y隨x的增大而減?。粁<0時，y隨x的增大而增大；x=0時，y有最大值c．a(chǎn)的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a>0向上(h,0)x=hx>h時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨x的增大而減??；x=h時，y有最小值0．a(chǎn)<0向下(h,0)x=hx>h時，y隨x的增大而減??；x<h時，y隨x的增大而增大；x=h時，y有最大值0．④y=a(xh)2+k的性質(zhì)：拋物線y=a(xh)2+k（其中a、h、k是常數(shù)，且a≠0）的對稱軸是過點（h，0）且平行（或重合）于軸的直線，即直線x=h；頂點坐標是（h，）．當a>0時，拋物線開口向上，頂點是拋物線的最低點，即有最小值；當a<0時，拋物線開口向下，頂點是拋物線的最高點，即有最大值．表格表示如下:a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)a>0向上(h,k)x=hx>h時，y隨x的增大而增大；x<h時，y隨x的增大而減??；x=h時，y有最小值k．a(chǎn)<0向下(h,k)x=hx>h時，y隨x的增大而減??；x<h時，y隨x的增大而增大；x=h時，y有最大值k．⑤拋物線y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的對稱軸是直線x=?b2a，頂點坐標是(?b2a,4ac?b24a)，與軸交點為（0，）.當a>0時，拋物線開口向上，頂點是拋物線的最低點，即有最小值；當a<0函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象a>0a<0開口方向向上向下對稱軸直線x直線x頂點坐標(?b(?b增減性在對稱軸的左側，即當x<?b2a在對稱軸的左側，即當x<?b2a最大(小)值3.二次函數(shù)圖象的平移二次函數(shù)y=a(xh)2+k(a≠0)的圖象可由拋物線y=ax2(a≠0)的圖象平移而得.在平移時，圖象的形狀、大小由a決定，即a不變，拋物線的大小、形狀皆不變，只有頂點坐標中的h或k發(fā)生變化(圖象的位置發(fā)生變化)。平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”，左、右沿x軸平移，上、下沿y軸平移，即y=ax2通過上（下）平移個單位得到y(tǒng)=ax2+k,再通過左（右）平移得到y(tǒng)=a(xh)2+k.所以，我們在解決拋物線平移的有關問題時，首先需要將拋物線的解析式為頂點式，得到頂點坐標，再根據(jù)上下、左右平移規(guī)律解決與平移有關的問題，①a的絕對值越大，拋物線的開口越小.②理解并掌握平移的過程具體平移方法，可直觀表示如下：平移規(guī)律：“左加右減，上加下減”．4.二次函數(shù)與一元二次方程①當△=b24ac>0時，方程有兩個不相等的實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點。②當△=b24ac=0時，方程有兩個相等的實根,二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點。③當△=b24ac<0時，方程沒有實根,二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點。5.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式根據(jù)所給的條件靈活選擇三種表達形式求拋物線的解析式:(1)已知三點坐標時，常設解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)；(3)已知拋物線與軸的兩個交點坐標為(x1,0)(x2,0)時，常設拋物線的解析式為交點式y(tǒng)=a(xx1)(xx2).6.二次函數(shù)解析式的幾種形式一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)頂點式：y=a(xh)2+k(a≠0)交點式:y=a(xx1)(xx2)(a≠0)頂點在原點：y=ax2(a≠0)過原點：y=ax2+bx(a≠0)頂點在y軸：y=ax2+c(a≠0)7.求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的最值的方法配方法：任意一個二次函數(shù)的一般式都可以配方轉化為成y=a(xh)2+k(a≠0)的形式8.二次函數(shù)的應用1.審清題意，分析題中所涉及的量，已知量、變量有幾個，搞清楚已知量與變量之間的關系是什么，找出等量關系(即函數(shù)關系)。2.設變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設變量的單位是否對應正確。3.列函數(shù)表達式，抓住題中含有等量關系的語句，可利用利潤、面積、周長等相關公式列出二次函數(shù)。4.求結果，根據(jù)題目要求，結合二次函數(shù)的相關性質(zhì)解答相應的問題。5.檢驗所得解是否正確：即是否是準確求值或是否符合實際生活。6.作答結論。易錯：對稱軸與x=0的本質(zhì)去分不清楚。注意：拋物線是直線x=0.易錯：誤認為對稱軸是直線x=c。注意：對稱軸依然是直線x=0，頂點坐標為（0，c）．易錯：易將開口方向與a、h混淆。注意：開口的方向與大小只與二次項系數(shù)a的值或絕對值有關.易錯：認為對稱軸是直線x=m，頂點坐標為（m，k）。注意：對稱軸是直線x=m，頂點坐標為（m，k）。易錯：易根據(jù)一般式得到函數(shù)的對稱軸為直線x=b或最值。6.二次函數(shù)圖象的平移易錯：平移不改變拋物線的形狀和大小，與a的值無關，記錯平移規(guī)律。注意：需要化拋物線的解析式為頂點式，找出頂點坐標，再根據(jù)上面的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”進行變化。7.二次函數(shù)與一元二次方程易錯：根的判別式可用來判斷一元二次方程根的三種情況，方程沒有根不能決定二次函數(shù)有沒有最值。注意：一元二次方程根的判別式小于0，二次函數(shù)依然存在最值。8.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式易錯：幾種解析式的設法易混淆，帶來更多的計算量是，甚至求解不出正確的結論。注意：根據(jù)所給信息設出正確的解析式。9.二次函數(shù)的應用易錯：忽略自變量的實際取值范圍，混淆函數(shù)的最值與實際值的區(qū)別。注意：求解時結合實際意義進行判斷.題型一二次函數(shù)的概念1．下列函數(shù)中，二次函數(shù)是（

）A．y=3x+5 B．y=2C．y=?2x2【答案】B【解析】解：A、y=3x+5是一次函數(shù)，故不符合題意；B、y=2xC、y=?2D、y=x+5故選：B．2．如果y=m?1xm2【答案】?1【解析】解：∵y=m?1∴m2+1=2且解得：m=?1；故答案為：?13．已知二次函數(shù)y=ax2，如果當x=1時y=2，那么當x=2時，y=【答案】8【解析】解：當x=1，y=2時，2=a??12，a=2，∴當x=2時，y=2×2故答案是：8．4．若y=a?3xa?1?3x+2【答案】?3【解析】解：根據(jù)題意可得a?1=2則a=±3，又∵a?3≠0，∴a≠3，∴a=?3，故答案為：?3．針對訓練：1．下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（

）A．y=1x2 B．y=2x+32?4x【答案】D【解析】解：A.y=1B.y=2x+3C.y=x2D.y=x(x+1)=x故選：D．2．把y=2?3x6+x變成一般式，它的常數(shù)項為【答案】12【分析】本題考查了二次函數(shù)的一般形式，二次函數(shù)的一般形式為y=ax2+bx+c（a,b,c根據(jù)整式的乘法法則將右邊展開，再合并同類項，即可將其化為一般形式，即可得到答案.【解析】解：∵y=2?3x∴把y=2?3x6+x變成一般式，它的常數(shù)項為故答案為：12.3．二次函數(shù)y=m?1x2+mx+1中A．m≠1 B．m=1 C．m>1 D．m<1【答案】A【解析】解：∵函數(shù)y=m?1∴m?1≠0，即m≠1，故選：A．4．拋物線y=a?1x2的開口向下，那么aA．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)<1 C．a(chǎn)>0 D．α<0【答案】B【解析】解：∵拋物線y=a?1∴a?1<0，∴a<1，故選：B．題型二y=ax2圖象圖象與性質(zhì)1．拋物線y=?xA．?1,0 B．0,?1 C．0,0 D．?1,2【答案】C【解析】解：拋物線y=?x2的頂點坐標是故選：C2．拋物線y=12x【答案】向上【解析】解：∵在y=12x∴拋物線y=1故答案為：向上．3．函數(shù)y=ax2a≠0與直線(1)求a，b的值；(2)x取何值時，二次函數(shù)中的y隨x的增大而增大？【答案】(1)a=?2，b=?2(2)x<0【解析】（1）解：把1,b代入y=x?3可得：b=1?3=?2∴點1,b的坐標為1,?2把1,?2代入y=ax2∴a=?2，b=?2；（2）解：由（1）可得y=?2x∴拋物線開口向下，且對稱軸為y軸，∴當x<0時，y隨x的增大而增大．針對訓練：1．下列各點在拋物線y=2x2上的是（A．2,2 B．2，4 C．2【答案】C【解析】解：A.2≠2×4，故（2，2）不在拋物線上．B.4≠2×4，故（2，4）不在拋物線上．C.8=2×4，故（2，8）在拋物線上．D.16≠2×4，故（2，16）不在拋物線上．故選：C．2．函數(shù)y=x2與y=?x2的圖象關于軸對稱，也可以認為y=x2是函數(shù)【答案】x原點180°/180度【分析】由函數(shù)y=x2與【解析】如圖所示，在平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=x2與

由函數(shù)y=x2與函數(shù)y=x2與y=?x也可以確定函數(shù)y=x2的圖像是由函數(shù)y=?x故答案為：x，原點，180°．3．已知函數(shù)y=(m+3)xm2(1)求m的值；(2)當m為何值時，該函數(shù)圖像的開口向下？(3)當m為何值時，該函數(shù)有最小值？(4)試說明函數(shù)的增減性．【答案】(1)m=?4或m=1(2)當m=?4時，該函數(shù)圖像的開口向下(3)當m=1時，原函數(shù)有最小值(4)見解析【解析】（1）根據(jù)題意，得m2解得m1∴當m=?4或m=1時，原函數(shù)為二次函數(shù)．（2）∵圖像開口向下，∴m+3<0，∴m<?3，∴m=?4，∴當m=?4時，該函數(shù)圖像的開口向下．（3）∵函數(shù)有最小值，∴m+3>0，則m>?3，∴m=1，∴當m=1時，原函數(shù)有最小值．（4）當m=?4時，此函數(shù)為y=?x2，開口向下，對稱軸為當x<0時，y隨x的增大而增大；當x>0時，y隨x的增大而減??；當m=1時，此函數(shù)為y=4x2，開口向上，對稱軸為當x<0時，y隨x的增大而減??；當x>0時，y隨x的增大而增大．題型三y=ax2+k1．二次函數(shù)y=ax2?2A．(2,0) B．(?2,0) C．(0,2) D．(0,?2)【答案】D【解析】解：二次函數(shù)y=ax2?2故選：D．2．二次函數(shù)y=?x2+k與y軸交點的縱坐標為3，則kA．0 B．1 C．?3 D．3【答案】D【解析】解：∵y=?x2+k∴0,3在函數(shù)圖象上，代入解析式的：3=?0+k，∴k=3；故選D．3．拋物線y=?x2+2A．直線x=2 B．直線x=?2 C．直線x=2 D．y【答案】D【解析】解：根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知：拋物線y=?x2+2的對稱軸是直線x=0故選：D．18．如果拋物線y=ax2?1的頂點是它的最高點，那么a【答案】a<0【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可得出a的取值范圍．【解析】解：∵拋物線y=ax∴二次函數(shù)的圖像開口向下，且函數(shù)值有最大值．∴a<0．故答案為：a<0．針對訓練：1．拋物線y=ax2+c與y=?3x2【答案】y=3x【解析】解：∵拋物線y=ax2+c∴a=3，∵頂點坐標是（0，2），∴y=3x故答案為：y=3x2．如果拋物線y=k?1x2+2的開口向下，那么A．k>0 B．k<0 C．k>1 D．k<1【答案】D【解析】解：由題意，得：k?1<0，∴k<1；故選D．3．拋物線y=?x2+1A．1,0 B．0,1 C．?1,0 D．0,?1【答案】B【解析】解：拋物線y=?x2+1故選B．4．如果點A?3,y1和點B2,y2是拋物線【答案】>【解析】解：∵y=x∴拋物線的對稱軸是直線x=0，拋物線的開口向上，當x<0時，y隨x的增大而減小，∵?3<?2<0，∴y故答案為：>．5．已知函數(shù)y=m+3xm(1)求m的值；(2)函數(shù)圖象的兩點A1,y1，B5,y【答案】(1)m=1或m=?5(2)m=?5【解析】（1）解：∵函數(shù)y=m+3xm∴m+3≠0m解得：m=1或m=?5．（2）∵該函數(shù)的對稱軸為y軸，點A1,y1，B∴在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小，∴m+3<0，解得m<?3∴m=?5．題型四y=a(xh)21．對于二次函數(shù)y=(x+3)2的圖象，下列說法不正確的是（A．開口向上 B．對稱軸是直線x=?3C．頂點坐標為(?3,0) D．當x<?3時，y隨x的增大而增大【答案】D【解析】解：A、因為二次函數(shù)的表達式為y=(x+3)B、拋物線y=(x+3)2的對稱軸是直線C、因為拋物線y=(x+3)2的頂點坐標為D、因為拋物線y=(x+3)2的對稱軸為直線x=?3，且開口向上，所以當x<?3時，y隨故選：D．2．已知A0，y1，B3，y2為拋物線A．y1>y2 B．y1【答案】A【解析】解：將A0，y1，得：y1=0?2∴y1故選A．3．如果二次函數(shù)y=ax+12的開口方向向下，那么a的取值范圍是【答案】a<0【解析】解：∵二次函數(shù)y=ax+1∴a<0，故答案為：a<0．4．如果二次函數(shù)y=a(x?1)2的圖象在它對稱軸左側部分是上升的，那么a的取值范圍是【答案】a<0【解析】解：∵二次函數(shù)y=a(x?1)∴拋物線的開口向下，∴a<0；故答案為：a<0針對訓練：1．關于二次函數(shù)y=?12x+1A．開口向下 B．圖像不經(jīng)過第一象限C．對稱軸右側的部分是下降的 D．頂點坐標是0【答案】D【解析】解：A、∵二次函數(shù)y=?12x+1∴拋物線開口向下，故該選項正確，不符合題意；B、∵x+12∴?12x+1∵第一象限的橫縱坐標都為正，∴該拋物線不經(jīng)過第一象限，故該選項正確，不符合題意；C、∵拋物線開口向下，∴在對稱軸右側的部分是下降的，故該選項正確，不符合題意；D、∵拋物線解析式為y=?1∴頂點坐標為?1，故選D．2．若點A?3,y1,B?2,y2A．y1>y2>y3 B．【答案】A【解析】解：∵二次函數(shù)y=a（x+1）2中a＞0，∴開口向上，對稱軸為x=1，∵3＜2＜1，∴y1＞y2＞y3．故選：A．3．已知拋物線開口向上，對稱軸是直線x=5，拋物線上兩點坐標為（2，y1），（4，y2），那么y1【答案】>【解析】解：∵拋物線開口向上，對稱軸是直線x=5，∴x<5時，y隨x增大而減小，∴y故答案為：>．4．已知拋物線y=ax??2的對稱軸為直線x=?2，且過點(1)求拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)寫出拋物線的開口方向及頂點坐標．【答案】(1)y=?(2)拋物線的開口向下，頂點為?2,0．【解析】（1）解：∵拋物線y=ax??2的對稱軸是直線∴?=?2，∴拋物線解析式為y=ax+2∵拋物線過1,?3，∴?3=9a，解得a=?1∴拋物線解析式為y=?1（2）解：∵拋物線為y=?13x+2∴拋物線的開口向下，頂點為?2,0．題型五y=a(xh)2+k1．拋物線y=x?12+2A．直線x=1 B．直線x=?1 C．直線x=?2 D．直線x=2【答案】A【解析】解：拋物線y=x?12+2故選：A．2．對于二次函數(shù)y=?x?2A．開口向上 B．頂點坐標?2,5C．對稱軸是直線x=2 D．在x>2時，y隨x的增大而增大【答案】C【解析】解：A、?1<0，拋物線的開口向下，則該選項錯誤，故不符合題意；B、頂點坐標為2,5，則該選項錯誤，故不符合題意；C、對稱軸是直線x=2，則該選項正確，故符合題意；D、當x>2時，y隨x的增大而減小，則該選項錯誤，不符合題意；故選：C3．拋物線y=?5+2x+12的頂點坐標是【答案】(?1,?5)【解析】解：拋物線y=?5+2x+12=2故答案為：(?1,?5)．4．若二次函數(shù)y=ax?m2+na,m,n≠0不經(jīng)過第三象限，且其經(jīng)過平移后頂點落在了【答案】三與四【解析】解：∵二次函數(shù)y=ax?m∴拋物線頂點坐標為m,n，頂點可能在第一、二、四象限，圖像過一、二象限或一、二、四象限，開口向上，∵平移后新拋物線的頂點坐標在x軸上，新拋物線不可能經(jīng)過第三、四象限，故答案為：三與四．針對訓練：1．拋物線y=2(x?1)2+3A．x=?1 B．x=1 C．x=2 D．x=3【答案】B【解析】解：拋物線y=2(x?1)2+3故選：B．2．關于二次函數(shù)y=?2(x?1)A．開口向上 B．經(jīng)過原點C．對稱軸右側的部分是下降的 D．頂點坐標是(?1,0)【答案】C【解析】∵y=?2(x?1)∴拋物線開口向下，頂點坐標為(1,0)，∴x>1時，y隨x增大而減小，對稱軸右側的部分是下降的，把x=0代入y=?2(x?1)2∴拋物線經(jīng)過0,?2，故選：C．3．若A?4,y1、B?2,y2、C1,y3是二次函數(shù)y=4(x+1)2圖象上的三點，則y1【答案】y【解析】解：由題意知，y1=4×?4+12=36∴y2故答案為：y24．已知拋物線y=?x??2+k的對稱軸為直線x=2(1)求該拋物線的解析式；(2)當0≤x≤a時，該二次函數(shù)值y取得的最小值為?7，求a的值．【答案】(1)y=?(2)a=6【解析】（1）解：∵拋物線y=?x??2+k∴?=2，∴y=?x?2把A0,5代入得：5=?解得：k=9，∴該拋物線的解析式為y=?x?2（2）解：∵a=?1<0，∴當x=2時，y有最大值9，當y=?7時，?7=?x?2解得：x1∵當0≤x≤a時，該二次函數(shù)值y取得的最小值為?7，∴a=6．題型六y=ax2+bx+c1．關于拋物線y=?xA．開口向下 B．與y軸交于正半軸C．對稱軸在y軸左側 D．不經(jīng)過第一象限【答案】B【解析】解：∵a=?1<0，∴圖象開口向下，故選項A正確，不符合題意；令x=0，即y=3，∴與y軸的交點坐標為0,3，即交于y軸的正半軸，故選項B正確，不符合題意；x軸=?b令y=0時，?x2?2x+3=0，解得：x1=?3，x2=1，故與x軸的交點故選：D2．若點?3,y1,0,y2,A．y1>y3>y2 B．【答案】B【解析】解：由y=x+22得，該函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線∵點?3,y1，0,y2，1,y∴y1故選：B．3．如果拋物線y=2?ax2+3x?a的開口向上，那么【答案】a<2【解析】解：∵拋物線y=2?a∴2?a>0，解得a<2，故答案為：a<2．4．如果拋物線y=ax2+bx+ca≠0的頂點的軌跡是一個規(guī)則的圖形，那么稱這個軌跡為該拋物線的“頂線”．那么拋物線【答案】y=2x?6【解析】解：根據(jù)拋物線的頂點坐標公式可得拋物線y=ax橫坐標為x=?4縱坐標為y=?24a?16∴y=2×?∴拋物線y=ax2+4x?6故答案為：y=2x?6x≠0針對訓練：1．已知二次函數(shù)y=?x2+2x?3A．該函數(shù)圖像有最低點1,?3 B．該函數(shù)圖像對稱軸為直線x=?1C．該函數(shù)圖像在x軸的下方 D．該函數(shù)圖像在對稱軸左側是下降的【答案】C【解析】解：∵二次函數(shù)y=?x2+2x?3=?∴該函數(shù)圖象有最高點(1,?2)，故選項A錯誤，該函數(shù)圖像對稱軸為直線x=1，選項B錯誤；該函數(shù)圖象在x軸下方，故選項C正確；該函數(shù)圖象在對稱軸左側是上升的，故選項D錯誤；故選：C．2．已知函數(shù)y=?4x2+4ax?4a?a2，若函數(shù)在0≤x≤1上的最大值是?5【答案】?5或5【解析】解：對稱軸為直線x=?4a①x=a∵?4<0，∴函數(shù)在0≤x≤1上，y隨x的增大而減小，∴當x=0時，y=?4a?a解得：a=?5或a=1（舍）；②當0<a2≤1此時當x=a2時，函數(shù)有最大值，則解得：a=5當a2>1時，即∵?4<0，∴函數(shù)在0≤x≤1上，y隨x的增大而增大，∴當x=1時，y=?4+4a?4a?a解得：a=±1（舍），綜上：a的值為?5或54故答案為：?5或543．已知：二次函數(shù)y=(m?1)x【答案】函數(shù)解析式為y=?2【解析】解：令x=0，y=0，得0=m2?1，m∵是二次函數(shù)，∴二次項系數(shù)不能為零，即m?1≠0，m≠1，∴m=?1，將m=?1代入原函數(shù)，得y=?1?1綜上：m=?1，函數(shù)解析式為y=?2x題型七二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號1．如果拋物線y=ax2+bx經(jīng)過第一、二、三象限，那么常數(shù)a、bA．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)>0，b<0 C．a(chǎn)<0，b>0 D．a(chǎn)<0，b<0【答案】A【解析】解：由題意得，二次函數(shù)經(jīng)過原點可知，c=0，如圖所示，函數(shù)圖象經(jīng)過第一，二，三象限，∴拋物線開口向上，故a>0，∴對稱軸在軸的負半軸，∴?b∴b>0．故選：A．2．拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的部分圖像如圖所示，頂點坐標(?1,n)，則以下結論：①abc>0；②3a+c>0；③若m為任意實數(shù)，am2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：由圖像可知，a<0，c>0，∵其頂點坐標為?1,n，∴對稱軸為x=?1=?b2a，∴b=2a<0，則y=ax∴abc>0，故①正確；由對稱軸可知1,y1關于對稱軸對稱的點坐標為由圖像可知，y1∴y1∵am2?1∴m為任意實數(shù)時，am∵ax∴ax2+bx+c=?當x=?1時，y=?n∵y=?n∴y=ax2+bx+c即ax故正確的有①③④，共3個，故選：C．3．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點?1,0，對稱軸為直線x=2．對于下列結論：①abc<0；②a+c=b；③多項式ax2+bx+c可因式分解為x+1x?5；④當m>?9aA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】解：由題圖可知a<0，c>0，?∴b∴abc<當x=?1時，a?b+c=0，即a+c=b，故②正確；∵二次函數(shù)與x軸的一個交點的橫坐標為?1，對稱軸為直線x=2，∴二次函數(shù)與x軸的另一個交點的橫坐標為5，∴多項式ax∵?∴b=?4a∵a+c=b∴c=?5a∵當x=2時，y有最大值，即y=4a+2b+c=4a?8a?5a=?9a，∴當m>?9a時，拋物線y=ax2+bx+c即關于x的方程ax綜上，①②④正確．故選：C．針對訓練：1．二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖像如圖所示，現(xiàn)有以下結論：①b>0；②abc<0；③

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】解：∵根據(jù)拋物線開口方向向上，對稱軸為x=1∴a>0，x=?b2a=1∵拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸，∴c<0，即abc>0，故②錯誤；由函數(shù)圖像可知：當x=1時，函數(shù)值小于0，即a+b+c<0，故③正確；根據(jù)拋物線與x軸有兩個交點，可知b2綜上，正確的有③④；共2個．故選B．2．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝1，則下列結論：①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的兩根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④4a2+2b+c＜0，其中正確結論的序號為．【答案】②③．【解析】由圖象可知，拋物線開口向下，a＜0，對稱軸在y軸右側，a、b異號，b＞0，與y軸交于正半軸，c＞0，所以abc＜0，因此①是錯誤的；當y＝0時，拋物線與x軸交點的橫坐標就是ax2+bx+c＝0的兩根，由圖象可得x1＝﹣1，x2＝3；因此②正確；對稱軸為x＝1，即﹣b2a∵a＜0，a2＞0，b＞0，c＞0，∴4a2+2b+c＞0，因此④是錯誤的，故答案為：②③．3．如果拋物線y=（k+1）x2﹣2x+3的開口向上，那么k的取值范圍為．【答案】k>?1【解析】解：∵拋物線y=（k+1）x22x+3的開口向上，∴k+1＞0，解得k＞1．故答案為：k＞1．題型八一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合1．函數(shù)y=ax+b與y=ax2+bxA． B．C． D．【答案】C【解析】解：當x=0時，y=ax2+bx=0B、對于y=ax+b，則a>0，b>0，而對于y=ax2+bx的對稱軸x=?b2aC、對于y=ax+b，則a<0，b>0，而對于y=ax2+bx的對稱軸x=?b2a同理，D不符合題意；故選：C．2．已知一次函數(shù)y=cx+ba的圖象如下，則函數(shù)y=ax

A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】解：由一次函數(shù)的圖象可得：c<0，∴函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y∴排除A、C選項；函數(shù)y=ax2+bx+c∴函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸與x∴只有B選項符合題意，故選：B．3．已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖像如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+bA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】解：根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象可知，∴b>0，∴一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．故選：C．針對訓練：1．在同一平面直角坐標系中，畫出直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bxA． B．C． D．【答案】D【解析】解：當x=0時，y=0，則拋物線y=axA、直線y=ax+b中，a>0，b>0，拋物線y=ax2+bx中，a>0，?C、直線y=ax+b中，a>0，b=0，拋物線y=ax2+bx中，a>0，?D、直線y=ax+b中，a<0，b<0，拋物線y=ax2+bx中，a<0，?故選：D．2．二次函數(shù)y=ax2+4x+aA． B．C． D．【答案】D【解析】解：對稱軸為直線x=?4a>0時，拋物線開口向上，對稱軸在y軸左側，與y軸正半軸的交于點(0,a)，一次函數(shù)y=ax+a經(jīng)過第一、二、三象限，與y軸正半軸的交于點(0,a)，a＜0時，拋物線開口向下，對稱軸在y軸右側，與y軸負半軸的交于點(0,a)，一次函數(shù)y=ax+a經(jīng)過第二、三、四象限，與y軸正半軸的交于點故選：D．3．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=?ax+bc【答案】第一【解析】解：由拋物線開口向上可知a>0∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c>0∵拋物線的對稱軸x=?b2a在∴?b2a則直線y=?ax+bc中?a<0，bc<0，它經(jīng)過二、三、四象限，即不經(jīng)過第一象限故答案為：第一4．直線y=x+2與拋物線y=x2+2x的交點坐標是【答案】1,3?2,0【解析】解：聯(lián)立兩函數(shù)的解析式有：y=x+2y=x2+2x，解方程組，得則直線y=x+2與拋物線y=x2+2x的交點坐標是1,3故答案為：1,3，?2,0．題型九反比例函數(shù)與二次函數(shù)1．已知反比例函數(shù)y＝kx，當x＞0時，y的值隨x的值增大而增大，下列四個選項中，可能是二次函數(shù)y＝2kx2﹣x﹣kA．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】解：∵反比例函數(shù)y＝kx，當x＞0時，y的值隨x∴k＜0，∴二次函數(shù)y＝2kx2﹣x﹣k中，2k＜0，則圖象開口向下，﹣k＞0，則圖象與y軸交在正半軸上，又∵b＝﹣1＜0，∴二次項與一次項系數(shù)相同，則對稱軸在y軸左側，符合題意的只有選項D．故選：D．2．同一坐標系中，反比例函數(shù)y=kx與二次函數(shù)y=kxA．B．C． D．【答案】D【解析】解：當k＞0時，反比例函數(shù)y=kx的圖象位于第一、三象限，二次函數(shù)當k＜0時，反比例函數(shù)y=kx的圖象位于第二、四象限，二次函數(shù)故選：D．3．反比例函數(shù)y=1x與二次函數(shù)y=?x【答案】3個【分析】根據(jù)數(shù)形結合的思想進行判斷即可；【解析】y=?x即可得到有三個交點．故答案是3．針對訓練：1．如圖，在同一直角坐標系中拋物線y1=ax2+bx+c與雙曲線y2=kx交于Axa

A．x>xa或xb<x<xC．x<xa或x<xb或x>xc 【答案】B【解析】解：觀察函數(shù)圖象，可知當y1<y2時，故選：B．2．如圖，已知拋物線y=ax2+bx?1（a，b均不為0）與雙曲線y=kxk≠0的圖象相交于A?2,m，B【答案】?2<x【解析】解：不等式ax2+bx<根據(jù)函數(shù)圖像可知不等式的解集為：?2<x<故答案為：?2<x<3．如圖，已知拋物線y=ax24x+c(a≠0)與反比例函數(shù)y=9x的圖象相交于B點，且B點的橫坐標為3，拋物線與y軸交于點C(0,6)，A是拋物線y=ax24x+c的頂點，P點是x軸上一動點，當PA+PB最小時，P點的坐標為【答案】(125【解析】解：作點A關于x軸的對稱點A＇，連接A＇B，則A＇B與x軸的交點即為所求，∵拋物線y=ax24x+c(a≠0)與反比例函數(shù)y=9x∴點B（3,3），∴{a×解得，{a=1∴y=x24x+6=（x2）2+2∴點A的坐標為（2,2），∴點A＇的坐標為（2，2），設過點A＇（2，2）和點B（3,3）的直線解析式為y=mx+n∴{2m+n=?2∴直線A＇B的函數(shù)解析式為y=5x12,令y=0,則0=5x12得x=125故答案為（125題型十待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式1．一拋物線與拋物線y=12x2?2x+3A．y=?12(x?2)C．y=12(x+2)【答案】C【解析】解：∵拋物線的形狀、開口方向與拋物線y=1∴a=1∵頂點為(?2,1)，∴拋物線解析式為y=1故選：C．2．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)滿足：（1）當x=?1時，y=0，（2）對一切A．y=12xC．y=12x【答案】B【解析】解：∴當x=1時，y≤1+∵y≥x，∴當x=1時，y≥1，即1≤y≤1，∴x=1時，y=1；當x=1時，y=1，當x=?1即a+b+c=1，a?b+c=0，解得：b=12，∵對任意實數(shù)x，恒有y≥x，∴ax即ax∴Δ=即(a?1解得：a=1故拋物線的表達式為：y=1故選：B．3．已知一拋物線的形狀與y=12x2+72【答案】y=12【解析】解：∵對稱軸是直線x=?2，且與x軸的兩交點之間的距離為2，∴由對稱性可知，與x軸的交點分別為(?1,0)，(?3,0)，設拋物線解析式為y=a(x+1)(x+3)，∵拋物線的形狀與拋物線y=1∴a=±1∴拋物線解析式為y=±1即拋物線解析式為y=12x針對訓練：1．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過?1,0，2,0，0,2三點，則該函數(shù)的解析式為（

）A．y=?x2+x+2 B．y=x2+x?2【答案】A【解析】解：設y=ax把?1,0，2,0，0,2分別代入y=axa?b+c=04a+2b+c=0解得a=?1，∴該函數(shù)的解析式是：y=?x故選：A2．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+x…01345…y…?5???5?…關于它的圖象，下列判斷正確的是（

）A．開口向上 B．對稱軸是直線x=1C．一定經(jīng)過點?1,?152【答案】C【解析】解：∵點0,?5，4,?5在拋物線上，∴拋物線的對稱軸為直線x=2．設拋物線的解析式為y=ax?22+k，將4a+k=?5a+k=?可解得a=?1∴拋物線的解析式為y=?1∴拋物線開口向下，拋物線在對稱軸左側部分自左至右是上升的．將x=?1代入，得y=?15故選C．3．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(1,2)、(0,1)【答案】解析式為y=?x2+2x+1；開口向下；頂點為【解析】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(1,2)、(0,1)∴a+b+c=2解得：a=?1∴該函數(shù)解析式為：y=?x∵?1<0，∴圖像開口向下；∵y=?x∴頂點為1,2，對稱軸為直線x=1．題型十一二次函數(shù)的平移1．將拋物線y=?2x2沿x軸方向向右平移2個單位后得到的拋物線的關系式為（A．y=?2x2+2C．y=?2(x+2)2 【答案】D【解析】解：將拋物線y=?2x2沿x軸方向向右平移2個單位，所得到的拋物線解析式為故選：D．2．拋物線y=?2x2+3的圖象經(jīng)過平移后的拋物線經(jīng)過原點，且其對稱軸為直線x=2A．y=?2x2 B．y=?2x2?8x 【答案】C【解析】解：∵拋物線y=?2x∴設經(jīng)過平移后的拋物線為y=?2x∵其對稱軸為直線x=2，∴?b∴b=8，∴平移后的拋物線為y=?2x故選：C．3．將拋物線y=2x+2A．y=2x?12?2 B．y=2x+12+3【答案】C【解析】解：將拋物線y=2x+22?1故選：C．4．函數(shù)y=x2?6x?7的圖像與x軸交于點A、B，將函數(shù)y=x2?6x?7的圖像向上平移，平移后的圖像與x軸交于點C、【答案】y=【解析】解：當y=0時，x2解得x1=7，∴A?1,0，B∴AB=7??1∵AB=2CD，∴CD=4，∵函數(shù)y=x2?6x?7∴C1,0，D∴平移后拋物線的解析式為y=x?1即y=x故答案為：y=x5．將拋物線y=?3(x+4)2?2沿x軸向右平移4【答案】y=?3【解析】解：∵原拋物線為y=?3(x+4)2?2，沿x∴根據(jù)“左加右減”原則，把x變?yōu)閤?4，∴得到新拋物線表達式為y=?3(x?4+4)即y=?3x故答案為：y=?3x針對訓練：1．將拋物線y=2x2?1A．y=2(x?2)2+1C．y=2(x+2)2+1【答案】C【解析】解：把拋物線y=2x2?1向左平移2個單位，再向上平移2個單位得到拋物線y=2故選：C．2．在同一坐標平面將拋物線y=?12xA．y=?12x?2C．y=?12x+1【答案】D【解析】在同一坐標平面將拋物線y=?1得到新拋物線的解析式為y=?1故選：D．2．將拋物線y=ax2+bx【答案】x=?1【解析】解：拋物線y=ax2+bx∵新的拋物線的圖像經(jīng)過原點，令y=0，解得x=?2或x=0，∴對稱軸為直線x=?2+0故答案為：x=?1.題型十二二次函數(shù)與坐標軸的交點1．拋物線y=(x?1)2?4與xA．(1,0) B．(3,0) C．(?3,0) D．(?4,0)【答案】B【解析】解：拋物線y=(x?1)2?4與x解得：x1=3或拋物線y=(x?1)2?4與x軸的交點坐標有：3,0故選：B．2．拋物線y=(x?2)2+1與yA．0,2 B．?2,0 C．0,5 D．0,1【答案】C【解析】解：由y=(x?2)2+1得，當x=0∴與y軸的交點坐標是0,5，故選：C．3．拋物線y=x2?3x+1A．無交點 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【解析】解：∵y=x∴令x=0，則y=1，故與y軸有一個交點，令y=0，則x2Δ=∴與x軸有兩個交點，即：圖象與坐標軸的交點有3個，故選：D．針對訓練：1．拋物線y=?2(x?1)2?3與yA．?5 B．?3 C．?2 D．?1【答案】A【解析】解：當x=0時，y=?2×(0?1)即與y軸交點的縱坐標為?5，故選：A．2．已知拋物線y=ax2?4ax+?a≠0與x軸交于Ax1,0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：∵y=ax2?4ax+?∴Ax1,0，B∴A點的坐標是0,0，∴線段AB的長度=4?0=4；故選：D．3．已知y=?2x2+5x+3與x軸、y軸正半軸分別相交于A、B兩點，若M是拋物線在第一象限內(nèi)的動點，則SA．132 B．7 C．6 D．【答案】D【解析】當x=0時，y=3；令y=0，則?2x2+5x+3=0，解得：x∴y=?2x2+5x+3設直線AB的解析式為y=kx+a，a=33k+a=0，解得k=?1∴直線AB的解析式為y=?x+3，若使S△MAB最大，M到直線AB∴設經(jīng)過點M且與直線AB平行的直線解析式為y=?x+b，則對于方程?x+b=?2x2+5x+3有：62解得b≤152，即b=15∴S△MAB故選：D．題型十三增長率問題1．一件商品的原價是240元，經(jīng)過兩次降價后的價格為y元，若設兩次的平均降價率為x，則y與x的函數(shù)關系式是（

）A．y=2401?2x B．C．y=2401?x2 【答案】C．【解析】解：設兩次的平均降價率為x，根據(jù)題意得，y=2401?x故選：C．2．由于制藥技術的提高，某種疫苗的成本下降了很多，因此醫(yī)院對該疫苗進行了兩次降價，設平均降價率為x，已知該疫苗的原價為462元，降價后的價格為y元，則y與x之間的函數(shù)關系式為．【答案】y=462【解析】解：設平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意可得：y與x之間的函數(shù)關系為：y=4621?x故答案為y=4621?x3.某印刷廠10月份印書20萬冊，如果第四季度從11月份起，每月的印書量的增長率都為x，如果設12月份比10月份多印了y萬冊，那么y關于x的函數(shù)解析式是．（不寫定義域）【答案】y=20【解析】解：根據(jù)題意得：y=201+x故答案為：y=20x針對訓練：1．據(jù)了解，某蔬菜種植基地2019年的蔬菜產(chǎn)量為100萬噸，2021年的蔬菜產(chǎn)量為y萬噸，如果2019年至2021年蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為x(x>0)，那么y關于x的函數(shù)解析式為．【答案】y=100【解析】解：根據(jù)題意可得：2020年的蔬菜產(chǎn)量為100(1+x)，2021年的蔬菜產(chǎn)量為1001+x∴y=1001+x故答案為：y=1001+x2.某公司去年的銷售額為100萬元，預計未來三年的銷售額增長率將按照二次函數(shù)的模型增長．設增長率為y%，時間（年）為x，假設增長率函數(shù)模型為y=2x2+bx+c．根據(jù)市場分析，今年（第一年）的增長率為10%【答案】34【解析】解：根據(jù)題意得：二次函數(shù)y=2x2+bx+c經(jīng)過1,10∴2+b+c=108+2b+c=20解得b=4c=4∴二次函數(shù)解析式為y=2x當x=3時，y=2×9+4×3+4=18+12+4=34，∴第三年的增長率為34%故答案為：34%3．印刷廠10月份印刷一暢銷小說書5萬冊，因購買此書人數(shù)激增，印刷廠需加印，若設印書量每月的增長率為x，12月印書量y萬冊，寫出y關于x的函數(shù)解析式．【答案】y=5【解析】根據(jù)題意，得y關于x的函數(shù)解析式為：y=51+x故答案為：y=54．某商場四月份的營業(yè)額是200萬元，如果該商場第二季度每個月營業(yè)額的增長率相同，都為x(x>0)，六月份的營業(yè)額為y萬元，那么y關于x的函數(shù)解析式是．【答案】y=200（1+x）2【解析】解：設增長率為x，則五月份的營業(yè)額為：y=200(1+x)，六月份的營業(yè)額為：y=200(1+x)故答案為：y=200(1+x)2或【點睛】本題考查了一元二次方程的應用中增長率問題，若原來的數(shù)量為a，平均每次增長或降低的百分率為x，經(jīng)過第一次調(diào)整，就調(diào)整到a×（1±x），再經(jīng)過第二次調(diào)整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增長用“+”，下降用“?”．題型十四營銷問題1．某超市銷售某款商品每天的銷售利潤y（元）與單價x（元）之間的函數(shù)關系式為y=?x2+10x+125A．125元 B．150元 C．175元 D．200元【答案】B【解析】解：∵y=?x2+10x+125=?∴當x=5時，y有最大值，最大值y=150，∴銷售這款商品每天的最大利潤為150元，故選：B．2．某商廈將進貨單價為70元的某種商品，按銷售單價100元出售時，每天能賣出20個，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種商品的銷售單價每降價1元，日銷量就增加1個，為了獲取最大利潤，該種商品的銷售單價應降元．【答案】5【解析】解；設利潤為W元，銷售單價降價x元，由題意得，W=100?70?x==600?20x+30x?=?=?x?5∵?1<0，∴當x=5時，W最大，∴為了獲取最大利潤，該種商品的銷售單價應降5元，故答案為：5．3．某商場以每件50元的價格購進一種商品，銷售中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m（件）與每件的銷售價x（元）滿足一次函數(shù)，其圖象如圖所示(1)求每天的銷售數(shù)量m（件）與每件的銷售價格x（元）的函數(shù)表達式(2)每件商品的銷售價格在什么范圍內(nèi)，每天的銷售利潤隨著銷售價格的提高而增加？【答案】(1)m=?x+100(2)50<x≤75【解析】（1）解：設一次函數(shù)的一般表達式m=kx+b，將0,100，100,0代入得：100=b0=100k+b解得：k=?1，b=100，故每天的銷售數(shù)量m（件）與每件的銷售價格x（元）的函數(shù)表達式為：m=?x+1000≤x≤100（2）解：每件商品的利潤為：x?50，所以每天的利潤為：y=x?50∵x=?b∴在50<x≤75元時，每天的銷售利潤隨著銷售價格的提高而增加．針對訓練：1．商店銷售一種進價為50元/件的商品，售價為60元/件，每星期可賣出200件，若每件商品的售價上漲1元，則每星期就會少賣10件．每件商品的售價上漲x元（x元為正整數(shù)），每星期銷售的利潤為y元，則x與y的函數(shù)關系式為（）A．y=10200?10x B．C．y=50+x200?10x 【答案】D【解析】解：設每件商品的售價上漲x元，則銷售量為200?10x件，∴y=60+x?50故選D．2．某品牌裙子，平均每天可以售出20條，每條盈利40元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果該品牌每條裙子每降價1元，那么平均每天可以多售出2條，那么當裙子降價元時，可獲得最大利潤【答案】【解析】解：設裙子降價x元，利潤為w元，由題意得：w=40?x∴2＜0，開口向下，∴當x=15時，w有最大值，最大值為1250，∴當裙子降價15元，可獲得最大利潤為1250元；故答案為15，1250．3.暑假期間，全國各影院上映多部影片，某影院每天運營成本為3000元，該影院每天售出的電影票數(shù)量y（單位：張）與售價x（單位：元/張）之間滿足一次函數(shù)關系（55≤x≤90，且x是整數(shù)），部分數(shù)據(jù)如下表所示：電影票售價x（元/張）6070售出電影票數(shù)量y（張）154134(1)請求出y與x之間的函數(shù)關系式；(2)設該影院每天的利潤（利潤=票房收入?運營成本）為w（單位：元），求w與x之間的函數(shù)關系式．(3)該影院計劃十一期間每天的利潤達到5700元，那么電影票價要定在每張多少元？【答案】(1)y=?2x+274（55≤x≤90，且x是整數(shù)）(2)w=?2(3)電影票價要定在每張87元【解析】（1）解：設y與x之間的函數(shù)關系式是y=kx+b，由表格可得，60k+b=15470k+b=134解得k=?2b=274即y與x之間的函數(shù)關系式是y=?2x+274（55≤x≤90，且x是整數(shù)）（2）解：由題意可得，w=x(?2x+274)?3000=?2x即w與x之間的函數(shù)關系式是w=?2x（3）解：由（2）知：w=?2x當w=5700時，則?2x整理得：x2解得：x=87或x=50（舍去），故電影票價要定在每張87元．題型十五二次函數(shù)與圖形問題1．園林部門計劃在某公園建一個長方形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為14米），另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開，分成兩個區(qū)域，并各留2米寬的門（門不用木欄），若建成后所用木欄總長為32米，則長方形ABCD的最大面積為（

）A．223平方米 B．108平方米 C．3183平方米 D．【答案】D【解析】解：設苗圃ABCD的一邊CD長為x米，面積為y，根據(jù)題意得，y=x∵墻最大可用長度為14米∴32+2×2?3x≤14，即x≥當x>6時，y隨x的增大而減小，∴當x=223時，y最大為故選：D．2．深高小學部飼養(yǎng)了兩只萌萌的羊駝，建筑隊在學校一邊靠墻處，計劃用15米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形羊駝草料倉庫，倉庫總面積為y平方米，為方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門，若設AB=x米，則y關于x的函數(shù)關系式為（

）A．y=x(18?4x) B．y=x(16?2x) C．y=x(17?2x) D．y=x(15?4x)【答案】A【解析】解：∵鐵柵欄的全長為15米，AB=x米，∴平行于墻的一邊長為15+3?4x=(18?4x)米．根據(jù)題意得：y=x(18?4x)．故選：A．3．如圖是一面足夠長的墻，用18m長的籬笆圍成中間隔有一道籬笆的矩形花園ABCD，若設AB的長度為xm，則矩形花園ABCD的面積Sm2與【答案】S=?3【解析】解：設AB的長度為xm，則BC=由題意得，S=x18?3x故答案為：S=?3x針對訓練：1．將一張邊長為30cm的正方形紙片的四個角分別剪去一個邊長為xcm的小正方形，然后折疊成一個無蓋的長方體．當A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【答案】B【解析】解：依題意設側面積為S；∴S=4x30?2x∵?8<0，∴S有最大值，當x=?120故選：B2．如圖，把一張長10cm、寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個小正方形，然后折疊成一個無蓋的長方體盒子（紙板厚度忽略不計）盒子底面積S(cm2)【答案】S=4【解析】解：∵剪去小正方形的邊長為x(cm∴折疊成的盒子的底面長為10?2xcm，寬為8?2x根據(jù)題意得：S=10?2x故答案為：S=4x3．如圖，學校計劃建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，已知墻長為42米，籬笆長為60米，若設垂直于墻的邊AB的長為x米，平行于墻的邊BC長為y米，圍成的矩形花圃的面積為S平方米．(1)當x=10米時，y=___________米，S=___________平方米；(2)求S與x之間的函數(shù)表達式；(3)圍成的矩形花圃是否存在最大面積？若存在，求出這個最大面積，并求出此時x的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)40，400；(2)S=?2x(3)圍成的矩形花圃存在最大面積，這個最大面積是450平方米，此時x的值為15．【解析】（1）解：當x=10米時，y=60?10×2=40米，，S=10×40=400平方米，故答案為：40，400；（2）解：由題意得：S=xy=x60?2x∵x>0，0<y≤42，∴x>0，0<60?2x≤42，解得：9≤x<30，∴S與x之間的函數(shù)表達式為S=?2x（3）解：S=?2x∵?2<0，∴當x=15時，S取得最大值，最大值為450，即圍成的矩形花圃存在最大面積，這個最大面積是450平方米，此時x的值為15．題型十六與投球有關的應用1．一位籃球運動員跳起投籃，籃球運行的高度y（米）關于籃球運動的水平距離x（米）的函數(shù)解析式是y=﹣15（x﹣2.5）2A．1米 B．2米 C．4米 D．5米【答案】C【解析】試題分析：令y=3.05得：﹣15（x﹣2.5）2所以運行的水平距離為4米．故選C．考點：二次函數(shù)的應用．2．體育課上投擲實心球活動，如圖，小明某次投擲實心球，實心球出手后的運動過程中距離地面的高度y（米）關于水平距離x（米）的函數(shù)解析式為y=?18x2+bx+c，當實心球運動到點B時達到最高點，那么實心球的落地點C與出手點A【答案】8【解析】解：∵當實心球運動到點B3,3.125時達到最高點，且拋物線函數(shù)解析式為y=?∴拋物線函數(shù)解析式為y=?1令y=0，得?1解得：x1=8，∴C8,0∴實心球的落地點C與出手點A的水平距離OC為8米，故答案為：8．3．“陽光體育活動”促進了學校體育活動的開展，小杰在一次鉛球比賽中，鉛球出手以后的軌跡是拋物線的一部分（如圖所示），已知鉛球出手時離地面1.6米（如圖，直角坐標平面中AB的長），鉛球到達最高點時離地面2米（即圖中CF的長），離投擲點3米（即圖中OF的長），請求出小杰這次擲鉛球的成績（即圖中OD的長，精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)5≈2.236【答案】小杰這次擲鉛球的成績?yōu)?.71米【解析】解：由題意得：B(0,1.6),C(3,2)，設拋物線的解析式為y=a(x?3)將B(0,1.6)代入得a(0?3)解得：a=?2∴拋物線解析式為y=?2令y=0，得?2解得：x=3+35或3?3∴OD=3+35答：小杰這次擲鉛球的成績?yōu)?.71米．針對訓練：1．一個小球被拋出后，如果距離地面的高度h（米）和運行時間t（秒）的函數(shù)解析式為?=?5tA．1米 B．3米 C．5米 D．6米【答案】D【解析】解：因為?=?5t所以小球到達最高點時距離地面的高度是6米，故選D2．小林在練習投擲實心球，其示意圖如圖，第一次練習時，球從點A處被拋出，其路線是拋物線．點A距離地面1.6m，當球到OA的水平距離為1m時，達到最大高度為1.8m．那么投擲距離OB為m【答案】4【解析】解：建立如圖所示的直角坐標系，

由題意得：拋物線的頂點坐標為1，設拋物線的解析式為y=ax?12+1.8∴a+1.8=1.6，解得a=?0.2，∴y=?0.2x?1當y=0時，?0.2x?1得x1∴投擲距離OB為4m；故答案為：4．3．籃球是學生非常喜愛的運動項目之一．籃圈中心距離地面的豎直高度是3.05m，小丁站在距籃圈中心水平距離6.5m處的點A跳起練習定點投籃，籃球從小丁正上方出手到接觸籃球架的過程中，其運行路線可以看作是拋物線的一部分．當籃球運行的水平距離是x（單位：m）時，球心距離地面的豎直高度是(1)第一次訓練時，籃球的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m0123456豎直高度y/m2.02.73.23.53.63.53.2①在平面直角坐標系xOy中，描出以上表中各對對應值為坐標的點，并用平滑的曲線連接；②結合表中數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出籃球運行的最高點距離地面的豎直高度，并求y與x滿足的函數(shù)解析式；③已知籃網(wǎng)長40cm(2)第二次訓練時，小丁通過調(diào)整出手高度的方式將球投進．籃球出手后運行路線的形狀與第一次相同，達到最高點時，籃球的位置恰好在第一次的正上方，則小丁的出手高度是m【答案】(1)①見解析②3.6米；y=ax?4(2)2.075【解析】（1）解：①描點，連線，作出函數(shù)圖象，②結合表中數(shù)據(jù)或所畫圖象可知，籃球運行的最高點距離地面的豎直高度為3.6米，由表格數(shù)據(jù)和函數(shù)圖象可知，拋物線的頂點為4，∴設拋物線解析式為y=ax?4把0，2代入解析式得：解得a=?0.1，∴y與x滿足的函數(shù)解析式為y=?0.1x?4③當x=6.5時，y=?0.1×6.5?4又3.05?0.4=2.65而2.65<2.975<3.05，∴小石第一次投籃練習擦網(wǎng)而過；故答案為：擦網(wǎng)而過；（2）解：根據(jù)題意可知，第二次籃球運行的拋物線相當于第一次籃球運行的拋物線向上平移m個單位，則第二次籃球運行的拋物線解析式為y=?0.1x?4∵第二次籃球運行的拋物線經(jīng)過6.5，∴3.05=?0.1×6.5?4解得m=0.075，∴2+0.075=2.075米，答：小石第二次籃球剛出手比第一次籃球剛出手時的高度高2.075米．故答案為：2.075．題型十七噴水問題1．如圖，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴水頭的高度（即OB的長度）是1米．當噴射出的水流距離噴水頭8米時，達到最大高度1.8米，水流噴射的最遠水平距離OC是（

）A．20米 B．18米 C．10米 D．8米【答案】A【解析】解：∵噴水頭的高度（即OB的長度）是1米．當噴射出的水流距離噴水頭8米時，達到最大高度1.8米，設拋物線解析式為y=ax?82+1.81=64a+1.8解得a=?∴拋物線解析式為y=?令y=0，解得x=20（負值舍去）即C20,0∴OC=20故選：A【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，根據(jù)題意求得解析式是解題的關鍵．2．廣場上噴水池中的噴頭微露水面，噴出的水線呈一條拋物線，水線上水珠的高度y（米）關于水珠和噴頭的水平距離x（米）的函數(shù)解析式是y=?32x【答案】6【解析】解：∵y=?=?3∵a=?∴拋物線開口向下，有最大值，又0≤x≤4∴x=2時，y取最大值6，即水珠的高度達到最大6米，故答案為：6．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，解決本題的關鍵是掌握把二次函數(shù)的解析式化為頂點式．3．廣場上噴水池中的噴頭微露水面，噴出的水線呈一條拋物線，水線上的水珠高度y（米）關于水珠與噴頭的水平距離x（米）的函數(shù)解析式是：y=?3【答案】2米；6米．【解析】解：由題意得，y=?3又因為0≤x≤4，所以當x=2時，答：當水珠的高度達到最大時，水珠與噴頭的水平距離是2米，最大高度是6米．【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是掌握求二次函數(shù)最值的方法．針對訓練：1．如圖，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴水頭的高度（即OB的長度）是1米．當噴射出的水流距離噴水頭2米時，達到最大高度1.8米，水流噴射的最遠水平距離OC是（

）A．6米 B．5米 C．4米 D．1米【答案】B【解析】解：∵噴水頭的高度（即OB的長度）是1米．當噴射出的水流距離噴水頭2米時，達到最大高度1.8米，設拋物線解析式為y=ax?22+1.81=4a+1.8解得a=?∴拋物線解析式為：y=?令y=0，解得x=5（負值舍去）即C5,0∴OC=5．故選：B．2．公園草坪上，自動澆水噴頭噴出的水線呈一條拋物線，水線上水珠的離地高度y（米）關于水珠與噴頭的水平距離x（米）的函數(shù)解析式是y=?13x【答案】4【解析】∵y=?1∴x=2時，y取最大值43即水珠的高度達到最大43故答案為：433．小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設拋物線的表達式為y=ax??2+k，其中x(1)求拋物線的表達式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．【答案】(1)y=?0.1(2)2或6m【解析】（1）解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點為5,3.2，設拋物線的解析式為y=ax?5將點0,0.7代入，得0.7=25a+3.2，解得a=?0.1，∴拋物線的解析式為y=?0.1x?5（2）由y=?0.1x?52+3.2得1.6=?0.1x?5解得x1∵爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，∴當她的頭頂恰好接觸到水柱時，她與爸爸的水平距離為3?1=2(m)，或9?3=6(m)．題型十八拱橋問題1．如圖是根據(jù)某拱橋形狀建立的直角坐標系，從中得到函數(shù)y=?125x2．在正常水位時水面寬AB=30m，當水位上升5mA．8m B．10m C．15m D．【答案】D【解析】解：由題意得，點A的橫坐標為?15，在y=?125x2中，當∴A?15,?9∴點C的縱坐標為?9+5=?4，在y=?125x2中，當y=?1∴C?10,?4∴CD=10??10故選：D．2．有一座拋物線型拱橋，在正常水位時，水面AB寬20米，拱橋的最高點O到水面AB的距離是4米，如圖建立直角坐標平面xOy，如果水面上升了1米，那么此時水面的寬度是米．（結果保留根號）【答案】10【解析】設該拋物線的解析式是y=ax由題意結合圖象可知，點10,?4在函數(shù)圖象上，代入得：100a=?4，解得：a=?1∴該拋物線的解析式是y=?1則水面上升了1米，此時y=?3，∴?3=?125x則此時水面的寬度是103故答案為：1033．如圖，河上有一座拋物線形狀的橋洞，已知橋下的水面離橋拱頂部4米時，水面寬AB為12米，如圖建立直角坐標系．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)當水位上升1米時，水面寬為多少米？（答案保留整數(shù)，其中3≈1.7【答案】(1)y=?1(2)10米【解析】（1）由題意可知函數(shù)關于y軸對稱，C0，4∴函數(shù)過點B6,0設拋物線解析式為y=axc=436a+c=0解得a=?1∴拋物線解析式為y=?1（2）水位上升1米，即此時對應水面縱坐標為1，令y=?19x2+4=1，可得則水面寬度為33針對訓練：1．如圖所示的公路隧道其截面為拋物線型，線段OA表示水平的路面，以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．若OA=10m，拋物線的頂點P到OA的距離為9m，則拋物線對應的函數(shù)表達式為（A．y=?19x+5C．y=?125x+5【答案】D【解析】解：∵OA=10m，拋物線的頂點P到OA的距離為9∴A10,0，P設拋物線的表達式為y=ax??把P5,9代入得：y=a把A10,0代入得：0=a解得：a=?9∴拋物線表達式為y=?9故選：D．2．有一座拱橋的截面圖是拋物線形狀，在正常水位時，橋下水面AB寬20米，拱橋的最高點O距離水面AB為3米，如圖建立直角坐標平面xOy，那么此拋物線的表達式為．【答案】y=?3100【解析】設拋物線解析式為y=ax由圖象可知，點B的坐標為10,?3，代入解析式得?3=100a，解得a=?3∴該拋物線的解析式為y=?3故答案為：y=?33．如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE、ED、DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，拋物線的頂點C到ED的距離是11m(1)求拋物線的解析式；(2)已知從某時刻開始的40h內(nèi)，水面與河底ED的距離?（單位：m）隨時間t（單位：h）的變化滿足函數(shù)關系?=?1128t?192

【答案】(1)y=?(2)禁止船只通行時間為32小時．【解析】（1）解：由題意知：DO=EO=12ED=8∴A?8,8，B8,8，設拋物線解析式為y=ax則8=a?8解得a=?3∴y=?3（2）解：把?=11?5=6代入?=?1128t?19解得t1=35，∴當3≤t≤35時，禁止船只通行，禁止通行時間為35?3=32h即禁止船只通行時間為32小時.【點睛】二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系．題型十九與角度參與的應用1．如圖，二次函數(shù)y=?13x2+43x?1的圖象交x軸于A，B兩點，圖象上的一點CA．(4,?1) B．(4,?32) C．(4.5,?【答案】A【解析】解：二次函數(shù)y=?13x2+解得x1=1，∴A(1,0)，B(3,0)，過點C作CD⊥x軸于點D，∵∠CBA=135°，∴∠CBD=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，設BD=CD=m，∴C(3+m,?m)，∵點C在二次函數(shù)y=?1∴?m=?1解得m1=1，∴C(4,?1)，故選：A．2．如圖，已知拋物線y=?x2?3x+4，點P是拋物線上一動點．當點P在第二象限，∠PBA=45°時，點P【答案】?3,4【解析】解：如圖，連接PB，作PD⊥x軸于D，在y=?x2?3x+4中，令y=0解得：x1=?4，∴B1,0∵點P是拋物線上一動點，∴設Pm,?m2?3m+4，則∵∠PBA=45°，∴△PBD為等腰直角三角形，∴PD=BD，即?m解得：m=?3或m=1，∵點P在第二象限，∴m=?3，∴?m∴P?3,4故答案為：?3,4．3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線L1：y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，頂點為點(1)求拋物線L1(2)點Q在第二象限，且在拋物線的對稱軸上，如果∠POQ=45°，求點Q的坐標；(3)將拋物線L1平移，得到拋物線L2，平移后，拋物線L1上的點A、P落在點M、N處，PN∥AB【答案】(1)y=(2)?3,(3)y=【解析】（1）解：∵直線y=x+4與x軸、y軸分別交于點A、B，∴A?4,0，B又∵對稱軸是直線x=?3，∴16a?4b+c=0c=4?b∴L1的表達式為y=（2）解：∵拋物線L1的對稱軸是直線x=?3當x=?3時，y=1∴頂點P的坐標是?3,?1在對稱軸x=?3上取點E?3,3，對稱軸與x軸的交點記為點H在Rt△EOH中，∵OH=EH=3，∠OHE=90°∴∠EOH=∠HEO=45°，OE=3∵∠POQ=45°，∴∠EOH=∠POQ，∵點P在x軸的下方，∴點Q在線段EH上，∴∠EOQ=∠POH，過點Q作QG⊥OE，垂足為點G，則QG=EG，∵tan∠POH=∴tan∠EOQ=設QG=EG=x，則OG=6x，∵EG+OG=OE，∴x+6x=32∴x=3即EG=3∴QE=2∴QH=HE?QE=3?6∴點Q的坐標為?3,15（3）解：∵PN∥AB，∴點M在射線BA上，且點M的縱坐標與點P相同，為?1將y=?12代入直線y=x+4，得解得x=?9∴點M的橫坐標為?9∴點A向左平移12個單位，再向下平移12個單位得到點∴點P向左平移12個單位，再向下平移12得到點∴點N的坐標?7∴平移后的拋物線解析式為y=1針對訓練：1．如圖，拋物線y=13x2+83x?3與x軸交于點A和點B兩點，與y軸交于點C，A．(?8,?3) B．(?7,?163) C．(?6,?7)【答案】B【解析】解：令y=0，則1解得：x1=?9∴A(?9,0)，B(1,0)∴OA=9，OB=1，AB=10當x=0時，y∴C(0,?3)∴OC=3在△ACB中B∴∠ACB=90°∴∠BAC+∠ABC=90°∴2∠BAC+2∠ABC=180°∵∠ACD+2∠ABC=180°∴∠ACD=2∠BAC如圖，作點C關于x軸的對稱點E，連接AE；則E(0,3)，∠BAC=∠BAE∴∠EAC=2∠BAC=∠ACD∴AE∴k設直線DC的表達式為：y=將C(0,?3)代入得：b=?3∴直線DC的表達式為：y=解方程組y=13x?3y=∵點D在第三象限∴點D的坐標為(?7,?故選：B．2．如圖，二次函數(shù)y=?x2+2mx+2m+1（m是常數(shù)，且m>0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F．連接AC．若∠BEF=2∠ACO，則mA．12 B．22 C．2?1【答案】B【解析】解：當y=0時，?x解方程，得x1=?1，∵點A在點B的左側，且m>0，∴A(?1,0)，B(2m+1,0)，當x=0時，y=2m+1，∴C(0,2m+1)，∴OB=OC=2m+1，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=45°，∵EF∥∴∠BEF=∠BCO，∵∠BEF=2∠ACO，∴∠BCO=2∠ACO，作∠OCB的平分線交OB于點G，過點G作GH⊥BC于點H，如圖，∴∠BCO=2∠OCG，GH=GO，∴∠ACO=∠GCO，在△AOC和△GCO中，∠ACO=∠GCOOC=OC∴△AOC≌△GOCASA∴OA=OG=1，∴GH=1，GB=OB?OG=2m+1?1=2m，∵GH⊥BC，∠GBH=45°，∴GH=BH=1，∴GB=G即2m=2∴m=2故選：B．3．已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)交x軸于點A?1,0，點B3,0，交y(1)求該拋物線的表達式；(2)點P是拋物線上一動點，且在直線BC的上方（不與點B,C重合），連接BP,CP．①求△BCP的面積的最大值；②若∠OCB=α，∠PBC=β，求【答案】(1)y=?1(2)①2716；②【解析】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A?1,0，點B∴二次函數(shù)的表達式可寫為y=a(x+1)(x?3)，∵點C0,∴a0+10?3=∴二次函數(shù)的表達式為y=?1（2）解：①設直線BC的表達式為y=kx+nk≠0把B3,0和C3k+n=0n=解得：k=?1∴直線BC的表達式為y=?1如圖：過點P作PR⊥x軸于點R，交BC于點Q，設點P的坐標為m,?12m2+m+∴PQ=?∴S====?3∵動點P在直線BC的上方（不與B，C重合），∴0<m<3．∴當m=32時，△BCP面積取得最大值，最大值是②∵PR⊥x軸，∴PR∥∴∠BQR=∠OCB=α．∴α?β=∠BQR?∠PBC=∠BPR∵BR=3?m，PR=?1∴在Rt△BPRtanα?β∵0<m<3，∴12∴12題型二十與相似三角形綜合1．拋物線y=ax2+3ax+ba<0，設該拋物線與x軸的交點為A?5,0和B，與y軸的交點為CA．33 B．32 C．105【答案】C【解析】如圖所示：∵拋物線y=ax2+3ax+ba<0∵拋物線與x軸的交點為A?5,0和∴B2,0∴當y=0時，5與2是方程ax∴根據(jù)韋達定理可得：?5×2=ba∴C0,?10a即∵ΔACO∽ΔCBO，∠AOC=∠BOC=90°∴∠AOC=∠ACB=90°∴O解得a∴OC=?10a=?10×∴tan∠CAB故選C．2．如圖1，已知二次函數(shù)y=x2+bx+32b的圖像與x軸交于A、B兩點（點B在點A的左側），頂點為C，點D(1,m)在此二次函數(shù)圖像的對稱軸直線x=1上，過點(1)求此二次函數(shù)的解析式和點C的坐標；(2)當點D的坐標為(1,1)時，連接BD、BE．求證：BE平分∠ABD；(3)點G在拋物線的對稱軸上且位于第一象限，若以A、C、G為頂點的三角形與以G、D、E為頂點的三角形相似，求點E的橫坐標．【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為y=x(2)見解析(3)E點的橫坐標為2+6或72或6【解析】（1）∵點D(1,m)在y=x