專題3.3從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式（舉一反三講義）【蘇教版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1不含參的一元二次不等式的解法】 2【題型2含參的一元二次不等式的解法】 3【題型3解分式、高次、絕對值不等式】 6【題型4由一元二次不等式的解確定參數(shù)】 8【題型5一元二次不等式恒成立問題】 10【題型6一元二次不等式有解問題】 12【題型7一元二次不等式的實際應用】 16【題型8二次函數(shù)的圖象分析與判斷】 18【題型9三個“二次”關系的應用】 21知識點1一元二次不等式1．一元二次不等式一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.2．一元二次不等式的解法(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；②計算對應方程的判別式；③求出相應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；④根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集．(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進行討論；②若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式Δ進行討論；③若求出的根中含有參數(shù)，則應對兩根的大小進行討論．3．分式、高次、絕對值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步驟：①對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．②對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步驟：高次不等式的解法：如果將分式不等式轉化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：①標準化；②分解因式；③求根；④穿線；⑤得解集.(3)解絕對值不等式的一般步驟：對于絕對值不等式，可以分類討論然后去括號求解；還可以借助數(shù)軸來求解.4．一元二次不等式恒成立、存在性問題【題型1不含參的一元二次不等式的解法】【例1】（2425高一上·湖南婁底·期末）不等式x2+5x?6>0的解集為（

）A．{x∣x<?1或x>6} B．{x∣x<?6或x>1}C．x?6<x<1 D．【答案】B【解題思路】先對不等式因式分解，再根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.【解答過程】由x2+5x?6>0，得解得x<?6或x>1，則不等式x2+5x?6>0的解集為{x∣x<?6或故選：B.【變式11】（2425高一下·江蘇連云港·期末）不等式x+1x+3>0的解集為（A．xx<?1 B．xx>?1C．xx>?3 D．【答案】B【解題思路】由題可得不等式解集.【解答過程】x+1x+3>0?x+1>0x+3>0或x+1<0x+3<0則解集為xx>?1或x<?3故選：B.【變式12】（2425高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式(1)x(2)?2【答案】(1)2,4(2)?【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.【解答過程】（1）由x2?6x+8<0，得解得2<x<4，所以不等式的解集為2,4；（2）由?2x2+7x+9<0即2x?9x+1>0，解得x>9所以不等式的解集為?∞【變式13】（2425高一上·全國·課前預習）解一元二次不等式.(1)x2(2)x?x(3)4x(4)x2【答案】(1)?3≤x≤1(2)x<?2或x>3．(3)一切實數(shù)．(4)x=3．【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解法計算即可得答案.【解答過程】（1）∵Δ>0，方程x2∴不等式的解為?3≤x≤1．（2）整理得，x2∵Δ>0，方程x2∴原不等式的解為x<?2或x>3．（3）整理，得(2x+1)2由于上式對任意實數(shù)x都成立，∴原不等式的解為一切實數(shù)．（4）整理，得(x?3)2由于當x=3時，(x?3)2=0成立；而對任意的實數(shù)∴原不等式的解為x=3．【題型2含參的一元二次不等式的解法】【例2】（2025高一上·河北保定·專題練習）若0<t<1，則關于x的不等式(x?tA．{x|1C．{x|x【答案】D【解題思路】根據(jù)給定條件，比較t,【解答過程】當0<t<1時，1t>1>t所以不等式(x?t故選：D.【變式21】（2425高一上·陜西渭南·階段練習）關于x的不等式ax2+2aA．?∞,?2 B．?2,C．?∞,?2∪1a【答案】C【解題思路】考慮a=0和a<0兩種情況，當a<0時將不等式變形為x+2x?1【解答過程】當a=0時，不等式ax2+2故不等式的解集為?∞,?2，故A可能；當a<0時，ax2當a∈?12,0當a=?12當a∈?∞,?12時，故選：C.【變式22】（2425高一上·江蘇淮安·階段練習）已知實數(shù)a∈R，則不等式x+aA．x?a<C．{x|x>?a或x【答案】D【解題思路】分a=0、a>0、【解答過程】由(x當a=0時，不等式即為?x<0即不等式的解集為{x當a≠0時，解方程(x+則當a>0時，?a<0<故不等式的解集為{x當a<0時，1a<0<?所以不等式的解集為{x|x綜上可得：當a=0時，不等式的解集為{當a>0時，不等式的解集為{當a<0時，不等式的解集為{x|所以不等式x+故選：D.【變式23】（2425高一上·上海金山·期末）當0<a<1時，關于x的不等式x?3A．?∞,a?3aC．3,a?3a【答案】C【解題思路】將原不等式轉換為x?3x?a?3【解答過程】0<a<1時，1?a>0，不等式因為a?3a?1所以?2aa?1解原不等式，得3<x所以原不等式的解集為x|3<故選：C.【題型3解分式、高次、絕對值不等式】【例3】（2425高一上·安徽宿州·期末）不等式2x+1x?1A．?12,1C．?∞,?12∪【答案】D【解題思路】根據(jù)分式不等式的解法求解即可.【解答過程】由2x+1x?1≥0，得2故選：D.【變式31】（2425高一上·遼寧·期中）不等式x+3x?2A．?3,1∪2,+∞ B．?∞,?3∪1,2 C．【答案】A【解題思路】利用分類討論法計算可得.【解答過程】不等式x+3x?2x?1解得x≥2或?3≤即不等式x+3x?2故選：A.【變式32】（2425高一上·上?！るA段練習）求下列不等式的解集：(1)x?1(2)x?3【答案】(1)xx≥5(2)x【解題思路】（1）根據(jù)絕對值不等式的解法求解即可；（2）根據(jù)分式不等式的解法求解即可.【解答過程】（1）由x?1≥4，得x?1≥4所以x≥5或x所以不等式的解集為xx≥5或（2）由x?32x解得?1所以不等式的解集為x?【變式33】（2425高一上·湖南懷化·期中）求下列不等式的解集：(1)x(2)2(3)2【答案】(1)?1,4(2)x(3)?∞,?2【解題思路】（1）利用二次不等式的解法即可得解；（2）利用絕對不等式的解法即可得解；（3）利用分式不等式的解法即可得解.【解答過程】（1）因為x2?3x解得?1<x<4，故不等式x2（2）因為2x?3>0，所以2所以2x?3>0（3）因為2x+1x等價于x?1x+2≥0x所以不等式2x+1x【題型4由一元二次不等式的解確定參數(shù)】【例4】（2324高一下·云南玉溪·期末）若關于x的不等式x2+bx+c≤1b,A．?12 B．?32 【答案】C【解題思路】根據(jù)一元二次方程與不等式的關系，結合韋達定理，即可求解.【解答過程】由題不等式x2+bx所以?32,2所以?32+2=?b?所以b+故選：C.【變式41】（2425高一上·天津·期末）關于x的不等式2x2+1?2aA．2,3 B．2,3 C．2,3 D．2,3【答案】A【解題思路】先解出原不等式的解集，然后根據(jù)條件確定解集的端點值所滿足的條件，從而解出a的取值范圍.【解答過程】原不等式可化為2x則方程2x2+1?2a當a=?當a<?12時，原不等式的解集為：a<x當a>?12要使不等式的解集中整數(shù)有且只有3個，則2<a則正數(shù)a的取值范圍為2,3.故選：A.【變式42】（2425高一上·云南昭通·期中）已知不等式ax2+bx+c<0A．a(chǎn)B．cC．a(chǎn)D．cx2【答案】C【解題思路】利用三個二次的關系分析得到a<0，b=?2a,c=?3a【解答過程】由題意知，?1和3是方程ax2+則有?1+3=?ba,?1對于AB，由a<0和b=?2a對于C，因1?{x∣x<?1或對于D，由上分析，不等式cx2?因a<0，故可解得?13<x故選：C.【變式43】（2425高一上·湖北武漢·期中）已知關于x的不等式x2?a+1xA．5,6 B．?4,?3C．?4,?3∪5,6 【答案】C【解題思路】化不等式為x?ax?1<0，分a【解答過程】不等式x2?a當a=1時，不等式x當a>1時，不等式x2?要使不等式x2?a當a<1時，不等式x2?要使不等式x2?a綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是?4,?3∪故選：C．【題型5一元二次不等式恒成立問題】【例5】（2425高一上·重慶·期末）若不等式a?2x2?2a?2xA．?∞,?2∪2,+∞ C．?2,2 D．?2,2【答案】D【解題思路】根據(jù)給定條件，利用一元二次不等式恒成立問題求解.【解答過程】當a=2時，?4<0恒成立，則a當a≠2時，a?2<0Δ=4所以實數(shù)a的取值范圍為(?2,2].故選：D.【變式51】（2425高一上·廣東江門·階段練習）任意x∈?1,1，使得不等式x2?xA．m≥12 B．m≤14【答案】B【解題思路】由已知可得x2?x+12min【解答過程】因為對任意x∈?1,1，不等式所以x2?x設y=x2?x所以當x=12時，函數(shù)y=x所以m≤故選：B.【變式52】（2425高一下·四川瀘州·開學考試）已知不等式ax2?3(1)求a,(2)若不等式mx2+mx+3【解題思路】（1）根據(jù)不等式的解集得1和2是方程ax2?3（2）分m=0和m≠0兩種情況討論，m≠0【解答過程】（1）由題意知，1和2是方程ax2?3由韋達定理可得x1+x（2）由（1）可知a=1，則不等式m則當m=0時，不等式0+0+3≥0當m≠0時，不等式mx2等價于m>0△=m綜上，可得m∈【變式53】（2425高一上·全國·課前預習）設函數(shù)y=(1)若對于一切實數(shù)x,y<0(2)對于1≤x≤3,y【答案】(1)?4<(2)m【解題思路】（1）通過m=0,（2）法一：結合二次函數(shù)y=【解答過程】（1）要使mx若m=0，顯然?1<0若m需滿足m綜上：?4<m（2）解法一：要使y<?m+5就要使mx?1令y=當m>0時，y在1≤x≤3∴當x>3時ymax=7當m=0時，?6<0當m<0時，y在1≤x≤3∴當x=1時ymax=∴m綜上所述：m<解法二：當1≤x≤3時，即當1≤x≤3時，∵x又∵mx2∵函數(shù)y=6x2?∴m<【題型6一元二次不等式有解問題】【例6】（2425高一上·江西南昌·階段練習）若關于x的不等式x2?4x>a2?5aA．0,5 B．1,4C．(?∞，0)∪(5，+∞) D．?∞，1【答案】A【解題思路】求得x2?4x【解答過程】x2?4x=xx2?4x由于關于x的不等式x2?4x所以a2?5a故選：A.【變式61】（2425高一上·福建莆田·階段練習）若?x∈x|1≤x≤3，使得A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥2 C．a(chǎn)≥3【答案】B【解題思路】分析可知原題意等價于?x∈x|1≤x【解答過程】因為x2?2ax又因為1≤x≤3，則2x原題意等價于?x∈x令t=2x?1∈可得x2當且僅當t=9t可得a≥2，所以實數(shù)a的范圍是a故選：B.【變式62】（2425高一上·福建福州·階段練習）設y=(1)當a=2時，解關于x的不等式y(tǒng)(2)當a<0時，解關于x的不等式y(tǒng)(3)若關于x的不等式y(tǒng)≥?2在x≥1時有解，求實數(shù)【答案】(1)?(2)答案見解析(3)?1,+∞【解題思路】（1）通過解一元二次不等式來求得正確答案.（2）對a進行分類討論，結合一元二次不等式的解法來求得正確答案.（3）利用分離參數(shù)法，結合函數(shù)的單調性、最值等知識來求得a的取值范圍.【解答過程】（1）當a=2時，由y=2x2?x<1（2）當a<0時，由y=a即x?1ax+1<0，令x?1令?1a=1當?1<a<0，即?1a>1當a=?1時，原不等式的解集為x當a<?1時，原不等式的解集為x|x（3）依題意，關于x的不等式y(tǒng)=ax即ax2?由于x2所以a≥?x由于y=x+1x所以?1x+1x?1【變式63】（2425高一上·河北張家口·階段練習）已知函數(shù)fx=2x(1)當a=1時，解不等式f(2)若對任意x>0，都有fx>(3)若對?x1∈0,1，?x【答案】(1)xx>3或(2)(?∞,6(3)(?∞,4).【解題思路】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可；（2）利用參變分離的方法解恒成立問題，其中最值可由均值不等式求得；（3）將問題轉化為fxmin>gx【解答過程】（1）當a=1時，fx>所以x2?5x+6>0，所以(x所以不等式fx>gx的解集為（2）“對任意x>0，都有fx>gx因為x>0時，x+6所以2a<26所以實數(shù)a的取值范圍是(?∞,6（3）因為對?x1∈0,1，所以不等式fx因為gx所以y=gx所以gx因為fx所以當a2<0，即a<0時，y所以fx則2?a2>?當0≤a2≤1，即0≤由2?3a22>?當a2>1，即a>2由?a2?2a+4>?綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(?∞,4).【題型7一元二次不等式的實際應用】【例7】（2425高一上·廣東肇慶·階段練習）某網(wǎng)店銷售一批新款削筆器，每個削筆器的最低售價為15元.若按最低售價銷售，每天能賣出30個，若一個削筆器的售價每提高1元，日銷售量將減少2個.為了使這批削筆器每天獲得400元以上的銷售收入，這批削筆器的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（

）A．10,20 B．15,20 C．16,20 D．15,25【答案】B【解題思路】設這批削筆器的銷售價格定為x(【解答過程】設這批削筆器的銷售價格定為x(由題意得[30?(x?15)×2]?x∵方程x2?30x+200=0的兩個實數(shù)根為∴x2?30x+200<0解集為{故應將這批削筆器的銷售價格制定在每個15元到20元之間(包括15元但不包括20元)，才能使這批削筆器每天獲得400元以上的銷售收入.故選：B.【變式71】（2425高一上·陜西西安·階段練習）某花卉店售賣一種多肉植物，若每株多肉植物的售價為30元，則每天可賣出25株；若每株多肉植物的售價每降低1元，則日銷售量增加5株．為了使這種多肉植物每天的總銷售額不低于1250元，則每株這種多肉植物的最低售價為（

）A．25元 B．20元 C．10元 D．5元【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，列出不等式，代入計算，即可求解.【解答過程】設每株多肉植物的售價為x元，則每天可以賣25+530?由題意可得x25+530?x解得10≤x故選：C.【變式72】（2425高一上·河南駐馬店·階段練習）某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入.則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是（

）A．x15≤x<22C．x15≤x<20【答案】C【解題思路】根據(jù)題意得出30?2x?15?【解答過程】設這批臺燈的銷售單價為x元，由題意得，30?2x即x2?30x+200<0，解得10<x這批臺燈的銷售單價x的取值范圍是x15≤故選：C.【變式73】（2425高一下·河南·開學考試）河南是華夏文明的主要發(fā)祥地之一，眾多的文物古跡和著名的黃河等自然風光構成了河南豐富的旅游資源，在旅游業(yè)蓬勃發(fā)展的帶動下，餐飲、酒店、工藝品等行業(yè)持續(xù)發(fā)展．某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價在200元的基礎上提高10x元（1≤x≤10，x∈Z），則被租出的客房會減少15xA．250元 B．260元 C．270元 D．280元【答案】C【解題思路】根據(jù)題意列出不等式求解.【解答過程】依題意，每天有500?15x500?15x因為要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過元，所以?150x2+2000x+100000>106600因為1≤x≤10且x∈故選：C．知識點2三個“二次”的關系1．二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．【注】：(1)二次函數(shù)的零點不是點，是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標．(2)一元二次方程的根是相應一元二次函數(shù)的零點．2．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系?>0?=0?<0y=ax2+bx+c(a>0)的圖象ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2（x1<x2）有兩個相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}【注】：(1)對于一元二次不等式的二次項系數(shù)為正且存在兩個根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．(2)對于二次項系數(shù)是負數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項系數(shù)化為正數(shù)，再對照上述情況求解．【題型8二次函數(shù)的圖象分析與判斷】【例8】（2425高一上·福建福州·階段練習）不等式cx2+ax+b>0的解集為A．

B．

C．

D．

【答案】B【解題思路】根據(jù)不等式的解集得到c<0，?1,12為cx2【解答過程】由題意得c<0，?1,12故?1+12=?y=ax2+bx故選：B.【變式81】（2425高一上·湖南株洲·階段練習）不等式cx2+ax+b>0A．

B．

C．

D．

【答案】A【解題思路】首先根據(jù)一元二次不等式與對應方程的關系，求解a,b,【解答過程】因為cx2+ax+b>0的解集為x∣?1<x<12，所以方程故函數(shù)y=ax2?bx?c=故選：A.【變式82】（2425高一上·江西南昌·開學考試）在同一平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2與一次函數(shù)y=A． B．C． D．【答案】D【解題思路】根據(jù)一次函數(shù)y=bx+c與二次函數(shù)y=【解答過程】根據(jù)一次函數(shù)y=bx+c與二次函數(shù)y=ax故選：D.【變式83】（2425高一上·山西·期中）已知函數(shù)fx=ax2+bxA．?12,1C．?∞,?2∪1,+∞ 【答案】B【解題思路】分析可得a<0，b